Sistemas Lineares - Propriedades, Memória, Causalidade e Estabilidade

Sistemas são elementos do mundo real que manipulam sinais informação e produzem efeitos que estão associados as sinais aplicados Significado Referente casa Construção com alvenaria usada para morer Os tijolos formam a construção conforme tamanho e cor de seus lados Uma casa e um objeto concreto porque suas características que compõem uma parte do mundo real externo Sistema Realimentado Entrada Saida Sistema 1 Sistema 2 Entrada Saida Realimentação Harold Black Multiplo Realimentações Gêmeo Digital Lei de Kirchoff Σki0 int 0 it i1t i2t 0 i2t it i2t cdvtdt it vtR Leibniz cdvtdt vtR it Saida Entrada c dvtdt vtRC itC Abstrata Propriedades dos Sistemas 1 Sistemas com e sem memoria instante de analise presente passado no futuro n yn depende de valores de entrada e da saida para nn0 Exemplo yn 2xn x2n2 sem memoria vt Rit Resistor sem memoria Sem memória Net 1c to t ictdt Capacitor Com memória yn Σ k to n xk acumulador Memória implica em guardar informação armazenar energia yn Σ k to n1 xk xn yn yn1 xn xn yn yn1 Com memória Sem memória Sistemas Inversos São sistemas que entradas distintas produzem saídas distintas acumulador diferenças derivada yn 0 não invertível yn xc²n Sistemas codificadores são inversíveis criptografia Causalidade instante de análise presente passado futuro no n t yn depende de valores da entrada e da saída para n no Se yn depende de xn e yn pl ni n Sistema causal ou nãoantecipativo Nt 1c to t itdt Causal Capacitor ddt Nt 1m ft bNt Causal yn xcn1 xcn Não Causal yt xct1 Sem memória Causal Causal Com memória M2 M1 1 M1 1 yn Σ k M2 to M2 xnk Não causal M2 6 passado futuro Sinal Largura da janela M2M1 1 M1 M2 5 5 M 0 M 2M 1 Demonstracao do filtro Armazenando Pergunta E causal yn xn yt xt cost1 Estabilidade rct entrada yt saida e Estavel BIBO b bounded input output Em um ecossistema a retirada de um predador provoca instabilidade Em sistemas físicos dissipativos a saida do sistema converge com o tempo Estavel Invariancia no Tempo Um sistema e invariantes no tempo se os parametros ou comportamento do sistema nao e alterado em funcao do tempo 1c itdt R it vct R ditdt 1c it vct 1 Nit it C vet Rdit 1 it dit dt C dt dit 1 it 1 dit dt nC n 2 d vrt 1 ft b vrt dt m2 2ª Lei de Newton Ftyxn mo ãt Veículo em movimento Como mostrar que um sistema é invariante rc1n yn yLn rc1n rc1nno yLn ynno Para provar a invariância faça Considere rc1nno e aplique a T Aplique o deslocamento diretamente a T Compare os resultados se forem iguais o sistema é invariante ao deslocamento Exemplo Considere o sistema acumulador yn rck é invariante Solução Seja rc1n rcnno yLn rc1k k k yLn rckno rckL k kL seja k1kn0 k n k1 nn0 yLn rckL kL k yn rck ynno rck k k A transformação deslocada produz a mesma solução que o cálculo da saída a uma entrada rcnno Logo o sistema é invariante ao deslocamento Exemplo yt senrct 1 rc1t rctto y1t senrc1t y1t senrctto 2 ytto senrctto Como y1t ytto Invariante ao desbo Exemplo 1 2 Exemplo yn n rcn ynno nno seja y1n rc1k y1n rckno k k Seja rc1n rcnno y1n rc1k k k Seja k1 k no k n k1 n no k kL A transformação deslocada produz a mesma solução que o cálculo da saída a uma entrada rcnno Logo o sistema é invariante ao deslocamento Exemplo 1 rc1t rctto y1t senrc1t y1t senrctto 2 ytto senrctto Como y1t ytto Invariante ao deslocamento Exemplo 1 yn nrcn 2 ynno nno Y1n n rcn n₀n ren n₀ Y1n n rcn Y1n rcn n₀ Y1n Yn n₀ variante no tempo Sistemas Lineares São sistemas que obedecem aos princípios da homogeneidade e sobreposição aditividade Seja x1n e T e yn T x1n a ℝ a constante Então se T obedece ao princípio da homogeneidade y1n Ta xn a T x1n a yn Quando a entrada é escalada por a a saída é escalada pelo mesmo fator a Sobreposição ou Aditividade Seja rc1n e rc2n se T obedece à sobreposição então y1n T rc1n y2n T rc2n rc3n rc1n rc2n logo y3n Trs3n Trc1n rc2n Trc1n Trc2n y1n y2n Blank page Exemplo 25 Sistema acumulador y1t y2t y3t y4t y5t Y3t Y1t Y2t Obedece a oditi É Linear Exemplo Yn Rexn Considere xn um sinal complexo xn rn j sn Yn Re xn rn a C xn a rn a α jβ xn α jβ rn j sn α rn j α sn j β rn β sn xn α rn β sn j α sn β rn Y1n Re x1n α rn β sn m Y1n a Re xn yn Y1n α jβ rn Não linear ividade Exemplo yn 2xn 3 Solução Considere x1n axn y1n 2x1n 3 2axn 3 y1n a2xn 3 y1n ayn y1n a2xn 3 y1n a2xn 3a Não Linear Prove a aditividade também Fail too Final do Capítulo 1