Lista de Exercícios Resolvidos Calculo II - Integrais Duplas e Aplicações

1 Cálculo II Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE CAMPINAS Engenharias CEATEC Cálculo II Professores Alex Bia e Christiane Avaliações Unidade 4 INTEGRAIS INTEGRAIS DUPLAS A ideia de integrais definidas será estendida para integrais duplas por meio das quais são resolvidos problemas de aplicação envolvendo área volume e outros Para uma função de uma variável 𝑦 𝑓𝑥 a integral definida é dada por 𝑓𝑥𝑑𝑥 lim 𝑛 𝑓𝑥𝑥 𝑛 𝑖1 𝑏 𝑎 Particularmente quando 𝑓𝑥 0 a soma de Riemann pode ser interpretada como a área da região limitada pela função o eixo x no intervalo ab De modo semelhante vamos considerar uma função f de 2 variáveis definida num retângulo fechado 𝑅 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 A integral dupla de uma função 𝑓𝑥 𝑦 sobre o retângulo R é 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝐴 lim 𝑚𝑛 𝑓𝑥𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗𝐴 𝑛 𝑖1 𝑚 𝑗1 𝑅 se esse limite existir A soma 𝑓𝑥𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗𝐴 𝑛 𝑖1 𝑚 𝑗1 é chamada soma dupla de Riemann e é usada como aproximação do valor da integral dupla Se 𝑓𝑥 𝑦 0 então o volume 𝑉 do sólido que está acima do retângulo 𝑅 e abaixo da superfície 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 é 𝑉 𝑅 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝐴 Graficamente Exemplo 1 Exemplo 2 A aproximação do volume através da soma de Riemann com diferentes valores de m e n O cálculo de integrais definidas para funções de uma variável a partir da definição não é simples mas o TFC fornece uma maneira bem prática e fácil para calcular Se 𝑓𝑥 for uma função contínua em ab então a integral definida de 𝑓𝑥 de a até b denotada por 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 é dada por 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝐹𝑏 𝐹𝑎 onde 𝐹𝑥 é qualquer antiderivada de 𝑓𝑥 isto é 𝐹𝑥 𝑓𝑥 Para funções de 2 variáveis o cálculo pela definição é ainda mais complicado mas veremos que uma integral dupla pode ser expressa como uma integral iterada o que permite que ela seja calculada como 2 integrais simples Seja 𝑓𝑥 𝑦 uma função contínua em 𝑅 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 A notação 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑦 𝑑 𝑐 significa que a 𝑥 é mantido constante e 𝑓𝑥 𝑦 é integrada em relação a 𝑦 Esse procedimento é chamado integração parcial em relação a y Assim 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑦 𝑑 𝑐 é uma expressão que depende apenas de 𝑥 isto é 𝐴𝑥 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑦 𝑑 𝑐 Integrando a função 𝐴 em relação a 𝑥 obteremos 𝐴𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑦 𝑑 𝑐 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 2 Cálculo II Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 O lado direito é chamado integral iterada os colchetes podem ser suprimidos A expressão 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑦 𝑑 𝑐 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 significa que primeiramente integramos a função em relação a 𝑦 no intervalo de 𝑐 a 𝑑 O resultado obtido é então integrado em relação a 𝑥 no intervalo de 𝑎 até 𝑏 Da mesma forma a expressão 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑦 𝑑 𝑐 significa que primeiramente integramos a função em relação a 𝑥 no intervalo de 𝑎 até 𝑏 O resultado obtido é então integrado em relação a 𝑦 no intervalo de 𝑐 até 𝑑 Teorema de Fubini Se 𝑓𝑥 𝑦 for contínua no retângulo 𝑅 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 então 𝑓𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑 𝑐 𝑏 𝑎 𝑓𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑏 𝑎 𝑑 𝑐 Exemplos 1 Calcule as integrais a 𝑥 3𝑦2 𝑑𝐴 𝑅 onde 𝑅 𝑥 𝑦0 𝑥 2 𝑒 1 𝑦 2 b 𝑅 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦 𝑑𝐴 onde 𝑅 12 0 𝜋 c 𝑥2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 1 3 0 2 Determine o volume do sólido que está abaixo da superfície 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 6 𝑥2 10 𝑦2 5 e acima do retângulo 𝑅 04 0 3 conforme figura 3 O galpão da figura tem a superfície da sua cobertura dada pela função de duas variáveis 𝑓𝑥 𝑦 3 2𝑥 𝑥2 3 cujas medidas na ilustração são dadas em metros Identifique a região de integração e calcule o volume do galpão 4 Determine o volume do sólido que é determinado pelo paraboloide elíptico 𝑥2 2𝑦2 𝑧 16 os planos 𝑥 2 𝑦 2 e os três planos coordenados Integrais duplas sobre regiões genéricas Para integrais duplas a região de integração nem sempre é um retângulo mas pode ser mais genérica Uma região plana 𝐷 é dita do tipo I se está contida entre o gráfico de 2 funções contínuas de 𝑥 ou seja 𝐷 𝑥 𝑦 𝑎 𝑥 𝑏 𝑔1𝑥 𝑦 𝑔2𝑥 com 𝑔1𝑥 e 𝑔2𝑥 contínuas Quando 𝐷 é do tipo I então 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝐴 𝐷 𝑓𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑔2𝑥 𝑔1𝑥 𝑏 𝑎 Uma região plana D é dita do tipo II se está contida entre o gráfico de 2 funções contínuas de y ou seja 𝐷 𝑥 𝑦 𝑐 𝑦 𝑑 ℎ1𝑦 𝑥 ℎ2𝑦 com ℎ1𝑦 e ℎ2𝑦 contínuas Quando 𝐷 é do tipo II então 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝐴 𝐷 𝑓𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ℎ𝑦 ℎ1𝑦 𝑑 𝑐 Exemplos 5 Calcule 6 R xydA onde R é a região delimitada pelas retas verticais x 2 e x 4 abaixo pela curva 1 2 y x e acima pela curva 2 y x 3 Cálculo II Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 6 Calcule 𝑥 2𝑦𝑑𝐴 𝐷 onde 𝐷 é a região limitada por 𝑦 2𝑥2 e 𝑦 1 𝑥2 7 Calcule 𝐷 𝑥𝑦 𝑑𝐴 onde 𝐷 é a região limitada pela reta 𝑦 𝑥 1 e pela parábola 𝑦2 2𝑥 6 8 Calcule 𝑠𝑒𝑛 𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 𝑥 1 0 Aplicações I Cálculo de Volumes Já vimos que quando 𝑓𝑥 𝑦 0 a integral 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝐴 𝑅 nos fornece o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico de 𝑓𝑥 𝑦 inferiormente pela região R e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R Exemplos 9 Determine o volume do sólido que está contido abaixo do paraboloide 𝑧 𝑥2 𝑦2 e acima da região D no plano xy limitada pela reta 𝑦 2𝑥 e pela parábola 𝑦 𝑥2 10 Calcule o volume do sólido do 1º octante delimitado por 𝑦 𝑧 2 e pelo cilindro que contorna a região limitada por 𝑦 𝑥2 e 𝑥 𝑦2 11 Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos 𝑥 2𝑦 𝑧 2 𝑥 2𝑦 𝑥 0 𝑒 𝑧 0 II Cálculo de área de regiões planas Se na integral 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝐴 𝐷 fizermos 𝑓𝑥 𝑦 1 obtemos 𝑑𝐴 𝐷 que fornece a área da região de integração 𝐷 Exemplos 12 Calcule a área da região limitada por 𝑥 𝑦2 1 e 𝑥 𝑦 3 13 Calcule a área da região limitada por 𝑦 𝑒𝑥1 𝑦 𝑥 e 𝑥 0 III Outras Aplicações Densidade e massa Suponha uma lâmina colocada numa região 𝐷 do plano 𝑥𝑦 cuja densidade no ponto 𝑥 𝑦 em 𝐷 é dada por 𝜌𝑥 𝑦 onde 𝜌 é uma função contínua 𝜌𝑥 𝑦 lim 𝑚 𝐴 onde 𝑚 e 𝐴 são a massa e a área do pequeno retângulo que contém 𝑥 𝑦 Para determinar a massa total da lâmina em 𝐷 calculamos 𝑚 𝜌𝑥 𝑦𝑑𝐴 𝐷 Carga total Analogamente ao caso anterior se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região 𝐷 do plano 𝑥𝑦 e a densidade de carga num ponto 𝑥 𝑦 em D é dada por 𝜎𝑥 𝑦 onde 𝜎 é uma função contínua a carga elétrica total na região é dada por 𝑄 𝜎𝑥 𝑦𝑑𝐴 𝐷 Centro de massa As coordenadas do centro de massa 𝑥 𝑦 de uma lâmina ocupando a região 𝐷 com densidade dada por 𝜌𝑥 𝑦 são 𝑥 1 𝑚 𝐷 𝑥 𝜌𝑥 𝑦 𝑑𝐴 e 𝑦 1 𝑚 𝐷 𝑦 𝜌𝑥 𝑦 𝑑𝐴 onde 𝑚 𝐷 𝜌𝑥 𝑦 𝑑𝐴 Valor Médio O valor médio de uma função 𝑓𝑥 𝑦 na região retangular 𝑅 é dado por 𝑉𝑀 1 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑅 𝑓𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝑅 Exemplos 14 A carga é distribuída sobre uma região 𝐷 representada abaixo com densidade de carga 𝜎𝑥 𝑦 𝑥𝑦 medida em Cm2 Determine a carga total 4 Cálculo II Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 15 Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices 00 10 e 02 se a função densidade é dada por 𝜌𝑥 𝑦 1 3𝑥 2𝑦 16 A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é proporcional à distância ao centro do círculo Determine o centro de massa obs usar coordenadas polares 17 Em certa fábrica a produção é dada pela função 𝑓𝑘 𝐿 50 𝑘 2 3𝐿 2 5 onde 𝑘 é o investimento em milhares de reais e 𝐿 é o volume de mão de obra em homenshora O investimento mensal varia de R 1000000 a R 1200000 e o volume de mão de obra utilizado em um mês varia de 2800 a 3000 homenshora Determine a produção mensal média da fábrica 18 Um mapa de um pequeno parque municipal é um quadriculado limitado pelas retas 𝑥 0 𝑥 4 𝑦 0 𝑒 𝑦 3 no qual as distâncias estão em quilômetros A altitude de cada ponto 𝑥 𝑦 do parque em relação ao nível do mar é dada por 𝐸𝑥 𝑦 90 2𝑥 𝑦2 metros Determine a altitude média do parque Coordenadas polares Um sistema de coordenadas polares em um plano consiste em um ponto O fixo chamado de polo ou origem e de um raio que parte do polo chamado de eixo polar Assim podemos associar a cada ponto P do plano um par de coordenadas polares r onde r é a distância de P ao polo e é o ângulo entre o eixo polar e o raio OP r coordenada radial coordenada angular 1 Desenhe o ponto 𝑃 4 𝜋 6 dado em coordenadas polares 2 Considere a curva 2 0 C r descrita em coordenadas polares 1 Desenhe essa curva 2 Como seria a descrição dessa curva em coordenadas cartesianas 3 Considere a região 𝑅 do plano 𝑥𝑦 dada por 𝑅 0 𝑟 2 0 𝜃 𝜋 2 descrita em coordenadas polares 1 Desenhe essa região no plano xy 2 Como seria a descrição dessa região em coordenadas cartesianas Relação coordenadas polares X retangulares Integrais duplas em coordenadas polares 4 Calcule o volume do sólido 𝑆 limitado acima pelo plano 4 z y e abaixo pela região 𝑅 do plano xy contida no círculo 2 2 4 x y Veja os passos na dica a seguir Passos para a mudança de coordenadas A função de integração é 𝑓𝑥 𝑦 4 𝑦 Escreva a função 𝑓𝑥 𝑦 em coordenadas polares 𝑓𝑟 cos 𝜃 𝑟 sin 𝜃 Para isso faça 𝑥 𝑟 cos 𝜃 e 𝑦 𝑟 sin 𝜃 e conclua que 𝑓𝑥 𝑦 4 𝑦 𝑓𝑟 cos 𝜃 𝑟 sin 𝜃 4 𝑟 sin 𝜃 Verifique que o volume é dado por 4 𝑦𝑑𝐴 𝑅 4 𝑟 sin 𝜃𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 2 0 2𝜋 0 5 O sólido que fica abaixo da superfície do paraboloide 2 2 6 x y f x y e acima do círculo do plano xy dado por 2 2 4 x y está 5 Cálculo II Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 representado na figura abaixo Calcule o volume desse sólido Exercícios propostos e aplicações 1 Calcule as integrais a 1 4𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 1 0 3 1 b 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝜋 2 0 𝜋 2 0 c 𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 1 0 3 0 d 𝑒2𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 ln 5 0 ln 2 1 e 6𝑥2𝑦3 5𝑦4𝑑𝐴 𝑅 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅 03𝑥01 f 𝑥𝑦2 𝑅 𝑥21 𝑑𝐴 𝑐𝑜𝑚 𝑅 𝑥 𝑦0 𝑥 1 3 𝑦 3 g 𝑅 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦𝑑𝐴 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅 0 𝜋 6 𝑥0 𝜋 3 h 1 𝑅 𝑥𝑦 𝑑𝐴 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅 𝑥 𝑦1 𝑥 2 0 𝑦 1 2 a Determine o volume do sólido limitado acima pelo plano 𝑧 2𝑥 5𝑦 1 e abaixo pelo retângulo 𝑅 10 14 b Determine o volume do sólido contido abaixo do paraboloide elíptico 𝑥2 4 𝑦2 9 𝑧 1 e acima do retângulo 𝑅 11𝑥22 3 Calcule 𝐷 𝑥𝑦 𝑑𝐴 onde D é a região limitada pela reta 𝑦 𝑥 1 e pela parábola 𝑦2 2𝑥 6 4 Calcule as integrais a 𝐷 𝑥3𝑦2𝑑𝐴 onde 𝐷 𝑥 𝑦0 𝑥 2 𝑥 𝑦 𝑥 b 2𝑦 𝐷 𝑥21 𝑑𝐴 onde 𝐷 𝑥 𝑦0 𝑥 1 0 𝑦 𝑥 c 𝐷 𝑥 cos 𝑦 𝑑𝐴 onde 𝐷 é limitada por 𝑦 0 𝑦 𝑥2 e 𝑥 1 d 𝐷 𝑦3𝑑𝐴 onde 𝐷 é a região triangular com vértices 02 11 e 32 5 Determine o volume do sólido dado a Abaixo do paraboloide 𝑧 𝑥2 𝑦2 e acima da região limitada por 𝑦 𝑥2 𝑒 𝑥 𝑦2 b Abaixo da região 𝑧 𝑥𝑦 e acima do triângulo com vértices 11 41 e 12 c Limitado pelos planos 𝑥 0 𝑦 0 𝑧 0 e 𝑥 𝑦 𝑧 1 d Limitado pelo cilindro 𝑥2 𝑦2 1 e pelos planos 𝑦 𝑧 𝑥 0 𝑧 0 no primeiro octante 6 Calcule as integrais usando coordenadas polares a 𝐷 𝑥 𝑑𝐴 onde D é o disco com centro na origem e raio 5 b 𝐷 𝑥𝑦 𝑑𝐴 onde D é a região do primeiro quadrante compreendida entre os círculos 𝑥2 𝑦2 4 e 𝑥2 𝑦2 25 c 𝑒𝑥2𝑦2 𝐷 𝑑𝐴 onde D é a região limitada pelo semi círculo 𝑥 4 𝑦2 e o eixo y 7 Uma carga elétrica é distribuída sobre um retângulo 0 𝑥 2 1 𝑦 2 de modo que a densidade de carga 𝜎𝑥 𝑦 𝑥2 3𝑦2 medida em coulombs por metro quadrado Determine a carga total no retângulo 8 Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade 𝜌 a 𝐷 𝑥 𝑦 1 𝑥 1 0 𝑦 1 𝜌𝑥 𝑦 𝑥2 b D é a região triangular com vértices 00 21 03 e 𝜌𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 9 Calcule as integrais iteradas a 𝑧𝑒𝑦 1𝑧2 0 1 0 3 0 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦 b 6𝑥𝑦 𝑥𝑧 0 𝑧 0 1 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 c 𝐸 2𝑥 𝑑𝑉 onde 𝐸 𝑥 𝑦 𝑧 0 𝑦 2 0 𝑥 4 𝑦2 0 𝑧 𝑦 d 𝐸 6𝑥𝑦 𝑑𝑉 onde E está abaixo do plano 𝑧 1 𝑥 𝑦 e acima da região do plano xy limitada pelas curvas 𝑦 𝑥 𝑦 0 𝑒 𝑥 1 e 𝐸 𝑥𝑦 𝑑𝑉 onde E é o sólido tetraedro com vértices 000 100 020 e 003 10 O mapa de um bairro é um quadriculado no qual as retas são paralelas a duas avenidas que se cruzam no centro do bairro Cada ponto do bairro é definido neste quadriculado por coordenadas 𝑥 𝑦 para 10 𝑥 10 8 𝑦 8 com 𝑥 e 𝑦 em quilômetros Suponha que o valor da terra no ponto 𝑥 𝑦 seja 𝑉 milhares de reais onde 𝑉 300 𝑥 𝑦𝑒001𝑥 Estime o valor de um terreno que ocupe a região retangular 1 𝑥 1 1 𝑦 1 6 Cálculo II Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 11 Um fabricante estima que quando 𝑥 unidades de certa mercadoria são vendidas no mercado interno e 𝑦 unidades são exportadas o lucro é dado por 𝐿𝑥 𝑦 𝑥 3070 5𝑥 4𝑦 𝑦 4080 6𝑥 7𝑦 centenas de reais Se as vendas mensais do mercado interno variam entre 100 e 125 unidades e as vendas mensais no exterior variam entre 70 e 89 unidades qual o lucro médio mensal 12 Calcule as integrais usando coordenadas polares a 𝐷 𝑥 𝑑𝐴 onde D é o disco com centro na origem e raio 5 b 𝐷 𝑥𝑦 𝑑𝐴 onde D é a região do primeiro quadrante compreendida entre os círculos 𝑥2 𝑦2 4 e 𝑥2 𝑦2 25 c 𝑒𝑥2𝑦2 𝐷 𝑑𝐴 onde D é a região limitada pelo semi círculo 𝑥 4 𝑦2 e o eixo y 13 Descreve a região dada a seguir usando coordenadas polares 14 Calcule o volume do sólido S que está abaixo do paraboloide circular 2 2 z x y no interior do cilindro circular reto 2 2 4 x y e acima do plano xy como mostra a figura abaixo 15 Usando integral dupla por coordenadas polares calcule o volume do sólido que está abaixo do paraboloide 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 4 e acima do círculo 𝑥2 𝑦2 1 Gabarito dos exercícios propostos 1 a 10 b 1 c 4 15 31 93 4109 d 6 12e e 212 f 9 ln2 g31 2 𝜋 12 0104226 h ln2716 2 a 375 b 16627 3 36 4 a 25621 b 1 2 ln 2 0346574 c 1cos12 d 14720 5 a 635 b 318 c 16 d 13 6 a 0 b 6098 c 𝜋21 𝑒4 1542 7 503 8 a 23 0 ½ b 6 3432 9 a 1 3 𝑒3 1 636185 b 1720 c 4 d 65 28 e 1 10 10 Aproximadamente 1200 11 R 248965000 12 a 0 b 6098 c 𝜋21 𝑒4 1542 13 1 2 0 2 R r 14 8 u v 15 9 2 u v AULAS PRÁTICAS 1 Calcule a integral 𝑦𝑥 𝑥𝑦3 1 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 1 0 2 Represente o sólido que está entre a superfície 𝑧 2𝑥𝑦 𝑥21 e o plano 𝑧 𝑥 2𝑦 e é limitado pelos planos 𝑥 0 𝑥 2 𝑦 0 e 𝑦 4 Determine seu volume 3 Represente a região compreendida entre as funções dadas Use o geogebra para estimar as interseções e calcule 𝐷 𝑥 𝑑𝐴 a 𝑦 𝑥4 e 𝑦 3𝑥 𝑥2 b 𝑦 4𝑥3 𝑥4 e 𝑦 3 4𝑥 4𝑥2 4 Encontre o valor aproximado do sólido no primeiro octante limitado pelos planos 𝑦 𝑥 𝑧 0 𝑧 𝑥 e pelo cilindro 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥 Utilize o geogebra para estimar os pontos de interseção