Integrais Triplas

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS Atividade Avaliativa 2 Cálculo Diferencial e Integral III 20241 Professor Vinicius Arakawa 13052024 Essa atividade avaliativa será realizada em grupos de até 4 quatro pessoas sendo necessária a entrega de um trabalho único com 6 seis exercícios resolvidos com a seguinte escolha I 10 ponto Escolher um item entre as questões 1 a 5 II 10 ponto Um item da 6 III 15 ponto Um item da 7 ou 8 IV 15 ponto Um item da 9 V 25 pontos Um item da 10 VI 25 pontos Um item da 11 Todos os esboços das regiões de integração e desenvolvimento das contas devem estar nas respostas Os esboços poderão ser feitos usando Geogebra ou outro software de gráficos Respostas sem esboço ou sem desenvolvimento das contas não serão considerados Trabalhos com respostas e escolhas de itens idênticas serão ambas desconsideradas e atribuídas a nota 00 zero para todos os integrantes dos grupos mesmo que as respostas estejam todas corretas Lembrando que todo conteúdo teórico foi apresentado de maneira introdutória em sala de aula entretanto foi disponibilizado para consulta no Google Sala de Aula material auxiliar para a confecção desse trabalho O trabalho deverá ser entregue em mãos para mim até o dia 07062024 6a feira no horário de aula até 15h10 O grupo poderá entregar antes dessa data se já finalizarem mas não serão aceitos trabalhos após esse data e horário Por ser uma atividade avaliativa não será possível consulta de dúvidas relacionadas de exercícios específicos da lista Os monitores de cálculo serão informados dessa atividade e também não poderão resolver os exercícios para vocês Atenciosamente Prof Vinicius Arakawa I 10 ponto Escolher um item entre as questões 1 a 5 1 Calcule D xy y3 dV onde D xyz R3 1 x 1 0 y 2 0 z 1 utilizando 3 ordens diferentes de integração 2 Calcule D z2y x3 dV onde D xyz R3 1 x 1 0 y 2 0 z 1 utilizando 3 ordens diferentes de integração 3 Calcule D zx2 y dV onde D xyz R3 1 x 1 0 y 2 0 z 1 utilizando 3 ordens diferentes de integração 4 Calcule D x3z y2 dV onde D xyz R3 1 x 1 0 y 2 0 z 1 utilizando 3 ordens diferentes de integração 5 Calcule D xy yz3 dV onde D xyz R3 1 x 1 0 y 2 0 z 1 utilizando 3 ordens diferentes de integração II 10 ponto Um item da 6 6 Calcule as integrais a 01 0z 0xz 6xz dydxdz b 03 01 01z2 zey dxdzdy c 01 x2x 0y 2xyz dzdydx d 01 0z 0y zey2 dxdydz e 02 1y2 1z yz dxdzdy f 0π4 01 0x2 xcosy dzdxd y g 03 09z2 0x xy dydxdz h 12 z2 03y yx2 y2 dxdydz i 13 xx2 0lnz xey dyd zdx III 15 ponto Um item da 7 ou 8 7 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral a 11 1x21x2 0y dzdydx b 09 0y3 0y2 9x2 dzdxd y c 02 02y 02xy dxdydz 8 Em cada uma das regiões W abaixo escreva a integral tripla W fxyzdV na forma de integral iterada a W x2 y2 z2 1 b W é a região dentro da esfera x2 y2 z2 2 e acima do gráfico da curva dada por z x2 y2 c W é a região fora do cone z2 x2 y2 e dentro da esfera x2 y2 z2 2 IV 15 ponto Um item da 9 9 Calcule as seguintes integrais triplas a E 6xy dxdydz onde E está abaixo do plano z 1 x y e acima da região do plano xy limitada pelas curvas y x y 0 e x 1 b E z dxdydz onde E é a região no primeiro octante limitada pelos planos y 0 z 0 x y 2 2y x 6 e o cilindro y2 z2 4 c E xy2 z3 dxdydz onde E é a região do primeiro octante limitada pela superfície z xy e os planos y x x 1 e z 0 d E y dxdydz onde E xyzx2 y2 z 1 e E x dxdydz onde E é limitado por z x2 y2 z 2 no primeiro octante f E x3 y3 z3 dxdydz onde E é o sólido limitado pela esfera de centro na origem e raio 2 g E zx2 y2 dxdydz onde E é limitado pelo cilindro x2 y2 2x e os planos y 0 z 0 e z 2 V 25 pontos Um item da 10 10 Calcule o volume dos sólidos W descritos abaixo a W é limitado pelo cone z x2 y2 e o paraboloide z x2 y2 b W é limitado pelas superfícies z 4 x2 y2 e z y e está situado no interior do cilindro x2 y2 1 e z 0 c W xyz R3 z 1 x y z 7 e x y2 d W xyz R3 x2 y2 z2 4 e z2 x2 y2 e W é limitado pelos planos 4y 2x z 8 x 0 y 0 e z 0 f W é limitado por z 9 x2 z 5 y y 0 e y 5 g W é limitado por z x2 9 z y 4 y 0 e y 4 VI 25 pontos Um item da 11 11 Calcule as integrais triplas abaixo usando uma mudança de variáveis conveniente a W z dxdydz onde W xyz R3 x2 y2 z2 1 z 0 e x2 y2 14 b W 1z2 dxdydz onde W é o sólido limitado pelas superfícies z x2 y2 z 1 x2 y2 e z 4 x2 y2 c W x2 y2 z212 dxdydz onde W xyz R3 x2 y2 z2 4 d W x2 y2 dxdydz onde W é a região limitada por 2z x2 y2 e z 2 e W ex2y2z23 dxdydz onde W xyz R3 x2 y2 z2 1 f W x2 y2 z212 dxdydz onde W é o sólido limitado inferiormente por z x2 y2 e superiormente por x2 y2 z 122 14 g W a dxdydz onde W xyz R3 x2 y2 z2 1 x 0 Cálculo III II Questão 1 1º D xy y3 dV 01 02 y2 xy y3 dx dy dz 01 02 x2 y 2 x y3 y2 dy dz 01 02 y3 2 1 y3 2 dy dz 01 02 2y3 dy dz 01 2 y4 4 02 dz 01 2 24 4 2 04 4 dz 01 8 dz 8 z 01 8 2º D xy y3 dv 11 01 02 xy y3 dy dz dx 11 01 x y2 2 y4 4 02 dz dx 11 01 x 22 2 24 4 0 dz dx 11 01 2x 4 dz dx 11 2x 4 z 01 dx 11 2x 4 dx x2 4x 11 1 4 1 12 4 1 8 33 02 11 01 xy y3 dz dx dy 02 11 xy y3 z 01 dx dy 02 11 xy y3 dx dy 02 x2 y2 xy311 dy 02 12 y2 1 y3 12 y2 1 y3 dy 02 2 y3 dy 2 y44 02 2 24 4 0 8 II Questão 6 item a 01 02 0xz 6xz dy dx dz 01 02 6x y z 0xz dx dz 01 02 6x z x z dx dz 01 02 6x2 z 6x z2 dx dz 01 6 x3 z 3 3 x2 z2 02 dz 01 2 z3 3 z2 z dz 01 5 z4 dz 5 z5 5 01 15 05 1 III Questão 8 item a A região W x2 y2 z2 1 representa todos os pontos no interior da esfera de raio 1 e centro na origem Assim para escrever a integral tripla W fxyz dv na forma iterada vamos utilizar coordenadas esféricas As coordenadas esféricas são dadas por x ρ senφ cosθ y ρ senφ senθ z ρ cosφ onde ρ é a distância radial φ é o ângulo polar medido a partir do eixo z e θ é o ângulo azimutal medido no plano xy a partir do eixo x Além disso em coordenadas esféricas o elemento de volume é dV ρ2 sen φ dρ dφ dθ Assim W pode ser expressa como 0 ρ 1 0 φ π 0 θ 2π Portanto W fxyz dV 02π 0π 01 fρ senφ cosθ ρ senφ senθ ρ cosφ ρ2 sen φ dρ dφ dθ IV Questão 9 item d Temos que E xyz x2 y2 z 1 então vamos resolver a integral utilizando coordenadas cilíndricas As coordenadas cilíndricas são dadas por x r cos θ y r sen θ z z Além disso o elemento de volume é dV r dr dθ dz Observe que x2 y2 r2 cos2 θ r2 sen2 θ r2 r Assim os limites de integração são 0 r z 0 θ 2π 0 z 1 02 4y3 16y2 16 dy 4 y33 8 y2 16 y 02 4 233 8 22 16 2 323 32 32 323 VI Questão 11 item g Temos que W xyz R3 x2 y2 z2 1 e x 0 é o conjunto de todos os pontos no interior da semiesfera de raio 1 e centro 000 tal que x 0 Logo vamos utilizar coordenadas esféricas Temos que 0 ρ 1 0 φ π Além disso x 0 ρ sen θ cos θ 0 cosθ 0 π2 θ π2 pois ρ 0 e senφ 0 quando 0 φ π Logo W a dx dy dz π2π2 0π 01 a r2 sen φ dρ dφ dθ π2π2 0π a r3 senφ301 dφ dθ π2π2 0π a senφ3 dφ dθ π2π2 a cosφ30π dθ π2π2 a cosπ3 a cos03 dθ π2π2 2a3 dθ 2a3 θ π2π2 2a3 π2 π2 2aπ3