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Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro — PUC-Rio Departamento de Engenharia Civil O MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA SOB UM ENFOQUE MATRICIAL Luiz Fernando Martha Rio de Janeiro, Agosto de 1993 ÍNDICE Pág. 1. CONCEITOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL ............... 1 1.1. Sistemas de Coordenadas ........................ 2 1.1.1. Coordenadas Globais .................... 2 1.1.2. Coordenadas Locais ..................... 5 1.2. Condições de Equilíbrio ........................ 6 1.3. Condições de Compatibilidade de Deslocamentos ... 7 1.3.1. Relações Entre Deslocamentos e Deformações em Barras .............................. 9 1.4. Relações Entre Tensões e Deformações ............ 12 1.5. Superposição de Efeitos e Comportamento Linear .. 13 1.6. Estruturas Estaticamente Determinadas e Indeterminadas .................................. 16 1.6.1. Estruturas Isostáticas .................. 16 1.6.2. Estruturas Hiperestáticas ............... 18 1.6.3. Comparação Entre Estruturas Isostáticas e Hiperestáticas .......................... 20 1.7. Métodos Básicos da Análise Estrutural ........... 23 1.7.1. Método das Forças ........................ 24 1.7.2. Método dos Deslocamentos ................. 24 1.7.3. Exemplo de Aplicação ..................... 24 1.8. Princípio dos Trabalhos Virtuais ................ 29 1.8.1. Princípio dos Deslocamentos Virtuais ...... 34 1.8.2. Princípio das Forças Virtuais ............. 35 1.8.3. Teoremas de Reciprocidade ..................... 40 1.9. Matrizes de Rigidez .............................. 42 1.9.1. Matriz de Rigidez Global ...................... 43 1.9.2. Matriz de Rigidez Local ....................... 45 1.10. Representação dos Carregamentos Como Cargas Nodais 47 2. MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA PARA TRELIÇAS PLANAS ...... 50 2.1. Matriz de Rigidez do Elemento (Barra) de Treliça no Sistema Local ............................ 51 2.1.1. Determinação por Aplicação de Equilíbrio Diretamente ................................ 52 2.1.2. Determinação de Matriz de Rigidez Local Por Aplicação do Princípio dos Deslocamentos Virtuais .................................... 54 2.2. Matriz de Rigidez do Elemento (Barra) de Treliça no Sistema de Eixos Globais .................. 57 2.2.1. Determinação da Matriz a Partir de Transformações de Coordenadas .......... 58 2.2.2. Determinação Por Aplicação das Condições de Equilíbrio Diretamente ................... 61 2.3. Matriz de Rigidez Global ........................ 62 2.3.1. Método da Rigidez Direta ..................... 67 2.3.2. Formalização do Método da Rigidez Direta ... 70 2.3.3. Instruções em FORTRAN Para Montagem da Matriz K .................................. 73 2.3.4. Numeração dos Nós Que Resulta na Matriz em Banda .................................... 78 2.4. Consideração das Condições de Contorno .......... 82 2.4.1. Instruções em FORTRAN Para a Consideração das Condições de Apoio ................ 85 2.5. Obtenção do Vetor de Cargas F ................... 88 2.6. Determinação dos Deslocamentos .................. 92 2.7. Esforços nas Barras ............................. 92 2.7.1. Determinação dos Esforços Utilizando a Matriz de Rigidez k da barra ............. 93 2.8. Reações de Apoio ................................ 96 3. MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA PARA QUADROS PLANOS ....... 97 3.1. Matriz de Rigidez do Elemento (Barra) de Quadro no Sistema Local ........................... 97 3.1.1. Funções de Forma Para o Elemento de Viga .. 99 3.1.2. Determinação da Matriz de Rigidez Por Aplicação do Princípio dos Deslocamentos Virtuais ..................................... 102 3.2. Matriz de Rigidez do Elemento (Barra) de Quadro no Sistema de Eixos Globais ................. 110 3.3. Determinação de Forças Equivalentes Nodais ...... 113 4. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS - ELEMENTO TRIANGULAR COM DEFORMAÇÃO CONSTANTE ............... 118 4.1. Idéias Básicas .................................. 119 4.2. Equações Fundamentais da Teoria da Elasticidade 4.2.1. Relações Entre Deslocamentos e Deformações ................................ 129 4.2.2. Leis Constitutivas do Material - Relações Tensões x Deformações ...................... 130 4.2.3. Equações Diferenciais de Equilíbrio ....... 133 4.3. Matriz de Rigidez do Elemento Finito Triangular de Deformação Constante ...................... 134 4.3.1. Matriz das Funções de Forma (N) ........... 134 4.3.2. Matriz Que Relaciona Deformações com Deslocamentos Nodais (B) ................... 137 4.3.3. Tensões Dentro do Elemento ................ 138 4.3.4. Determinação da Matriz de Rigidez Por Aplicação do Princípio dos Deslocamentos Virtuais .................................... 139 4.4. Resumo e Conclusões ............................. 143 5. REFERÊNCIAS: ....................................... 149 1. CONCEITOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL A análise estrutural é a fase do projeto estrutural que corresponde à determinação de esforços internos e externos (reações), e as correspondentes tensões, bem como determinação dos deslocamentos e correspondentes deformações da estrutura em estudo. Esta análise deve ser feita para os possíveis estágios de carregamentos e solicitações que devem ser previamente determinados. O projeto estrutural tem como objetivo a concepção de uma estrutura que atenda a todas as necessidades para as quais ela será construída, satisfazendo segurança, condições locais, condições econômicas, estética, condições construtivas e restrições legais. A análise estrutural está baseada na definição de um modelo estrutural onde o comportamento da estrutura é previsto para as diversas solicitações. O modelo estrutural é um modelo matemático que incorpora todas as hipóteses feitas para o comportamento da estrutura tais como hipóteses para o equilíbrio entre forças e entre tensões, para as relações entre deslocamentos e deformações, para o comportamento dos materiais que constituem a estrutura quando submetidas a solicitações, e para as condições de ligação da estrutura com outros sistemas (o solo, por exemplo). Estas hipóteses fundamentam as condições que governam o comportamento de um sistema estrutural representado por seu modelo matemático. Estas condições podem ser classificadas em: - condições de equilíbrio - condições de compatibilidade de deslocamentos - relações entre tensões e deformações Para estabelecer as condições acima e relacioná-las com um determinado modelo estrutural é essencial definir um sistema de coordenadas para identificar forças e deslocamentos. 1.1. Sistemas de Coordenadas O modelo matemático utilizado inclui um sistema de coordenadas globais a nível de estrutura e um sistema de coordenadas locais a nível de elemento estrutural (uma barra de um quadro por exemplo) para definir forças e deslocamentos. Convém observar que interpretam-se deslocamentos por deslocamentos e/ou rotações e forças por forças e/ou momentos. Também é importante não confundir sistema de coordenadas com sistema de eixos. As coordenadas globais são em geral definidas segundo o sistema de eixos globais da estrutura como será visto e as coordenadas locais podem ser definidas tanto no sistema de eixos globais quanto em um sistema de eixos locais particular de um elemento estrutural. 1.1.1. Coordenadas Globais Considere o quadro plano mostrado na figura 1.1 FIGURA 1.1 - Sistema de Eixos Globais Em princípio não vamos considerar as condições de apoio da estrutura para definir as coordenadas globais mostradas na figura 1.2. FIGURA 1.2. - Coordenadas Globais (Generalizados) As coordenadas globais são usadas para descrever uma da da configuração deformada da estrutura, ou para descrever um grupo de forças aplicadas à estrutura. Fica claro então que a descrição de deslocamentos da estrutura e forças aplicadas a ela fica limitada aos pontos onde são definidas as coordenadas. As informações quanto aos deslocamentos e forças em outros pontos são obtidos em função das informações nas coordenadas globais. O modelo matemático é feito de tal modo que se possa sempre reportar às coordenadas globais, por isso chamadas de coordenadas generalizadas. Assim a configuração deformada da estrutura da figura 1.2 fica definida apenas pelos deslocamentos nas coordenadas globais descritos pelo vetor D formado por 12 componentes, sendo D_i o deslocamento da coordenada i. Analogamente, o grupo de forças aplicadas à estrutura é descrito pelo vetor F formado pelas componentes F_i, cada uma aplicada à coordenada i. Os vetores D e F, mostrados abaixo, são chamados de deslocamentos generalizados e forças generalizadas. D = {D_1 D_2 D_3 D_4 D_5 D_6 D_7 D_8 D_9 D_10 D_11 D_12} (1.1) F = {F_1 F_2 F_3 F_4 F_5 F_6 F_7 F_8 F_9 F_10 F_11 F_12} (1.2) As componentes do vetor D são ditas linearmente independentes quando a configuração deformada da estrutura só fica completamente definida a partir do conhecimento de todas as componentes. As componentes do vetor F são ditas linearmente independentes quando é preciso conhecer todos os componentes para definir o grupo de forças aplicadas. 1.1.1.1. Coordenadas Dependentes Voltemos à mesma estrutura da figura 1.2 e, ainda esque- cendo as condições de apoio, consideremos que os membros da es- trutura são infinitamente rígidos ao longo de suas direções axiais, de modo que seus comprimentos são invariáveis. Neste caso podemos estabelecer as seguintes relações de dependências entre os deslocamentos das coordenadas globais: D1 = D4 D2 = D6 D5 = D11 Assim, a configuração deformada da estrutura fica defi- nida por 9 componentes e não por 12, como mostrado na figura 1.3. Figura 1.3 - Deslocamentos independentes A dependência entre forças se dá para garantir o equi líbrio da estrutura como um todo. Para a estrutura da figura 1.2, as condições de equilíbrio nas direções X e Y e de momentos em relação ao ponto do apoio da esquerda resultam nas seguintes re- lações de dependências entre forças: F1 + F4 + F7 + F10 = 0 F2 + F5 + F8 + F11 = 0 (1.4) F3 + F6 + F9 + F12 + F3L1 + F6L1 - F9L2 - F12L2 = 0