Inferência Estatística: Estimativas por Ponto e Intervalos de Confiança

PROF DEYSE GEBERT DEMAT UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II UNIDADE 3 INFERÊNCIA ESTIMATIVAS POR PONTO E INTERVALOS CONFIANÇA ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 1 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA O objetivo da Inferência Estatística é conhecer uma população por meio de informações coletadas em amostras ou seja é possível a partir de dados amostrais fazer afirmações sobre a população da qual foi retirada essa amostra Geralmente as populações são caracterizadas por medidas numéricas descritivas denominadas parâmetros Esses parâmetros podem ser estimados em amostras e a partir deles se fazer inferência sobre os parâmetros populacionais desconhecidos Existe uma notação específica para diferenciar quando um parâmetro é estimado a partir de uma amostra ou de uma população A tabela 1 abaixo apresenta os símbolos referentes aos parâmetros amostrais e populacionais Tabela 1 Notação de parâmetros amostrais e populacionais Símbolo parâmetro amostral Símbolo parâmetro populacional Média X Variância S2 2 Desvio padrão S Proporção pˆ p Os métodos para realizar inferências a respeito dos parâmetros como média desvio padrão proporção etc pertencem a duas categorias Testes de hipóteses Estimação por ponto e intervalos de confiança 1 ESTIMATIVA POR PONTO Obtida uma amostra muitas vezes desejase usála para calcular estimativas pontuais dos parâmetros populacionais Por exemplo o valor da média amostral X é uma estimativa por ponto da média populacional O raciocínio é o mesmo para os demais parâmetros como variância desvio padrão e proporção Exemplo Em uma cidade com 200 mil eleitores foi selecionada uma amostra de 1000 eleitores que revelou um proporção de 40 de intenção de votos para o candidato João ou seja pˆ 04 é uma estimativa pontual da verdadeira proporção populacional p de intenção de votos no candidato João A partir de uma amostra obtémse uma estimativa do verdadeiro parâmetro populacional desconhecido A estimação pontual não permite julgar qual a possível magnitude do erro que se está cometendo Daí surge a ideia de construir intervalos de confiança que são baseados na distribuição amostral do estimador pontual assunto este já estudado nas unidades anteriores ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 2 2 ESTIMATIVA POR INTERVALO DE CONFIANÇA IC Normalmente no processo de investigação de um parâmetro necessitamos ir além da sua estimativa pontual ˆ O fato de não se conhecer o valor de pode causar uma insegurança e levar a um questionamento Quão próximo estamos do valor real de quando obtemos sua estimativa A resposta depende da precisão ou variância do estimador e também do valor real do parâmetro Uma maneira de contornar esse problema consiste em se encontrar um intervalo em torno de ˆ que tenha alta probabilidade de englobar Ver Figura 1 Figura 1 Esquematização de um intervalo de confiança para P do intervalo a b englobar O intervalo a b na prática será construído com a amostra ou seja a partir dos dados e da distribuição amostral associada a ˆ Logo os valores a e b serão aleatórios variando de uma amostra para outra Sendo assim podemos definir uma estimativa por intervalo para um parâmetro populacional desconhecido como sendo um intervalo de valores limitado por um valor mínimo e um valor máximo obtidos a partir de elementos amostrais de forma que permita afirmar com dado nível de confiança que este intervalo abrange o verdadeiro valor do parâmetro Exemplos O intervalo 160 m 164 m abrange a verdadeira altura média dos moradores do município de Lages SC com nível de confiança de 95 Com 90 de confiança o intervalo 8 10 abrange a verdadeira proporção de analfabetos da cidade Y O intervalo de 37 mm 39 mm abrange o verdadeiro valor do desvio padrão populacional com 975 de confiança Para construir um intervalo de confiança para um parâmetro temos que obter os valores de a e b tal que Pa b 1 A probabilidade 1 é chamada de nível de confiança do intervalo e de nível de significância É importante atentar para o nível de confiança adotado na construção de um IC Se o nível de confiança é de 90 1 o risco de erro nessa inferência será de 10 Isto significa que se construíssemos 10 intervalos de confiança a partir de 10 amostras de mesmo tamanho apenas um intervalo não abrangeriam o verdadeiro valor do parâmetro populacional estudado A Figura 2 abaixo apresenta de forma gráfica a construção desses dez intervalos de confiança ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 3 Figura 2 Representação gráfica de dez intervalos de confiança construídos com o mesmo tamanho de amostra e a partir de mesma população Cada linha horizontal desta figura representa um intervalo de confiança para construído a partir de amostras de mesmo tamanho e com um nível de confiança de 90 A linha vertical representa o valor do parâmetro populacional Notase que o parâmetro é fixo e que a localização do intervalo varia de amostra para amostra ou seja o intervalo é aleatório Por isso referese ao nível de confiança de um IC como sendo a probabilidade de o intervalo abranger o verdadeiro valor de que neste exemplo é de 90 Na prática somente um intervalo de confiança é construído mas a interpretação é a mesma A determinação do nível de confiança de um IC é feita pelo próprio pesquisador Em geral utilizase 90 95 ou 99 de confiança o que corresponde a dizer que a probabilidade de erro seria 10 5 ou 1 respectivamente Essa probabilidade de erro chamaremos de nível de significância ver Figura 3 Figura 3 Apresentação gráfica do nível de confiança nível de significância e limites de um IC Os limites de um IC podem variar de acordo com o nível de significância adotado quanto maior o mais estreito será o IC em contra partida maior a chance de erro A única maneira de construirmos um IC mais exato e com menor chance de erro é aumentando o tamanho da amostra ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 4 A seguir serão apresentados os métodos para a construção de intervalos de confiança de alguns parâmetros 3 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA UMA MÉDIA 31 Intervalo de Confiança Para uma Média Quando a Variância é Conhecida Seja uma amostra aleatória de tamanho n que foi retirada de uma população com distribuição normal de variância 2 conhecida então a distribuição amostral para o estimador da média é n N X 2 Assim a variável normal padronizada de X será 10 N n X Z Observando a figura 4 que apresenta a distribuição amostral para o estimador da média vemos que a probabilidade de um valor da variável normal padrão estar entre os percentis Z2 e Z2 é de 1 Figura 4 Distribuição amostral para uma média com variância conhecida Sendo assim temos que 1 2 2 Z Z Z P Substituindo Z por n X ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 5 1 2 2 Z n X Z P 1 2 2 n Z X n Z P 1 2 2 n Z X n Z X P 1 2 2 n Z X n Z P X n Z X IC 2 1 Observando o intervalo de confiança construído podese dizer que o erro da estimação pontual é n Z 2 para um determinado erro X n Z X IC 2 1 Exemplo 1 Em uma amostra de tamanho 100 o tempo médio de processamento em milissegundos ms num sistema fortemente acoplado foi de 40 ms Construir o intervalo de confiança para a média sabendose que 10 ms Use 1 Solução As informações fornecidas são n 100 X 40 10 O valor tabelado é encontrado na tabela da distribuição normal padrão Tabela 3 dos anexos Como usaremos alfa de 1 logo 2 0005 Devemos procurar na tabela o valor de Z correspondente a área de 0495 O valor mais próximo a este é 0495060 que se encontra na linha 25 e coluna 8 Sendo assim o valor de Z para 2 é 258 Logo o erro da estimação pontual é 58 2 100 10 58 2 1 erro Com isso temos o IC ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 6 2 58 40 99 IC 4258 3745 99 IC Sendo assim podese dizer que o intervalo 3745 4258 tem 99 de confiança de abranger o verdadeiro valor do tempo médio de processamento do sistema Também podese dizer que com 99 de confiança o erro associado a essa estimação é de 258 ms para mais e para menos Exemplo 2 Ainda utilizando as informações do exemplo 1 mas agora suponha que o pesquisador quer saber se o sistema que está sendo testado pode ser considerado com tempo médio de processamento igual a 36 ms Solução Como o valor 36 está fora do intervalo construído ele não pode ser considerado como um valor possível para o tempo médio de processamento Sendo assim com 99 de confiança o tempo médio de processamento do sistema não pode ser considerado como igual a 36 ms 32 Intervalo de Confiança Para uma Média Quando a Variância Não é Conhecida Seja uma amostra aleatória de tamanho n que foi retirada de uma população com média e variância 2 desconhecida No caso de a variância ser desconhecida devemos utilizar sua estimativa que é calculada na amostra S² porém nesse caso a distribuição associada à média amostral X não será mais a normal Substituindo por seu estimador S temos que a estatística n S X segue uma distribuição t de Student com n1 graus de liberdade ou seja 1 n t n S X t Observando a figura 5 que apresenta a distribuição amostral para o estimador da média quando a variância é estimada na amostra vemos que a probabilidade de um valor da variável com distribuição t de Student estar entre os percentis t2 e t2 é de 1 Figura 5 Distribuição amostral para uma média com variância desconhecida ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 7 Sendo assim temos que 1 2 2 t t t P Substituindo t por n S X 1 2 2 t n S X t P 1 2 2 n S t X n S t P 1 2 2 n S t X n S t X P 1 2 2 n S t X n S t P X n S t X IC 2 1 Observando o intervalo de confiança construído podese dizer que o erro da estimação pontual é n S t 2 para um determinado erro X n S t X IC 2 1 OBS Em situações em que a amostra é suficientemente grande n 30 mesmo utilizando o estimador S do desvio padrão podemos utilizar a distribuição normal na construção do IC pois nesse caso a distribuição t de Student se aproxima da distribuição normal Exemplo 3 Desejase avaliar a dureza esperada do aço produzido sob um novo processo de têmpera Uma amostra de dez corpos de prova do aço produziu os resultados de dureza em HRc apresentados abaixo Construir um IC para a dureza média com 95 de confiança ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 8 364 357 372 365 349 352 363 358 366 369 Solução Calculando as medidas na amostra temos média igual a 3615 e desvio padrão igual a 0 7352 1 1 2 2 n X x S n i i O valor t2 é encontrado na tabela da distribuição t de Student Tabela 4 dos anexos na coluna t0975 e linha 9 sendo ele igual a 22622 Logo 0 5259 15 36 10 0 7352 2 2622 3615 95 IC 3666 3562 95 IC Sendo assim podese dizer que o intervalo 3562 3666 tem 95 de confiança de abranger o verdadeiro valor da dureza média do aço produzido sob um novo processo de têmpera Também podese dizer que com 95 de confiança o erro associado a essa estimação é de 05259 HRc para mais e para menos Exemplo 4 Ainda considerando o exemplo 3 anterior agora suponha que de acordo com o setor de qualidade a dureza ideal para o aço é 359 HRc É possível afirmar que o aço produzido está dentro do padrão de qualidade Solução Como o IC abrange o valor 359 então podese dizer que com 95 de confiança o aço produzido está dentro do padrão de qualidade esperado 4 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS DE POPULAÇÕES INDEPENDENTES Sejam duas populações A e B cujas médias são A e B e variâncias 2 A e 2 B respectivamente Um estimador não viciado para A B é dado pela estatística X A X B e sua distribuição amostral é obtida conforme três diferentes situações Populações independentes com variâncias conhecidas Populações independentes com variâncias desconhecidas porém iguais Populações independentes com variâncias desconhecidas porém diferentes ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 9 41 Intervalo de Confiança Para a Diferença Entre as Médias de Duas Populações Independentes Com Variâncias Conhecidas Seja uma amostra aleatória de tamanho nA retirada da população A e uma amostra aleatória de tamanho nB retirada da população B independentes Considerando que as variâncias 2 A e 2 B sejam ambas conhecidas temos que 10 N n X A A A A e 10 N n X B B B B Da teoria da probabilidade temos que B A B A X E X e B B A A B A n n X X Var 2 2 Logo para o caso em que as variâncias 2 A e 2 B são conhecidas a distribuição amostral associada à estatística X A X B é dada por 0 1 2 2 N n n X X B B A A B A B A Observe que a variável padronizada tem expressão similar aos casos anteriores ou seja a diferença entre a variável aleatória e a sua média dividida pelo seu desvio padrão Podemos assim construir um intervalo de confiança para A B a partir de 1 2 2 Z Z Z P Substituindo Z por B B A A B A B A n n X X 2 2 1 2 2 2 2 Z n n X X Z P B B A A B A B A ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 10 1 2 2 2 2 2 2 B B A A B A B A B B A A n n Z X X n n Z P 1 2 2 2 2 2 2 B B A A B A B A B B A A B A n n Z X X n n Z X X P Ou seja um IC com 1 de confiança para A B considerando amostras independentes e variâncias conhecidas é dado por B B A A B A B A n n Z X X IC 2 2 2 1 Observando o intervalo de confiança construído podese dizer que o erro da estimação para A B é B B A A n n Z 2 2 2 para mais ou para menos com 1 de confiança Exemplo 5 Duas marcas de monitores para computador A e B foram submetidas a um teste de durabilidade com aferição na unidade dia Sabese que o desvio padrão da durabilidade desses monitores é de 250 e 300 respectivamente Com os dados abaixo determine o IC 95 e verifique se as duas marcas têm a mesma durabilidade Monitor A Monitor B 3412 2360 3246 3090 3183 2658 3014 3297 3531 3225 3534 2754 2738 2999 3071 2788 3546 2634 3488 3232 3395 3392 3414 3505 3429 3520 3254 3322 3683 3158 2907 3382 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 11 3410 3029 Solução Informações obtidas na amostra X A 3309118 X B 3079118 nA 17 nB 17 O valor para Z2 é encontrado na tabela da distribuição normal padrão Tabela 3 dos anexos A área a ser procurada na tabela é 0475 o valor mais próximo a isso está na linha 19 e coluna 6 logo Z2 196 17 300 17 196 250 3079118 3309118 2 2 95 B A IC 230 1856378 95 B A IC 41563 4436 95 B A IC Sendo assim podese dizer que o intervalo 4436 41563 tem 95 de confiança de abranger o verdadeiro valor da diferença entre as durabilidades médias dos monitores Como o intervalo não abrange o valor zero assim com 95 de confiança não podemos afirmar que a durabilidade média dos dois monitores é a mesma 42 Intervalo de Confiança Para a Diferença Entre as Médias de Duas Populações Independentes Com Variâncias Desconhecidas Porém Iguais Sejam duas populações A e B cujas médias são A e B e variâncias desconhecidas porém iguais ou seja 2 A 2 B 2 Neste caso tanto 2 A S como 2 B S estimam a variância comum logo podemos utilizar as informações de ambas as amostras para estimar a variância populacional A variância combinada 2 C S nada mais é do que uma variância ponderada pelos graus de liberdade das duas amostras 2 1 1 2 2 2 B A B B A A C n n S n S n S Pelo fato de 2 ser desconhecida temos que 1 A n A A A A t n S X e 1 B n B B B B t n S X ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 12 Como temos um estimador comum para a variância populacional podemos derivar uma distribuição de probabilidade para X A X B Padronizando a diferença entre as médias amostrais teremos B A C B A B A B C A C B A B A n n S X X n S n S X X 1 1 2 2 O que resulta em 2 1 1 A nB n B A C B A B A t n n S X X Sendo assim podemos construir um IC com 1 de confiança para A B considerando amostras independentes com variâncias desconhecidas porém iguais a partir de 1 2 2 t t t P Substituindo t por B A C B A B A n n S X X 1 1 1 1 1 2 2 t n n S X X t P B A C B A B A 1 1 1 1 1 2 2 B A C B A B A B A C n n S t X X n n S t P 1 1 1 1 1 2 2 B A C B A B A B A C B A n n S t X X n n S t X X P B A C B A B A n n S t X X IC 1 1 2 1 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 13 Observando o intervalo de confiança construído podese dizer que o erro da estimação para A B é B A C n n S t 1 1 2 para mais ou para menos com 1 de confiança Exemplo 6 Duas marcas de HD para computador A e B foram submetidas a um teste de durabilidade com aferição na unidade meses Com os dados abaixo determine o IC95 para a diferença entre as médias das duas marcas de HD HDa 42 36 48 61 53 45 53 71 46 59 67 56 62 HDb 51 49 65 57 55 54 49 58 63 Solução Informações obtidas através da amostra X A 53769 X B 55667 nA 13 nB 9 2 A S 1041923 2 B S 3275 O valor tabelado foi encontrado na tabela da distribuição t de Student Tabela 4 dos anexos na coluna t0975 e na linha correspondente a 20 graus de liberdade o valor é 2086 A única maneira de sabermos se duas variâncias podem ser consideradas iguais é aplicando um teste de hipóteses Suponha que um teste de hipóteses foi aplicado e as variâncias foram consideradas iguais Sendo assim é necessário calcularmos a variância combinada 2 C S 8 6958 75615 2 9 13 3275 1 9 1041923 1 13 SC Logo o IC para a diferença entre as médias é 9 1 13 1 8 6958 2 086 55667 53769 1 B A IC 7 8657 1898 1 B A IC 5 967 9 763 1 B A IC Sendo assim podese dizer que o intervalo 9763 5967 tem 95 de confiança de abranger o verdadeiro valor da diferença entre as durabilidades médias dos HDs Como o intervalo abrange o valor zero então com 95 de confiança podemos afirmar que a durabilidade média dos dois HDs é a mesma 43 Intervalo de Confiança Para a Diferença Entre as Médias de Duas Populações Independentes Com Variâncias Desconhecidas e Diferentes ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 14 Sejam duas populações A e B cujas médias são A e B e variâncias diferentes e desconhecidas 2 A e 2 B Com 2 A e 2 B diferentes e desconhecidas devemos utilizar suas estimativas 2 A S e 2 B S individualmente e nesse caso a distribuição da estatística utilizada apesar de continuar sendo a t de Student não tem mais os graus de liberdade obtidos diretamente como nos casos anteriores isto é t n S n S X X B B A A B A B A 2 2 em que os graus de liberdade são dados por 1 1 2 2 2 2 2 2 2 B B B A A A B B A A n n S n n S n S n S Logo um IC com 1 de confiança para A B quando as variâncias são diferentes e desconhecidas é dado por 1 2 2 t t t P Substituindo t por B B A A B A B A n S n S X X 2 2 1 2 2 2 2 t n S n S X X t P B B A A B A B A B B A A B A B A n S n S t X X IC 2 2 2 1 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 15 Observando o intervalo de confiança construído podese dizer que o erro da estimação para A B é B B A A n S n S t 2 2 2 para mais ou para menos com 1 de confiança Exemplo 7 Duas marcas de HD para computador A e B foram submetidas a um teste de durabilidade com aferição na unidade meses Com os dados abaixo determine o IC95 para a diferença de médias entre as marcas dos HDs Também verifique se o HD da marca B é superior ao da marca A HDa 42 36 28 31 35 33 36 71 49 67 56 62 HDb 61 59 65 57 55 54 49 58 63 Solução Informações obtidas através da amostra X A 455 X B 57889 nA 12 nB 9 2 A S 225727 2 B S 23861 A única maneira de sabermos se duas variâncias podem ser consideradas iguais é aplicando um teste de hipóteses Suponha que um teste de hipóteses foi aplicado e as variâncias foram consideradas diferentes Para encontrarmos o valor tabelado é necessário calcularmos os graus de liberdade 14 13939 0 8786 167 32 609 460 9 1 9 861 23 12 1 12 727 225 9 861 23 12 727 225 2 2 2 Utilizando a tabela da distribuição t de Student Tabela 4 dos anexos o valor pata t2 é encontrado na coluna t0975 e na linha de 14 graus de liberdade sendo ele igual a 21448 Logo 9 861 23 12 225727 21448 57889 45 5 1 B A IC 9 936 12389 1 B A IC 2 453 22325 1 B A IC Sendo assim podese dizer que o intervalo 22325 2453 tem 95 de confiança de abranger o verdadeiro valor da diferença entre as durabilidades médias dos HDs Como o intervalo não abrange o valor zero então com 95 de confiança podemos afirmar que a durabilidade média ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 16 dos dois HDs não é a mesma Ainda podese dizer que a durabilidade média do HDa é menor que a do HDb 5 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA UMA PROPORÇÃO Para amostras suficientemente grandes a distribuição amostral do estimador da proporção pˆ é aproximadamente normal com média p e desvio padrão n p p 1 ou seja 10 1 ˆ N n p p p p Logo um IC com 1 de confiança para a proporção é dado por 1 2 2 Z Z Z P Substituindo Z por n p p p p 1 ˆ 1 1 ˆ 2 2 Z n p p p p Z P 1 1 ˆ 1 ˆ 2 2 n p p Z p p n p p Z p P n p p Z p IC p 1 ˆ 2 1 OBS Para amostras grandes podemos substituir p do radicando por pˆ obtendo assim o seguinte intervalo n p p Z p IC p ˆ ˆ 1 ˆ 2 1 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 17 Com isso podese dizer que o erro de estimação para a proporção é n p p Z ˆ 1ˆ 2 para mais ou para menos com 1 de confiança Exemplo 8 Em uma pesquisa eleitoral foram entrevistados 2000 eleitores dos quais 952 responderam que votam no candidato A Calcule o intervalo de confiança para a proporção de eleitores que votam no candidato A Após isso verifique se é possível afirmar que a proporção de intenções de votos no candidato A pode ser considerada igual a 50 Utilize alfa de 5 Solução Informações fornecidas n 2000 pˆ 9522000 O valor de Z2 foi encontrado na tabela da distribuição Normal Padrão Tabela 3 dos anexos A área a ser procurada na tabela é 0475 o valor mais próximo a isso está na linha 19 e coluna 6 logo Z2 196 Assim temos 2000 0 476 0 476 1 196 0 476 95 IC p 0 022 0 476 95 IC p 0 498 0 454 95 IC p Sendo assim podese dizer que o intervalo 0454 0498 tem 95 de confiança de abranger o verdadeiro valor da proporção de eleitores que votam no candidato A Como o intervalo abrange o valor 05 então com 95 de confiança podemos considerar essa proporção como igual a 50 6 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DIFERENÇA ENTER DUAS PROPORÇÕES Considere que se queira estimar a diferença entre duas proporções p1 e p2 associadas a duas populações independentes Então um estimador não viesado para a diferença p1 p2 é dada por 1ˆp 2ˆp Sabendo que 1 1 1 1 1 1 ˆ n p p N p p e 2 2 2 2 2 1 ˆ n p p N p p Então 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 ˆ ˆ n p p n p p p p N p p e ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 18 10 1 1 ˆ ˆ 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 N n p p n p p p p p p Sendo assim um IC com 1 de confiança para a diferença entre duas proporções é dado por 1 2 2 Z Z Z P Substituindo Z por 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 ˆ ˆ n p p n p p p p p p 1 1 1 ˆ ˆ 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 Z n p p n p p p p p p Z P 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 ˆ ˆ n p p n p p Z p p p p IC OBS Para amostras grandes podemos substituir p do radicando por pˆ obtendo assim o seguinte intervalo 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ n p p n p p Z p p p p IC Com isso podese dizer que o erro de estimação para a diferença entre duas proporções é 2 2 2 1 1 1 2 ˆ ˆ 1 ˆ 1 ˆ n p p n p p Z para mais ou para menos com 1 de confiança Exemplo 9 Numa pesquisa de opinião pública realizada em uma rede social sobre a utilização dos atuais navegadores foram entrevistadas 2660 pessoas que responderam a seguinte pergunta Você acha que os atuais navegadores para internet atendem satisfatoriamente as necessidades do usuário para uma navegação segura Diante do fato de que 1250 dos entrevistados eram do sexo masculino dos quais 670 responderam SIM e que 1410 eram do sexo feminino dos quais 770 também responderam afirmativamente com 99 de certeza qual seria a estimativa da diferença da proporção entre homens e mulheres da rede social que acham que navegadores para internet ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 19 atendem as necessidades do usuário para uma navegação segura Também verifique se as proporções de homens e mulheres que responderam SIM podem ser consideradas iguais Solução Informações fornecidas n1 1250 1ˆp 6701250 n2 1410 2ˆp 7701410 1 O valor de Z2 foi encontrado na tabela da distribuição Normal Padrão Tabela 3 dos anexos A área a ser procurada na tabela é 0495 o valor mais próximo a isso está na linha 25 e coluna 8 logo Z2 258 Assim temos 1410 0 546 546 1 0 1250 0 536 0 536 1 2 58 0 546 0 536 1 2 1 p IC p 0 0499 0 01 95 IC p 0 0399 0 0599 95 IC p Sendo assim podese dizer que o intervalo 00599 00399 tem 99 de confiança de abranger o verdadeiro valor da diferença entre as proporções de homens e mulheres que acreditam que os navegadores são seguros Como o intervalo abrange o valor zero então com 99 de confiança podemos considerar que as proporções de homens e mulheres que acham os navegadores seguros são iguais 7 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA UMA VARIÂNCIA Se a variância S2 de uma amostra de tamanho n que foi retirada de uma população com distribuição normal de variância 2 então a distribuição amostral para o estimador S2 é a distribuição QuiQuadrado Isto é 2 2 1 S n tem distribuição 2 com n1 graus de liberdade ou 2 1 2 2 1 n S n Observando a figura 6 que apresenta a distribuição amostral para o estimador da variância percebese que um intervalo com 1 de confiança é delimitado pelos percentis correspondentes a 2 e 12 nas extremidades do modelo ou seja se o objetivo é construir um IC com 90 de confiança então cada uma das extremidades do modelo devem ter área igual a 5 para somarem 10 de chance de erro ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 20 Figura 6 Representação gráfica dos limites de um IC utilizando a distribuição amostral para uma variância A partir disso podese dizer que a probabilidade de um valor da distribuição QuiQuadrado estar entre os quantis 2 inf QuiQuadrado inferior e 2 sup QuiQuadrado superior é igual a 1 isto é 1 2 sup 2 2 inf P Substituindo 2 por 2 2 1 S n temse 1 1 2 sup 2 2 2 inf S n P Isolando o parâmetro populacional chegase ao IC 1 1 1 1 2 2 sup 2 2 2 inf S n S n P 1 1 1 2 inf 2 2 2 sup 2 S n S n P 2 inf 2 2 sup 2 1 2 1 1 S n S n IC OBS Para construção de IC para um desvio padrão o procedimento é o mesmo sendo necessário apenas tirar a raiz quadrada dos limites do IC encontrado para variância ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 21 Exemplo 10 Considere como população todos os alunos de uma turma Dessa população foram selecionados 10 alunos aleatoriamente e medidas as suas alturas Essas medidas devem ser consideradas com comportamento semelhante a uma distribuição normal A partir dessa amostra foi estimada variância igual a 4 Construa um IC com 90 de confiança para a variabilidade da altura dessa turma Solução Temse n10 S24 cm2 GL n1 101 9 e 10 Os percentis da distribuição QuiQuadrado são encontrados na Tabela 1 dos anexos 2 inf 3325 e 2 sup 16919 Esses valores foram encontrados na linha 9 graus de liberdade e nas colunas 95 e 5 respectivamente que corresponde a área hachurada da imagem na tabela e referese aos percentis 5 e 95 Dessa maneira temos dois valores de uma variável com distribuição QuiQuadrado que delimitam uma área do modelo correspondente à 90 Com isso temos 212710827 325 3 1 4 10 919 16 1 4 10 90 2 IC Sendo assim podese dizer que o intervalo de 2127 cm2 a 10827 cm2 tem 90 de chances de abranger o verdadeiro valor da variância populacional Exemplo 11 Ainda utilizando os dados do exemplo anterior porém agora vamos supor que alguém fez a seguinte afirmação Segundo estudos anteriores acreditase que a variabilidade da altura de pessoas seja igual a 523 cm² Perguntase É possível verificar se essa turma pode ser considerada com variabilidade de altura igual a 523 cm² Solução Em situações como esta podese responder a pergunta apenas verificando se este valor está contido no IC construído Como 2127 523 10827 então é possível afirmar que com 90 de confiança a variabilidade da turma pode ser considerada como igual a 523 cm² pois este valor está contido no IC construído 8 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA RAZÃO ENTRE DUAS VARIÂNCIAS É muito comum em aplicações estatísticas precisarmos comparar as variâncias de duas populações A comparação de duas variâncias não é feita pela diferença entre elas mas sim pela razão das mesmas A razão de duas variáveis aleatórias independentes com distribuição QuiQuadrado divididas pelos seus respectivos graus de liberdade nA1 e nB1 tem distribuição F de Snedecor ou simplesmente distribuição F em que nA1 são os graus de liberdade do numerador e nB1 os graus de liberdade do denominador ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 22 Sejam duas populações normais com variâncias 2 A e 2 B sejam 2 A S e 2 B S seus estimadores a partir de amostras de tamanho nA e nB então 1 1 1 1 2 2 2 2 B B B B A A A A n S n n S n F segue distribuição F com graus de liberdade nA1 e nB1 A razão acima pode ser simplificada por 1 1 2 2 2 2 B A n n B A A B F S S F Observando a figura 7 que apresenta a distribuição amostral para o estimador da razão entre duas variâncias percebese que um intervalo com 1 de confiança é delimitado pelos percentis correspondentes à 2 nas extremidades do modelo ou seja se o objetivo fosse construir um IC com 95 de confiança então cada uma das extremidades do modelo devem ter área igual a 25 para somarem 5 de chance de erro Figura 7 Distribuição amostral para razão de duas variâncias OBS Existe uma relação entre os quantis das distribuições F de forma que 2 11 1 2 1 1 1 A B B A n n n n F F Sendo 2 1 1 2 1 n F n o percentil com nA1 graus de liberdade do numerador e nB1 graus de liberdade do denominador 2 11 1 A B n F n o percentil 1 com nB1 graus de liberdade do numerador e nA1 graus de liberdade do denominador ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 23 Observando a figura 4 podese dizer que a probabilidade de um valor da distribuição F estar entre os quantis Finferior e Fsuperior é igual a 1 isto é 1 sup inf F F P F sendo Finf 1 2 1 B A n F n e Fsup 2 11 1 B A n F n Substituindo F por 2 2 2 2 B A A B S S temse 1 sup 2 2 2 2 inf F S S F P B B A A 1 2 2 sup 2 2 2 2 inf A B A B A B S S F S S P F 1 2 inf 2 2 2 2 sup 2 B A B A B A S F S S F S P Então temos que 2 inf 2 2 sup 2 1 2 2 B A B A B A S F S S F S IC OBS O intervalo é construído de forma que 2 2 B A S S seja maior do que 1 Exemplo 12 Após notificação da ANP o proprietário de uma rede de postos de combustíveis deseja saber se dois de seus postos estão com a mesma variabilidade em torno do valor médio permitido das massas específicas a 20C da mistura AEHC metanol e gasolina em kgm³ Com os dados abaixo e tendo em vista a normalidade estime o IC da razão de variâncias das massas específicas da mistura AEHC metanol e gasolina em kgm³ com um nível de confiança de 90 Posto de combustível 1 8010 8095 8062 8144 7990 8006 8002 7991 8120 Posto de combustível 2 8108 8065 7986 8015 8080 7943 8064 7990 8052 8035 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 24 Solução As variâncias calculadas nas duas amostras são respectivamente 359075 e 251773 Os percentis que delimitam 90 de confiança são obtidos a partir da tabela da distribuição F Tabela 2 dos anexos Como 2 A S 2 B S 1 então n1 9 e n2 10 O percentil denominado Fsup F91101095 neste caso é o percentil 95 que indica um valor no qual 95 da área do modelo está abaixo dele e 5 da área está acima dele Este valor foi encontrado na tabela 2 dos anexos na coluna de 8 graus de liberdade do numerador e na linha de 9 graus de liberdade do denominador Fsup 323 O percentil denominado Finf F91101005 neste caso é o percentil 5 que indica um valor no qual 5 da área do modelo está abaixo dele e 95 da área está acima dele Pela relação existente entre os percentis da distribuição F temos 0 295 3 39 1 1 10 19 1 0 95 9 110 1 0 05 inf F F F O valor para F10191095 foi encontrado na coluna 9 linha 8 da Tabela 2 dos anexos Com isso temos o seguinte IC para a razão entre duas variâncias 4 8345 0 4415 251773 295 0 359075 23 251773 3 359075 1 2 2 B A IC Sendo assim podese dizer que o intervalo 04415 48345 tem 90 de chances de abranger o verdadeiro valor da razão entre as variâncias das massas específicas dos combustíveis dos dois postos de gasolina Exemplo 13 Ainda utilizando o exemplo 2 anterior responda Seria possível afirmar que a variabilidade da massa específica do combustível nos dois postos são iguais Solução Se duas variâncias forem iguais a razão entre elas é 1 O número 1 sendo um valor pertencente ao IC construído então é considerado um valor possível para essa razão Sendo assim com 90 de confiança é possível afirmar que a variabilidade da massa específica do combustível nos dois postos podem ser consideradas iguais ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 25 ANEXOS Tabela 1 Tabela da Distribuição QuiQuadrado Tabela 2 Tabela da Distribuição F 5 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 26 Tabela 3 Tabela Distribuição Normal Padrão ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II INTERVALOS DE CONFIANÇA PROF DEYSE GEBERT 27 Tabela 4 Tabela Distribuição t de Student