Capítulo 7: Áreas de Regiões Planas

Capítulo 7 Áreas Neste capítulo continuando com a axiomática até agora desenvolvida apresentamos postulados envolvendo áreas de regiões planas Chegamos à área de uma região triangular e a partir dela às áreas de regiões poligonais que podem ser vistas como uniões finitas de regiões triangulares duas a duas disjuntas a não ser por um número finito de pontos ou por um segmento de reta Numa segunda etapa trabalhamos com comprimento de arco e área de um setor circular onde novamente utilizamos áreas de regiões triangulares mas só que desta vez a partir de uniões aproximadas de tais regiões Para isso precisamos de resultados sobre limites de sequências de números reais ou também propriedades de subconjuntos do conjunto dos números reais alguns dos quais apresentamos com demonstrações no apêndice deste texto Áreas de demais regiões planas poderão ser estudadas em cursos mais avançados não fazendo parte pois do conteúdo deste trabalho 71 Definição Seja AB um arco de circunferência de centro O e raio r Chamamos setor circular ou simplesmente setor à reunião de todos os segmentos OP onde P é um ponto qualquer de AB O arco AB é chamado arco de setor ou arco fronteira e r é o seu raio Vamos considerar uma classe M de regiões tal que nela estejam contidas pelo menos todas as regiões poligonais e todos os setores circulares e círculos Postulado 14 A cada região de M corresponde um único número real positivo 72 Definição A área de uma região é o número real que lhe corresponde pelo Postulado 14 Denotamos a área de uma região R por área R Postulado 16 Se uma região R é a união R1 R2 com R1 e R2 sendo regiões que se intersectam em um número finito de pontos ou segmentos então a área de R é igual à soma das áreas de R1 e R2 Eliane Q F Rezende Maria Lúcia B Queiroz Áreas de Regiões Poligonais Uma região poligonal convexa que como definimos é a reunião de um polígono com seu interior pode ser vista como a união de um número finito de regiões triangulares tais que se duas quaisquer delas se intersectam a interseção é um segmento de reta ou um ponto Como exemplo temos a figura a Vamos estudar também áreas de figuras poligonais que podem ser vistas como união de duas ou mais regiões poligonais convexas intersectandose de modo análogo Como exemplo temos a figura b Dessa maneira e levando em conta o Postulado 16 devemos dar ênfase ao estudo de áreas de regiões triangulares O próximo postulado nos garante que duas regiões triangulares de mesma forma e tamanho têm a mesma área Postulado 17 Se dois triângulos são congruentes então suas regiões triangulares têm a mesma área Postulado 18 Se uma região quadrada tem lado de comprimento a então sua área é a² Daqui em diante usaremos a expressão área de um polígono ao invés de área de uma região poligonal Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas A partir dele construímos um quadrado Q de lado b h o qual está formado pela união dos quadrados de áreas A1 e A2 respectivamente e retângulos de área A como na figura acima Pelo Postulado 16 temos área Q 2A A1 A2 1 e pelo Postulado 18 temos área Q b h² b² 2bh h² De 1 e 2 e novamente usando o Postulado 18 obtemos A bh 74 Teorema A área de um triângulo retângulo é a metade do produto de seus catetos Demonstração Consideremos o triângulo QRP retângulo em R com catetos a e b Denotemos sua área por A Seja R a interseção da paralela a PR que passa por Q e da paralela à QR que passa por P O quadrilátero QRPR assim formado é um retângulo Pelo caso LLL os triângulos QRP e QRP são congruentes tendo portanto a mesma área A Pelo Postulado 17 temos área QRP R 2A e pelo Teorema 73 temos área QRP R ab Logo A ab2 A partir deste teorema podemos obter a fórmula da área de qualquer triângulo Antes precisamos do seguinte lema 75 Lema Num triângulo o produto de cada um de seus lados pela altura relativa a esse lado é constante Demonstração Consideremos o triângulo ABC e as alturas AHa e BHb relativas aos lados BC e AC respectivamente Suponhamos que o ortocentro do triângulo seja um ponto interior a ele Eliane Q F Rezende e Maria Lúcia B Queiroz Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas h PH a altura correspondente O comprimento c da circunferência é definido como c sup P¹ A razão constante c2r é representada pela letra grega π A fórmula para o comprimento de arco ℓ é dada por ℓ θ180 πr Analogamente se mathcalL é um setor circular de raio r cujo arco fronteira tem comprimento ell então existe uma sequência de regiões poligonais regulares R1 R2 ldots todas contidas em mathcalL tal que limn o infty extárea Rn frac12 r ell 719 Teorema Seja C um círculo de raio r e seja epsilon um número positivo qualquer Então existe uma região poligonal S contendo C tal que extárea S pi r2 epsilon 720 Teorema Fórmulas para Área do Círculo e Área do Setor Circular A área de um círculo C de raio r é dada por extárea C pi r2 A unidade radiano para medida de ângulos deve ter sido adotada com o objetivo da simplificação de fórmulas matemáticas e físicas como derivadas e integrais de funções trigonométricas e as expressões para velocidades e acelerações em movimento curvilíneo Ao que parece a necessidade dessa nova medida angular foi considerada independentemente pelo matemático Thomas Muir e pelo físico James T Thomson Posteriormente discutiram sua necessidade e adotaram para ela o nome de radian radiano como uma combinação de radial angle O termo radiano apareceu impresso pela primeira vez em um exame escrito aplicado por Thomson em 1873 embora os professores Oliver Wait e Jones da Cornell University na primeira reprodução de seu manuscrito Notes on Trigonometry 1880 e em sua segunda edição impressa ainda não usavam o termo radiano mas se referiam a essa unidade como πmedida circular ou medida arcoal Texto retirado com modificações no artigo de Edward S Kennedy que consta em 15 Exercícios 71 Na figura ao lado CQ QD Demonstre que área ΔABC área ΔABD 72 Mostre que as diagonais de um paralelogramo dividemno em quatro triângulos com áreas iguais 73 Se AB é um segmento fixo e P é um ponto não pertencente ao segmento que outras posições P pode ter em que a área do triângulo ABP se mantenha constante 74 Demonstre o teorema de Pitágoras baseandose na figura ao lado isto é mostre que a² b² c² expressando a área do quadrado maior de dois modos diferentes como o produto dos lados e como a soma das áreas dos quatro triângulos e do quadrado menor 75 A medida do lado de um losango é 13 e a de uma de suas diagonais 24 Calcule sua área Sugestão Mostre inicialmente que os triângulos retângulos ABC e DAB são semelhantes 713 Determine a área do triângulo isósceles da figura 714 Considere o triângulo equilátero e o quadrado como na figura ambos com lado medindo a Calcule a área da parte hachurada 715 Determine a razão entre as duas áreas determinadas em uma região hexagonal regular ABCDEF de lado a por meio de uma reta que une o vértice A ao ponto P situado a 13 a do vértice E no lado ED 716 Demonstre a Fórmula de Heron para a área de um triângulo A área A de um triângulo de lados a b e c é dada por A ppapbpc onde p abc2 Sugestão Use o Teorema de Pitágoras para obter uma das alturas do triângulo em termos de a b e c 717 Se dois triângulos ABC e ADE possuem o ângulo A comum então a razão entre suas áreas é área ΔADE área ΔABC ADAB AEAC Em uma circunferência está inscrito um triângulo de maior área possível e nesse triângulo está inscrita uma circunferência Determine a razão entre as áreas da menor para a maior região circular referida Um segmento circular é a região limitada por uma corda e um arco da circunferência Veja a figura Determine a área do segmento circular quando mAPB 120 e r 6