Teorema de Tales e Menelaus: Demonstrações e Aplicações

Parte 1 Tudo começa com um caso particular o resultado seguinte que serve como lema para o resultado principal Teorema de Tales em um triângulo Considere ABC e os pontos D AB e E AC tais que DE BC Neste caso AD BD AE CE Demostração Após construir CD e BE observe que BDE e CDE têm a mesma área isto é BDE CDE pois compartilham DE e têm a mesma altura distância de BC a DE Analogamente BCD BCE A B C E D Então ACD BCD ADh1 2 BDh1 2 AD BD e ABE BCE AEh2 2 ECh2 2 AE CE Agora note que ABE ABC BCE e ACD ABC BCD então ABE ACD ABE BCE ACD BCD e portanto AD BD AE CE Também provase que AD BD DE BC e AD AB AE AC Teorema de Tales das paralelas Em duas retas concorrentes considere pontos A B C D E F tais que AD BE CF Então AB BC DE EF Demostração Comece por traçar a reta r paralela a DE seja G o ponto comum de r com BE H o ponto comum de r e CF A T Béhague Prof Doutor IMEUERJ 2 A B C E D F G H r Evidente Teorema de Tales em um triângulo que AB BC AG GH e segue o resultado Uma das aplicações mais úteis e interessantes é a divisão de um segmento AB não graduado de comprimento irracional em n partes iguais Exemplo para n 3 Trace um segmento convergente em A e com o compasso marque três arcos de círculo de raios 3 6 e 9 cm por exemplo Nas interseções destes arcos trace retas paralelas uma delas contendo B Elas interceptam AB e estabelecem a divisão em 3 partes de mesmo comprimento B B B A A A A T Béhague Prof Doutor IMEUERJ 3 Parte 2 Considere ABC e pontos X Y e Z dois deles em duas arestas diferentes e o terceiro na extensão da terceira aresta Ficam definidas as distâncias a1 BY a2 CY b1 CX b2 AX c1 AB e c2 BZ Teorema de Menelaus Nas condições acima X Y e Z são colineares se e somente se a1 a2 b1 b2 c1 c2 c2 1 Demostração Com os pontos indicados fica definida a seguinte construção A B C a a b b c c1 1 2 2 1 2 X Y Z Basta traçar a reta r por C paralela à reta transversal XY Então r corta AB em um ponto D com BD c2 x A B C a a b b c c1 1 2 2 1 2 X Y Z x D Pelo Teorema de Tales das paralelas b2 c1 c2 b1 x a1 a2 c2 x e segue o resultado Exercício 1 Apresente um desenho com ABC X Y Z e todas as distâncias onde os valores de a1 c1 e c2 estão na tabela na última página A T Béhague Prof Doutor IMEUERJ 4 Parte 3 Em um triângulo escolha dois vértices e ligue cada um a um ponto interior da respectiva aresta oposta Qual condição determina o ponto interior na terceira aresta de modo que os três segmentos de reta sejam concorrentes Ligando cada vértice de ABC a um ponto da aresta oposta ficam determinadas as cevianas AX BY e CZ com X BC Y AC e Z AB bem como as distâncias a1 BX a2 CX b1 CY b2 AY c1 AZ e c2 BZ Teorema de Ceva Nas condições acima as cevianas são concorrentes se e somente se a1 a2 b1 b2 c1 c2 1 Demostração A construção geométrica indicado no enunciado é a seguinte X Y Z A B C a a b b c c1 1 2 2 1 2 D Pelo Teorema de Menelaus aplicado ao par ACZ BY temse DZ CD b1 b2 c1 c2 c2 1 E o mesmo teorema no par BCZ AX leva a DZ CD a2 a1 c1 c2 c1 1 Daí segue o resultado Exercício 2 Apresente um desenho com ABC as cevianas e todas as distâncias onde os valores de a1 e c1 estão na tabela na última página A T Béhague Prof Doutor IMEUERJ 5 Parte 4 Desenhe AB horizontal medindo 10 Considere conhecidos os valores de a1 c1 e d Exercício 3 Prepare uma apresentação detalhada da construção geométrica acima Exercício 4 Faça todos os cálculos detalhados para mostrar que a2 10 c1 d2 c110 c1 a1 b1 a2 c2 a1 c1 a2 c2 c1 d2 c110 c1 b2 a1 c1 a1 c1 a2 c2 c1 d2 c110 c1 Exercício 5 Apresente um desenho com ABC e as distâncias a2 b1 b2 c2 calculadas através das expressões do exercício anterior onde os valores de a1 c1 e d estão na tabela na última página