Lista de Exercícios: Cálculo B - Regra da Cadeia e Derivadas Direcionais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA UFBA INSTITUTO DE MATEMATICA E ESTATISTICA DISCIPLINA MATA03 CALCULO B LISTA 4 Regra da cadeia e derivada direcional 1 Um lado de um triˆangulo esta aumentando em uma taxa de 3cms e um segundo lado esta decrescendo em uma taxa de 2cms Se a area do triˆangulo permanece constante a que taxa varia o ˆangulo entre os lados quando o primeiro lado tem 20cm de comprimento o segundo lado tem 30cm de comprimentoo e o ˆangulo e π 6 2 O raio de um cone circular esta aumentando em uma taxa de 4 6cms enquanto sua altura esta descrescendo em uma taxa de 6 5cms Determine a taxa que o volume do cone esta variando quando o raio e 300cm e a altura e 350cm 3 Seja fx y uma funcao diferenciavel e considere a funcao z ufu v u v Mostre que uz u uz v z 2u2 f y 4 Se z fx y onde f e diferenciavel e x gt g3 2 g3 5 e f x2 7 6 e y ht h3 7 h3 4 f x2 7 8 determine dz dt quando t 3 5 Seja Fu v fgu v hu v fx y onde f g e h sao diferenciaveis e suponha que g1 0 2 g u1 0 2 g v1 0 6 e f x2 3 1 e h1 0 3 h u1 0 2 h v 1 0 4 e f y 2 3 10 Determine F u 1 0 e F v 1 0 6 Seja g uma funcao difereciavel e defina fx y gx2y x3y2 Se f x2 1 16 e f y 2 1 8 determine as derivadas parciais da g em 4 8 1 2 7 Supondo que as fungodes fg tenham derivadas parciais de segunda ordem continuas mostre que qualquer funcao da forma z fxat ga at é solucao da equacao de onda 07 z 9072 a ot Ox 8 Seja f R R uma funcado diferencidvel e defina Fx y f 1 Verifique que y x OF 4 OF 0 L 0 ax Oy 0 0 9 Determine a e an para z fxy definida implicitamente por a Oy a x 2y43271 b yz talny2 10 Se z zuv é definida implicitamente por f 0 onde f é uma fungao diferencidvel zz mostre que Oz 4 Oz r 2 Ox Yay 11 Determine o vetor gradiente da fungéo em P e a derivada direcional em P na direcao do vetor a fxy ayay P2le03147 b fxy senz 2y P 4 2 ev V2i V27 c fzy Inwy P1lbev ij 12 Utilize o vetor gradiente para determinar a equacao da reta tangente A curva de nivel k 7 da funcao fxy x y no ponto 21 b equacao da reta tangente curva de nivel k 1 da funcao fxy y 2 no ponto 01 13 Determine a taxa de variagéo maxima da funcao em P e a diregao em que isso ocorre a f2y senxy P 1 0 b fay ay P 11 c fz y ye ze P 00 14 A temperatura em uma placa de metal é dada por Tx y 2042 y com y em centimetros e a temperatura T em C Qual a direcdo de maior crescimento da temperatura a partir do ponto 23 Determine a taxa de crescimento 15 Considere a funcio f R R definida por 2 LY m4yt se xy 00 fixyy 7 74 0 se xy 00 3 Existe um vetor unitario u tal que f u0 0 e o maximo valor possıvel Isto e estandose em 0 0 existe direcao de maximo crescimento 16 Determine as direcoes em que a derivada direcional de fx y yexy no ponto 2 0 tem valor 1 17 Seja fx y 2xey 3yex x y Determine as direcoes em que a derivada direcional de f no ponto 0 0 e igual zero 18 Considere a funcao fx y yexy2 Determine o vetor unitario u a b para o qual a derivada direcional f u2021 0 e igual a 1 19 Considere uma regiao retangular cujas dimensoes aumentam com o tempo imagine uma area sendo desmatada Denote por gt e ht o comprimento e a largura no tempo t respectivamente Se num determinado instante t0 temos gt0 105m e ht0 68m e gt0 0 5 ms e ht0 1 ms determine a taxa de variacao da area da regiao retangular no instante t0 20 Supondo que o raio de um cilindro circular reto cresce a uma taxa de 3cmmin e altura decresce a uma taxa de 2cmmin qual e a taxa de variacao do volume do cilindro no instante em que o raio e 13cm e a altura e 18cm 4 GABARITO Regra da cadeia e derivada direcional 1 3 36 rads 2 127 103πcm3s 6 g u4 8 10 e g v4 8 2 9 a z x x 3z e z y 2y 3z b z x ln y 2z y e z y x zy y2z y 11 a f2 1 3 2 e Duf2 1 1 5 b f4 2 1 2 e Duf4 2 2 2 13 a Taxa 1 direcao 0 1 b Taxa 5 direcao 2 1 14 Taxa 2 73 direcao 16 6