Cálculo Vetorial - Lista de Exercícios Resolvidos: Integrais de Linha e Campos Conservativos

Questão 1 A tabela fica F 12 22 02 12 12 22 12 02 E o gráfico fica Questão 2 Temse o seguinte campo vetorial F x y 2 xy ix2 y j A curva é dada por r t 213421 t2113t2t 13t A derivada da curva é dada por r t13 O campo vetorial avaliado ao longo da curva é dado por F r 2 2t 13t i2t 2 13t j F r 42t 13t i 2t 26t j F r 55t i47t j A integral de linha é calculada como segue 0 1 F r d r 0 1 F r r t dt 0 1 55t i47t j13dt 0 1 55t 347t dt 0 1 55t 1221t dt 0 1 716t dt 7t8t 20 1 78 15 Questão 3 Note que esta força é um campo conservativo De fato podemos estabelecer f x3 x 2 y2 f y x 34 y 3 Integrando ambas equações obtemos f x 3 y2 xg y f x 3 y y 4h x Por comparação temos f x 3 y2 x y 4 Assim a integral será dada por 1 0 42 F d rf 42f 10 4 32242 4020 128816 2 150 Questão 5 Temos y z e xe ye y x x e ye ze y z ze xe ye x x y e ze xe x z xe ye ze z y y e ze xe z Como estes resultados são iguais os pares o campo não conservativo Questão 6 1 rot F i j k x y z 1 xyz x y z xyz y xyz z 1 z xyz x xyz x 1 y x y 0y 10 x y y 1 FALSO por causa do y 2 VERDADEIRO pois o campo é conservativo com f x 2 2 y 2 2 z 2 2 logo independe do caminho 3 VERDADEIRO pois o campo é conservativo com f x y 22x logo a integral fechada é nula 4 VERDADEIRO pelas propriedades do campo conservativo Questão 4 1 ponto Identifique nas lacunas abaixo as parametrizações de cada caminho percorrido no sentido antihorário a x3cost y2sent 0 t 2π b x2cost y3sent 0 t 2π c x3cost y3sent 0 t 2π d xcost y2sent 0 t 2π Questão 1 A tabela fica F 12 22 02 12 12 22 12 02 E o gráfico fica Questão 2 Temse o seguinte campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 2𝑥 𝑦𝑖 𝑥 2𝑦 𝑗 A curva é dada por 𝑟𝑡 21 34 21𝑡 21 13𝑡 2 𝑡 1 3𝑡 A derivada da curva é dada por 𝑟𝑡 13 O campo vetorial avaliado ao longo da curva é dado por 𝐹𝑟 22 𝑡 1 3𝑡𝑖 2 𝑡 21 3𝑡 𝑗 𝐹𝑟 4 2𝑡 1 3𝑡𝑖 2 𝑡 2 6𝑡 𝑗 𝐹𝑟 5 5𝑡𝑖 4 7𝑡 𝑗 A integral de linha é calculada como segue 𝐹𝑟 𝑑𝑟 1 0 𝐹𝑟 𝑟𝑡𝑑𝑡 1 0 5 5𝑡𝑖 4 7𝑡 𝑗 13𝑑𝑡 1 0 5 5𝑡 34 7𝑡𝑑𝑡 1 0 5 5𝑡 12 21𝑡𝑑𝑡 1 0 7 16𝑡𝑑𝑡 1 0 7𝑡 8𝑡20 1 7 8 15 Questão 3 Note que esta força é um campo conservativo De fato podemos estabelecer 𝑓 𝑥 3𝑥2𝑦 2 𝑓 𝑦 𝑥3 4𝑦3 Integrando ambas equações obtemos 𝑓 𝑥3𝑦 2𝑥 𝑔𝑦 𝑓 𝑥3𝑦 𝑦4 ℎ𝑥 Por comparação temos 𝑓 𝑥3𝑦 2𝑥 𝑦4 Assim a integral será dada por 𝐹 𝑑𝑟 42 10 𝑓42 𝑓10 432 2 4 24 0 2 0 128 8 16 2 150 No text present Questão 5 Temos 𝑦 𝑧𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑦 𝑥 𝑥𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝑒𝑦 𝑧 𝑧𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑥 𝑥 𝑦𝑒𝑧 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑧 𝑥𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝑒𝑧 𝑦 𝑦𝑒𝑧 𝑒𝑥 𝑒𝑧 Como estes resultados são iguais os pares o campo não conservativo Questão 6 1 𝑟𝑜𝑡𝐹 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦𝑧 𝑥𝑦 𝑧 𝑥𝑦 𝑧 𝑦 𝑥 𝑦𝑧 𝑧 1 𝑧 𝑥𝑦 𝑧 𝑥 𝑥 𝑦𝑧 𝑥 1 𝑦 𝑥 𝑦0 𝑦 1 0 𝑥 𝑦 𝑦 1 FALSO por causa do 𝑦 2 VERDADEIRO pois o campo é conservativo com 𝑓 𝑥2 2 𝑦2 2 𝑧2 2 logo independe do caminho 3 VERDADEIRO pois o campo é conservativo com 𝑓 𝑥𝑦2 2𝑥 logo a integral fechada é nula 4 VERDADEIRO pelas propriedades do campo conservativo No text present