Introdução a Sinais e Sistemas: Transformada de Laplace e Modelagem de Sistemas Mecânicos

SUMÁRIO 1 SINAIS E SISTEMAS 2 1 SINAIS E SISTEMAS 3 TRANSFORMADA DE LAPLACE 22 Assim se dissemos que cada elemento de um sistema é um subsistema a forma como estes interagem entre si é através dos sinais que os interligam Fazendo uma varredura histórica há vários exemplos de sistemas primitivos de controle porém um dos mais significativos foi a máquina automática de vapor de James Watts 1775 conhecida como regulador centrífugo Seu esquema pode ser observado na Figura 1 Este funcionava baseado na força centrífuga aplicada a duas esferas ligadas ao eixo de um motor a vapor Para este tipo de motor quanto maior a pressão maior será sua velocidade fazendo com que as esferas ligadas a braços mecânicos se afastem do eixo acionando uma válvula que fazia com que o fluxo de vapor entregue à máquina fosse regulado em torno de um valor fixo Nesta máquina temos vários exemplos de sinais com características diferentes primeiramente a pressão de vapor é um dos sinais inclusive sendo aquele que se deseja controlar em segundo a velocidade de rotação do regulador já que a posição da válvula depende diretamente desta velocidade a velocidade do eixo de saída é outro sinal assim como a posição da válvula Assim devemos sempre entender um sinal como uma informação ou conjunto de informações que interferem no sistema ou em parte dele Agora podemos caracterizar um sistema do ponto de vista dos sinais como mostra a Figura 2 4 MODELAGEM DE SISTEMAS MECÂNICOS 34 11 Sinais contínuos e discretos Os sinais podem ser classificados em contínuos ou discretos conforme suas características de continuidade tanto no tempo quanto em magnitude Assim dizemos que um sinal é contínuo no tempo se ele existir em todo o intervalo de tempo definido para aquele sinal A Figura 3a traz um exemplo de sinal contínuo no tempo Um sinal discreto no tempo não existe em todo o tempo definido mas apenas em momentos específicos do intervalo definido geralmente a intervalos regulares conforme mostrado na Figura 3b Os sinais também podem ser contínuos ou discretos em magnitude como mostrado nas Figuras 4a e 4b Observandose os sinais da Figura 3 percebese que ambos são contínuos em magnitude mas poderiam também ser discretos em magnitude Da mesma forma os sinais mostrados na Figura 4 são contínuos no tempo mas poderiam ser discretos A partir destes conceitos podemos definir um sinal analógico e um sinal digital Caso o sinal seja contínuo no tempo e na magnitude será considerado analógico Um sinal digital ao contrário será aquele que for discreto no tempo e na magnitude 5 MODELAGEM DE SISTEMAS ELÉTRICOS 42 Os sinais físicos são análogos na grande maioria por serem contínuos no tempo e em magnitude Porém a fim de limitar a quantidade de informação a ser tratada pelos controladores esses sinais tipicamente são convertidos em sinais digitais discretos no tempo e em magnitude Um sinal analógico amostrado e quantizado pode ser recuperado desde que a frequência de amostragem seja no mínimo o dobro da frequência do sinal segundo a teoria de Nyquist 12 Sinais determinísticos e estocásticos Se um sinal puder ser representado por uma função matemática este é considerado determinístico Caso contrário será um sinal estocástico também conhecido como sinal randômico ou aleatório A princípio parece estranho analisar um sinal que não tem função matemática porém estes não podem ser totalmente desprezados pois estão presentes de muitas formas principalmente como ruído em linhas de sinais principalmente em sinais elétricos Assim esse ruído causa anomalias em sistemas de controle prejudicando o desempenho esperado e dificultando o projeto de controladores Mas como tratar um sinal que não tem representação matemática A resposta é simples utilizando modelos estatísticos que representam não o sinal em si mas um valor conhecido de sua magnitude Assim podese definir a energia e a potência de um sinal Ex x²tdt Px lim T 1T 0T x²tdt Estas relações são válidas para qualquer sinal mas são especialmente importantes para análise de sinais estocásticos Note que para que um sinal tenha potência sua duração deve ser finita caso contrário este terá energia infinita 13 Sinais periódicos Um sinal é dito periódico se ele se repetir a intervalos regulares chamado de período T Assim para um sinal qualquer ser periódico deve valer a seguinte relação xt xt k T k ℤ Assim os sinais mostrados na Figura 5 são todos periódicos 6 MODELAGEM EXPERIMENTAL E MODELOS EQUIVALENTES 48 Um detalhe importante quando se trata de sinais amostrados é que o período de amostragem deve sempre ser um submúltiplo do período do próprio sinal pois caso contrário o sinal deixa de ser periódico 7 RESPOSTA EM REGIME TRANSITÓRIO 51 Outro exemplo é quando se projeta o amortecedor de um carro Este tem um comportamento baseado em seus elementos mecânicos e pode ser mais duro ou mais mole conforme a associação destes elementos Quando o carro passa por um buraco por exemplo o amortecedor sofre uma deformação Este ato de passar num buraco é outro exemplo de sinal de excitação 8 RESPOSTA EM REGIME PERMANENTE 62 Este sinal será definido como ut begincases 0 t t0 a t geq t0 endcases O sinal do tipo degrau é o mais utilizado porque tipicamente desejase que a saída do sistema assuma um único valor fixo ou o mais próximo possível desse valor 9 ANÁLISE PELO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES LGR 72 Esta Figura mostra a representação simples de um sistema com os sinais de entrada e saída representados O termo LIT referese a sistemas lineares e invariantes no tempo Sistemas lineares são aqueles que obedecem ao teorema da superposição ou seja sistemas que apresentam as seguintes características matemáticas considerando que um sinal x1t gera na saída do sistema um sinal y1t se multiplicarmos x1t por um fator k a saída y1t será multiplicada pelo mesmo fator k Da mesma forma se aplicarmos um sinal de entrada x2t que gera uma saída y2t quando aplicarmos os dois sinais somados na entrada do sistema a saída será a soma das saídas individuais Matematicamente x1t y1t x2t y2t x1t x2t y1t y2t Ainda é possível colocar as duas propriedades numa só de forma que para ser linear o sistema deve atender k1 x1t k2 x2t k1 y1t k2 y2t O fato do sistema ser invariante no tempo significa que suas características não variam com a passagem do tempo ou seja seu comportamento mediante um determinado sinal de excitação será o mesmo neste instante ou em qualquer instante futuro Alguns sistemas como reatores químicos ou foguetes espaciais são variantes no tempo e não podem ser tratados da mesma forma que neste estudo Para tais sistemas existem técnicas especiais baseadas em identificação de parâmetros e técnicas adaptativas de uma forma geral Para entendermos melhor como um sistema é formado vamos utilizar o diagrama da Figura 10 Neste podemos ver um sinal de excitação que para este diagrama é chamado de setpoint pois é o valor de estabilização que se deseja atingir para a saída O sistema físico ou planta normalmente é representado por Gs e este é obtido a partir da modelagem matemática ou experimental que estudaremos mais adiante Para que se possa interagir com o sistema é necessário que se tenha ou se identifique na planta um atuador que nada mais é do que aquele elemento que irá gerar o sinal físico de excitação da planta O sinal de saída é chamado de sinal medido ou variável controlada Este sinal representa o que queremos controlar temperatura do forno pressão da linha tensão num carregador etc Para medir a variável de saída é necessário que se tenha um sensor ou transdutor que forneça um sinal proporcional à variável controlada e que possa ser comparada com o setpoint Normalmente representamos o sensor como Hs 10 ANÁLISE PELO MÉTODO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 89 Figura 10 Diagrama generalizado de um sistema qualquer Por último mas não menos importante temos o controlador que interpreta o sinal saído do bloco subtrator normalmente chamado de sinal de erro e gera um sinal de controle para que o atuador seja acionado e interaja com a planta gerando o comportamento desejado do sistema como um todo Este controlador pode ser um computador um microcontrolador um circuito eletrônico uma válvula hidráulica proporcional ou qualquer sistema que consiga gerar este sinal de controle Atualmente se utiliza sistemas microprocessados para realizar o controle da planta 17 Classificação de sistemas Dentro das várias características dos sistemas ou plantas podemos citar o número de entradas e saídas para caracterizar uma planta Quando o sistema possui uma única entrada e uma única saída que é o foco do nosso estudo é chamado de sistema SISO Single Input Single Output Caso contrário será um sistema MIMO Multiple Inputs Multiple Outputs Quando o sistema é do tipo MIMO o trabalho de projetar um controlador fica extremamente mais difícil pois deixamos de trabalhar com equações ordinárias para trabalhar com matrizes de equações interrelacionadas Neste caso ao invés de utilizar as técnicas que estudaremos aqui entramos no que é conhecido como Controle Moderno em que se utiliza de matrizes de controle e técnicas de projeto totalmente diferentes Outra característica importante é a memória de sistema Se a saída do sistema for dependente apenas da entrada no momento atual este é dito sistema sem memória memoryless Quando a saída depende da entrada atual e de alguma entrada ou valor da própria saída em instantes anteriores este é um sistema com memória Um caso típico de sistema com memória é quando em sua representação matemática aparecer uma integral pois como sabemos a integral acumula o valor da função ao longo do tempo caracterizando um sistema com memória Um sistema é dito causal quando sua saída depender somente da entrada atual e passadas Caso contrário será dito um sistema nãocausal Este é um sistema que depende das entradas futuras antecipando algum tipo de resposta que ainda vai acontecer Obviamente que fisicamente isto é impossível mas alguns sistemas utilizam preditores que tentam antecipar a resposta gerando resultados mais rápidos e confiáveis para a variável controlada Um exemplo prático disso são os sistemas de controle de estabilidade nos automóveis mais modernos em que o sistema faz uma leitura das condições do piso ao qual o automóvel vai passar dali a instantes e atualiza seus parâmetros de forma que se possa garantir as melhores condições de dirigibilidade 18 Simulador de sistemas GNU Octave O projeto de controladores muitas vezes exige que se utilize simuladores pois nem sempre é viável construir protótipos pelo menos não antes de se chegar próximo ao objetivo Assim utilizase softwares de simulação e matemáticos a fim de avaliar o comportamento do sistema de forma virtual para depois então implantarse o sistema de forma física O software mais utilizado na área de controle é o Matlab que possui variados recursos para simulação de sistemas porém tem um custo razoavelmente alto Assim através do conceito de software livre foi criado o GNU Octave que possui várias ferramentas úteis para análise de sistemas O Octave pode ser encontrado para download gratuito no endereço httpswwwgnuorgsoftwareoctave Basicamente o Octave é um software matemático realizando várias operações e solução de equações matemáticas Aqui vamos nos ater aos comandos que utilizaremos nas nossas atividades O ambiente básico do Octave é mostrado na Figura 11 Normalmente digitase diretamente na linha de comando mas é possível escrever uma sequência de comandos e salvar num arquivo para ser executado posteriormente Os comandos do GNU Octave são em sua grande maioria compatíveis com o Matlab Alguns comandos úteis que serão utilizados durante o semestre Limpar a área de trabalho clc Atribuição de valor à variável K 10 Vetor Den 1 56 045 1 Carregamento da biblioteca de controle pkg load control Atribuição de sistema linear g tfnum den Definição da variável complexa s s tfs Multiplicação de dois vetores polinômios c conva b Obtenção de raízes de polinômio roots1 5 25 125 Qual é a importância dos sinais físicos para a área de controle de processos 2 Um ECG reproduz os batimentos cardíacos do coração humano através da implantação de eletrodos na região torácica O sinal obtido com o ECG é um sinal contínuo ou discreto no tempo e em amplitude Justifique sua resposta 3 Qual é a função da realimentação de um sistema físico do ponto de vista do controle de processos 4 Um forno industrial é utilizado para fazer o tratamento térmico de ganches industriais No início com o forno em cerca de 200ºC o material é colocado no interior a fim de iniciar o processo Então o operador após fechar a porta gira um botão que indica que a temperatura do forno deve ser 800ºC Um conjunto de resistências elétricas aquece o material até essa temperatura por aproximadamente 20 minutos Um termômetro mostra a temperatura no interior do forno Considerando este como um sistema de malha aberta indique o que pode ser feito para que o sistema se torne malha fechada 5 Explique a diferença entre um sinal impulso e um sinal degrau e dê exemplos de onde podem ser utilizados pesquise se necessário 2 REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS E SEUS ELEMENTOS Como já foi visto um sistema é composto de diferentes elementos e sempre é baseado no comportamento físico da planta Normalmente este sistema por si só é constituído de uma planta e um atuador que pode ou não estar integrado à própria planta Vamos a exemplos de sistemas com este enfoque Um elevador pode ser entendido como uma planta e a posição do mesmo é a variável de saída Para movimentar o elevador é necessário aplicar movimento ao motor que o traciona assim este motor pode ser entendido como o atuador do sistema Porém é necessário perceber que o motor fornece uma velocidade de rotação em seu eixo enquanto que a variável de saída é a posição do elevador Assim o conjunto de polias e engrenagens que convertem a velocidade do eixo do motor em posição do elevador também fazem parte da planta Outro exemplo é um reservatório de água para o qual se deseja que o nível esteja sempre dentro de uma determinada faixa a fim de atender à demanda Uma bomba puxa água da rede e joga para dentro do reservatório Assim a bomba faz a função de atuador porém fornece um sinal que é em vazão de água enquanto que a variável controlada é a altura da água no reservatório A relação entre a quantidade de água de entrada de saída e a altura do reservatório fazem parte da modelagem desta planta Observe as Figuras 1a e 1b No exemplo da Figura 1a percebese que a planta é formada por dois subsistemas um que representa o conjunto mecânico que converte rotação em posição linear e outra formada pela estrutura física do próprio elevador No segundo exemplo o reservatório em si pode ser entendido como a planta inteira já que a relação é direta entre altura de água e vazões porém a vazão de saída representada pela demanda de água está atuando diretamente na planta e desta forma é entendida como uma perturbação pois quando há demanda de água o nível do reservatório sai de seu valor de estabilização Um sinal de perturbação é um sinal de entrada indesejado que afeta o sinal de saída Dorf Bishop 2018 p 181 Este sinal de perturbação pode atuar de diversas formas diretamente no sinal de entrada setpoint no sinal do atuador no de saída ou no sinal fornecido pelo sensor como veremos adiante Estes exemplos da Figura 1 mostram o que chamamos de malha direta Na verdade ainda falta o controlador que fornece o sinal de controle para o atuador considerando a variável medida e o setpoint Assim a malha direta pode ser entendida conforme diagrama da Figura 2 Neste caso o sinal de referência indica qual é o valor desejado da variável de saída ou controlada O controlador faz os ajustes necessários para que o atuador forneça a energia necessária à planta para que a variável de saída atinja o valor fornecido pela referência Vamos a um exemplo muito simples uma ducha eletrônica Neste caso o sinal de referência é a posição do disco ligado a um potenciómetro que indica qual a temperatura aproximada que se deseja que a água atinja O controlador será o circuito eletrônico de potência com TRIAC que regula a potência gerada O atuador é a própria resistência do chuveiro que converte a energia elétrica em térmica variando assim a temperatura da água A planta é constituída da própria estrutura do chuveiro e do fluxo de água Neste exemplo podemos citar sinais de perturbação como alterações na vazão de água e sua temperatura Mas antes de prosseguirmos precisamos fazer uma reflexão importante Com base no exemplo dado como se pode garantir que a água estará na temperatura desejada sem a necessidade de se colocar a mão com risco de sentir um calafrio ou de queimar os dedos Essa pergunta nem tem tanto cabimento para este sistema pois a temperatura vai ser regulada colocandose a mão e ajustando o potenciómetro até que se tenha a temperatura desejada Porém num sistema mais complexo como uma reação química ou na aplicação de um revestimento em que é necessária uma determinada temperatura para garantir a qualidade do processo não basta que se coloque a mão ou que se tenha um display de temperatura para que o operador ajuste manualmente Assim chegamos ao conceito de controle automático que é o foco da grande maioria dos estudos na área de controle Este pressupõe que a variável controlada pode ou não estar no valor desejado já que qualquer alteração na planta ou perturbação alterará seu valor Logo é necessário verificar se a variável controlada está realmente no valor desejado comparandoa com o valor de referência e gerando o que chamamos de sinal de erro conforme diagrama da Figura 3 Este é um sistema dito de malha fechada pois há uma realimentação do sinal de saída que é comparado ao sinal de entrada Genericamente o bloco na malha de realimentação é um sensor mas pode ser somente um circuito que adeque o sinal de saída para ser comparado ao sinal de entrada Em um sistema de controle de malha fechada o sinal de erro atuante que é a diferença entre o sinal de entrada e o sinal de realimentação realimenta o controlador de modo a minimizar o erro e acertar a saída ao valor desejado Ogata 2010 p 7 Notese que o bloco subtrator compara o sinal de referência a partir de agora chamado simplesmente setpoint com o sinal de realimentação derivado da saída do sensor Estes sinais devem ter a mesma natureza para que faça sentido a comparação Assim não se pode comparar um sinal de tensão com um sinal de resistência por exemplo Essa é a função do bloco de realimentação que muitas vezes é formado por um sensor com um circuito de ajuste A saída do bloco subtrator gera o sinal de erro Este será nulo sempre que a variável controlada estiver no valor do setpoint pois a diferença entre os dois será nula Se o valor da variável de controle não for o desejado o sinal que chega ao bloco subtrator será diferente do setpoint gerando um sinal de erro que será detectado pelo controlador que deverá gerar o sinal de controle fazendo com que o atuador leve a planta para o valor desejado da saída 21 Representação por diagrama de blocos Um sistema geralmente é representado graficamente pois facilita a visualização de suas partes e a compreensão de suas interligações A representação por blocos pressupõe que aquele bloco fornece uma relação matemática entre a entrada e a saída e algumas regras devem ser observadas A Figura 4 traz a lógica do bloco simples do sinal de entrada e do sinal de saída respectivamente Gs é conhecido como a função de transferência FT deste bloco Como no caso em que o atuador é separado da planta temos dois blocos cascateados conforme Figura 5 Neste caso não é difícil provar que a função de transferência equivalente aos dois blocos cascateados é o próprio produto entre as FTs dos dois blocos assim Ys G₁s G₂s Xs Da mesma forma é possível associar dois blocos em paralelo conforme Figura 6 Neste caso a FT equivalente aos dois blocos é a soma simples das FTs dos dois blocos Ys G₁s G₂s Xs Uma coisa importante que se deve observar nos blocos é que o sinal Xs pode ser dividido em 2 e alimentar a entrada dos dois blocos pois é um sinal de entrada Porém os dois sinais Z₁s e Z₂s não podem ser simplesmente ligados diretamente mas apenas através de um bloco somador para gerar o sinal Ys pois são sinais de saída Assim jamais se deve interligar as saídas de dois ou mais blocos diretamente pois não têm coerência matemática e fisicamente pode levar a curtoscircuitos sobrepressões ou outros fenômenos geralmente desastrosos Dentre as várias transformações que podem ser feitas em um diagrama de blocos tem uma que se sobressai como mostrado na Figura 7 Neste caso o bloco Gs está na entrada do sistema e há um sinal Zs que provavelmente é um sinal de realimentação Pode ser necessário avaliar a influência do bloco Gs na saída Ys sendo necessário transpôlo para após do bloco somador Para que seja feito é necessário observar que o bloco Gs não influencia no sinal Zs e portanto é necessário que este seja compensado na linha deste sinal conforme Figura 8 Existem outras relações ou transformações de blocos que podem ser feitas mas estas resumem o que é mais recorrente Note que transformações de blocos podem ser feitas sempre que se modela um sistema por partes o que é bastante comum O ideal é que no final se tenha um sistema mais ou menos como o da Figura 3 com pequenas variações 22 Realimentação de sistemas Já foi discutido brevemente a importância de se realizar a realimentação da saída e comparála com o setpoint a fim de manter a variável controlada o mais próximo possível do valor desejado Porém este conceito que comumente chamamos de malha fechada MF tem uma importância ainda mais enfática no universo do controle A ideia da realimentação é praticamente a base do controle já que conceitualmente sem realimentação em malha direta MD não há controle efetivo apenas uma tentativa de se chegar ao resultado sem garantílo Vamos então analisar o bloco de realimentação conforme Figura 9 Este é um sistema com realimentação unitária e FT em malha direta Gs O sinal Rs é o setpoint e Cs é a variável controlada na verdade suas transformadas O sinal de erro Es é dado pela diferença entre o setpoint e a variável controlada já que o bloco de realimentação é unitário Es Rs Cs A saída é dada por Cs Gs Es Substituindo a equação do erro na equação da saída temos Cs Gs Rs Cs Organizando esta equação obtemos a equação de transferência de malha fechada FTMF Cs Rs Gs 1 Gs Esta equação genérica é base para todo e qualquer sistema em malha fechada e deve ser muito bem analisada e compreendida Note que a realimentação tem sinal negativo mas o sinal na FTMF é positivo Não é difícil provar que se houver um bloco de realimentação Hs no sistema conforme Figura 10 a FTMF será dada por Cs Rs Gs 1 Gs Hs Lembrando que Gs representa todos os blocos da MD podendo compreender o controlador o atuador e a planta 23 Transformada de Laplace Até agora estivemos tratando nossos sistemas como blocos caracterizando as FTs como Gs e Hs e os sinais como Xs e Ys mas sem aprofundar o que significa essas expressões A partir de agora vamos conceituar a Transformada de Laplace e apresentála sob o ponto de vista do controle Os sinais físicos são representados em sua grande maioria como funções temporais dependentes da variável tempo Assim quando se relaciona fisicamente os sinais são encontradas equações diferenciais que relacionam duas ou mais variáveis temporais que são nossos sinais Porém tratar matematicamente equações diferenciais nem sempre é simples A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que simplifica e muito a análise do comportamento de sistemas lineares pois transforma sistemas representados no domínio do tempo em sistemas representados no domínio da frequência cujas funções são polinômios Vamos a um exemplo Considere a equação diferencial que relaciona xt e yt conforme a equação abaixo dyt dt 3 yt 2 xt A Transformada de Laplace de uma função temporal qualquer é dada a partir de Xs 0 xt estdt Se aplicarmos a Transformada de Laplace a este sistema teremos s Ys 3 Ys 2 Xs Onde s é a variável complexa dada por s σ j ω Para a variável complexa s σ representa a atenuação da variável complexa e ω a frequência em rads Normalmente a atenuação é desprezada e dizse que s j ω Assim quando se aplica a Transformada de Laplace é feita uma transformação bilinear que relaciona tempo e frequência Na prática sabemos que há uma relação intrínseca entre as duas variáveis independentes pois a frequência é inversamente proporcional ao período do sinal que representa uma grandeza temporal A frequência de um sinal está diretamente relacionada à variação deste sinal no tempo pois quanto mais rápida for a variação derivada no ponto de um sinal maior terá de ser a frequência para que esta variação aconteça Se reorganizarmos a FT no domínio da frequência do sistema apresentado teremos s 3 Ys 2 Xs Ou ainda Ys Xs 2 s 3 Esta é a função de transferência de malha direta FTMD do sistema representado pela equação diferencial do exemplo Esta equação formada sempre por uma razão entre polinômios representa a dinâmica da planta sendo que a análise deste sistema é feita sempre a partir de sua FT Esta função genérica mostra os polinômios As no denominador e Bs no numerador As exprime o comportamento dinâmico da planta sendo que Bs influencia mas em aspectos de menor importância Alguns conceitos devem ser avaliados deste FT começando pelo valor de n na equação O grau do polinômio do denominador de uma FT é denominado a ordem do sistema pois exprime quantas raízes este sistema possui no denominador Assim o valor de n é um dado importante na análise de sistemas Por uma questão de causalidade e portanto viabilidade física de implementar o sistema o grau do polinômio do denominador deve ser maior ou igual ao do numerador ou seja n m As raízes do polinômio do numerador Bs são chamadas de zeros do sistema pois quando a frequência está em suas redondezas a energia do sistema tende a zero Por outro lado as raízes do polinômio do denominador são chamadas de pólos do sistema pois em sua redondeza a energia do sistema tende a infinito Os pólos de um sistema definem seu comportamento dinâmico A partir de agora trataremos todos nossos sistemas com base em seus pólos e zeros 24 Exercícios 1 Observe o sistema abaixo e tente identificar os principais elementos colocandoos em forma de diagrama de blocos 2 Explique os termos explorando as diferentes características de cada a Sinal de excitação b Variável controlada c Controle em malha aberta d Controle automático e Sinal estocástico f Linearidade de sistemas g Atuador no sistema de controle automático h Sensor no sistema de controle automático i Sistema MIMO 3 Simplifique os sistemas abaixo de forma a determinar a FT equivalente a Xs K1 155 Ys b Xs K1 1s1 Ys 1s6 c Xs K2 Ys 1s1 4 Explique o conceito de perturbação para um sistema de controle 5 Considere um sistema cuja FTMD é dada por Gs 4 s2 5 s 2 Encontre a FTMF considerando o bloco de realimentação descrito abaixo a Realimentação unitária b Realimentação com Hs 5 c Realimentação com Hs 2s 3 TRANSFORMADA DE LAPLACE Considere o sistema em malha direta mostrado na Figura 1 Figura 1 Sistema simplificado em malha direta MD Este possui uma FTMD do tipo Gs Bs As b0 sm b1 sm1 b2 sm2 bm1 s bm sn a1 sn1 a2 sn2 an1 s an Essa representação em forma de razão de polinômios pode ser analisada com base em seus pólos e zeros evidenciando os monômios que formam os polinômios Assim podemos reescrever Gs na forma Gs KMD s z1 s z2 s zm s p1 s p2 s pn Lembrando que n m Os valores de z1 z2 zm p1 p2 pn são os valores dos zeros e pólos do sistema respectivamente Aqui há um conceito que deve sempre ser analisado os pólos e zeros são os valores de s que fazem com que o respectivo monômio seja nulo Mas os pólos z são geralmente só negativos como veremos adiante assim quando o monômio for escrito será da seguinte forma Gs 1 s 1 Devese portanto tomar cuidado pois o valor do pólo é 1 pois é este valor que se substituído em s fará com que o monômio seja nulo Nas literaturas normalmente a equação genérica de Gs é descrita da seguinte forma Gs KMD s z1 s z2 s zm s p1 s p2 s pm O valor de KMD é um termo independente que depende do ganho da planta em MD Mais adiante tornaremos a falar deste valor O importante agora é manipular as FT para que tenhamos informações sobre os pólos e zeros 31 Pólos e zeros de sistemas Os pólos e zeros de sistemas tanto em MD quanto em MF podem ser de três tipos pólos reais simples pólos reais múltiplos e pólos complexos Podese ainda incluir um quarto tipo com características especiais são os pólos ou zeros na origem ou seja zero Um zero na origem é denominado um derivador enquanto que um pólo na origem é denominado um integrador Esta denominação de verdade tem origem na própria definição da Transformada de Laplace pois uma integral simples quando aplicada a transformada tornase um pólo na origem Os pólos e zeros incluindo integradores e derivadores definem como a planta se comporta quando um sinal de excitação é aplicado em sua entrada Na verdade os pólos é que definem o comportamento enquanto os zeros influenciam de forma oposta podendo inclusive compensar a influência de um pólo caso estes sejam de valores próximos Mais adiante analisaremos melhor o comportamento da planta baseado em seus pólos Por enquanto podemos adiantar que pólos reais influenciam principalmente no tempo de resposta da planta enquanto pólos complexos definem se haverá algum tipo de oscilação no sinal de saída Os integradores são importantes para a análise do sistema pois são elementos que acumulam energia fazendo com que a planta tenha comportamento diferenciado Vamos a um exemplo simples conforme FTMD mostrada abaixo G1s 1 s 1 Se acrescentarmos um integrador a esta planta modificaremos totalmente sua resposta a um sinal de excitação A planta com o integrador tornase G2s 1 s s 1 1 s2 s Esta planta G2s devido à presença do integrador terá um comportamento cumulativo não conseguindo estabilizar quando for aplicado um sinal de grau unitário de excitação conforme mostrado pela Figura 2 Figura 2 Resposta ao degrau de um sistema com pólo simples e outra com integrador Conforme se pode perceber o sinal de cor preta correspondente ao sistema sem o integrador sai de zero e tende a um valor final de estabilização enquanto que o sinal de cor vermelha devido à presença do integrador segue uma rampa e não estabiliza pois o integrador acumula energia fornecida pela aplicação do sinal tipo grau na entrada Mais adiante vamos voltar a falar de pólos e zeros e sua influência no comportamento da planta 32 Transformada de Laplace aplicada a sistemas lineares Já vimos anteriormente como a transformada de Laplace relaciona sistemas dependentes da variável tempo em sistemas dependentes da variável frequência O mais importante dentro da lógica da transformada é entender que esses sistemas em frequência são complexos pois a variável s é uma variável complexa A Tabela 1 traz as principais transformadas que utilizaremos ao longo do semestre Tabela 1 Transformadas de Laplace ft Fs δt impulso unitário 1 ut degrau unitário 1 s tn1 n 1 n 123 1 sn eat 1 s a 1 n 1 tn1 eat n 123 1 s an senωt ω s2 ω2 cosωt s s2 ω2 eat senωt ω s a2 ω2 eat cosωt s a s a2 ω2 Tipicamente os sistemas possuem FTs simples que resultam diretamente em polinômios como no exemplo visto Os sinais por sua vez podem ter formatos diferentes baseados no próprio comportamento da planta Assim é interessante que saibamos obter as funções temporais de sinais diversos Para isso vamos fazer uso da Teoria dos resíduos que permite que separemos uma função polinomial em uma somatória de termos independentes Considerando a FT genérica apresentada antes Ys r1 s p1 r2 s p2 r3 s p3 rn s pn Os termos rk são conhecidos como resíduos sendo obtidos através da equação generalizada rk s pk Gsspk Vamos a um exemplo uma planta apresenta um zero em 2 e dois pólos sendo um em 1 e outro em 5 Qual será sua resposta temporal a um sinal de excitação do tipo degrau unitário A FTMD da planta é dada por Gs s 2 s2 6 s 5 s 2 s 1 s 5 Quando é aplicado o degrau unitário na entrada temos que Ys Gs Xs Ys Gs s 2 s 1 s 5 1 s Onde 1s é a transformada do degrau unitário A FT ficará então Ys s 2 s s 1 s 5 Reorganizando os pólos e resíduos temos que Ys r1 s 1 r2 s 5 Determinando resíduos temos que r1 s s 2 s s 1 s 5s0 0 2 0 1 0 5 2 5 r2 s 2 s s 1 s 5s1 1 2 1 0 1 5s1 1 1 4 1 4 r3 s 2 s s 1 s 5s5 0 2 5 0 0 3 20 O sinal de saída terá então a seguinte Transformada Ys 25 1s 14 1s 1 320 1s 5 Aplicandose a Transformada inversa temse que yt 25 1 14 et 320 e5t Observandose a função temporal da resposta ao degrau é possível obter algumas informações O termo dado pelo degrau unitário é constante a partir da aplicação do próprio degrau Depois de passado muito tempo os termos que possuem exponencial tenderão a zero sobrando somente o primeiro termo que é o valor de estabilização deste sistema O termo com et tem um decaimento mais lento que o termo com e5t Isto implica que este último termo tem pouca influência na resposta pois rapidamente tende a zero Essa análise será feita mais adiante pois os pólos mais próximos à origem têm maior influência por ter uma resposta mais lenta Mas deixemos essa análise para depois A Figura 3 traz o gráfico da resposta temporal ao degrau unitário determinada para este sistema 33 Expansão em frações parciais de sistemas com pólos múltiplos Quando houver pólos múltiplos não é possível aplicar diretamente o teorema dos resíduos pois a multiplicação pelo monômio não elimina todos os termos no valor do pólo Assim é necessário que se utilize a derivada da função pois esta reduz a ordem do monômio simplificando a obtenção dos valores dos resíduos Vamos a um exemplo Gs Ys Xs s 1 s 22 Quando for aplicado um degrau unitário na entrada teremos Ys s 1 s s 22 Quando este sinal for separado em seus termos de frações parciais chegase a Ys fracr1s fracr21s 22 fracr22s 2 Assim o termo quadrático terá duas frações uma com ordem 2 e outra com ordem 1 Se fosse um termo de 4ª ordem este teria 4 componentes sempre reduzindo a ordem do expoente do monômio até a ordem 1 O valor de r1 e r21 é calculado normalmente r1 left fracs cdot cdot s 1s cdot s 22 rights0 left 0 1 right0 22 frac14 r21 left fracs 22 cdot s 1s cdot s 22 rights2 left frac2 12 rights2 frac12 Para determinar o valor de r22 é necessário aplicar a derivada na função após os pólos múltiplos terem sido eliminados utilizando a expressão genérica rki frac1i1 cdot fracdi1dsi1 lefts pki cdot Ysrightspk Assim para um fator de segunda ordem o segundo termo será obtido da primeira derivada da função residual da forma r22 frac12 1 cdot fracdds left s 22 cdot s 1 rights2 r22 frac11 cdot fracdds left fracs 1s rights2 Aplicandose a derivada nesta função antes de aplicar o valor de s obviamente temse r22 left frac1 cdot s 1 cdot s 1s2 rights2 leftfrac1s2rights2 frac14 O sinal expandido nas suas frações parciais será Ys frac14 s frac12 s 22 frac14 s 2 Aplicando a transformada inversa obtémse a resposta temporal do sinal de saída yt frac14 frac12 cdot t cdot e2t frac14 e2t Utilizandose os seguintes comandos podese plotar este sinal utilizando o Octave cuja resposta é dada pela Figura 4 t 00014 y 1412texp2t14exp2t plott y k Define variável t de 0 a 4 s com intervalo de 001 s Escreve a função temporal y1 Função plot de ty sendo com linha contínua e cor preta Após o termo t na segunda parte da função utilizase o comando pois a multiplicação de dois termos com a variável independente é vista como produto de vetores sendo o comando entendido como uma interpolação destes vetores Os pólos deste sinal são complexos e valem 2j Observandose a tabela de transformadas podese obter um modelo de resíduos que se parece com a transformada do seno amortecido ou seja ea t cdot sinomega cdot t rightarrow fracomegas a2 omega2 Expanding o termo no denominador da transformada do seno amortecido temse s a2 omega2 s2 2 cdot a cdot s a2 omega2 Comparandose com o denominador do sinal Ys temse que a 2 e omega 1 ou seja as partes real e imaginária dos polos respectivamente Neste caso podese reescrever o sinal Ys e obter a transformada diretamente Ys frac1s 22 12 rightarrow yt e2t cdot sint Vamos fazer outro exemplo para determinar a resposta temporal ainda utilizando um sinal de excitação impulso unitário Ys fracs 1s2 4 cdot s 5 Neste caso não é possível obter diretamente a resposta temporal pois a presença do zero implica em duas parcelas uma com seno e outra com cosseno Vamos expandir da seguinte forma utilizando as transformadas do seno e do cosseno Ys fracx1 cdot omegas a2 omega2 fracx2 cdot s as a2 omega2 Ys fracx1s 22 12 fracx2s 22 12 As constantes x1 e x2 são para normalizar a função Assim basta que igualemos a soma dos termos acima com o numerador do sinal Ys para obter os parâmetros inseridos x1 x2 cdot s 2 s 1 x2 cdot s x1 cdot 2 cdot x2 s 1 Por comparação chegase a x2 1 e x1 1 Assim o sinal terá o seguinte formato Ys fracs 2s 22 12 frac1s 22 12 Aplicandose a transformada inversa obtémse o sinal de saída temporal yt e2t cost e2t sent Plotandose este sinal com o Octave² temos detalhes mas é importante saber que os pólos devem sempre estar do lado esquerdo do plano ou seja devem ter parte real sempre negativa Assim o pólo mostrado à direita do plano s na Figura 7 define um sistema instável ou seja que tende a infinito Assim um zero com parte real positiva tem comportamento aparentemente idêntico a um zero com parte real negativa porém é necessário avaliar o comportamento assintótico a fim de verificar seu real comportamento 37 Exercícios 1 Considere os seguintes sistemas lineares descritos por sua FTMF Para cada um destes encontre os pólos determine os resíduos de cada pólo e a equação temporal quando aplicado um degrau unitário na entrada a G1s 5s22s b G2s s2s25s4 c G3s s1s27s10 d G4s 2s8s310s227s18 e G5s 1s22s1 f G6s s24s3s39s224s20 g G5s 10s22s1 h G6s s5s24s29 4 MODELA GEM DE SISTEMAS MECÂNICOS A modelagem de sistemas físicos é uma das áreas mais importantes para análise desses sistemas pois a partir do modelo matemático é feito o projeto do controlador Quando se faz uma boa modelagem tipicamente o projeto do controlador é facilitado e traz resultados mais eficazes pois o comportamento do sistema é melhor representado A modelagem de sistemas físicos é baseada na análise das equações que definem os fenômenos associados Esta modelagem é chamada de modelagem fenomenológica ou físicomatemática Em alguns casos não é possível realizar este tipo de modelagem porque não se conhece as relações físicomatemáticas que definem os fenômenos ou por impossibilidade de obter parâmetros do sistema que caracterizam seu comportamento Neste caso podese utilizar o modelagem experimental com a qual se obtém um modelo matemático padrão e que representa o comportamento físico real do sistema Para obter este modelo experimental aplicase na entrada da planta um sinal padrão como um degrau ou impulso e medese a saída obtendo então a relação entre a entrada e a saída Muitas vezes mesmo que se tenha o modelo matemático utilizase a modelagem experimental a fim de observar características reais que o modelo não engloba obtendose então um modelo mais preciso O que não se deve esquecer quando for feito a modelagem de qualquer planta é que sempre serão feitas aproximações simplificações ou linearizações a fim de que o modelo obtido seja o mais simples possível Caso seja necessário adicionar algumas características a mais no modelo este fica mais complexo e portanto mais difícil de ser analisado Para que se atinja um modelo próximo ao desejado sem que seja muito complexo devese utilizar de bom senso e procurar compreender muito bem os fenômenos físicos que envolvem o sistema 41 Sistema massamolaamortecedor MMA Um dos sistemas normalmente estudados em modelagem são os chamados MMA ou massamolaamortecedor pois estes representam uma enorme gama de dispositivos mecânicos que possuem essas 3 características como os amortecedores de veículos braços de apoio dentre outros A Figura 1 traz um exemplo de sistema MMA Neste sistema a mola representada pela letra K obedece à Lei de Hooke em que a força de reação da mola é diretamente proporcional ao seu deslocamento Lembrando que a mola deve ter massa desprezível e comportamento totalmente elástico ou seja não deve sofrer deformações A Lei de Hooke é dada por Fk K x O amortecedor representado pela letra B obedece a uma regra simples em que a força de reação do amortecedor é proporcional à velocidade do deslocamento conforme a equação Fb B v O sistema como um todo obedece à segunda Lei de Newton que diz que a somatória das forças num sistema é proporcional à massa vezes a aceleração ou seja Σ Fi M a A variável que se deseja controlar é a posição do bloco xt enquanto que ut é um sinal de excitação podendo ser um degrau ou impulso As rodas sob a massa significam a ausência de atrito neste sistema Devese sempre lembrar que todas as forças que atuam no sistema são opostas à força ut aplicada enquanto que a massa acumula a energia do sistema não sendo uma força atuante Sendo assim Us Fk Fb M As Us K Xs B Vs M As Lembrando a relação entre posição velocidade e aceleração vt dxtdt at dvtdt2 Aplicando a transformada de Laplace temse Vs s Xs As s2 Xs Substituindo na equação do sistema MMA Us K Xs B s Xs M s2 Xs Us M s2 B s K Xs XsUs 1M s2 B s K XsUs 1Ms2 BM s KM Esta equação representa o comportamento dinâmico do sistema MMA mostrado na Figura 1 Caso alguém aplique uma força na massa M o sistema responderá conforme a equação mostrada acima Vamos supor que o sistema tenha os seguintes parâmetros M 20 kg K 100 Nm e B 50 kgs Se aplicarmos uma força impulsiva na entrada do sistema como um tapa na massa de 10 N a saída terá a seguinte expressão em s Xs 10 120 s² 5020 s 10020 05 s² 25 s 5 O sistema se comportará conforme o gráfico mostrado na Figura 2 Figura 2 resposta temporal a uma entrada impulsiva Neste caso da Figura 2 o bloco se moverá atingindo cerca de 115 cm em 05 s retornando então e se movendo para outro lado em relação ao repouso pouco menos de 2 cm para então oscilar mais um pouco e retornar ao repouso Se na entrada for aplicado um degrau de 10 N como se alguém fizesse força sobre a massa e a segurasse o sistema se comportaria conforme a curva mostrada na Figura 3 Neste caso após quase 2 s a massa se deslocaria 11 cm aproximadamente retornando então ao seu novo ponto de repouso 10 cm após oscilar um pouco em torno desse ponto Estes comportamentos são comparáveis com a lógica do sistema pois um impulso não altera o local de repouso apenas faz com que a massa se desloque e por conta das forças de reação da mola e do amortecedor retorne à sua posição original Quando é aplicado um degrau esta força é mantida aplicada fazendo com que a posição de repouso seja alterada 42 Sistema de nível de reservatório Neste sistema representado pela Figura 4 o objetivo é manter o nível do reservatório H em um valor aproximadamente igual Para isso considerando um fluxo de saída do reservatório qo devese controlar o fluxo de entrada qi Figura 4 Sistema de nível de reservatório O escoamento de um fluido por uma tubulação pode ser de dois tipos laminar ou turbulento A resistência que a tubulação oferece ao escoamento do fluido é dada por R ΔH ΔQ Para um fluxo laminar a vazão é proporcional à altura do reservatório sendo que a constante de proporcionalidade é dada pela maior restrição no caso a válvula Q K H R dH dQ H Q Se o fluxo for turbulento Q K H dQ dH 2 H K 2 H 2 H Q Logo R 2 H Q A diferença entre os fluxos de entrada e saída do reservatório num pequeno intervalo de tempo é o volume total acumulado durante esse tempo provocando uma pequena variação na altura do tanque assim C dh dt qi qo Como R h qo C dh dt qi h R R C dh dt h R qi Aplicandose a Transformada de Laplace R C s 1 Hs R Qis Hs R R C s 1 1 C s 1 R C Como Hs R Q0s Q0s Qis 1 R C s 1 1 s 1 R C 43 Pêndulo invertido Esta planta representada pela Figura 5 é utilizada em diversos elementos mecânicos que sofrem ação de forças de cisalhamento ou seja esforços em uma região de contato como nas asas de aviões por exemplo A ideia é avaliar tanto a posição do conjunto pêndulocarro xt e o ângulo de inclinação do pêndulo θt quando aplicada uma força ut no carro Figura 5 Pêndulo invertido Neste caso H é a força resultante horizontal sobre a massa do pêndulo e V a força resultante vertical O movimento do pêndulo é dividido assim em duas partes e é regido pelas equações m d2xt l senθt H m l d2l cosθt V m g O carro somente se movimenta no sentido horizontal e seu movimento é regido por M d2xt ut H Considerandose o pêndulo na posição vertical podese dizer que o ângulo θ sempre será pequeno fazendose então as seguintes aproximações senθ θ cosθ 1 Este é um processo de linearização pois claramente as equações de movimento do pêndulo são não lineares porém só é válido para pequenos valores de θ As equações do pêndulo então se tornam m x m l θ H 0 V m g V m g A equação que define a conservação de movimento do pêndulo é dada por I θ V l senθ H l cosθ Como a massa se concentra na extremidade do pêndulo nova aproximação podese desconsiderar a inércia da haste Aplicandose as aproximações para θ pequeno 0 V l θ H l Substituindo as equações anteriores para V e H 0 m g l θ m l x m l2 θ Utilizando a equação do movimento do carro e substituindo H M x u m x m l θ Reorganizando as equações e organizando num sistema x l θ g θ M m x m l θ u Este é um sistema MIMO que não é de fácil resolução com o que chamamos de controle clássico Uma forma de lidar com este sistema é utilizar sistemas em espaço de estados de forma que se desenvolva relações de equações diferenciais de primeira ordem interligando as variáveis Porém o tratamento é feito diretamente no tempo não sendo utilizada a Transformada de Laplace Se fizermos uma combinação linear de forma a eliminar em cada uma das equações a segunda derivada de cada uma das variáveis de saída xt e θt obtémse θ M m g θ M l θ m g M θ 1 M l u A lógica da técnica de análise em espaço de estados é criar variáveis de estados reais ou não que se relacionem sempre em equações de primeira ordem Assim se fizermos variáveis de estado abaixo x1 θ x2 θ x3 x x4 x Consideramse então as variáveis de saída y1 0 e y2 x sendo ut a variável de entrada O sistema em espaço de estados será então descrito como x1 x2 x3 x4 0 1 0 0 M m g 0 0 0 M l 0 0 0 0 0 1 m g M 0 0 0 x1 x2 x3 x4 0 1 M l 0 0 u 44 Exercícios 1 Para os sistemas MMA abaixo determine a resposta ao impulso para os parâmetros indicados considerando uma entrada ut 100δt a M 50 kg K1 20 Nm K2 60 Nm B1 10 kgs B2 30 kgs b M1 10 kg M2 50 kg K1 10 Nm K2 40 Nm B1 20 kgs 5 MODELAGEM DE SISTEMAS ELÉTRICOS Os sistemas elétricos lineares são baseados nos 3 elementos básicos de qualquer circuito elétrico resistência capacitância e indutância Assim conforme mostra a Figura 1 VR IR VC IC VL 3L IL Figura 1 Relação tensãocorrente para componentes R C e L Sabemos que a relação para cada um destes elementos é dada pela Lei de Ohm considerando as particularidades de cada elemento vR R iR vC 1 C iC dt vL L diL dt Aplicando a Transformada de Laplace a estas equações VRs R I Rs VCs 1 C 1 s ICs VLs L s ILs Estas relações são utilizadas em qualquer circuito elétrico como veremos a seguir 51 Circuitos RLC Vamos diretamente a um exemplo um circuito RLC série com entrada em tensão e cuja saída é a tensão sobre o capacitor conforme Figura 2 Aplicandose a Lei de Kirchhoff das malhas temse que Eis VRs VLs VCs De forma que aplicandose as equações da Lei de Ohm para cada elemento e lembrando que a corrente é a mesma ou seja Is Eis R Is L s Is 1 C 1 s Is Eis R L s 1 C s Is Lembrando que VCs Eos 1 C s Is Is C s Eos Eis R L s 1 C s Is Gs Eos Eis 1 R s L s² 1 52 Circuitos com amplificadores operacionais Os amplificadores operacionais são circuitos integrados que executam diversas funções tendo características elétricas muito particulares como ganho infinito em malha aberta impedância de entrada infinita e impedância de saída nula na verdade estas características são idealizadas O símbolo de um amplificador operacional é mostrado na Figura 3 Figura 3 Símbolo de um amplificador operacional As entradas VCC são de alimentação e nem sempre são representadas nos diagramas esquemáticos A saída é o terminal Vout e as entradas V e V são chamadas de entrada nãoinversa e inversora respectivamente Dentre as diversas funções que um AmpOp como é comummente conhecido destacase a função de amplificador de sinais quando a saída é realizada através da entrada inversora utilizando dois circuitos um ligado na entrada inversora e outro interligando essa entrada à saída A Figura 4 mostra a configuração conhecida como amplificador inversor cuja FT é dada por Figura 4 Configuração de amplificador inversor com AmpOp Neste caso os circuitos ZI e ZR são configurações RLC podendo ter diferentes FTs com base na configuração destes circuitos O termo inversor vem do sinal negativo na FT A Figura 5 traz a configuração de amplificador nãoinversor Figura 5 Configuração de amplificador nãoinversor com AmpOp Notese que a única diferença é a troca do sinal de entrada com o ponto de referência terra nas entradas A FT do amplificador nãoinversor é Gs Vouts Vins 1 ZR ZI Vamos a um exemplo utilizando um amplificador inversor e circuito de entrada com resistor R1 e circuito de realimentação com resistor R2 em paralelo com capacitor C ou seja ZI R1 ZR R2 1 sC R2 1 sC R2 sR2C 1 Aplicando essas equações na FT do amplificador inversor temos Gs fracVoutsVins fracZRZI fracR2sR2C 1 R1 fracR2R1 cdot frac1 sR2C 1 frac1R1C cdot frac1 s frac1R2C Aplicandose R1 10 Ω R2 100 Ω e C 10 mF temse Gs frac10s 1 Aplicandose um grau de 10 V na entrada a resposta que se obtém é Figura 6 Resposta ao degrau de amplificador inversor com AmpOp O sinal de saída é negativo pois o amplificador é inversor podendo ser corrigido ligandose outro amplificador inversor com ganho unitário ou seja ZI ZR R Vamos a um segundo exemplo mantendose ZR e adicionandose um indutor L em série com R1 ou seja ZI R1 sL Neste caso a FT será Gs fracVoutsVins fracR2sR2C 1 R1 sL fracR2sR2C 1 cdot sL R1 frac1LC cdot left s frac1R2C right cdot left s fracR1L right Agora temos um sistema de segunda ordem com dois pólos reais Aplicandose os mesmos valores de R1 R2 e C e utilizandose L 2 H temse Gs fracVoutsVins frac50s 1 cdot s 5 A resposta ao degrau será Figura 7 Resposta ao degrau de amplificador inversor de segunda ordem Notese que em ambos os casos o ganho do circuito após a estabilização da saída é 10 ou seja a relação entre R2 e R1 53 Exercícios 1 Para os circuitos abaixo determine a função de transferência considerando et como o sinal de entrada e saída indicada em cada circuito a b c 2 Para cada um dos circuitos da questão anterior avalie sua FT considerando o valor dos pólos e zeros Utilize o comando roots do Octave ou Matlab conforme exemplo ou outro recurso qualquer 3 Determine a FT dos sistemas abaixo considerando e1t como entrada e e2t como saída a b c 4 Obtenha os pólos e zeros dos sistemas da questão anterior 6 MODELAGEM EXPERIMENTAL E MODELOS EQUIVALENTES Quando se fala em modelagem de sistemas devese ter em conta que os modelos obtidos geralmente possuem comportamentos idênticos entre si pois matematicamente falando tratandose de sistemas LIT o que se pode ter de relação entre grandezas são aquelas vistas nos circuitos RLC relação proporcional relação com a derivada e relação com a integral com pequenas variações Técnicas como a modelagem experimental e a linearização em torno de um ponto são utilizadas a fim de se obter modelos precisos dentro da faixa de aplicação para a qual se deseja conhecer o comportamento daquela planta 61 Modelagem experimental Em alguns casos não é possível obter as equações matemáticas que definem o comportamento de um sistema físico Em outros casos a fim de obter um modelo mais próximo do real optase por realizar um levantamento experimental do comportamento físico do sistema comparandoo com respostas previamente conhecidas A ideia é bem simples aplicandose um sinal conhecido na entrada do sistema e medindose a saída podese obter um modelo experimental baseado na curva de resposta ao sinal de excitação normalmente um degrau A Figura 1 traz este método de forma simplificada Xs 1M Us s² BM s KM Para o circuito RLC série obtémse Eos 1L c Eis s² RL s 1L C Diretimante não há como fazer uma associação entre os dois sistemas mas podese considerar a corrente no lugar da tensão de saída e a velocidade no lugar da posição assim as TFs acima se tornaram Vs 1M s Us s² BM s KM Is 1L s Eis s² RL s 1L C Tornando mais clara a relação entre os elementos dos dois sistemas de forma que se tenha equivalências entre os sinais e os parâmetros de ambos A Tabela 1 traz essas relações considerando sistemas MMA e circuitos série e paralelo sendo que neste último a corrente é a entrada e a tensão do circuito a saída Tabela 1 Elementos equivalentes de circuitos elétricos Sistema MMA Circuito RLC série Circuito RLC paralelo B R 1R M L 1L K 1C C V I E U Ei I 63 Linearização Muito comum o comportamento de sistemas físicos não obedecem à regra da linearidade Como no caso do pêndulo invertido em que fez aproximações em torno do ponto vertical de posição do pêndulo diferentes técnicas de linearização são utilizadas a fim de se obter um modelo linear e que pode ser tratado pelas técnicas do Controle Clássico Basicamente realizar a linearização de um sistema consiste em determinar um modelo linear em torno de um ponto considerando então uma pequena faixa de operação em torno daquele ponto Obviamente este processo de linearização incorre em erros no modelo mas que podem ser ignorados tratandoo simplesmente como um modelo linear A Figura 2 traz um exemplo de como pode ser feita a linearização Como se pode perceber a reta linear que foi modelada em torno do ponto de operação apresenta diferenças em relação a curva real de comportamento da planta porém se fôssemos considerar uma faixa maior de utilização os erros seriam muito maiores e tornariam a linearização algo impraticável Figura 2 linearização em torno de um ponto 64 Exercícios 1 Explique qual é a relação entre a frequência inerente à variável complexa s e o tempo utilizado na análise de sinais físicos comummente 2 Qual a função de criar modelos para os sistemas físicos E no que se baseia geralmente esta modelagem 3 Explique a diferença entre a modelagem fenomenológica e modelagem experimental Em que casos esta última é utilizada 4 Qual é o principal objetivo em se criar modelos elétricos equivalentes a sistemas mecânicos ou outros 5 Por que se faz a linearização de modelos físicos de sistemas Por que geralmente esta linearização é feita em torno de um ponto de operação 7 RESPOSTA EM REGIME TRANSITÓRIO Quando é aplicado um sinal do tipo degrau na entrada de um sistema qualquer este é forçado a ter sua saída alterada do valor em que estava estacionada t 00025 T1 01 c1 1exptT1 T2 05 c2 1exptT2 T3 1 c3 1exptT3 T4 2 c4 1exptT4 plott c1 k t c2 r t c3 b t c4 g Em projetos práticos geralmente utilizase um destes 3 parâmetros para mapear técnicas que possibilitem atingir o valor de estabilização dentro de um tempo esperado Sistemas subamortecidos ζ 1 quando os polos são complexos conjugados havendo a oscilação do sinal de saída O projeto de controladores para sistemas de segunda ordem se utiliza de alguns parâmetros demonstrados pela Figura 4 Figura 4 parâmetros de uma resposta ao degrau de um sistema subamortecido Na prática não é na frequência ωn com a qual a resposta oscila A frequência de oscilação do sistema é a frequência amortecedida ωd dada por ωd ωn 1ζ² Assim os polos de MF serão dados por s12 ζ ωn i ωd A Figura 5 traz a representação destes polos no plano complexo Figura 5 Plano s com representação de polos complexos de sistema subamortecido O sobressinal em porcentagem pode ser obtido pela equação Mp eπζ1ζ² Na prática esta equação só pode ser utilizada para sistemas com valor unitário de regime permanente ou seja que estabilizem em 1 Em outros casos utilizase Mp ctp c c Para determinar o valor de ctp utilizase a resposta temporal do sistema ctp 1 eζωntp cosωd tp ζ1ζ² senωdtp O tempo de pico pode ser determinado pela equação tp πωd Devese considerar que a variação do coeficiente de amortecimento influencia no valor do sobressinal garantindo maior ou menor pico no regime transitório Geralmente um pico muito grande do sinal de saída não é desejado pois pode haver problemas relacionados a questões mecânicas como esforços acima do permitido ou sobressinais elétricos que podem causar queima de componentes Assim quanto maior for o valor de ζ menor será o sobressinal Porém a resposta será mais lenta demorando mais tempo para atingir o regime O tempo de subida é dado por tR π βωd O ângulo β aparece na representação dos polos no plano complexo e é dado por β cos¹ ζ Da mesma forma que para sistemas de primeira ordem determinase os tempos de estabilização com base no erro máximo assim ts5 3 ζ ωn ts2 4 ζ ωn ts1 5 ζ ωn Vamos observar a influência da variação da frequência de oscilação para sistemas subamortecidos através da simulação mostrada abaixo Utilizaremos o comando step do Octave por ser mais fácil de ser implementado As respostas obtidas são mostradas na Figura 6 Notese que os tempos de subida pico e estabilização são alterados pois dependem da frequência da resposta porém o valor do sobressinal não é alterado pois este só depende do coeficiente de amortecimento pkg load control zeta 04 wn1 10 wn2 20 s tfs g1 wn12s22ζwn1swn12 g2 wn22s22ζwn2swn22 stepg1 k g2 r 12 Figura 6 resposta ao degrau para sistemas de 2ª ordem com variação de ωn Se fizermos o mesmo teste porém variando o valor de ζ teremos as respostas mostradas na Figura 7 a partir dos comandos abaixo pkg load control wn 20 z1 04 z2 07 z3 10 z4 15 s tfs g1 wn2s222z1wn2 g2 wn2s22z2wnswn22 g3 wn2s22z3wnswn22 g4 wn2s22z4wnswn22 stepg1 k g2 r g3 b g4 g Observase claramente a influência direta de ζ no valor do sobressinal e consequentemente nos tempos de subida e estabilização principalmente Neste caso como os pólos complexos estão muito mais afastados do eixo real sua influência sobre a resposta do sistema é pequena já que a subida lenta do subsistema 1 faz com que não haja oscilação real na resposta do sistema de 3ª ordem 1 O que significa o regime transitório da resposta ao degrau de um sistema físico 7 Um sistema possui uma FTMD igual a Gs 20s25 com realimentação Hs 02 Determine o valor final a constante de tempo e o tempo de estabilização para o critério de 2 8 Considere os sistemas abaixo representados por sua FTMF G1s 100 s26s2 G2s 8 s210s a Determine a resposta temporal ao grau unitário b Determine o valor de regime e o erro estacionário c Determine a frequência natural e a constante de amortecimento d Determine o tempo de subida e Determine o tempo de pico f Determine o tempo de acomodação de 5 g Determine o máximo sobressinal 9 O sistema abaixo representa a rotação ωt em rpm de um servomotor CC controlado pela tensão de armadura ut em V Us 1 RCs1 Kt Ra 1 Js Ds Dados R 5 Ω C 100 μF Km 005 Vrads Ra 20 Ω J 5106 m²kg Determine a A resposta temporal desse sistema quando aplicado um degrau de tensão de 16 V b Determine o tempo de acomodação de 1 c Determine o valor do degrau de tensão aplicado para que a rotação atinja 850 rpm d Considerando que os parâmetros R e C compõem um circuito de condicionamento de sinal e que os demais parâmetros representam o comportamento do servomotor propriamente dito defina se o sistema tem seu desempenho definido pelo servo ou pelo circuito RC Justifique 10 O gráfico abaixo representa a resposta ao degrau unitário de um sistema qualquer A partir do gráfico determine o tempo de subida o tempo de pico o tempo de acomodação de 5 e o máximo sobressinal 8 RESPOSTA EM REGIME PERMANENTE Vimos que as raízes do polinômio característico As chamados de pólos de malha fechada definem o comportamento da planta mediante um sinal de excitação Isto pode ser observado pelo simples fato de que a resposta temporal é obtida a partir dos pólos e dos resíduos desses pólos Assim consideremos um sistema do tipo Cs K1 s z1 s p1 s p2 Quando aplicada uma entrada degrau unitário o sinal de saída terá uma função em frequência dada por Cs a s b s p1 c s p2 Os coeficientes a b e c são os resíduos dos pólos incluindo o integrador inserido pelo grau aplicado A resposta temporal deste sinal será ct a b ep1t c ep2t Observando esta resposta temporal observase que as exponenciais podem ser crescentes ou decrescentes dependendo do valor de p1 e p2 Se estes forem valores negativos ou seja se os pólos de MF estiverem do lado esquerdo do plano s as exponenciais serão decrescentes e levarão os seus respectivos termos a zero quanto o sistema entrar em regime Dessa forma o sinal ct terá ao valor de a resíduo do integrador inserido pelo grau Por outro lado se algum dos pólos forem positivos situandose no semiplano direito do plano s a exponencial será crescente e aumentará positiva ou negativamente na passagem do tempo levando o sistema para ou conforme o sinal do resíduo Este é então um sinal instável que não entra em regime e pode fazer com que a planta atinja saturação exploda ou quebre conforme o tipo de sistema elétrico térmico mecânico etc Mesmo que a planta tenha pólos complexos esta análise continua válida pois é a parte real dos pólos complexos que definem se o sistema é estável ou não Assim podese concluir com enorme grau de certeza que para que o sistema seja estável seus pólos de malha fechada devem todos se encontrar no semiplano esquerdo de s Segundo Ogata 2004 p 113 um sistema de controle LIT é estável se a saída retorna ao seu estado de equilíbrio quando o sistema é submetido a uma condição inicial Na prática o sistema será estável se conseguir se manter em um único estado sempre que aplicado um sinal de excitação finito ou sofrer a influência de uma perturbação também finita Devese tomar cuidado apenas com pólos imaginários puros aqueles cuja parte real é nula Estes geram respostas oscilatórias em torno de um ponto na forma de uma senoide com valor de offset Na prática este sinal é estável pois não tende a mais ou menos infinito porém está é uma estabilibilidade relativa pois o sinal também não tende a um único valor lembrando que o sinal de excitação é um degrau e não uma senoide A presença de zeros na FT da planta influencia em sua resposta ao degrau pois os zeros se comportam de forma a minimizar a influência de algum pólo que está próximo Em alguns casos a presença de zeros pode gerar resultados inesperados como picos de sobressinal sem oscilação ou respostas contrárias ao sentido de resposta do sistema 81 Teorema do valor final Uma das características do regime permanente de um sistema é o seu valor final pois nem toda planta estabiliza em 1 quando é aplicado um degrau unitário Assim seu valor final considerando que a planta estabiliza num único valor é simplesmente o valor final da resposta ao degrau depois de decorrido muito tempo Considerando que GMFs é a FTMF da planta GMFs Cs Rs Cs Rs GMFs Determinando a função temporal de Cs pela transformada inversa de Laplace podese determinar o valor de regime permanente ou valor de estabilização da planta cSS lim t ct Às vezes pode ser difícil determinar manualmente pólos da planta ou mesmo sua resposta temporal com facilidade assim fica mais fácil se aplicarmos o teorema do valor final que utiliza a própria função Cs para determinar seu valor de regime O teorema do valor final diz que cSS lim t ct lim s0 s Cs Assim conhecendose a Transformada de Laplace do sinal podese obter o valor de regime permanente pela simples aplicação deste limite 82 Erro de regime permanente O teorema do valor final permite que se faça uma avaliação sobre o valor final de sistemas com base no número de integradores da FTMA Gs Considerando o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura 1 podese generalizar qualquer sistema em malha aberta da seguinte forma Gs K Ta s 1 Tb s 1 Tm s 1 sN T1 s 1 T2 s 1 Tp s 1 Figura 1 sistema genérico com realimentação unitária Com base em seu diagrama de blocos podese escrever que o sinal de erro é Es Rs Cs Dividindose ambos os termos por Rs temse Es Rs 1 Cs Rs Mas Cs Rs Gs 1 Gs Não é difícil chegar a Es Rs 1 1 Gs Logo Es 1 1 Gs Rs Assim uma planta que está sujeita a uma entrada Rs com FTMA Gs pode apresentar erros em regime quando ligada em realimentação unitária conforme as suas próprias características dinâmicas Considerando o erro de regime permanente eSS lim s0 s Es lim s0 s Rs 1 Gs Como estamos nos atendo aos casos em que o sinal de exitação é um degrau unitário Rs 1 s eSS lim s0 1 1 Gs 1 1 G0 Considerando a expressão genérica para Gs apresentada anteriormente como s 0 todos os termos do tipo Ts1 serão unitários não influenciando na análise mesmo que sejam pólos ou zeros complexos Assim apenas o ganho estático K e o número de integradores influenciarão no erro Na prática K Ta 0 1 Tb 0 1 Tm 0 1 0N T1 0 1 T2 0 1 Tp 0 1 Podendo ser reescrito da seguinte forma eSS lim s0 1 1 K sN Se o sistema apresentar um único integrador a constante de erro tende a infinito e o erro de regime permanente será nulo Porém caso a planta não apresente integradores em malha aberta haverá um erro de regime finito dado por eSS 1 1 K Onde K é o ganho estático considerando as constantes de tempo de cada pólo e zero real ou complexo Um sistema que não tem integradores na FTMA é dito do tipo 0 enquanto um sistema com um integrador é dito do tipo 1 e assim por diante O importante é entender que a presença de integradores na FTMA indica erro nulo em regime permanente Para determinar o ganho estático K da planta basta fazer s 0 na própria função da planta e determinar qual é o valor do ganho em regime Exemplo a planta Gs s 35 s 6 s 1 s 5 s 8 O ganho estático será dado por K 0 35 0 6 0 1 0 5 0 8 35 6 1 5 8 0525 O erro de regime permanente será dado por eSS 1 1 K 1 1 0525 0656 Na prática quando se aplica o degrau unitário este sistema não tenderá a 1 como se esperaria para um sistema em malha fechada Ele tenderá a 1 0656 0344 conforme resposta ao degrau mostrado na Figura 2 Caso o degrau não seja unitário o erro de regime deverá ser multiplicado pelo valor do degrau a fim de se obter o valor de regime Na verdade o valor da constante estática é o valor de regime permanente para o sistema em malha direta quando aplicado um grau unitário Há dois testes que devem ser feitos para definir a estabilidade do polinômio O primeiro diz que a Se houver algum coeficiente ak com sinal diferente dos demais com certeza há raízes positivas neste polinômio lembrando que tipicamente os coeficientes são positivos e a presença de algum coeficiente negativo denotaria diretamente a instabilidade pois se multiplicarmos monômios com valores positivos resultará sempre em coeficientes positivos e caso haja um único monômio com termo negativo será o suficiente para que tenhamos coeficientes do polinômio com sinais trocados não sendo difícil esta prova Logo considerando Notese que os elementos a partir da terceira linha são calculados com os elementos das duas linhas anteriores sendo os da primeira coluna e da próxima coluna à direita Quando não houver mais coluna à direita não será necessário calcular o elemento Vamos utilizar o polinômio A2 como exemplo Para aplicar o critério de Routh utilizase apenas a primeira coluna numérica