Geometria Euclidiana Plana: Axioma das Paralelas - Definições e Proposições

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA O AXIOMA DAS PARALELAS CAPITULO 6 O AXIOMA DAS PARALELAS A existˆencia de retas paralelas e uma consequˆencia dos postulados ja apresentados O Corolario 55 alem de garantir tal existˆencia fornece um metodo de efetivamente desenharse retas paralelas O axioma que apresentamos a seguir diz essencialmente que duas retas paralelas a uma terceira e com um ponto em comum sao coincidentes Axioma V Por um ponto fora de uma reta m pode se tracar uma unica reta paralela a reta m Devese observar que este axioma prescreve a unicidade ja que a ex istˆencia de reta paralela a m passando por um ponto dado ja era garantido por 55 Como consequˆencia imediata deste axioma temse 61 Proposicao Se a reta m e paralela as retas n1 e n2 entao n1 e n2 sao paralelas ou coincidentes Prova Suponha que n1 e n2 nao coincidam e sao paralelas a reta m Se n1 e n2 nao fossem paralelas entre si elas teriam um ponto de intersecao digamos P Mas entao n1 e n2 seriam distintas paralelas a reta m passando por P Isto contradiz o axioma V Logo n1 e n2 sao paralelas 62 Corolario Se uma reta corta uma de duas paralelas entao corta tambem outra Prova Sejam n1 e n2 retas paralelas Se uma reta m cortasse n1 e nao cortasse n2 entao m e n2 seriam paralelas Assim n2 seria paralela a m e a n1 Como m e n1 nao sao paralelas entre si nem coincidentes temos uma contradicao com a proposicao anterior Logo m corta tambem n2 A nossa definicao de retas paralelas nao e tao simples de usar como aparenta Desde que retas sao infinitas em comprimento como poderemos provar que duas retas nao se interceptam Por exemplo as retas m e n da figura abaixo parecem ser paralelas Como decidir se elas nao se encontram em algum ponto do plano muito distante de A e B 58 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA O AXIOMA DAS PARALELAS m n B A 1 2 Figura 61 Uma maneira muito simples de responder a esta pergunta e atraves da comparacao dos ˆangulos ˆ1 e ˆ2 indicados na figura formados pelas duas paralelas com a reta que passa por A e B 63 Proposicao Sejam m n ˆ1 e ˆ2 como na figura 61 Se ˆ1 ˆ2 entao as retas m e n sao paralelas Prova De fato se m interceptasse n em algum ponto P como indicado na pagina seguinte formarseia um triˆangulo ABP Neste triˆangulo ˆ1 e ˆangulo externo e ˆ2 e um angulo interno nao adjacente ao ˆangulo ˆ1 ou vice versa Assim pelo teorema do ˆangulo externo terıamos ˆ1 ˆ2 o que contradiz nossa hipotese Portanto m e n nao se interceptam A B 2 1 P P A 1 2 B Figura 62 Quando duas retas sao cortadas por uma transversal formam se oito ˆangulos como indicados na figura abaixo Quatro deles sao correspondentes aos outros quatro a saber ˆ1 ˆ2 ˆ3 ˆ4 ˆ5 ˆ6 ˆ7 ˆ8 59 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA O AXIOMA DAS PARALELAS 1 5 3 7 6 2 4 8 Figura 63 Observe que ˆ1 ˆ7 ˆ2 ˆ8 ˆ3 ˆ5 e ˆ4 ˆ6 por serem opostos pelo vertice Como consequˆencia se ˆ1 ˆ2 entao todos os outros pares de ˆangulos corre spondentes serao iguais Alem disso teremos que ˆ3 ˆ2 180 Inversa mente se ˆ3 ˆ2 180 entao ˆ1 ˆ2 Estas observacoes permitem reescrever a proposicao 63 de duas maneiras distintas 63 Proposicao A Se ao cortarmos duas retas com uma transversal obtivermos ˆ3 ˆ2 180 entao as retas sao paralelas 63 Proposicao B Se ao cortarmos duas retas com uma transversal o ˆangulo correspondentes sao iguais entao as retas sao paralelas O axioma V permitenos mostrar que a inversa desta proposicao e tambem verdadeira 64 Proposicao Se duas retas paralelas sao cortadas por uma transver sal entao os ˆangulos correspondentes sao iguais Prova Sejam m e m duas retas paralelas e seja n uma reta que corta m e m nos pontos A e B respectivamente Considere uma reta m passando pelo ponto A e formando com a transversa quatro ˆangulos correspondentes formados pela reta m com a mesma transversal De acordo com a proposicao anterior m e m sao paralelas De acordo com a proposicao 61 m e m sao coincidentes Portanto m forma ˆangulos com a reta n iguais aos correspondentes formados por m com a reta n m A m m B n Figura 64 60 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA O AXIOMA DAS PARALELAS Vamos agora apresentar duas consequˆencias importantes do axioma V 65 Teorema A soma dos ˆangulos internos de um triˆangulo e 180 Prova Seja BC um triˆangulo Pelo vertice C trace uma reta paralela ao lado AB Numere os ˆangulos formados com vertice C como indicado na figura seguinte C 1 2 3 A B Figura 65 Temse ˆ1 ˆ2 ˆ3 180 Como AC e transversal as duas paralelas e uma consequˆencia direta da proposicao anterior que ˆ1 ˆA Como BC e tambem transversal as duas paralelas entao ˆ3 ˆB Portanto ˆA ˆB A ˆCB ˆ1 ˆ3 ˆ2 180 A proposicao seguinte relaciona uma serie de corolarios imediatos deste teorema 66 Corolario a A soma das medidas dos ˆangulos agudos de um triˆangulo retˆangulo e 90 b Cada angulo de um triˆangulo equilatero mede 60 c A medida de um ˆangulo externo de um triˆangulo e igual a soma das medidas dos ˆangulos internos que nao lhe sao adjacentes d A soma dos ˆangulos internos de um quadrilatero e 360 A prova deste corolario e deixada a cargo do leitor O teorema seguinte nos diz que retas paralelas sao equidistantes 67 Teorema Se m e n sao retas paralelas entao todos os pontos de m estao a mesma distˆancia da reta n Prova Sejam m e n retas paralelas Sobre m tome dois pontos A e A e deles baixe perpendiculares a reta n Sejam B e B respectivamente os pes 61 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA O AXIOMA DAS PARALELAS destas perpendiculares Devemos provar que AB AB Para isso trace AB como indicado na figura seguinte A A B B Figura 66 Observe que A ˆAB A ˆBB e que A ˆAB 90 Isto e uma decorrˆencia de que m e n sao paralelas e da aplicacao da proposicao 64 ao considerar se AB e AB como transversais Portanto os triˆangulos AAB e BBA sao triˆangulos retˆangulos com um ˆangulo agudo e hipotenusa comum iguais Seguese dos teorema 514 que eles sao congruentes A congruˆencia e a que leva A em B A em B e B em A Logo AB AB como querıamos demonstrar A inversa deste teorema e tambem verdadeira e sua demonstracao e proposta como exercıcio 6 deste capıtulo 68 Definicao Um paralelogramo e um quadrilatero cujos lados opos tos sao paralelos A B C D Figura 67 69 Proposicao Em um paralelogramo lados e ˆangulos opostos sao congruentes Prova Seja ABCD um paralelogramo Trace a diagonal AC Como AB e DC sao paralelos entao B ˆAC A ˆCD Como alem disso AC e comum 62 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA O AXIOMA DAS PARALELAS aos triˆangulos ABC e CDA entao estes triˆangulos sao congruentes Logo ˆB ˆD AB CD e BC DA E agora facil ver que ˆA ˆC 610 Proposicao As diagonais de um paralelogramo se interceptam em um ponto que e ponto medio das duas diagonais A prova destas proposicao e simples e e deixada a cargo do leitor As duas proposicoes seguintes dao condicoes suficientes para que um quadrilatero seja um paralelogramo 611 Proposicao Se os lados opostos de um quadrilatero sao congru entes entao o quadrilatero e um paralelogramo Prova Seja ABCD um quadrilatero em que AB CD e BC AD Trace a diagonal BD do quadrilatero Os triˆangulos ABD e CDB sao congruentes de acordo com o terceiro caso de congruˆencia de triˆangulos Logo C ˆBD B ˆDA e C ˆDB D ˆBA A primeira igualdade garante que BC e AD sao paralelos a segunda garante que CD e BA tambem sao paralelos Logo ABCD e um paralelogramo B C D A Figura 68 612 Proposicao Se dois lados opostos de um quadrilatero sao con gruentes e paralelos entao o quadrilatero e um paralelogramo A prova desta proposicao e deixada a cargo do leitor Outras proposicoes sobre paralelogramos sao propostas como exercıcios ou problemas 613 Teorema O segmento ligando os pontos medios de dois lados de um triˆangulo e paralelo ao terceiro lado e tˆem metade de seu comprimento Prova Seja ABC um triˆangulo Designe por D o ponto medio de AB e por E o ponto medio de AC Devemos provar que DE e paralelo a BC e que DE 1 2BC Para isto marque na semireta SED um ponto F tal 63 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA O AXIOMA DAS PARALELAS que FD DE Como AD DB ja que D e ponto medio de AB A ˆDE F ˆDB por serem opostos pelo vertice entao os triˆangulos ADE e FDB sao congruentes Como consequˆencia temse que DˆFB AˆED e FB AE Logo FB e EC sao paralelos e tˆem o mesmo comprimento Seguese entao da proposicao 612 que o quadrilatero FBCE e um paralelogramo Portanto FE e paralelo a BC e tˆem o mesmo comprimento Como D e ponto medio de FE entao DE 1 2BC como querıamos demonstrar A E C B F D Figura 69 614 Proposicao Suponha que trˆes retas paralelas a b e c cortam as retas m e n nos pontos A B e C e nos pontos A B e C respectivamente Se o ponto B encontrase entre A e C entao o ponto B tambem encontrase entre A e C Se AB BC entao tambem temse AB BC Prova Sejam a b e c retas par alelas e m e n retas que inter ceptam estas paralelas nos pon tos A B e C e A B e C como indicado na figura ao lado Se B esta entre A e C entao A e C estao em semiplanos distintos relativamente a reta b Observe que A e A estao em um mesmo semiplano determinado por b ja que a e b sao retas paralelas e A e A pertencem a reta a m n D A B E C C c b a B A Do mesmo modo C e C estao em um mesmo semiplano determinado por b Podemos portanto concluir que A e C estao em semiplanos distintos relativamente a reta b Logo b intercepta o segmento AC em um unico ponto Como B e o ponto de intercessao da reta n com a reta b e A e C pertencem a n concluımos que o ponto de intercessao de AC com b e exatamente o ponto B Logo B pertence ao segmento AC e logo B esta entre A e C Isto demonstra a primeira parte da proposicao 64 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA O AXIOMA DAS PARALELAS Para demonstrar a segunda parte trace pelo ponto B uma reta paralela a reta m Esta corta as retas a e c em pontos D e E respectivamente Afirmo que os triˆangulos BDA e BEC sao congruentes De fato como DBBA e BECB sao paralelogramos entao DB BE Observe que os ˆangulos D ˆBA e E ˆBC sao iguais por serem opostos pelo vertice e B ˆDA e B ˆEC sao tambem iguais por serem ˆangulos correspondentes determinados por uma transversal cortada pelas paralelas a e c Isto prova a nossa afirmacao Da congruˆencia dos triˆangulos BDA e BEC decorre imediatamente que AB BC Esta proposicao pode ser generalizada de maneira quase imediata para o caso em que duas transversais cortam um numero qualquer maior ou igual a trˆes de retas paralelas 615 Corolario Suponha que k retas paralelas a1 a2 ak cortam duas retas m e n nos pontos A1 A2 Ak e nos pontos A 1 A 2 A k re spectivamente Se A1A2 A2A3 Ak1Ak entao A 1A 2 A 2A 3 A k1A k A prova deste corolario e deixada a cargo do leitor O teorema que iremos enunciar a seguir constituise numa etapa essencial para o estabelecimento da teoria das figuras semelhantes que sera desenvolvida no proximo capıtulo Na sua demonstracao iremos utilizar de maneira essencial o fato de que o corpo dos numeros reais e completo 616 Teorema Se uma reta paralela a um dos lados de um triˆangulo corta os outros dois lados entao ela se divide na mesma razao Prova Seja ABC um triˆangulo Considere uma reta paralela ao lado BC que corta os lados AB e AC respectivamente nos pontos D e E como representado na figura 611 Deveremos provar que ADAB AEAC Para isto tome um pequeno segmento AP1 na semireta SAB de modo que as razoes ABAP 1 e ADAP 1 nao sejam numeros inteiros Considere mos na semireta SAB os pontos P2 P3 Pk tais que k AP 1 AP k para todo k 2 Existem entao dois numeros inteiros m e n tais que D esta entre Pm e Pm1 e B esta entre Pn e Pn1 65 Têmse portanto m AP1 AD m 1 AP1 e n AP1 AB n 1 AP1 É então simples concluir destas desigualdades que a mn1 ADAB m1n Tracemos pelos pontos P1 P2 Pn1 retas paralelas a BC Estas retas segundo 615 cortam a semireta SAC em pontos Q1 Q2 Qn1 os quais também satisfazem a k AQl AQk para todo k 2 k n 1 Além disso o ponto E encontrase entre Qm e Qm1 e o ponto C entre Qn e Qn1 O mesmo raciocínio feito acima pode ser repetido aqui obtendose como resultado a desigualdade b mn1 AEAC m1n As desigualdades a e b permitemnos concluir que c ADAB AEAC m1n mn1 Observe que como m n então m1n mn1 mn1nn1 2n2nn1 2n GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA O AXIOMA DAS PARALELAS ou seja as razoes ADAB e AEAC diferem por nao mais do que 2n Quanto menor for o segmento AP1 tanto maior sera o numero n e tanto menor sera o quociente 2n Como o lado esquerdo da desigualdade c nao depende de n so podemos concluir que os quocientes ADAB e AEAC sao iguais como querıamos demonstrar 67 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA O AXIOMA DAS PARALELAS EXERCICIOS 1 Na figura ao lado O e o ponto medio de AD e ˆB ˆC Se B O e C sao colineares conclua que os triˆangulos ABO e DOC sao congruentes A B C D O 2 Prove que a soma das medidas dos ˆangulos agudos de um triˆangulo retˆangulo e 90 3 Prove que cada ˆangulo de um triˆangulo equilatero mede 60 4 Prove que a medida do ˆangulo externo de um triˆangulo e igual a soma das medias dos ˆangulos interno a ele nao adjacentes 5 Um segmento ligando dois pontos de um circulo e passado por seu centro chamase diˆametro Na figura ao lado O e o centro do circulo AB e um diˆametro e C e outro ponto do circulo Mostre que ˆ2 2ˆ1 A B C O 2 1 6 Prove que se m e n sao retas equidistantes entao m e n sao paralelas ou coincidentes 7 Seja ABC um triˆangulo isosceles com base AB Sejam M e N os pontos medios dos lados CA e CB respetivamente Mostre que o reflexo do ponto C relativamente Mostre que o reflexo do ponto C relativamente a reta que passa por M e N e exatamente o ponto medio do segmento AB 8 Demonstrar a proposicao 610 9 Demonstre a proposicao 612 10 Um retˆangulo e um quadrilatero que tem todos os seus ˆangulos 68 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA O AXIOMA DAS PARALELAS retos Mostre que todo retˆangulo e um paralelogramo 11 Mostre que as diagonais de um retˆangulo sao congruentes 12 Um losango e um paralelogramo que tem todos os seus lados congru entes Mostre que as diagonais de um losango cortamse em ˆangulos reto e sao bissetrizes dos seus ˆangulos 13 Um quadrado e um retˆangulo que tambem e um losango Mostre que se as diagonais de um quadrilatero sao congruentes e se cortam em um ponto que e ponto medio de ambas entao o quadrilatero e um retˆangulo 14 Um trapezio e um quadrilatero em que dois lados opostos sao par alelos Os lados paralelos de um trapezio sao chamados bases e os outros dois sao denominados de laterais Um trapezio e dito isosceles se sua laterais sao congruentes Seja ABCD um trapezio em que AB e uma base Se ele e isosceles mostre que ˆA ˆB e ˆC ˆD 15 Mostre que as diagonais de um trapezio isosceles sao congruentes 69 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA O AXIOMA DAS PARALELAS PROBLEMAS 1 Mostre que os casos 1 e 3 do teorema 514 sao consequˆencias imediatas do segundo caso de congruˆencia de triˆangulos 2 Demonstre o caso 2 do teorema 514 utilizando a construcao sug erida pela figura abaixo A C B B A C D 3 Mostre que se dois ˆangulos e o lado oposto a um deles em um triˆangulo sao iguais as correspondentes partes de um outro triˆangulo entao os triˆangulos sao congruentes 4 Na figura ao lado A B e C sao pontos de um cırculo de centro O Mostre que B ˆOC 2B ˆAC B C A O 5 Mostre que se m e n sao duas retas que formam com uma transversal ˆangulos ˆ2 e ˆ3 como na figura ao lado tais que ˆ2 ˆ3 180 entao m e n se interceptam 2 3 6 Mostre que se os ˆangulos opostos de um quadrilatero sao congruentes entao o quadrilatero e um paralelogramo 7 Mostre que se as diagonais de um quadrilatero se interceptam em um ponto medio ambas entao o quadrilatero e um paralelogramo 8 Mostre que se as diagonais de um paralelogramo sao congruentes entao o paralelogramo e um retˆangulo 70 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA O AXIOMA DAS PARALELAS 9 Mostre que um paralelogramo cujas diagonais sao perpendiculares e um losango 10 Prove que o segmento ligando os pontos medios das laterias de um trapezio e paralelo as bases e que seu comprimento e a media aritmetica dos comprimentos das bases 11 Mostre que os pontos medios dos lados de um quadrilatero qualquer sao vertices de um paralelogramo 12 Use a proposicao 615 para estabelecer um metodo de divisao de um segmento qualquer em k partes iguais 13 Adote como axioma V em substituicao ao axioma V a validade da proposicao contida no problema 5 acima Prove agora o axioma V Explique por que o problema 5 e este mostram que os axiomas V e V sao equidistantes O axioma V e exatamente o quinto axioma de Euclides vide comentario a seguir 71 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA O AXIOMA DAS PARALELAS COMENTARIO Euclides baseou a construcao da sua geometria em 10 axiomas separados em dois grupos cinco foram classificados como nocoes comuns e os outros como postulados A distincao entre eles nao e de toda clara As nocoes comuns parecem ter sido consideradas como hipoteses aceitaveis a todas as ciˆencias ou a todas as pessoas inteligentes enquanto que os postulados eram considerados como hipoteses caracterısticas da geometria As cinco nocoes comuns eram 1 Coisas que sao iguais a uma mesma coisa sao tambem iguais entre si 2 Se iguais sao adicionados a iguais os resultados sao iguais 3 Se iguais sao subtraıdos de iguais os restos sao iguais 4 Coisas que coincidem com outras coisas sao iguais uma a outra 5 O todo e maior do que qualquer de suas partes Os postulados eram 1 Podese tracar uma reta por quaisquer dois pontos 2 Podese continuar uma reta infinitamente 3 Podese descrever uma circunferˆencia com qualquer centro e qualquer raio 4 Todos os ˆangulos retos sao iguais 5 Se uma reta corta duas outras retas formando ˆangulos colaterais internos cuja soma e menor do que dois retos entao as duas retas se con tinuadas infinitamente encontrase no lado no qual estao os ˆangulos cuja soma e menor do que dois retos Embora Euclides nao tenha dito especificamente fica claro atraves da forma como ele o utilizou que o primeiro postulado referese a uma unica reta ligando os dois pontos Tambem do contexto fica claro que para Euclides reta significava o que hoje chamamos de segmento Daı ele falar em continuar infinitamente uma reta Ele assumiu tacitamente que tal prolongamento pode ser feito de uma unica maneira em cada extremidade de uma reta de modo que duas retas distintas nao podem ter um segmento comum De fato Euclides utilizouse de muitas hipoteses que nao constavam sob nenhuma forma nem das nocoes comuns nem dos postulados Esta omissao e considerada pelos geˆometras como um dos mais graves defeitos dos Elementos Mesmo um exame apressado do livro I dos Elementos revela que ele compoese de trˆes partes distintas embora Euclides nao as tenha separado formalmente A primeira parte constituıda pelas primeiras 26 proposicoes 72 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA O AXIOMA DAS PARALELAS trata quase exclusivamente da teoria elementar dos triˆangulos Ela abrange todo o material que apresentamos ate o final do capıtulo 5 destas notas A segunda parte trata da teoria das paralelas Iniciase com a proposicao 27 e prossegue ate a proposicao 34 Ali sao apesentadas as proposicoes que abrangem o material apresentado no capıtulo 6 destas notas A partir da proposicao 34 ate o final proposicao 48 o livro I dos Elementos trata das relacoes entre areas de paralelogramos triˆangulos e quadrados e culmina com o famoso teorema de Pitagoras Proposicao 47 e de seu inverso Proposicao 48 E fato importante a ser observado que o quinto postulado nao foi utilizado por Euclides na prova de qualquer das 26 primeiras proposicoes do livro I as quais ainda sao validas caso o quinto postulado seja excluıdo ou trocado por um outro compatıvel com os restantes postulados e nocoes comuns Ha evidencia de que os postulados particularmente o quinto foram for mulados por Euclides mesmo Sabese que o quinto postulado tornouse de imediato alvo de crıticas pelos matematicos da epoca Este fato nao e de estranhar quando consideramos que primeiramente ele e bastante diferente inclusive em tamanho dos outros postulados parecendo mais uma proposicao do que um axioma depois tecnicamente ele e a inversa de uma das proposicoes demonstradas nos Elementos com base apenas nos quatro primeiros postulados a saber a proposicao 27 por ultimo ele nao possui em nenhum sentido aquela caracterıstica de autoevidˆencia que caracter izou inicialmente a escolha dos outros axiomas Alem disso a sua tardia utilizacao apos tantas proposicoes serem provadas sem seu auxilio levan tou suspeitas de que ele seria simplesmente uma proposicao demonstravel a partir dos outros axiomas a qual Euclides nao conseguiria demonstrar Como consequˆencia dessa suspeita inumeraveis tentativas foram feitas para provalo ou eliminalo atraves de uma redefinicao do conceito de retas par alelas Entre os nomes famosos dos que tentaram demonstrar o quinto pos tulado podemos listar Proclus485410 aC Nasiradin 12011274 Jonh Wellis 16161703 Gerolamo Sacheri 16671733 Jonh H Lambert 1728 1777 Adrien M Legendre 17521833 Louis Bertrand 17311812 e Carl F Gauss 17771855 Estes deixaram nas suas obras referˆencias relevantes sobre o assunto E no entanto certo que todos aqueles interessados se riamente em matematica ate o seculo dezessete tentaram eventualmente demonstrar o quinto postulado Foi somente na primeira metade do seculo dezenove que os matematicos chegaram a conclusao de que o quinto postulado nao era demonstravel a par tir dos outros quatro Isto ocorreu com a descoberta das chamadas geome trias naoEuclidianas em que o quinto postulado de Euclides e substituıdo por uma outra afirmacao que lhe e contraditoria Esta descoberta esta asso ciada com o nome de dois matematicos que a obtiveram independentemente Johann Bolyai 18021860 e Nikolai I Lobachewsky 17931856 Os tra 73 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA O AXIOMA DAS PARALELAS balhos destes dois matematicos foi elevado as suas devidas proporcoes por Friderich B Riemann 18261866 que deu incio a um segundo perıodo no desenvolvimento das geometria Euclidianas e naoEuclidianas um perıodo caracterizado pelas investigacoes do ponto de vista da geometria diferencial em contrate com os metodos sinteticos previamente utilizados Associados a este segundo perıodo estao os nomes de Lie Beltrami Cayley Klein Clifford e Hilbert Lie foi responsavel pela introducao dos grupos de transformacao no es tudo da geometria Beltrami tˆem o credito de ter produzido a primeira prova da consistˆencia das geometrias nao euclidianas Embora Bolyai e Lobachewsky nao tenham encontrado nenhuma contradicao em sua geome tria ao longo de todas as suas investigacoes ainda permanecia a possibili dade de que alguma inconsistˆencia pudesse aparecer no desenvolvimento de novos trabalhos de pesquisa Beltrami mostrou como a geometria de Bolyai e Lobachewsky podia ser representada sobre uma superfıcie no espaco Eu clidiano a trˆes dimensoes de forma que os seus postulados fossem obtidos a partir dos axiomas da geometria Euclidiana Como consequˆencia qual quer inconsistˆencia que pudesse existir nas geometrias naoEuclidianas seria tambem uma inconsistˆencia da geometria Euclidiana Os trabalhos de Caley Klein e Clifford produziram uma linda classi ficacao destas geometrias do ponto de vista projetivometrico Daı em di ante a preocupacao com a fundamentacao da geometria em bases solidas dominou a pesquisa matematica sobre o assunto culminado com a recon strucao da geometria Euclidiana por Hilbert o que finalmente e definitiva mente encerrou a longa batalha com o quinto postulado de Euclides 74 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA SEMELHANC A DE TRIˆANGULOS CAPITULO 7 SEMELHANC A DE TRIˆANGULOS Diremos que dois triˆangulos sao semelhantes se for possıvel estabelecer uma correspondˆencia biunıvoca entre seus vertices de modo que ˆangulos correspondentes sejam iguais e lados correspondentes sejam proporcionais C A B E G F Figura 71 Com isto queremos dizer que se ABC e EFG sao dois triˆangulos semel hantes e se A E B F C G e a correspondˆencia que estabelece a semelhanca entao valem simultaneamente as seguintes igualdades ˆA ˆE ˆB ˆF ˆC ˆG e AB EF BC FG CA GE O quociente comum entre as medidas dos lados correspondentes e chamado de razao de proporcionalidade entre os dois triˆangulos Observe que dois triˆangulos congruentes sao semelhantes com razao de proporcionalidade um inversamente dois triˆangulos semelhantes com razao de proporcionalidade um sao congruentes 75 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA SEMELHANC A DE TRIˆANGULOS O teorema seguinte sera referido como segundo caso de semelhanca de triˆangulos a fim de que os casos de semelhanca e os casos de congruˆencia se correspondam de uma forma natural 71 Teorema Dado dois triˆangulos ABC e EFG se ˆA ˆE e ˆB ˆF entao os triˆangulos sao semelhantes Prova Como a soma dos ˆangulos de um triˆangulo e 180 entao a igualdade dos ˆangulos ˆA e ˆE e dos ˆangulos ˆB e ˆF acarreta na igualdade dos ˆangulos ˆC e ˆG Resta provar que os lados sao proporcionas Para isto tome na semireta SEF o ponto H de modo que EH AB Pelo ponto H trace uma reta paralela a FG A C B E J G F H Figura 72 Esta corta a semi reta SEG num ponto J formando um triˆangulo EHJ que e congruente ao triˆangulo ABC ja que ˆA ˆE AB EH e ˆB ˆF E ˆHJ Esta ultima igualdade devese ao paralelismo de JH e GF Seguese agora do teorema 616 que EHEF EJEG Como EH AB e EJ AC entao da igualdade acima obtemse ABEF ACEG De maneira analoga demonstrase que ACEG CBGF Fica demonstrado o teorema O teorema 71 permite construir com facilidade exemplos dos tran gulhos semelhantes fazendose uso da regua e transferidor Por exemplo para desenhar um triˆangulo semelhante ao triˆangulo ABC da figura 73 iniciase tracando um segmento EF qualquer 76 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA SEMELHANC A DE TRIˆANGULOS A B C G F E Figura 73 a partir de suas extremidades constroemse ˆangulos ˆE e ˆF iguais aos ˆangulos ˆA e ˆB respectivamente em um mesmo semiplano determinado pela reta EF prolongandose os lados destes ˆangulos determinase um ponto G De acordo com a proposicao anterior os triˆangulos ABC e EFG sao semelhantes O seguinte teorema sera referido como primeiro caso de semelhanca de triˆangulos 72 Teorema Se em dois triˆangulos ABC e EFG temse ˆA ˆE e ABEF ACEG entao os triˆangulos sao semelhantes Prova Construa um triˆangulo HIJ que tenha HI EF ˆH ˆA e ˆI ˆB A C B E G J F H I Figura 74 De acordo com o teorema 71 os triˆangulos ABC e HIJ sao semel 77 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA SEMELHANC A DE TRIˆANGULOS hantes Por conseguinte ABHI ACHJ Como HI EF a hipotese ABEF ACEG e a igualdade acima implica que HJ EG Como por construcao HI EF e ˆH ˆA ˆE podemos concluir pelo primeiro caso de congruˆencia de triˆangulos que os triˆangulos EFG e HIJ sao congruentes Como ja sabıamos que ABC e HIJ eram semelhantes podemos concluir facilmente que ABC e EFG sao semelhantes O terceiro caso de semelhanca de triˆangulos e o seguinte 73 Teorema Se em dois triˆangulos ABC e EFG tˆem se AB EF BC FG CA GE entao os dois triˆangulos sao semelhantes Prova Construa um triˆangulo HIJ que tenha ˆH ˆA HI EF e HJ EG Seguese entao da hipotese que ABHI ACHJ Portanto de acordo com o teorema 72 os triˆangulos ABC e HIJ sao semelhantes A B E F H I J G C Figura 75 78 Decorre daí que além da igualdade acima também ocorre ABHI BCIJ Seguese daí e da hipótese do teorema que IJ FG Como já tínhamos que HI EF e HJ EG por construção então pelo terceiro caso de congruência de triângulos HIJ e EFG são congruentes Como HIJ e ABC são semelhantes concluise que ABC e EFG são também semelhantes Isto conclui a prova do teorema Seja ABC um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice A Trace a altura AD do vértice A ao lado BC No que se segue vamos fazer uso da seguinte notação a BC b AC c AB h AD m BD e n DC Figura 76 Como AD é perpendicular a BC então os triângulos ADB e ADC são retângulos Como B Ĉ 90 e B BÂD 90 então BÂD C Como também DÂC Ĉ 90 então DÂC B Os triângulos ADB e CDA são portanto ambos semelhantes ao triângulo ABC e são também semelhantes entre sim Destas semelhanças podemos deduzir várias relações entre as medidas a b c h m e n acima mencionadas Por exemplo a semelhanças entre ADB e CDA é a que leva A em C B em A e D em D Como consequência desta semelhança tem se GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA SEMELHANC A DE TRIˆANGULOS c b m h h n Da ultima igualdade deduzse que h2 mn Assim provamos a seguinte proposicao 74 Proposicao Em todo triˆangulo retˆangulo a altura do vertice do ˆangulo reto e media proporcional entre as projecoes dos catetos sobre a hipotenusa O seguinte e um dos mais importantes e mais uteis teoremas da geometria Euclidiana plana E conhecido como teorema de Pitagoras em homogˆenea a um grande geˆometra da Grecia antiga 75 Teorema Pitagoras Em todo triˆangulo retˆangulo o quadrado do comprimento da hipotenusa e igual a soma dos quadrados dos compri mentos dos catetos Em termos da notacao estabelecida acima o teorema de Pitagoras afirma que a2 b2 c2 Prova A prova do teorema de Pitagoras e uma consequˆencia da semel hanca dos triˆangulos ADB CDA e ABC Da semelhanca de ADB e ABC A C B B e D A concluise que m c c a Da semelhanca dos triˆangulos CDA e ABC concluise que n b b a Logo am c2 e an b2 Portanto amn c2 b2 Como mn a entao a2 b2 c2 como querıamos demonstrar A seguinte proposicao e a inversa do teorema de Pitagoras 80 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA SEMELHANC A DE TRIˆANGULOS 76 Proposicao Um triˆangulo possui lados medindo a b e c Se a2 b2 c2 entao o triˆangulo e retˆangulo e sua hipotenusa e o lado que mede a Prova Construa um retˆangulo cujos catetos mecam exatamente b e c Neste novo triˆangulo de acordo com o teorema de Pitagoras a hipotenusa mede b2 c2 a Portanto este novo triˆangulo que e retˆangulo tem lados medindo a b e c Pelo terceiro caso de congruˆencia ele e portanto congruente ao triˆangulo original Logo o triˆangulo original e retˆangulo e sua hipotenusa mede a 81 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA SEMELHANC A DE TRIˆANGULOS EXERCICIOS 1 Quanto mede a hipotenusa de um triˆangulo retˆangulo em que os catetos medem um centımetro cada 2 Quanto mede a altura de um triˆangulo equilatero cujos lados medem um centımetro cada 3 No triˆangulo ABC AB 5 BC 12 CA 13 Qual a medida do ˆangulo ˆB 4 No triˆangulo DEF DE EF 6 e FD 6 2 Quanto medem os ˆangulos do triˆangulo 5 Uma caixa mede 12 centımetros de comprimento 4 centımetros de largura e 3 centımetros de altura Quanto medem as diagonais de cada uma das faces da caixa 6 Mostre que dois triˆangulos equilateros sao sempre semelhantes 7 Mostre que sao semelhantes dois triˆangulos isosceles que tˆem iguais os ˆangulos opostos a base 8 Na figura ao lado D e ponto medio de AB e E e ponto medio de AC Mostre que os triˆangulos ADE e ABC sao semel hantes A D B C E 9 Na figura ao lado temse que BDA e ABC sao semelhantes sendo a semel hanca a que leva B em A D em B e A em C Conclua que o triˆangulo BDA e isosceles A B C D 10 Mostre que todo triˆangulo retˆangulo de lados p2 q2 2pq e p2 q2 e um triˆangulo retˆangulo Aqui p e q sao quaisquer numeros inteiros positivos com p q 11 Todos os triˆangulos indicados na figura abaixo sao retˆangulos De 82 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA SEMELHANC A DE TRIˆANGULOS termine a b c d e e F O A B C D E 1 1 1 1 1 1 a b c d e 83 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA SEMELHANC A DE TRIˆANGULOS PROBLEMAS 1 Prove o segundo caso de semelhanca de triˆangulos supondo conhecido o teorema 72 e sem fazer uso do teorema 616 2 Prove que a relacao e semelhante a e transitiva isto e prove que dois triˆangulos sao semelhantes a um terceiro entao sao semelhantes entre si 3 Prove que alturas correspondentes em triˆangulos semelhantes estao na mesma razao que os lados correspondentes 4 Prove que a bissetriz de um angulo de um triˆangulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos outros dois lados Isto e se ABC e o triˆangulo e BD e a bissetriz do angulo ˆB sendo D um ponto de lado AC entao ADDC ABBC Ajuda trace pelo ponto A uma reta par alela ao lado BD Esta intercepta a semireta SCB num ponto E formando triˆangulos semelhantes 5 Enuncie e prove a afirmacao inversa do exercıcio anterior 6 Prove que se um triˆangulo retˆangulo tem ˆangulos agudos de 30 e 60 entao seu menor cateto mede metade do comprimento da hipotenusa ajuda Faca uso do que foi obtido no exercıcio 2 7 Prove que se em um triˆangulo retˆangulo o menor cateto mede metade do comprimento da hipotenusa entao seus ˆangulos agudos sao de 30 e 60 8 Prove que se dois triˆangulos tem lados correspondentes paralelos entao eles sao semelhantes Prove tambem que as retas ligando os vertices correspondentes sao concorrentes ou paralelas Suponha que os vertices correspondentes sao disjuntos 84 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA SEMELHANC A DE TRIˆANGULOS COMENTARIO Pitagoras que morreu em 490 aC foi conhecido por seus contem porˆaneos como fundador de um movimento de cunho religioso que veio a ser conhecido como Pitagorismo Os pitagoricos interessavamse pela ciˆencia de um modo geral e particularmente pela Filosofia e pela Matematica No que concerne a Matematica a maior contribuicao dos pitagoricos foi o desen volvimento da teoria dos numeros e a descoberta dos numeros irracionais Foram eles que provaram pela primeira vez que o numero 2 e irracional A prova deste fato apresentada no 10 livro de Euclides e a seguinte Suponha que 2 e um numero racional Entao 2 pode ser representado na forma 2 mn onde m e n sao dois numeros inteiros primos entre si Logo 2n2 m2 Como consequˆencia m2 e um numero par Mas entao m e par e podemos escrever m como m 2p Portanto 2n2 m2 4p2 Mas entao n2 2p2 Seguese que n2 e um numero par e como consequˆencia n e um numero par Mas se n e par e m e par entao os dois nao sao primos entre si Por outro lado no inicio havıamos escolhidos m e n primos entre si Esta contradicao provem da hipotese de que 2 e racional Portanto 2 nao e racional Esta descoberta foi sem duvida a grande contribuicao do Pitagorismo a Geometria Grega Ela influenciou de forma definitiva o desenvolvimento que teve a Matematica Grecia a partir daı A lenda sobre a origem do teorema de Pitagoras diz que ele foi de scoberto por Pitagoras o qual sacrificou 100 bois aos Deuses como prova de sua gratidao por ter conseguido esta descoberta No entanto a verdade historica e que o teorema de Pitagoras ja era conhecido em casos particulares no Egito 3000 aC e em sua total gen eralidade pelos Sumerios e Babilˆonios 2000 a 1000 aC E e bem possıvel que sua demonstracao tenha sido obtido na Grecia em epoca anterior a de Pitagoras Ha um grande numero de demonstracao deste teorema Nesse capıtulo aprestamos uma delas e algumas outras serao apresentadas no capıtulo relativo a areas sob a forma de exercıcios e problemas 85