Trabalho de Sistemas Lineares e de Controle Engenharia

SISTEMAS LINEARES II Prof Luiz Wagner 20251 TRABALHO Questão 1 Resolva a integral from 0 to 3 of x2 ex dx a analiticamente b numericamente pela regra do trapézio simples c numericamente pela regra de Simpson simples d numericamente pela regra do trapézio repetida de 4 intervalos e numericamente pela regra de Simpson repetida de 4 intervalos f Compare os erros percentuais de b c d e e em relação a a Questão 2 Resolva numericamente a equação y y xy ex x2 1 em x 01 com y0 0 e y1 e em passos h101 e h2001 usando a diferenças finitas b o método de Taylor até terceira derivada c o método de RungeKutta de terceira ordem d Compare os resultados SISTEMAS LINEARES II Prof Luiz Wagner 20251 TRABALHO 13 individual opcional PRIMEIRA PARTE Invariância x variância no tempo Questão 1 05 Responda justificando se o sistema que produz a saída yt xt xtτ quando recebe a entrada xt é invariante ou variante no tempo Questão 2 a 05 O sinal xt cos 3π2 t t em s passa por um sistema que calcula yt x2t Calcule o período fundamental de xt e o período fundamental de yt b 05 O sinal xn cos 3π2 n n em amostras passa por um sistema que calcula yn x2 n Calcule o período fundamental de xn e o período fundamental de yn SEGUNDA PARTE Linearidade x nãolinearidade Preâmbulo Dada uma função y fx relacionando x com y podemos caracterizar sua nãolinearidade calculando dxdy 1A1Dy Na ausência de nãolinearidade temos que y Ax B onde B é uma constante e o termo Dy mede o grau de distorção por nãolinearidade em cada possível valor de y Questão 3 05 Se y tghx encontre A e Dy Questão 4 O sistema sem memória S entre x e y mostrado na figura abaixo é regido pela equação x 1G y 1G2 y2 com G 0 e G2 0 a 05 Determine A e Dy para S b Aplicase a S uma retroalimentação negativa através da constante real H 0 produzindo um novo sistema S entre x e y como mostra a figura abaixo onde e x Hy I 10 Determine A e Dy para S II 05 Qual a vantagem do sistema realimentado TERCEIRA PARTE Transformada de Fourier Discreta Questão 5 Considere a situação em que se deseja calcular a DFT X4 k com comprimento N 4 amostras em k de um sinal x2 n com duração M 2 amostras em n isto é nulo fora de 01 a 05 Escreva X4 k em função de x2 n na forma de um somatório b 05 Encontre cada valor de X4 k de k 0 a k 3 em função de x2 0 e x2 1 c 05 Considere o sinal xn cosnπ que tem XejΩ 2π δΩ π em π Ω π Escolhendo x2 n xn para n 01 calcule os 4 elementos de X4 k d 05 Associando cada valor de k à sua respectiva frequência Ω tente interpretar os valores de X4 k do item anterior Questão 6 a 05 Escreva a matriz T2 que realiza a transformação de um vetor x2 x2 0 x2 1T no vetor X2 X2 0 X2 1T sua DFT através de X2 T2 x2 b 05 Encontre a matriz T2 1 que leva X2 de volta a x2 Questão 7 Um SLIT que calcula a semidiferença entre amostras consecutivas de xn é definido pela equação yn xn xn12 Suponha que ele recebe a entrada xn δn δn1 a 05 Encontre yn na forma de uma soma de impulsos b 05 Mostre que YejΩ 2ejΩ sen2Ω2 c 05 Prepare os vetores x2 x0 x1T e h2 h0 h1T e utilize a matriz de transformação da DFT T2 para obter os vetores X2 X2 0 X2 1T e H2 H2 0 H2 1T d 05 Calcule o vetor Y2 Y2 0 X2 0 H2 0 Y2 1 X2 1 H2 1T e verifique se Yk é coerente com YejΩ e 05 Utilize a matriz de transformação da DFT inversa T21 para obter o vetor y2 y2 0 y2 1T e verifique se y2 n é coerente com yn f 05 Sob que condições o procedimento baseado numa DFT de N termos ilustrado acima produziria na saída o sinal yn