Nota de Aula: Resolução de EDOs por Séries

CC UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Fal eee SETOR DE CIENCIAS EXATAS T LUFPR DEPARTAMENTO DE MATEMATICA SSSQjjSSSSSS DMAT UFPR Nota de Aula Resolugao de EDOs por Séries Considere o problema de determinar a solucaéo geral da Equacao de Airy yx vyx 0 utilizandose de séries de poténcias ou seja considerando que a solucao deve ser da forma 00 yz Sian c a n0 sendo tal série de poténcias convergente num intervalo da forma x Rx R com R 0 Por uma mera questao de simplificagao de calculos admitiremos que x 0 e portanto devera ser 00 yx Ss An x n0 Temse entao que 00 00 y x Ss Nan x e y x Soin 1nap a2 n1 n2 Substituindose tais séries na equacéo em segue que 00 00 y x axy240 Soin 1nap x x an xz 0 n2 n0 00 00 Soin 1nay 2 Ss ana 0 xx n2 n0 Em seguida devese reescrever cada uma dessas duas tltimas séries de modo que ambas tenham em seu termo geral a poténcia x Para a primeira delas fazse N n2 e portanto n N 2 e assim obtémse que 00 00 S n 1nanv SON 1N 2 ayy 0 n20 N0 Para a segunda série fazse N n 1 e portanto n N 1 e obtémse que 00 00 n0 N1 Substituindose estas séries em segue que 00 00 SUN 1N 2 ay So ay 2 0 N0 N1 00 00 12a9 SUN DN 2 ay 0 So ay 2 0 N1 N1 00 00 2agt Ss N IN 2 ay ys ay aN O S 702 N1 N1 Da equacao acima concluise que ag 0e N1N2ayay0 para N 123 ou ainda que a Owen para N 123 N N 1N 2 Portanto utilizandose esta ultima formula a qual 6 denominada Relagao de Recorréncia é possivel determinar todos os coeficientes da série de poténcias desejada Note que é importante reconhecer a forma geral dos coeficientes pois ela sera necessdria no momento de se calcular o raio de convergéncia da série O proéximo passo é o calculo efetivo de cada coeficiente fazse entao a N1 Ss 3 23 a N2 5 34 N3 oe 0 a 9 45 a a oO 56 2356 a a 67 3467 a N6 0 oS 78 a a wo 39 235689 a a 10 910 3467910 a N9 0 1011 Percebese entao que os coeficientes sao assim caracterizados a 0 sn 22356 38n 1 3n a antl 3467 3n 8n 1 A3n 1 0 para n 123 Temse entao yv ata2a2a2a2a 2 a 2a2 a 0 a 2 a 0 a4 01 Oo 784 1 44 4 6 TM G0 Goh ero 3h Fg 19356 3467 1 235689 3467910 1 1 1 q i142 4 op 7 ao 33 1 9356 12356899 1 os4 l 7 1 10 tale so0 peat ype t 1 a 1 aj1 sae ey a 2 ee ty 230 Gn 1 Gn 30 Gny Gat Em seguida passase ao cAlculo dos raios de convergéncia destas duas ttimas séries para a primeira delas fazse z x para obterse uma série em que os coeficientes de todas as poténcias sejam naonulos e entao para a série 00 1 Sean cian 4 238n 1 3n calculase seu raio de convergéncia R 1 238n13 R lim 23 Gna Gn lim 3n 4 23n 3 00 noo noo 233n 1 8n3n 1 13n 1 e assim concluise que tal série 6 convergente em todo z R ou seja para z 00 e portanto também é convergente em todo x R a série 00 ace 4 238n 1 Bn visto que ax3 z Por sua vez para a segunda série notandose que para o polinémio px x temse que 00 1 oo 1 3n1 3n 3a Gn nti ore 30 Gny Gn c00 1 00 1 2f1 By 1 3 3am Gna pt 3a Gn Gran Temse entéo que px por ser um polinémio pode ser visto como uma série com apenas um ntiimero finito de coeficientes naonulos tendo portanto raio de convergéncia 00 Procedendo de forma totalmente andloga aquela utilizada para determinar o raio R mostrase que o raio de convergéncia R da série 00 1 1 3n 3 Gn Gn também é igual a 00 e portanto o produto de Cauchy 00 1 px 35 Gny Gn tem raio de convergéncia igual a oo Portanto a expressao que define a solugao yx é convergente para todo ER Para podermos concluir que yz 6 de fato a solucao geral da EDO dada resta mostrar que sao LI as fungoes 00 1 in uy 2 33 n 1 Gn e 00 1 3n41 ya P aay Gee Fazse entao 00 1 00 1 3n1 3n a ni 2 DLs Gat ey san n1 n1 obtendose assim que y 0 1 y0 0 y0 0 e y 0 1 Logo y0 0 1 0 Wy040 140 uou éL1 y 0 y30 0 1 e portanto a solugao geral da EDO é da forma yx a y x a yx com aa ER