Sinais e Sistemas

1 2 Faça um resumo sobre as condições de Dirichlet 3 Disserte sobre a propriedade da Diferenciação e Integração da Transformada de Fourier 4 Disserte sobre o teorema de Parseval da Transformada de Fourier 5 Exemplo 03 Determine as transformadas de Fourier das seguintes funções a função porta gt 4ut 1 4ut 2 A função gt pode ser interpretada como um pulso retangular de altura 4 que está ativo entre t 1 e t 2 A utilidade de escrever gt como diferença de degraus é permitir o uso direto da definição da transformada de Fourier Pelo sinal dado temse gt 4ut 1 4ut 2 Isso significa que gt 4 para 1 t 2 e gt 0 caso contrário A transformada de Fourier é definida por Gω gtejωt dt Como gt é não nula apenas em 1 2 o intervalo de integração reduzse a esse segmento Gω 4 12 ejωt dt Para calcular essa integral utilizase ejωt dt ejωtjω que avaliada entre t 1 e t 2 leva a 12 ejωt dt ejωtjωt 1t 2 ejω2 ejωjω ejω ej2ωjω Multiplicando pelo fator 4 obtémse finalmente Gω 4 ejω ej2ωjω b 4δt 2 A transformada de Fourier de gt 4δt 2 se obtém diretamente a partir da definição Gω gtejωt dt Substituindo gt na integral temse Gω 4 δt 2ejωt dt Pela propriedade da função delta δt 2 ft dt f2 Aplicando isso com ft ejωt obtemos δt 2 ejωt dt ejω2 ej2ω Multiplicando pelo fator 4 a transformada final é Gω 4 ej2ω c 10 senω0 t É conveniente escrever o seno em termos de exponenciais complexas pois a transformada de Fourier de ejω0 t é direta Usase a identidade sinω0 t ejω0 t ejω0 t2j Multiplicando por 10 obtémse xt 10 ejω0 t ejω0 t2j 102j ejω0 t 102j ejω0 t 5j ejω0 t 5j ejω0 t Pela definição da transformada de Fourier Fejω0 t 2π δω ω0 Fejω0 t 2π δω ω0 Assim a transformada de xt é Xω 5j 2π δω ω0 5j 2π δω ω0 10πj δω ω0 10πj δω ω0 Como 1j j podese escrever de modo mais convencional Xω 10π j δω ω0 10π j δω ω0 10π j δω ω0 δω ω0 2 Faça um resumo sobre as condições de Dirichlet A convergência da série de Fourier de uma função periódica depende de condições que garantem o comportamento bemcomportado do sinal Essas condições são conhecidas como condições de Dirichlet e podem ser enunciadas da seguinte forma A função fx deve ser periódica de modo que exista um T 0 tal que fx T fx para todo x Isso assegura que possamos expandila em senos e cossenos de frequência múltipla de 2πT A função precisa ser definida por partes em cada período Isto é em qualquer intervalo finito de comprimento T fx só pode ter um número finito de descontinuidades e em cada descontinuidade os limites laterais fx0 limxx0 fx fx0 limxx0 fx devem existir e ser finitos Entre essas descontinuidades fx deve ser contínua Em cada período fx deve ter um número finito de extremos máximos ou mínimos Essa condição equivale a exigir que f seja de variação limitada em cada período o que impede oscilações infinitas em um intervalo finito Quando essas três condições são satisfeitas a série de Fourier de fx converge para fx0 fx02 em qualquer ponto x0 Em pontos em que f seja contínua a média dos limites laterais coincide com fx0 Esse resultado permite reconstruir sinais razoavelmente gerais a partir de suas componentes harmônicas 3 Disserte sobre a propriedade da Diferenciação e Integração da Transformada de Fourier A transformada de Fourier de uma função xt é dada por Xω xtejωt dt A partir dessa definição é possível derivar propriedades úteis de diferenciação e integração no domínio do tempo A propriedade de diferenciação afirma que se xt for suficientemente suave ou seja suas derivadas existirem e serem absolutamente integráveis então a transformada de sua derivada é Fdn xtdtn jωn Xω Para obter esse resultado trocase a ordem de diferenciação e integração Fẋt dxtdt ejωt dt e aplica integração por partes tomando u ejωt e dv ẋt dt Os termos de contorno desaparecem se xt for nula em restando jω xt ejωt dt jω Xω A propriedade de integração no tempo é a inversa formal da diferenciação Definindo yt t xτ dτ temse Fyt t xτ dτ ejωt dt Invertendo a ordem de integração e avaliando adequadamente chegase a Yω Xωjω π X0 δω O termo π X0 δω surge para garantir convergência quando ω 0 já que 1jω é singular nesse ponto 4 Disserte sobre o teorema de Parseval da Transformada de Fourier A igualdade entre a energia de um sinal no domínio do tempo e no domínio da frequência é o cerne do teorema de Parseval para a transformada de Fourier Para uma função xt cuja transformada exista definese a energia total como E xt² dt A transformada de Fourier de xt é Xω xt ejωt dt e sua inversa assumindo a convenção de fator 12π é xt 12π Xω ejωt dω Para estabelecer a relação de Parseval considerase xt² dt xt xt dt onde denota conjugado complexo Substituindo a expressão inversa de xt e a de xt obtémse uma integral dupla em t e ω Ao inverter a ordem de integração e usar ejωωt dt 2π δωω o delta de Dirac simplifica a integral em ω resultando em xt² dt 12π Xω² dω Essa fórmula expressa exatamente o balanço de energia a energia no tempo E coincide à constante 12π com a energia no espectro Na prática isso significa que eventuais medições de potência ou energia podem ser feitas em qualquer domínio sem perda de informação Em sistemas de processamento de sinais Parseval garante que filtragens ou modificações em frequência preservem o conteúdo energético global do sinal desde que sejam neutras em magnitude 5 Exemplo 05 Determine a transformada de Fourier da função da Figura abaixo utilizando a propriedade da diferenciação imagem gráfico triangular A função triangular pode ser vista como xt 2τt 1 τ2 t 0 2τt 1 0 t τ2 0 caso contrário Para explorar a propriedade da diferenciação convém escrever xt em termos de degraus Observase que em τ2 t 0 a derivada vale m₁ 2τ e em 0 t τ2 vale m₂ 2τ Assim xt 2τ ut τ2 ut 2τ ut ut τ2 2τ ut τ2 2 ut ut τ2 Aplicando a transformada de Fourier em cada termo usase Fut a π δω ejωajω Como os coeficientes em δω somam zero sobra Fxt 2τ ejωτ2 2 ejωτ2jω 4 cosωτ2 1jωτ Pela propriedade jω Xω Fxt segue Xω 4 cosωτ2 1jωτ jω 4 1 cosωτ2ω² τ Finalmente usando 1 cos β 2 sin²β2 obtémse Xω 8 sin²ωτ4ω² τ τ2 sinωτ4ωτ4²