Lista de Exercicios de Calculo 3

A área da parte do plano 2x 2y z 2 interior ao paraboloide z x² y² é Escolha uma opção 6π 4π 8π π 12π Considere S a parte do paraboloide z x² y² que está abaixo do plano z 3 2y O valor da integral S 1sqrt14z dS é Escolha uma opção 7π8 5π4 11π4 π 4π Seja S a superfície de equação paramétrica ru v sin u cos v sin u sin v cos u Determine a equação do plano tangente a S no ponto P₀ rπ4 π4 Escolha uma opção sqrt2x sqrt2y 2z 2sqrt2 0 2x 2y sqrt2z 0 2x 2y 2sqrt2z 2 0 2x 2y sqrt2z 2sqrt2 0 2x 2y 0 Seja S a parte do plano z 2y interior ao paraboloide z x² y² orientada de modo que n k 0 Seja F z z y yx² y³ O valor da integral S rot F n dS é Escolha uma opção π 2π 0 2π π Considere o campo vetorial Fx y z ex² y i cosy² z² j ln1 z² k e seja γ a curva de parametrização γt cos t sin t 2 cos t t 0 2π Calcule γ F dr Sugestão Use o Teorema de Stokes Escolha uma opção 2π 2π 0 3π 3π Considere o campo vetorial Fx y z x² y z² 12 sqrtx² y² e seja S a porção do hiperboloide de uma folha de equação x² y² z² 1 entre os planos z sqrt3 e z 2 sqrt2 Calcule S F ndS Escolha uma opção 134 π 193 π 134 π 6π 193 π Seja dado o campo Fx y z xx² y² z²32 i yx² y² z²32 j zx² y² z²32 k e seja S S₁ S₂ onde S₁ é a porção do hiperboloide a uma folha x² y² z² 1 entre os planos z 0 e z sqrt3 com normal n apontando para fora e S₂ é a porção do plano z sqrt3 interna ao cilindro x² y² 4 com normal n k Calcule S F ndS Escolha uma opção 4π 2 sqrt3 π sqrt3 π 0 2π Seja S o elipsoide 2x² 4y² 2z² 1 Usando o Teorema de Gauss calcule a integral S x² yx z² zx y²sqrt4x² 16y² 4z² dS Escolha uma opção 3π2 3π4 π12 2π3 π6 vecrt cost 2 sint 2 cost vecFrt r cost r sint 2 r cost vecrr cost sint cost vecr heta r sint r cost r sint vecF z z y x2 y y3 Teorema de Stokes mathrmrotvecF beginvmatrix hati hatj hatk fracpartialpartial x fracpartialpartial y fracpartialpartial z ex2 y cosy2 z2 ln1 z2 endvmatrix 2 z hati hatk 2 z 0 1 Teorema de Stokes 6 x² y² z² 1 Região 1 0 z 3 z² x² y² 1 z x² y² 1 z r² 1 r1 rθ r cosθ r senθ r² 1 r1 r cosθ senθ r r² 1 1 r 2 0 θ 2π r1 θ r senθ r cosθ 0 n1 i j k cosθ senθ r r² 1 r senθ r cosθ 0 r² r²1 cosθ i r² r²1 senθ j r k 1 2 0 2π rr²1 cosθ rr²1 senθ 12 r r² r²1 cosθ r² r²1 senθ r dθ dr 1 2 0 2π r³ r²1 cos³θ r³ r²1 sen³θ 12 r² dθ dr 1 2 r³ r²1 12 sen2θ 12 r² θ dθ 0 2π π r² dr π3 r³ 1 2 π3 2³ 1³ 7π 3 Região 2 22 z 0 r2 rθ r cosθ r senθ r² 1 r2 r cosθ senθ r r²1 1 r 3 0 θ π r2 θ r senθ r cosθ 0 na i j k cosθ senθ r r²1 r senθ r cosθ 0 r² cosθ r²1 i r² senθ r²1 j r k 1 3 0 2π rr²1 cosθ rr²1 senθ 12 r r²r²1 cosθ r²r²1 senθ r dθ dr 1 3 0 2π r³ r²1 cos²θ r³ r²1 sen²θ 12 r² dθ dr 1 3 0 2π 3 r²1 12 sen2θ 12 r² θ dr 1 3 r r² dr r3 r³ 13 3³ 1³ 26π 3 s F n dS 7π3 26π3 19π3 7 S1 n1 r² r²1 cosθ r² r²1 senθ r 1 r 2 0 θ 2π F r cosθ r senθ r²1 2r² 132 2r² 132 2r² 132 0 2π 1 2 r³ cos²θ r²1 2r² 132 r³ sen²θ r²1 2r² 132 r r² 1 2r² 132 dr dθ 0 2π 1 2 r r² 1 2r² 132 r³ r²1 2r² 132 dr dθ 1 2 r r² 1 r² 1 dr dθ 0 2π 37 dθ 37 θ 0 2π 37 2π S2 n 001 rrθ r cosθ r senθ 3 0 r 2 0 θ 2π rr cosθ senθ 0 rθ r senθ r cosθ 0 n i j k cosθ senθ 0 r senθ r cosθ 0 r k 0 2π 0 2 r cosθr² 332 r senθ r² 332 3 r² 332 00r dr dθ 0 2π 0 2 3 r r² 332 dr dθ 0 2π 3 3 r² 3 0 2 dθ 0 2π 3 13 17 dθ 3 13 17 θ 0 2π 3 2π 13 17