Integrais de Linha no Espaco - Calculo e Trabalho

1 Integrais de Linha no Espaço Suponhamos agora que C seja uma curva espacial lisa dada pela equação vetorial t xti ytj zt com a tEb Se f é uma função de três variáveis que é continua em alguma região contendo C então definimos a integral de linha de f ao longo de C com relação ao comprimento de arco de modo semelhante ao feito nas curvas planas fla y zds a yt zt Exemplo Calcule y senz ds onde C é a hélice circular da da pelas equações cost y sent z t oktaπ sent vost Segue que sent cost 1 2 ds 2 dt Sysenzds ent sentledt dt Lembrese que sent 1asat Sysnzds send costdt sent Tynz ds i 2 Trabalho definimos o trabalho W feito por um campo de força Fo como W F Tds Se a curva C é dada pela equação vetorial t a y então it vit lu t w ds 1H F di Definição Seja um campo vetorial contínuo definido sobre uma curva lisa C dada pela função vetorial volt ab Então a integral de linha de F ao longo de C é dr t d Exemplo Determine o trabalho feito pelo campo de força Ma y a my ao se mover uma partícula ao longo de um quarto do círculo vt costi sent Otan Temos que FM costicost sent e volt sentirostj O trabalho realizado é dado por Scot costsent sent cost dt costsendt Apresentaremos agora uma outra notação para a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva Seja Fas y Play i Kay jo um campo vetorial em Re seja I selt ytj atb parametrização da curva C Temos Idr d plat yiy pla yt yt Pla y das Ra y dy La última igualdade podemos obter outro interessante resulta do 1 Playdaye o Play de Kal y dyo PlaydeRay yo Pla y dal Par y dy