Lista de Calculo Diferencial e Integral

Disciplina Cálculo Diferencial e Integral II Prova 03 Prof Roberto Pettres Estudante 1 2 Em virtude da variação térmica e da carga dos condutores os mesmos sofrem dilatação fazendo com que o cabo varie seu comprimento tornando se em determinadas situações mais comprido e em outra mais curto As linhas de transmissão deverão ser projetadas para que esta dilatação não resulte em um aumento da flecha assim comprometendo a segurança do sistema esta flecha é definida como a distância entre o ponto mais baixo da linha e uma referência reta imaginária interligando os isoladores de ancoragem como representado pela letra F na figura abaixo Os dados utilizados são baseados em rede de alta tensão 230 kV com cabo CAA 763 KCM com coeficiente de dilatação de 189x106 localiza em zona rural onde as torres possuem uma altura de 26 metros de altura até o isolante H e de 500 metros de distância representada pela letra A necessitando de um vão livre de no mínimo 7 metros de altura em sua parte mais baixa F dados retirados da NBR 5422 Calcule o comprimento do cabo entre dois isoladores supondo que a curva se aproxima de uma parábola e a variação no comprimento do cabo para uma variação de temperatura de 30 oC Figura 1 Linha de transmissão Sugestões Fixe como 0 0 o ponto mais baixo a curva e 3 Numa fábrica de circuitos impressos a vida útil desses circuitos tem uma distribuição descrita pela densidade de probabilidade fx 0002 e 0002x se x 0 onde x é medido em horas a Qual é a probabilidade dos circuitos funcionarem em menos de 600 horas b Qual é a probabilidade dos circuitos continuarem funcionando após 600 horas 4 Reação de hidratação O concreto armado é o elemento estrutural mais usado no mundo por conta do seu alto custobenefício Além da resistência que pode adquirir possui um custo relativamente baixo comparado com outras alternativas de construção Porém os cuidados que se deve tomar com o concreto para garantir a sua eficiência e sua durabilidade são grandes Um desses cuidados refere se às ações para combater o calor de hidratação do cimento na mistura do concreto O processo de hidratação do cimento é exotérmico ou seja libera calor enquanto a reação química ocorre Parte deste calor liberado é absorvido pelo próprio concreto elevando a temperatura da mistura Devido ao crescimento do número de edifícios cada vez mais altos a execução de peças muito robustas com grande volume de concreto passou a ser comum nas obras mais convencionais e não mais apenas em obras especiais como barragens e pontes A produção de grandes volumes de concreto portanto necessita de cuidados especiais para que a temperatura no interior do concreto seja dissipada antes de atingir valores muito altos o que pode causar fissuração interna do concreto e consequentemente perda de resistência O nome dado a este fenômeno é calor de hidratação que é um problema térmico de natureza intrínseca do concreto E todo concreto que necessite de estudos prévios para o controle deste problema é chamado de concreto massa Em geral os problemas por elevação descontrolada do calor de hidratação aparecem no sétimo dia quando as reações internas diminuem e a temperatura do concreto começa a cair São muitos fatores que influenciam a temperatura interna final atingida pelo concreto tipo do cimento quantidade de água temperatura ambiente temperatura de lançamento do concreto espessura das camadas de concreto etc Para evitar o problema térmico no concreto devese fazer uma análise aprofundada de todos os fatores que podem resultar no aumento de temperatura no seu interior e controlar o que possivelmente poderá vir a ser um problema para a estrutura APLICAÇÃO Supondo que a distribuição de temperatura em certo instante em uma seção transversal de um bloco de concreto seja dada por Txy 36 x 2 y 2 em C cujas arestas da seção transversal tem vértices iguais a 2 2 2 2 2 2 e 2 2 determine a As curvas de nível de Txy b O vetor gradiente de temperatura c Partindo do 1 1 em qual direção a temperatura aumenta d Partindo do ponto 1 1 em qual direção a temperatura aumenta e Partido do ponto 0 0 em qual direção a temperatura aumenta f Quais são as temperaturas máxima e mínima na seção transversal g Supondo que a temperatura de deposição do concreto era de 28 C e que uma elevação de temperatura superior a 4 C provoque a fissuração térmica indique a região onde tais fissuras poderiam ocorrer naquele instante Cálculo II 1 Para que f seja continua é preciso que fab lim xyab fxy para todo ab Domf Em particular é preciso que f00 lim xy00 fxy Sendo assim para determinar o valor de a precisamos deter minar o limite acima Temos que lim xy00 fxy lim xy00 x²y² y²1 1 y²1 1 Como substituir xy0 resulta em 00 devemos fazer manipulações algébricas lim xy00 x² y² y²11 y²11 a²b² abab lim xy00 x² y²11 y² y² 0² 0²11 0 Logo para que f seja continua é preciso que f000 Mas como f00 a4 temos f00 a40 a40 a4 Portanto a4 2 Supondo que a curva se aproxima de uma parábola podemos representar o cabo no plano cartesiano considerando a origem no ponto mais baixo da curva Image contains a graph and the following text below 500 m Como o vértice da parábola está na origem sua equação será da forma yₓ K x² Além disso sabemos que quando x250 yₓ70 Logo o valor de K é K 70 250² 0000112 Sabendo a equação da parábola podemos determinar o comprimento do cabo entre os dois isoladores que é dado por L₀ from 250 to 250 1 y² dx onde y é a derivada de yₓ 0000112 x² Logo y ddx 0000112 x² 20000112 x 0000224 x L₀ from 250 to 250 1 0000224 x² dx from 250 to 250 1 50176 x 10⁸ x² dx Função par 2 from 0 to 250 1 u x² dx com u 50176 x 10⁸ 2 x1 u x²2 12u lnu x 1 u x² from 0 to 250 Formulário L₀ 2 250 1 50176x10⁸ 250²2 ln50176x10⁸ 250 1 50176 x 10⁸ 250² 250176 x 10⁸ 0 2 125 1002 ln0056 1002 0000448 2 12525 0056380 0000448 2 2510982 5021964 m Por fim a variação do comprimento do cabo para uma variação de 30 será ΔL L₀ α ΔT 5021964 189x10⁶ 30 02847 m 3 A probabilidade de X estar entre a e b é P a X b from a to b fx dx onde fx é a função densidade de probabilidade Neste exercício temos fx 0002 e0002 x x 0 a Queremos calcular P0 x 600 eax dx 1a eax c P0 x 600 from 0 to 600 0002 e0002 x dx e0002 x from 0 to 600 e12 e0 03012 1 06988 b A probabilidade de x 600 é Px 600 1 Px 600 Complementar 1 06988 03012 4º a Curvas de nível são as equações Txy c com C constante ou seja 36 x² y² c x² y² 36 c b O vetor gradiente da temperatura é delT delTdelx delTdely del 36x²y²delx del 36x²y²dely 2x 2y c Partindo do ponto 11 a temperatura aumenta na direção do vetor gradiente delT11 21 21 2 2 Direção ao centro d Partindo do ponto 11 a temperatura aumenta na direção do vetor gradiente delT11 21 21 22 Direção ao centro e Partindo do ponto 00 a temperatura não aumenta pois delT00 20 20 00 f Analisando a equação e os vetores gradientes temos que o máximo acontece no ponto 00 De fato 36 0² 0² 36 Já o mínimo acontece nas extremidades pois são os pontos mais afastados do centro 36 2² 2² 36 8 28 máx 36ºC min 28ºC g As fissuras podem ocorrer onde a temperatura é maior que 28 4 32 ou seja 36 x² y² 32 x² y² 36 32 4 2² Portanto as fissuras podem ocorrer dentro do círculo de raio 2