Lista Cálculo 1

1 res 1 2 res 2 3 res 3 3 D 13 nem par nem impar contínua em D assíntotas verticais x 1 e x 3 assíntotas horizontais y 3 e y 3 não tem reta tangente vertical crescente em 2 decrescente em 21 3 não tem mínimo relativo máximo relativo f2 5 concavidade para cima em 33 para baixo em 31 ponto de inflexão 3433 não tem mínimo absoluto pois limx fx não tem máximo absoluto pois limx3 fx imagem 5 3 4 D 0 0 nem par nem impar contínua em D assíntota vertical x 0 assíntota horizontal y 1 não tem reta tangente vertical crescente em 0 2 decrescente em 02 mínimo relativo f2 54 não tem máximo relativo concavidade para cima em 0 03 para baixo em 3 ponto de inflexão 3119 mínimo absoluto f2 54 não tem máximo absoluto pois limx0 fx imagem 54 5 D é impar contínua em D não tem assíntota vertical não tem assíntota horizontal não tem reta tangente vertical crescente em 2 2 decrescente em 22 mínimo relativo f2 2 5 arctan 2 355 máximo relativo f2 2 5 arctan 2 355 concavidade para cima em 0 para baixo em 0 ponto de inflexão 00 não tem mínimo absoluto pois limx fx não tem máximo absoluto pois limx fx imagem Nos itens abaixo esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede domínio D de f paridade de f equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico intervalos de D em que f é contínua pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima onde é para baixo e os seus pontos de inflexão extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem imagem de f 1 fx x3 2x 2 fx x 1x23 3 fx 3x 1sqrtx2 2x 3 4 fx 1 1x 1x2 5 fx x 5 arctan x 1 Df R 0 limx fx 1 limx fx 1 limx0 fx 0 limx0 fx Assíntota horizontal y 1 Assíntota vertical x 0 fx e1xx2 Então fx 0 em R 0 Logo fx é decrescente em R 0 e não tem pontos críticos fx e1x1 2xx4 Então f x 0 1 2x 0 ou x 12 Temos um ponto de inflexão em x 12 concavidade para baixo em 2 concavidade para cima em 2 0 0 2 Df 0 limx0 fx 0 limx fx fx x2lnx 1 Logo fx 0 2lnx 1 0 e temos um ponto crítico em x 1e12 Então f é decrescente em 0e12 crescente em e12 e tem um mínimo absoluto em f1e12 1e2 fx 2lnx 3 Ponto de inflexão x e32 concavidade para baixo em 0e32 concavidade para cima em e32 3 Df R limx fx limx fx 0 Assíntota horizontal y 0 fx ex1x Ponto crítico em x 1 f é crescente em 1 decrescente em 1 com um máximo absoluto f1 1e fx ex2x Ponto de inflexão em x 2 concavidade para baixo no intervalo 2 concavidade para cima em 2 1 Fazendo u ln x temos du 1x dx logo ln x²x dx u² du 13 u³ C 13 ln x³ C 2 Note que x⁴ 2x² 3 x² 1² 2 2x² 12² 1 Tomando u x² 12 temos du 2x2 2x Por tanto xx⁴ 2x² 3 dx 12 xx² 1 ²² 1 dx 122 1u² 1 du 122 arctg u C 122 arctg x² 12 C res 6 7 res 7 8 res 8 9 res 9 Sejam f e g funções com domínio R e cujos gráficos estão representados abaixo Dos gráficos abaixo indique os que representam as funções derivadas f f g e g Gráfico 1 Gráfico 3 Gráfico 5 Gráfico 2 Gráfico 4 Gráfico 6 10 11 res 11 12 res 12 Portanto a área de R é ₂³ gx fx dx ₂³ 6 x x² dx 6x x²2 x³3 ³₂ 6 3 3²2 3³3 6 2 2²2 2³3 1256 2 A área de R é ₂⁴ x² 2x dx ₂⁰ x² 2x dx ₀² x² 2x dx ₂⁴ x² 2x dx 443 3 A interseção entre as curvas x 2 e x y² 1 ocorre quando y² 1 2 0 ou seja y 1 Vemos que a região R está entre os gráficos x gy e x fy onde fy y² 1 e gy 2 note os eixos trocados Como entre y 1 e y 1 temse gy fy temos que a área de R é ₁¹ 2 y² 1 dy ₁¹ 1 y² dy y y³3 ¹₁ 1 1³3 1 1³3 43 Por tanto from 1 to 1 s3 2s ds 12 from 1 to 5 u32 u12 du 12 from 1 to 5 u122 3u122 du 14 u3232 3u1212 from 1 to 5 u326 3u122 from 1 to 5 556 352 16 32 4 253 5 Note que a função fx x4 sen5 x é impar vamos usar isto para mostrar que a integral procurada é zero Fazendo u x temos du dx e nos limites de integração x 3π u 3π x 0 u 0 por tanto from 3π to 0 x4 sen5 x dx from 3π to 0 u4 sen5u du from 0 to 3π u4 sen5 u du from 0 to 3π u4 sen5 u du Concluímos que from 3π to 3π x4 sen5 x dx from 3π to 0 x4 sen5 x dx from 0 to 3π x4 sen5 x dx 0 6 Note que 2 cos2 θ 1 2 cos θ2 1 Tomando u 2 cos θ temos du 2 sen θ dθ Para os limites de integração temos θ 0 u 2 θ π u 2 Por tanto from 0 to π sen θ 2 cos2 θ 1 dθ 12 from 2 to 2 1u2 1 du 12 arctg u 22 arctg2 arctg22 2 arctg2 1 fx x 3x2 fx 1 6x3 0 x 0 x3 6 0 x 6 x3 6x3 fx 0 para 0 x 6 fx crescente fx 0 para x 0 fx decrescente fx 0 para x 6 fx crescente x3 6 0 6 x3 f crescente f decrescente f crescente 2 gt 3t2 4t1 t2 gt 6t 41 t2 3t2 4t2t1 t22 6t3 4t2 6t 4 6t3 8t21 t22 4t2 6t 41 t22 0 2t2 3t 2 0 Δ 9 422 25 Δ 25 3 Usando cos2 x 1 cos2x2 obtemos sen2x3 cos2 x 1 sen2x3 1cos2x2 1 2 sen2x3 cos2x 5 Tomando u 3 cos2x 5 temos du 6 sen2x por tanto sen2x3 cos2 x 1 dx 2 sen2x3 cos2x 5 dx 13 duu lnu3 C ln3 cos2x 53 C 4 Tomando u 3 2s temos du 2 ds e s u 32 Para os limites de integração temos s 1 u 1 s 1 u 5 Use integração por substituição para calcular as integrais abaixo 1 ln x²x dx 2 xx⁴ 2x² 3 dx 3 sen2x3cos² x 1 dx 4 ¹¹ s3 2s ds 5 ₃³π x⁴ sen⁵ x dx 6 ₀π sen θ2 cos² θ 1 dx t 3 5 4 t 2 ou t 12 fx é crescente em 12 2 fx é decrescente em 12 e 2 3 Fu u² u 1 2u 1 Fu 2u 12u 2 2u² u 1 4u 1² Fu 2u² 3u 1 u² u 1 2u 1² u² 2u 2u 1² 0 u 0 u² 2u 0 u 2 Mostre que as áreas das regiões dadas a seguir são iguais y 2xex y ex Note que a área do gráfico da esquerda corresponde com from 0 to 1 2ueu du e a área do gráfico da direita corresponde com from 0 to 1 ex dx Tomando u x temos du 12x dx logo dx 2u du Para os limites de integração temos x 0 u 0 x 1 u 1 Por tanto from 0 to 1 ex dx from 0 to 1 2ueu du Isto mostra que as duas áreas são iguais u² 2u 2 2u 1² fx fx é crescente em 0 e 2 fx é decrescente em 0 2 2 fx ln x x fx 1x x ln x x² fx 1 ln x x² 0 Ponto crítico 1 ln x 0 ln x 1 x e fx 0 para 0 x e fx 0 para x e fx 1xx² 2x1 ln x x⁴ fx x 2x 2x ln x x⁴ fx 2 ln x 3 x³ fx e 2 3 e³ e³ 0 fx decresc Como x e é ponto crítico com 1ª derivada decrescente e como fx é decrescente para 0 x e e crescente para x e x e é ponto de máximo absoluto fπ fe ln π π 1 e ln π π e π e π e elevando tudo a e πe eπ