Teorema da Interseção Reta-Circunferência e Arcos de Circunferências

Capítulo 6 O Teorema da Interseção RetaCircunferência Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas 66 Teorema Teorema da Interseção RetaCircunferência Se uma reta intersecta o interior de uma circunferência então intersecta a circunferência em dois pontos Por distância de uma corda ao centro de uma circunferência entendemos a distância entre o centro e a reta suporte dessa corda 67 Teorema Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes duas cordas são congruentes se e somente se equidistam dos centros das respectivas circunferências Arcos de Circunferências 68 Definição Um ângulo central de uma circunferência é um ângulo cujo vértice é o centro da circunferência 610 Definição A medida em graus mÂXB de um arco AXB é definida como 1 Se AXB é um arco menor então mAXB é a medida do ângulo central correspondente 2 Se AXB é uma semicircunferência então mAXB 180 3 Se AYB é um arco maior e AXB é o arco menor correspondente então mAYB 360 mAXB Nesta figura a medida de AXB é aproximadamente 60 Portanto a medida de AYB é aproximadamente 300 Observamos que o transferidor nos dá uma boa ideia da medida do arco em graus Consulte sobre medida de ângulos no Capítulo 1 611 Teorema Se AB e BC são arcos da mesma circunferência que têm em comum somente o ponto B e se sua união é um arco AC então mAC mAB mBC Observamos que no caso em que AC é um arco menor o teorema é uma consequência do Postulado de Adição de Ângulos As demonstrações para os demais casos seguem imediatamente deste postulado e das definições anteriores 612 Definições Um ângulo cujo vértice é um ponto de uma circunferência e cujos lados cortam a circunferência em outros pontos distintos é um ângulo inscrito nessa circunferência Quando esses dois pontos são extremidades de um diâmetro dizemos que o ângulo é inscrito na semicircunferência Seja BAC um ângulo inscrito em uma circunferência com B e C pontos pertencentes a ela Esses dois pontos determinam dois arcos na circunferência O arco que não contém o ponto A é chamado arco correspondente ao ângulo inscrito dado Dizemos também que o ângulo subentende o arco 613 Teorema A medida de um ângulo inscrito numa circunferência é a metade da medida do seu arco correspondente Demonstração Consideremos o ângulo A BAC inscrito na circunferência com B e C sendo pontos da circunferência Vamos mostrar que mA 12 mBC Caso 1 Suponhamos que um lado do ângulo A contenha um diâmetro AC da circunferência de centro O Então pelo Corolário 411 mA mOBA mBOC O triângulo OAB é isósceles e portanto temos mA mOBA Assim temos 2mA mBOC e mA 12 mBOC 12 mBC Caso 2 Suponhamos que B e C estejam em lados distintos do diâmetro AD Então mA mBAD mDAC e pelo caso 1 temos que mA 12 mBD 12 mDC 12 mBC 619 Teorema Os dois segmentos tangentes a uma circunferência desde um ponto exterior dado são congruentes e formam ângulos congruentes com a reta que une o ponto exterior e o centro da circunferência Pelo Corolário 63 temos que ORP e OSP são triângulos retângulos com os ângulos retos em R e S respectivamente Pelo Teorema da Hipotenusa e do Cateto temos ΔOPR ΔOPS Portanto PR PS e OPR OPS AA os triângulos PST e PTR são semelhantes e portanto PSPT PTPR de onde obtemos PR PS PT² e o produto PR PS PT² é constante e é chamado potência do ponto P em relação à circunferência Portanto r e s interseccionamse num ponto O Pelo Teorema 211 temos que OB OC pois O pertence a r e OC OA pois O pertence a s Portanto temos OA OB Novamente pelo Teorema 211 temos que O pertence às três mediatrizes e OA OB OC 624 Corolário a Existe uma uma única circunferência que passa por três pontos não colineares b Todo triângulo é inscrítivel 625 Definição O ponto de encontro das mediatrizes que é o centro da circunferência circunscrita a um triângulo é chamado circuncentro desse triângulo 626 Corolário Duas circunferências distintas podem interseccionarse em no máximo dois pontos A demonstração deste corolário segue do corolário anterior e do Teorema Fundamental das Circunferências No teorema seguinte estamos usando a palavra altura no sentido de ser a reta suporte da altura do triângulo 627 Teorema As três alturas de um triângulo são concorrentes Demonstração Consideremos o triângulo ABC e a reta suporte AHa da altura correspondente ao lado a do triângulo triângulo ABC são as mediatrizes dos outros dois lados do triângulo DEF Como as mediatrizes são concorrentes temos que também as três alturas são concorrentes 628 Definição O ponto de encontro das três alturas de um triângulo é chamado ortocentro do triângulo Dois resultados interessantes que nos serão úteis são os seguintes 629 Lema A bissetriz de um ângulo exceto sua origem é o conjunto dos pontos do interior do ângulo equidistantes dos lados do ângulo A demonstração deste lema segue imediatamente do Caso LAA de congruência de triângulos e do Teorema da Hipotenusa e do Cateto 630 Teorema As bissetrizes dos ângulos de um triângulo são concorrentes em um ponto equidistante dos três lados do triângulo Demonstração Consideremos o triângulo ABC Seja I a interseção das bissetrizes AD e BE Pelo lema anterior o ponto I é equidista de AB e AC por estar na bissetriz de A e equidista de BA e BC por estar na bissetriz de B Portanto I equidista de AC e BC Novamente pelo lema anterior temos que I pertence à bissetriz de C Assim temos que as três bissetrizes têm o ponto I em comum e I equidista de AB AC e BC 631 Corolário a Existe uma única circunferência que tangencia os três lados de um triângulo b Todo triângulo é circunscrítivel 632 Definição O ponto de encontro das bissetrizes que é também o centro da circunferência inscrita a um triângulo é chamado incentro do triângulo 633 Definição O baricentro o circuncentro o ortocentro e o incentro são chamados pontos notáveis de um triângulo resultam segmento DbDc paralelo ao segmento BC e DbDc frac12BC Por transitividade obtemos MbMc DbDc e o segmento MbMc paralelo ao segmento DbDc e portanto McDbDcMb é um paralelogramo Consideremos o triângulo ABHA Nele temos o segmento McDb paralelo ao segmento AHa e portanto o segmento McDb perpendicular ao segmento DbDc Ora um paralelogramo que possuí um ângulo reto é um retângulo Com isso concluímos que os segmentos McDc e MbDb sendo diagonais de um retângulo são congruentes e intersecionamse em seu ponto médio M Da mesma maneira mostramos que McMaDcDa e MaMbDaDb são retângulos Logo suas respectivas diagonais McDc e MaDa e MaDa e MbDb são congruentes e intersecionamse em M Com isso mostramos que seis dos nove pontos estão na circunferência de diâmetro McDc por exemplo Falta mostrar que Ha Hb e Hc também pertencem a essa circunferência Mas isso decorre imediatamente do Corolário 64 pelo fato de que DbHbMb DcHcMc e DaHaMa são triângulos retângulos cujas hipotenusas são respectivamente os segmentos DbMb DcMc e DaMa todos diâmetros da circunferência determinada 635 Teorema O circuncentro o baricentro e o ortocentro de um triângulo são colineares Além disso o baricentro divide o segmento cujas extremidades são o circuncentro e o ortocentro na razão 12 Demonstração Consideremos no triângulo ABC os pontos Ma Mb e Mc as alturas AHa e BHb o ortocentro H e o baricentro G Consideremos o triângulo MaMbMc formado pelos pontos médios dos lados do triângulo ABC É fácil ver que o ortocentro O do triângulo MaMbMc coincide com o circuncentro do triângulo ABC Além disso como consequência do Teorema 55 são semelhantes os triângulos MaMbMc e ABC com razão de semelhança 12 Dessa maneira qualquer par de segmentos correspondentes nesses dois triângulos estão na mesma razão Como o quadrilátero AMaMaMb é um paralelogramo suas diagonais AMa e MbMc bisecionamse no ponto Q Portanto a mediana MaQ do triângulo MaMbMc está contida na mediana AMa do triângulo ABC o análogo ocorrendo com as outras duas medianas Logo os dois triângulos possuem o mesmo baricentro G Temos também AH 2Mg pela semelhança dos triângulos MaMbMc e ABC AG 2Mg pelo Teorema 424 e HAG cong GMaO pois as retas AH e OMa são ambas perpendiculares ao lado BC Portanto riangle AGH sim riangle MaGO com razão de semelhança 12 e dá AGH cong MaGO Isso mostra que O G e H são colineares e OG frac12GH Observação A reta que contém esses três pontos notáveis do triângulo é chamada Reta de Euler 636 Lema Existência de Triângulo Se a b e c são números positivos sendo que cada um desses números é menor que a soma dos outros dois então existe um triângulo corpos lados tem comprimentos a b e c respectivamente Demonstração Suponhamos sem perda de generalidade que a leq b leq c Tomemos um segmento AB sendo AB c Queremos encontrar um triângulo ABC com BC a e AC b Começamos supondo que existe um triângulo que satisfaz essas condições e então determinamos onde o ponto C deve estar Uma vez encontrada a localização do ponto será fácil verificar que satisfaz as condições desejadas Suponhamos então que exista um triângulo ABC cujos lados satisfaçam as condições desejadas Consideremos o segmento CD perpendicular à reta AB com D pertencente a AB O ponto D está entre A e B pois AD b leq c e BD a leq c Sejam y CD e x AD como na figura Pelo Teorema de Pitágoras aplicado aos triângulos CDA e BDC temos respectivamente 1 x2 y2 b2 e 2 y2 x2 a2 c x2 Portanto temos b2 x2 a2 c x2 ou seja 3 x fracb2 c2 a22c Assim usando o fato de que x e y satisfazem 1 mostramos que de 2 decorre 3 Reciprocalmente mostramos que nas mesmas condições se x e y satisfazem 3 então x e y também satisfazem a equação 2 De fato se as equações 1 e 3 são válidas então de 1 obtemos Eliane Q F Rezende e Maria Lúcia B Queiroz 100 y² b² x² Somando c x² a ambos os membros obtemos y² c x² b² c² 2cx Por 3 obtemos y² c x² a² e assim 2 é válida Agora que sabemos qual triângulo devemos construir vamos verificar que de fato ele satisfaz as condições desejadas Temos os três números positivos a b e c cada um destes menor que a soma dos outros dois e a b c Seja x b² c² a² 2c Então x 0 pois b² a² e c² 0 Queremos tomar y b² x² mas antes devemos mostrar que x b De fato b x b b² c² a² a² c b² 2c Como 0 c b a temos c b² a² e portanto b x 0 ou seja x b Agora estamos prontos para construir o triângulo desejado Seja AB um segmento de comprimento c Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas 101 Portanto AC b BC a A demonstração do teorema das duas circunferências fica agora fácil 637 Teorema Teorema das Duas Circunferências Sejam dadas duas circunferências de raios a e b respectivamente onde c é a distância entre seus centros Se a b c a b¹ então as duas circunferências intersectamse em dois pontos um em cada lado da reta que contém os centros Demonstração Seja C1 a circunferência de centro A e raio a e seja C2 a circunferência de centro B e raio b Seja AB c Pelo lema existe um triângulo XYZ cujos lados têm comprimentos a b e c Em cada lado de AB consideremos uma semireta de origem A tal que os ângulos formados com AB sejam congruentes a X Consideremos os pontos P e Q um em cada semireta tais que AP AQ a A circunferência C1 passa pelos pontos P e Q Pelo postulado LAL obtemos ΔAPB ΔXYZ ΔAQB Portanto PB b QB e assim a circunferência C2 passa pelos pontos P e Q Pelo Corolário 626 estes são os únicos pontos pertencentes às duas circunferências Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas 103 66 Na figura ao lado mAB mBF a Mostre que ΔAHK ΔBHF b Que outro triângulo é semelhante ao ΔBHF 67 Considere duas circunferências tangentes internamente em A e tal que a menor passa pelo centro da maior Mostre que qualquer corda da circunferência maior com uma das extremidades em A é bissetionada pela circunferência menor 68 Mostre que um quadrilátero é inscrítivel se e somente se possui um par de ângulos opostos suplementares 69 Considere o ângulo BAC com A e B pontos de uma circunferência e o lado AC tangente a ela Considere o arco correspondente a esse ângulo como o conjunto formado pelos pontos A e B e pelos pontos da circunferência que estão no interior do ângulo Mostre que a medida de BAC é a metade da medida do arco correspondente 610 Dado um quadrilátero inscrítivel ABCD com diagonais que se intersectam em P mostre que a ΔAPD ΔBPC b PA PC PB PD 611 Um ângulo cujos lados são secantes a uma circunferência e cujo vértice é um ponto exterior a ela é chamado um ângulo excêntrico exterior à circunferência Se o vértice é um ponto do interior da circunferência então cada um dos ângulos formados é excêntrico interior à circunferência Exercícios 61 Dada uma circunferência como podemos determinar o seu centro 62 Na circunferência ao lado KN 40 e MN 24 Determine a distância do centro da circunferência a MN 63 Dadas duas circunferências concêntricas isto é com mesmo centro demonstre que todas as cordas da circunferência maior que são tangentes à menor são bissecionadas pelos respectivos pontos de tangência 64 Mostre que a reta que contém os centros de duas circunferências tangentes contém o ponto de contato isto é o ponto comum às duas circunferências 65 Mostre que os pontos médios de todas as cordas congruentes de uma circunferência qualquer estão em uma circunferência concêntrica com a original e com raio igual à distância de uma corda ao centro mostre também que as cordas são todas tangentes a esta circunferência interior Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas 66 Na figura ao lado mAB mBF a Mostre que AHK BHF b Que outro triângulo é semelhante ao BHF 67 Considere duas circunferências tangentes internamente em A tal que a menor passa pelo centro da maior Mostre que qualquer corda da circunferência maior com uma das extremidades em A é bissecionada pela circunferência menor 68 Mostre que um quadrilátero é inscrito se e somente se possui um par de ângulos opostos suplementares 69 Considere o ângulo BAC com A e B pontos de uma circunferência e o lado AC tangente a ela Considere o arco correspondente a esse ângulo como o conjunto formado pelos pontos A e B e pelos pontos da circunferência que estão no interior do ângulo Mostre que a medida de BAC é a metade da medida do arco correspondente 610 Dado um quadrilátero inscrito ABCD com diagonais que se intersectam em P mostre que a APD BPC b PA PC PB PD 611 Um ângulo cujos lados são secantes a uma circunferência e cujo vértice é um ponto exterior a ela é chamado um ângulo excêntrico exterior à circunferência Se o vértice é um ponto do interior da circunferência então cada um dos ângulos formados é excêntrico interior à circunferência Nota Histórica O Teorema da Circunferência de Nove Pontos descoberto por Charles J Brianchon e Jean Victor Poncelet foi publicado em um artigo em 1822 Foi provado também pelo alemão Karl Feuerbach em 1822 que tal circunferência tangencia a circunferência inscrita e também as três circunferências tangentes externas do triângulo Com isso a circunferência de nove pontos ficou conhecida na Alemanha como circunferência de Feuerbach Muitas vezes ela é chamada círculo de Euler pois foi atribuída embora erroneamente a Leonhard Euler Na verdade Euler provou que o circuncentro o baricentro e o ortocentro de um triângulo pertencem a uma mesma reta e esta sim é chamada reta de Euler Além disso pode ser provado que o centro da circunferência de nove pontos pertence à reta de Euler e é o ponto médio do segmento que une o circuncentro e o ortocentro do triângulo Para uma referência veja 5