Área entre Curvas-Cálculo de Áreas Delimitadas por Funções

1 DETERMINE A ÁREA DELIMITADA PELAS CURVAS a y x² e x b y x² e y x 6 c y x² e y x 2 d y 4 x² e y 5x x² e y 2x f y 4x 3 limitada pelas retas x 1 e x 4 1 a yx² e y x TEMOS QUE OS DOIS PONTOS DE INTERSEÇÃO SÃO x 0 e x 1 DE FATO x0 x²0x x1 x²1x No intervalo 01 vale que xx² Portanto para calcular tal área A 01x x² dx DIFERENÇA DAS DUAS FUNÇÕES A LIMITANTE SUPERIOR x MENOS A LIMITANTE INFERIOR x² Portanto 01x x² dx 01x dx 01 x² dx 01 x12 dx x³3₀¹ x3232₀¹ 13 0 23 x32₀¹ 13 231 0 13 23 13 13 A 13 b yx² yx6 VAMOS ENCONTRAR AS DUAS INTERSEÇÕES yx² x6 x² x 6 0 x 1 1 242 3 0 2 PORTANTO OS LIMITES DE INTEGRAÇÃO SERÃO 2 E 3 O LIMITANTE SUPERIOR DA ÁREA É y x 6 O INFERIOR É y x² A 23 x6 x² dx 23 x6 dx 23 x² dx x²2 6x₂³ x³3₂³ 92 63 2²2 62 273 2³3 92 18 2 12 9 83 92 83 19 27 16 1146 1256 A 1256 c y x² y x 2 SEMELHANTE AO b Os pontos de interseção x² x 2 x² x 2 0 x 1 1 82 2 0 1 Portanto A 12x2 x² dx 12x2 dx 12 x² dx x²2 2x₁² x³3₁² 2²2 22 1²2 21 83 1³3 2 4 12 2 83 13 8 3 12 5 12 92 A 92 d y 4 x² VAMOS CALCULAR Á ÁREA ENTRE y 4 x² E y 0 Eixo x As interseções y 4 x² 0 4 x² 0 x² 4 x 2 Logo A 22 4 x² dx 22 4 dx 22 x² dx 4x₂² x³3₂² 42 42 83 83 8 8 83 83 16 163 48 163 323 e y 5x x² e y 2x ESTE CASO É UM POUCO MAIS COMPLICADO PARA DESENHAR E PARA CALCULAR A ÁREA PARA NÃO TER DE DETERMINAR SE 5x x² 2x OU SE 2x 5x x² VAMOS CALCULAR A INTEGRAL EM MÓDULOS COMO VEREMOS DEPOIS Os pontos de interseção 5x x² 2x 3x x² 0 x3 x 0 x 0 OU x 3 Portanto A 03 5x x² 2x dx 03 3x x² dx 3x²2₀³ x³3₀³ 33²2 0 273 0 272 9 92 A 92 f y 4x 3 e x 1 x 4 Neste caso temos doiis triângulos é a área total é A A1 A2 O triângulo menor é delimitado por x 1 e por x tal que 4x 3 0 Logo x 34 Assim A1 from 34 to 4 4x 3 dx 42x2 3x from 34 to 4 2x2 3x from 34 to 4 242 34 2342 334 216 12 1816 94 32 12 36 1816 44 1816 44 98 3618 Em módulo pois para x 1 34 y 0 então a área seria negativa o que não existe Também A2 from 1 to 34 4x 3 dx 2x2 3x from 1 to 34 2342 334 212 31 1816 94 2 3 98 94 1 9 18 88 18 18 A A1 A2 3618 18 3628