Analise Dinamica de Sistema Eletromecanico Acoplado Resumo

Análise de Sistema Eletromecânico Resumo Neste trabalho analisase a dinâmica de um sistema eletromecânico observandose o comportamento das variações de suas variáveis considerando o acoplamento de um campo conservativo Neste caso as variáveis em questão são a corrente no sistema elétrico a velocidade e o deslocamento ambos no sistema mecânico A ferramenta de trabalho utilizada foi software que torna possível vislumbrar as formas de ondas de interesse O trabalho é de interesse notadamente por mostrar graficamente a resolução numérica das equações diferenciais que não possuem solução analítica Palavras chave análise dinâmica forças Abstract This paper analyzes the dynamics of an electromechanical system by observing the behavior of variations of its variables considering the coupling of a conservative field In this case the variables in question are the current in the electrical system the velocity and displacement both in the mechanical system The working tool used was MATLAB software which among others makes it possible to see the waveforms of interest The work is of interest because it shows graphically the numerical solution of differential equations that have no analytical solution Keywords analysis dynamic forces Melo M D B de Camargo I M T 1 O SISTEMA ELETROMECÂNICO O diagrama de bloco de um sistema eletromecânico com um sistema elétrico e um sistema mecânico é mostrado na Figura 01 Sistema Elétrico Acoplamento Sistema Mecânico WeL WE WeS Wf WfL WmL WmS WM Figura 01 Sistema Eletrodinâmico proposto no trabalho Caracterizase por um sistema elétrico e um sistema mecânico acoplados por um acoplamento de campo conservativo Um exemplo é um motor elétrico de indução A teoria do Motor de Indução Trifásico MIT sob condições dinâmicas ou em regime permanente é de fato resultado da combinação de equações diferencias e de interações espaciais entre um sistema elétrico um sistema mecânico e um acoplamento magnético que dependem da velocidade da carga da corrente e do fluxo associados ao motor 1 A Figura mostra o balanço de energia para o sistema de acordo com eS eL e E W W W W e mS mL m M W W W W Que caracterizam o balanço de energia no sistema2 Perdas por correntes de circulação e histerese ocorrem no material ferromagnético do campo magnético E W é a energia total suprida pela fonte elétrica e M W é a energia total suprida pela fonte mecânica A energia eS W é armazenada no campo magnético eL W são as perdas de calor associadas com sistema elétrico A energia e W é transferida para o acoplamento pela fonte elétrica Para a equação do sistema mecânico as definições são semelhantes WmL caracteriza as perdas por fricção m W é a energia transferida para o acoplamento pelo sistema mecânico f W é a energia armazenada no acoplamento e fL W é a energia dissipada em forma de calor devido as perdas com o acoplamento Análise de Sistema Eletromecânico O sistema eletromecânico analisado neste trabalho tem essas características e pode ser observado na Figura 02 AC Núcleo Magnético Mola f Força Mecânica fe Força Eletromagnética D Coeficiente de Amortecimento K r L Fluxo Magnético GAP OU ENTREFERRO v I A Figura 02 Nesta figura mostrase o sistema dinâmico proposto composto de uma parte elétrica uma parte magnética e finalmente uma engrenagem mecânica Um motor de indução é um exemplo para este sistema pois a energia mecânica no eixo do mesmo é um resultado de uma transformação de uma energia elétrica em energia mecânica através de um acoplamento de campo e transmitida completamente por indução eletromagnética Guru 1988 Neste sistema v é a tensão da fonte elétrica e no nosso caso V é um degrau de tensão de largura 02s e f é uma força mecânica externa e independente aplicada ao sistema A força eletromagnética é chamada de ef A resistência dos condutores é denotada por r A indutância l do sistema eletromagnético não está acoplada com o sistema mecânico No sistema mecânico M é a massa do membro móvel k é a constante da mola e D representa as perdas por atrito O deslocamento 0x representa a posição de equilíbrio do sistema mecânico que é a posição de estado permanente quando ef e f são nulas As equações que exprimem o comportamento do sistema são basicamente duas A equação elétrica dada pela Equação 1 e a equação mecânica mostrada na Equação 2 Krause et al 1995 fe dt l di ri v 1 Onde fe é a queda de tensão no acoplamento ef x k x dt D dx dt M d x f 0 2 2 2 Onde Krause et al 1995 i x L x i f T e 2 1 3 Sendo i a matriz corrente do sistema e neste caso tem apenas uma dimensão Antes de prosseguir com a análise das equações definese as constantes Krause et al 1995 e os parâmetros para o trabalho fundamentamse nestas constantes a saber H l 0 r 10 1 2667 Nm k N f 4 Hm e C 6 29 5 1 4 Nsm D Kg M 0 055 Melo M D B de Camargo I M T A tensão V na fonte é igual a 5V para o intervalo inicial de tempo de 0s a 02s e nula para o restante do tempo ou seja de 02s a 04s Levandose em conta que a indutância do acoplamento é inversamente proporcional ao comprimento do entreferro podese definir a indutância de entreferro como Krause et al 1995 x C L x 4 A partir dessas considerações podese fazer uma primeira análise do sistema em regime permanente e logo após observarseá o regime transitório que é o propósito maior do trabalho Em regime permanente todas as derivadas em relação ao tempo são nulas e as Equações 1 e 2 tornamse v ri 5 ef x k x f 0 6 Da Equação 4 aplicandose a Equação 3 chegase a seguinte equação 2 2 2 1 x C i fe 7 Mostrase graficamente 6 e 7 para ef na Figura 03 de acordo com Krause et al 1995 Figura 03 Nesta figura mostrase que se a força eletromagnética tende a zero a mola tende a se estabilizar em mm x 52 no caso em que N f 0 e em mm x 54 no caso de f 4N Notase que a Figura 03 é mostrada para valores negativos da força eletromagnética A reta inferior representa a Equação 6 para uma força mecânica externa nula Uma análise física do problema mostra que os pontos de equilíbrio são obtidos nas intercessões inferiores Podese notar também que se a força eletromagnética for a zero a mola tende a se estabilizar em 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 x 10 3 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 Regime Permanente xmm ForcaN Força eletromagnética em regime para f4N Força eletromagnética pura Força eletromagnética em regime para f0N Análise de Sistema Eletromecânico mm x 52 no caso em que N f 0 e em mm x 54 no caso de f 4N Esses resultados são obtidos perfeitamente na análise transitória do sistema e estão de acordo com Krause et al 1995 2 A ANÁLISE TRANSITÓRIA Das equações 1 2 4 e 6 obtêmse o seguinte modelo de equações diferenciais v dt dx 8 2 2 0 2 1 1 x i C x k x Dv f M dt dv 9 v dt i dL x ri V L x dt di 1 10 Onde x deslocamento em m v velocidade em ms i corrente em A As condições iniciais são 0 0 v 0 003 0 x m e 0 0 i As equações acima não têm solução analítica Krause et al 1995 Porém podese resolvêlas por métodos numéricos Logue et al 1996 Ivanov et al1998 Neste caso utiliza se o software MatLab que por sua vez usa a função ode23 para resolver numericamente as equações diferenciais que representam o sistema eletrodinâmico neste artigo Angermann et al 2009 Na Figura 04 mostrase graficamente as inclinações ou derivadas das variáveis de deslocamento x velocidade v e corrente i em função do tempo para um degrau tensão V de 5V de 0s a 02s e obtêmse as seguintes curvas Melo M D B de Camargo I M T Figura 04 Tensão é aplicada no período de s t 0 a s t 20 no sistema A força mecânica é igual a 4N A corrente oscila e tende a um valor de regime permanente o deslocamento é inicialmente é positivo pois a força mecânica vence a força eletromagnética e a velocidade é inicialmente positiva e estabilizase em zero depois de 01s aproximadamente A estabilização da massa está de acordo com o gráfico da Figura 03 que atesta um repouso em aproximadamente 43 mm Uma análise mostra que ao aplicarmos um pulso de tensão e uma força mecânica externa em s t 0 ocorrem os seguintes fenômenos nos primeiros 02s 1 A corrente atinge rapidamente o valor de regime permanente isso se deve ao fato de que o sistema elétrico apresentar constates de tempo muito pequenas quando comparadas com o sistema mecânico 2 A velocidade sofre uma pequena oscilação inicialmente no sentido positivo e depois se torna nula 3 O deslocamento é iniciado na posição de repouso mm x 0 0 003 e tende a uma posição de aproximadamente 43mm A força mecânica vence a força elétrica Quando se retira a tensão da fonte de 5V no instante 02s observase os seguintes fenômenos 1A corrente cai rapidamente para o valor zero devido a rapidez dos decaimentos das constantes de tempo no universo elétrico 2A velocidade sofre uma pequena oscilação inicialmente no sentido positivo pois a força mecânica tende a puxar a massa para o sentido crescente de x e depois se estabilizase em zero 3Com a saída da força eletromagnética a força mecânica tende a puxar a massa e então temos um pequeno deslocamento para a direita estabilizandose em 45mm aproximadamente como o esperado 0 005 01 015 02 025 03 035 04 02 01 0 01 02 03 04 05 06 Dinâmica de Sistema Eletromecanico x v i f 4 N Tempos Deslocamento Velocidade Corrente Decímetro Metro por segundo Ampère Análise de Sistema Eletromecânico Uma interessante análise deste sistema pode ser feita se considerarmos a força mecânica igual N f 0 ou seja a excitação mecânica é suprimida do processo como mostrado a seguir na Figura 05 Figura 05 Tensão é aplicada no período de s t 0 a s t 20 no sistema Agora a força mecânica é igual a zero Em 02s a tensão é suprimida e o sistema se estabiliza em 03 mm que é a posição de equilíbrio Na Figura 05 notase os seguintes fenômenos físicos quando o pulso de tensão é aplicado no período de s t 0 a s t 20 observase que novamente a corrente tende rapidamente ao valor de regime permanente o deslocamento é negativo pois só existe a força eletromagnética e esta tende a diminuir a relutância de entreferro com o consequente aumento do deslocamento no sentido negativo em relação a posição de equilíbrio isso faz que a velocidade seja inicialmente negativa Em seguida a velocidade estabilizase em zero A estabilização da massa está de acordo com o gráfico da Figura 03 que atesta um repouso em aproximadamente 25mm Retirandose a tensão em s t 20 observase que a corrente vai à zero rapidamente a massa volta novamente para a posição inicial e a velocidade depois de um transitório tende a zero CONCLUSÃO Com os resultados obtidos neste trabalho verificase uma interligação entre um sistema elétrico e um sistema mecânico por meio de um campo de acoplamento Neste caso é o campo magnético que possibilita o acoplamento entre o sistema mecânico e o sistema elétrico Significa então que há troca de energia entre o sistema elétrico e o sistema mecânico e a energia líquida é armazenada no acoplamento O trabalho é de interesse para graduandos de cursos de Física e Engenharia bem como de Matemática notadamente por mostrar graficamente a resolução numérica das Equações de 8 a 10 que não possuem solução analítica 0 005 01 015 02 025 03 035 04 01 0 01 02 03 04 05 06 Dinâmica de Sistema Eletromecânico x v i f 0 N Tempos Melo M D B de Camargo I M T AGRADECIMENTOS A Ana Gabriel Pedro e Lana REFERÊNCIAS 1 GURU B S HIZIROGLU H R Electric Machinery and Transformers San Diego Harcourt Brace Jovanovich 1988 2 KRAUSE P C WASYNCZUK O SUDHOFF S D Analasy of Electric Machinery IEEE Press NY 1995