Hbd40 - Álgebra Linear - Aol 4

Um problema matemático envolve o uso de diversas matrizes na forma diagonalizada. Dentre essas matrizes, uma delas é ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNID 4 - QUEST 12_v1.PNG Sabemos que a matriz diagonal, semelhante a \( A \), é Conhecemos ainda as matrizes \( B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \) ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNID 4 - QUEST 12.2_v1.PNG A partir destes valores, precisamos agora utilizar a equação \( P = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}, \; P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 7 \end{bmatrix} \) ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNID 4 - QUEST 12.3_v1.PNG para calcularmos quanto vale \( A^n \). Considerando os conceitos de aplicações de diagonalização de vetores, faça todos os cálculos para determinar quanto vale \( A^8 \) e assinale a alternativa correta: ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNID 4 - QUEST 12.4_v1.PNG \( A^8 \) A. \( \begin{bmatrix} 68 & 76 \\ 57 & 49 \end{bmatrix} \) B. \( \begin{bmatrix} 80,625 & 19,375 \\ 77,500 & 22,500 \end{bmatrix} \) C. \( \begin{bmatrix} 125 & -8 \\ \frac{59}{2} & 8 \end{bmatrix} \) D. \( \begin{bmatrix} 2.056 & 2.040 \\ 2.040 & 2.056 \end{bmatrix} \) E. \( \begin{bmatrix} 382 & -381 \\ 254 & -253 \end{bmatrix} \) Resposta correta A. E B. A C. C D. B E. D Um problema matemático envolve o uso de diversas matrizes na forma diagonalizada. Dentre essas matrizes, uma delas é \( A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \) . Precisamos determinar se a matriz é diagonalizável e, caso seja, qual é a matriz diagonal que é uma matriz semelhante da A, e bem como quais são as matrizes P e \( P^{-1} \) que satisfaçam a expressão B = \( P^{-1} . A . P \). Considerando os conceitos de diagonalização de vetores, faça todos os cálculos necessários para responder a todas as questões citadas no enunciado e assinale a alternativa correta: ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNID 4 - QUEST 10_v1.PNG A. \( B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) B. \( P(\lambda) = (3 - \lambda) . (2 - \lambda) . (-1 - \lambda) + 3(2 - \lambda) \) C. \( P = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) D. A matriz A não é diagonalizável. E. \( P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) ALGBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNID 4 - QUEST 03.2_V1.PNG A. \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -5 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} B. \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} C. \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -5 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} D. \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} E. \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A. C B. A Resposta correta C. E D. D E. B Pergunta 3 Um problema matemático envolve o uso de diversas matrizes na forma diagonalizada. Dentre essas matrizes, uma delas é \mathbf{A} = \begin{bmatrix} -3 & 12 \\ -2 & 7 \end{bmatrix} Sabemos que a matriz diagonal, semelhante a \mathbf{A}, é \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} Conhecemos ainda as matrizes \mathbf{P} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} e \mathbf{P}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} A partir desses valores, precisamos agora utilizar a equação \mathbf{A}^* = \mathbf{P} \mathbf{B}^n \mathbf{P}^{-1} para calcularmos quanto vale \mathbf{A}^* Considerando os conceitos de aplicações de diagonalização de vetores, faça todos os cálculos necessários para determinar quanto vale \mathbf{A}^* e assinale a alternativa correta: A \mathbf{A}^* = \begin{bmatrix} 68 & 76 \\ 57 & 49 \end{bmatrix} B \mathbf{A}^* = \begin{bmatrix} 2.056 & 2.040 \\ 2.040 & 2.056 \end{bmatrix} C \mathbf{A}^* = \begin{bmatrix} 3 & 1.458 \\ 1 & 729 \end{bmatrix} D \mathbf{A}^* = \begin{bmatrix} -1.169 & 544 \\ -1.088 & -463 \end{bmatrix} E \mathbf{A}^* = \begin{bmatrix} -1.455 & 4.368 \\ -728 & 2.185 \end{bmatrix} Resposta correta A C B B C E D D E A pergunta 6 Um problema matemático envolve o uso de diversas matrizes na forma diagonalizada. Dentre essas matrizes uma delas é A = [−4 −3 −2 −1] Sabemos que a matriz diagonal, semelhante a A é b = [2 0 0 1] Conhecemos ainda as matrizes P = [3 1 2 1] e P^(−1) = [1 −1 −1 3 ] A partir desses valores, precisamos agora utilizar a equação A^7 = P*b^7* P^(−1) para calcularmos quanto vale A^7. Considerando os conceitos de aplicações de diagonalização de vetores, faça todos os cálculos necessários para determinar quanto vale A^7 e assinale a alternativa correta: A A^7 = [382 −381 254 −253] Resposta correta B A^7 = [68 76 57 49] C A^7 = [384 1 256 1] D A^7 = [2.056 2.040 2.040 2.056] E A^7 = [1.169 544 −1.088 −463] Pergunta 7 Um problema matemático envolve o uso de diversas matrizes na forma diagonalizada. Dentre essas matrizes, uma delas é A = [7 2 −4 1] Sabemos que a matriz diagonal, semelhante a A é b = [5 0 0 3] Conhecemos ainda as matrizes P = [1 1 −2 2 1 2] e P^(−1) = [1 1 1 −1 −1 −1] A partir destes valores, precisamos agora utilizar a equação A^4 = P*b^4* P^(−1) para calcularmos quanto vale A^4. Considerando os conceitos de aplicações de diagonalização de vetores, faça todos os cálculos necessários para determinar quanto vale A^4 e assinale a alternativa correta: A A^4 = [1.169 544 −1.088 −463] Resposta correta B A^4 = [−1.455 4.368 −2.728 2.185] C A^4 = [68 76 57 49] D A^4 = [1.169 544 −1.088 −464] Incorreta A^4 = E A^4 = [−625 −81 −625 −162] Pergunta 8 Considere a matriz QUESTAO 20 - UND IV_v1.PNG 0 1 0 -1 A = 1 0 1 3 0 0 2 0 0 0 0 2 , que apresenta o polinômio característico QUESTAO 20.1 - UND IV_v1.PNG P(A) = (1 - λ)^2 * (2 - λ)^2 Sabemos que uma das formas de determinar se uma matriz é diagonalizável ou não é através da análise do polinômio minimal. Considerando os conceitos de polinômio minimal e diagonalização de operadores, defina qual o polinômio minimal da matriz A. QUESTAO 20.2 - UND IV_v1.PNG A. O polinômio minimal é p(A) = (1 - λ) * (2 - λ) e, portanto, a matriz é diagonalizável. B. O polinômio minimal é p(A) = (1 - λ)^2 * (2 - λ)^2 e, portanto, a matriz é diagonalizável. C. O polinômio minimal é p(A) = (1 - λ)^2 * (2 - λ) e, portanto, a matriz não é diagonalizável. D. O polinômio minimal é p(A) = (1 - λ)^2 * (2 - λ)^2 e, portanto, a matriz não é diagonalizável. E. O polinômio minimal é p(A) = λ. A E B C C A D D Resposta correta Pergunta 9 Um problema matemático envolve o uso de diversas matrizes na forma diagonalizada. Dentre essas matrizes, uma delas é Â = [3 -1 1 5]Precisamos determinar se a matriz é diagonalizável e, caso seja, qual é a matriz diagonal que é uma matriz semelhante de A bem como quais são as matrizes P e P^-1 que satisfazem a expressão B = P^-1 * A * P. Considerando os conceitos de diagonalização de vetores, faça todos os cálculos necessários para responder a todas as questões citadas no enunciado e assinale a alternativa correta: ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UND IV - QUEST 07_v1.PNG A. A matriz A não é diagonalizável. B. P = [1 0 0 1] C. B = [6 0 0 2] D. P^-1 = [1 1 1 -1] E. P(A) = λ^2 - 4λ + 16. A B C Incorrecta: C D E A Pergunta 10 Um estudante de um curso de matemática se deparou com a matriz \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} com os autovalores 2, 3 e 4. No entanto, o aluno percebeu que nem todos os três valores encontrados poderiam ser autovalores do operador, pois não é possível uma matriz 2 x 2 apresentar mais do que 2 autovalores. Considerando os conceitos de autovetores e autovalores, faça um teste com os três autovalores e assinale a alternativa correta. A) O valor 4 é o único autovalor do operador. B) Os valores 3 e 4 são autovalores do operador. C) Incorreta: Os valores 2 e 4 são autovalores do operador. D) O valor 3 é o único autovalor do operador. E) Os valores 2 e 3 são autovalores do operador.