Geometria Plana: Diagonais de Quadriláteros e Semelhança de Triângulos

Geometria Plana Segunda Provinha Gabarito Exercício 1 Mostre que as diagonais de um quadrilátero cortamse em seus pontos médios se e so mente se o quadrilátero for um paralelogramo Resolução Considere o quadrilátero ABCD os vértices são nomeados a partir do inferior esquerdo e no sentido antihorário Vamos mostrar que AB CD e AD BC O resultado segue pelo Teorema 417 Seja M o ponto médio comum das diagonais AC e BD Temos que AMB CMD pelo caso LAL i AM CM ii A M B C M D pois são opostos pelo vértice iii MB MD Temos que CMB AMD pelo caso LAL i CM AM ii C M B A M D pois são opostos pelo vértice iii MB MD Logo AB CD e AD CB Seja M o ponto de interseção das diagonais AC e BD 2 Temos que AMD CMB pelo caso ALA i D AM B CM pois são alternos internos AD BC e AC é uma transversal ii AD CB iii A DM C BM pois são alternos internos Portanto BM DM e AM CM Logo M é o ponto médio das diagonais Exercício 2 Sejam P e Q pontos não pertencentes a uma reta r ambos num mesmo lado de r Suponha que as distâncias de P e Q à r sejam iguais Mostre que PQ é paralela à reta r Resolução Seja P o pé da perpendicular baixada de P a r Seja Q o pé da perpendicular baixada de Q a r Pelo Teorema 41 as retas PP e QQ são paralelas pois são ambas perpendiculares a r e distintas Primeira solução Observe que P PQ QQP pelo caso LAL i P P QQ ii P P Q Q QP pois são ângulos alternos internos as retas paralelas PP e QQ são cortadas pela transversal PQ formando ângulos alternos internos iii PQ QP Portanto 90 mQ P P mP QQ Assim temos duas retas PQ e r ambas perpendiculaes à reta QQ Segue do Teorema 41 que estas retas são paralelas Segunda solução Como PP e QQ são paralelos e congruentes segue do Teorema 417b que o quadrilátero PQQP é um paralelogramo Logo PQ é paralelo a PQ e portanto as retas são para lelas Exercício 3 Mostre que o triângulo cujos vértices são os pontos médios dos lados de um triângulo dado ésemelhante ao primeiro triângulo Mostre que os quatro triângulos assim obtidos são dois a dois semelhantes Resolução Considere o triângulo ABC M o ponto médio de AB N o ponto médio de BC P o ponto médio de AC Pelo Teorema 428 as retas AB e NP são paralelas as retas BC e M P são paralelas e as retas AC e M N são paralelas Logo C AB C P N A CB A P M A CB M N B C AB N M B Portanto segue do caso AA e usando o fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 temos que APM MNB PCN NMP ABC Exercício 4 Dados os triângulos retângulos tendo a altura correspondente à hipotenusa e os compri mentos dos lados conforme aparecem na figura determine os comprimentos não conhecidos Resolução 1 x 25 y 35 z 6 3 2 x 16 y 45 z 85 3 x 5 y 25 z 35