Lista de Exercicios Calculo C - Modelos Matematicos UFBA

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA UFBA INSTITUTO DE MATEMATICA E ESTATISTICA MATA04 Calculo C LISTA DE EXERCICIOS 1 Modelos Matematicos 1 Uma gota de chuva esferica evapora a uma taxa proporcional a sua area de superfıcie Escreva uma equacao diferencial para o volume de uma gota de chuva em funcao do tempo 2 A lei do resfriamento de Newton diz que a temperatura de um objeto varia a uma taxa proporcional a diferenca entre a temperatura do objeto e a temperatura do meio em que esta inserido a temperatura do ambiente na maior parte dos casos Suponha que a temperatura ambiente e 21 graus Celsius e que a taxa e de 005 por minuto Escreva uma equacao diferencial para a temperatura do objeto em qualquer instante t 3 Escreva a equacao diferencial que descreve a velocidade vt no instante t de um corpo em queda de massa m supondo que a resistˆencia do ar Rt e proporcional a velocidade vt isto e Rt λvt onde λ e a constante de proporcionalidade Para descrever a equacao assuma que a aceleracao da gravidade e 9 8 ms2 4 Para objetos pequenos caindo devagar a hipotese feita sobre a resistˆencia do ar ser proporcional a velocidade e boa Para objetos maiores caindo mais rapidamente e mais preciso supor que a resistˆencia do ar e proporcional ao quadrado da velocidade Escreva uma equacao diferencial para a velocidade de um objeto em queda de massa m se a resistˆencia do ar e proporcional a velocidade 5 Um determinado remedio e injetado na veia de um paciente de hospital O lıquido contendo 5 mgcm3 do remedio entra na corrente sanguınea do paciente a uma taxa de 100 cm3h O remedio e absorvido pelos tecidos do corpo ou deixa a corrente sanguınea de outro modo a uma taxa proporcional a quantidade presente com um coeficiente de proporcionalidade igual a 0 4 h1 Supondo que o remedio e distribuıdo uniformemente na corrente sanguınea escreva uma equacao diferencial para a quantidade de remedio presente na corrente sanguınea em qualquer instante de tempo 6 Considere uma populacao de ratos que habitam uma certa area rural Vamos supor que na ausˆencia de predadores a populacao de ratos cresce a uma taxa proporcional a populacao atual Essa hipotese nao e uma lei fısica muito bem estabelecida como a segunda lei de Newton mas e uma hipotese inicial usual em um estudo de crescimento populacional Se denotarmos o tempo por t e a populacao de ratos por pt entao a hipotese sobre o crescimento populacional pode ser expressa pela equacao dp dt rp onde o fator de proporcionalidade r e chamado de taxa de crescimento Agora suponha que r 0 5 e que diversas corujas moram na mesma vizinhanca e que elas matam 15 ratos por dia Incorpore essas informacoes ao modelo e escreva uma equacao diferencial que descreva o crescimento populacional Campo de Direcoes 1 2 1 No Geogebra o comando CampoDeDirecoesfxy e usado para plotar o campo de direcoes de uma EDO da forma y fx y Para cada um dos itens abaixo use o Geogebra para desenhar o campo de direcoes da equacao dada e estude o comportamento das solucoes quando x Se possıvel descreva esse comportamento em funcao do valor inicial y0 a y 3 2y b y y 2 c y yy 4 d y y2 e y yy 22 f y 2 x y g y 2x 1 y2 h y 2x y 2y Equacoes separaveis 1 Considere um objeto em queda de massa 10kg Usando o modelo descrito no exercıcio 4 da secao Modelos Matematicos seja vt a velocidade num instante t Se a solucao de equilıbrio e 49ms mostre que a equacao de movimento pode ser descrita como vt 492 v2 245 a Se v0 0 encontre uma expressao para vt em qualquer instante t b Esboce o grafico da solucao encontrada no item a c Encontre o tempo T necessario para que o objeto percorra 300 metros 2 Seja y pt a populacao de uma especie dada no instante t A hipotese mais simples sobre a variacao da populacao e que a taxa de variacao de y e proporcional ao valor atual de y isto e dy dt ry onde a constante de proporcionalidade r 0 e chamada taxa de crescimento Esse modelo foi proposto pela primeira vez pelo economista Thomas Malthus em 1798 Uma adaptacao desse modelo foi proposta pelo matematico PF Verhulst em 1838 atraves da equacao dy dt r1 y K y Essa equacao e chamada de equacao logıstica Resolva a equacao logıstica para K 1 e r 05 3 Determine se cada uma das equacoes abaixo e separavel Em caso afirmativo encontre sua solucao geral a 2x y2 2xyy 0 b xy2 y x y c y y2 x d y x2 y e y x2 y1 x3 f y y2 sen x 0 3 g y 3x2 1 3 2y h y x lny 1 i y cos2 xcos2 3y j y x ex y ey k y x2 1 y2 l cosxy y 0 4 Resolva o problema de valor inicial y 2y2 xy2 y0 1 e determine onde a solucao atinge seu valor mınimo 5 Resolva o problema de valor inicial y 2 ex 3 2y y0 0 e determine onde a solucao atinge seu valor maximo 6 Resolva a equacao y ay b cy d onde a b c e d sao constantes Equacoes lineares de 1o ordem 1 Seja pt a populacao no modelo ratos do campo versus corujas do exercıcio 6 da secao Modelos Matematicos a Encontre o instante em que a populacao e extinta de p0 850 b Encontre a populacao inicial se a populacao e extinta em 1 ano 2 Considere uma populacao p de ratos do campo que crescem a uma taxa proporcional a populacao atual de modo que dp dt rp a Encontre a taxa de crescimento r se a populacao dobra em 30 dias b Encontre r se a populacao dobra em N dias 3 Um material radioativo tal como um dos isotopos de torio o torio234 desintegra a uma taxa proporcional a quantidade presente Se Qt e a quantidade presente no instante t entao dQ dt rQ onde r 0 e a taxa de decaimento a Se 100 mg de torio234 decaem a 82 04 mg em 1 semana determine a determine a taxa de decaimento r b Encontre uma equacao para a quantidade de torio234 presente em qualquer instante t c Encontre o tempo necessario para que o torio234 decaia a metade da quantidade original 4 A meiavida de um material radioativo é o tempo necessário para que a quantidade desse material decaia à metade de sua quantidade original Mostre que para qualquer material radioativo que decaia de acordo com a equação Q rQ a meiavida τ e a taxa de decaimento r estão relacionadas pela equação τ r ln 2 5 Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares a y 2y x e y 2y x² e²ˣ b y 3y x e²ˣ f y 1t y 3 cos2t t 0 c y y xeˣ 1 g 1 x²y 4xy 1 x²² d x tg t x tg t h y yx ln x 1 x 1 6 Encontre a solução do problema de valor inicial a t y 2y t² t 1 t 0 y1 12 d t y 2y sen t t 0 yπ2 1 b y y 2t e²ᵗ y0 1 e t y 1 t y t t 0 yln 2 1 c x² y 2xy cos x x 0 yπ 0 f x 2x 3eᵗ x0 1 7 Resolva a EDO que descreve a velocidade de um corpo em queda próximo à superfície da terra como no exercício 3 da seção Modelos Matemáticos para m 10 e λ 05 8 Considere a equação 2y ty 2 Mostre que todas a suas soluções se aproximam de um mesmo limite quando t 9 De acordo com as leis do resfriamento de Newton a temperatura ut de um objeto satisfaz a equação diferencial dudt ku T onde T é a temperatura ambiente constante e k é uma constante positiva Suponha que a temperatura inicial do objeto é u0 u₀ a Encontre a temperatura do objeto em qualquer instante t b Seja τ o instante no qual a diferença inicial de temperatura u₀ T foi reduzida à metade Encontre a relação entre k e τ 10 Suponha que um prédio perde calor de acordo com a lei do resfriamento de Newton e que a taxa constante k tem o valor 015h Suponha que o interior está a uma temperatura 21 C quando há uma falha no sistema de aquecimento Se a temperatura externa 12 C quanto tempo vai levar para a temperatura no interior chegar a 0 C 5 Equacoes de Bernoulli Algumas vezes e possıvel resolver uma equacao naolinear fazendose uma mudanca na variavel depen dente que a transforma em uma equacao linear A mais importantes dessas equacoes tem a forma y pty qtyn e e chamada de equacao de Bernoulli em homenagem a Jakob Bernoulli 1 a Resolva a equacao de Bernoulli quando n 0 e quando n 1 b Mostre que se n 0 e n 1 entao a substituicao v y1n reduz a equacao de Bernoulli a uma equacao linear Esse metodo de solucao foi encontrado por Leibniz em 1696 2 Resolva as seguintes equacoes de Bernoulli usando o metodo de substituicao mencionado no exercıcio 1b acima a t2y 2ty y3 0 t 0 b y ry ky2 r 0 e k 0 c y ϵy σy3 ϵ 0 e σ 0 d y Γ cos t Ty y3 onde Γ e T sao constantes Equacao de Riccati A equacao dy dt q1t q2ty q3ty2 e conhecida como uma equacao de Riccati em homenagem a Jacopo Francesco Riccati 16761754 um nobre natural de Veneza que nao aceitou ofertas de posicoes em universidade da Italia na Austria e na Russia para continuar seus estudos matematicos na privacidade do seu lar 1 Suponha que alguma solucao particular y1 da equacao de Riccati e conhecida Uma solucao mais geral contendo uma constante arbitraria pode ser obtida atraves da substituicao y y1t 1 vt Mostre que vt satisfaz a equacao linear de primeira ordem dv dt q2 2q3y1v q3 Embora Riccati estudou extensamente estas equacoes foi Euler em 1760 que descobriu o resul tado enunciado neste exercıcio 2 Usando o metodo do exercıcio 1 e a solucao particular dada resolva cada uma das equacoes de Riccati a seguir a y 1 t2 2ty y2 y1t t b y 1 t2 y t y2 y1t 1 t 6 c dy dt 2 cos2 t sen2 t y2 2 cos t y1t sen t 3 A propagacao de uma unica acao em uma populacao grande por exemplo motoristas acendendo os farois quando o sol se poe muitas vezes depende parcialmente de circunstˆancias externas o escurecimento e parcialmente de uma tendˆencia de imitar outros que ja fizeram a acao em questao Nesse caso a proporcao yt de pessoas que efetuaram a acao pode ser descrita pela equacao dy dt 1 yxt by onde xt mede o estımulo externo e b e o coeficiente de imitacao a Observe que a equacao acima e uma equacao de Riccati e que y1t 1 e uma solucao Use a transformacao sugerida no exercıcio 1 e encontra a equacao linear satisfeita por vt b Encontre vt no caso em que xt at onde a e uma constante Deixe sua resposta na forma de uma integral Equacoes exatas 1 Determine se cada uma das equacoes abaixo e exata Em caso afirmativo encontre sua solucao geral a 2x 3 2y 2y 0 b 3x2 2xy 2 6y2 x2 3y 0 c 2xy2 2y 2x2y 2xy 0 d 2x 4y 2x 2yy 0 e ex sen y 2y sen x ex cos y 2 cos xy 0 f ex sen y 3y 3x ex sen yy 0 g yexy cos 2x 2exy sen 2x 2x xexy cos2y 3y 0 h y x 6x ln x 2y 0 x 0 i x ln y xy y ln x xyy 0 x 0 y 0 j x x2 y2 3 2 y x2 y2 3 2 y 0 2 Determine para quais valores de a b c e d a equacao y ax by cx dy e exata Epidemias A utilizacao de metodos matematicos para estudar a disseminacao de doencas contagiosas vem da decada de 1760 quando Daniel Bernoulli fez trabalhos sobre a varıola Recentemente muitos modelos 7 matematicos tem sido propostos para diversas doencas diferentes O dois problemas a seguir consideram alguns do modelos mais simples e as conclusoes que podem ser inferidas deles Modelos semelhantes tˆem sido usados tambem para descrever a disseminacao de boatos e de produtos de consumo 1 Suponha que uma determinada populacao pode ser dividida em duas partes os que tˆem a doenca e podem infectar outros e os que nao a tˆem mas sao suscetıveis Sejam x a proporcao dos indivıduos suscetıveis e y a proporcao dos indivıduos infectados entao x y 1 Suponha que a doenca espalhase atraves do contato entre elementos doentes e saos da populacao e que a taxa de disseminacao dydx e proporcional ao numero de tais contatos Alem disso suponha que elementos de ambos os grupos se movem livremente entre si de modo que o numero de contatos e proporcional ao produto de x e y tente entender isso Como x 1 y obtemos que dy dt αy1 y onde α e um fator de proporcionalidade positiva a Encontre as solucoes de equilıbrio da equacao acima e atraves de uma analise do grafico da funcao fy αy1 y conclua que para qualquer condicao inicial y0 0 1 a doenca se espalhara por toda a populacao isto e yt 1 quando t b Supondo que t e medido em meses y0 005 5 da populacao foi infectada e que α 01 determine quantos meses levara para que 90 da populacao faca parte da populacao infectada 2 Algumas doencas como o tifo sao disseminadas basicamente por portadores indivıduos que podem transmitir a doenca mas que nao exibem seus sintomas Denote por x e y respectivamente a proporcao de suscetıveis e portadores na populacao Suponha que os portadores sao identificados e removidos da populacao a uma taxa β de modo que dy dt βy Suponha tambem que a doenca se propaga a uma taxa proporcional ao produto de x e y assim dx dt αxy a Determine y em qualquer instante t sujeita a condicao inicial y0 y0 b Use o resultado do item a para encontrar x em qualquer instante t sujeita a condicao inicial x0 x0 EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes 1 Encontre a solucao geral da equacao y y 2y 0 e determine a solucao y yt dessa EDO que satisfaz a condicao y0 1 e y0 0 2 Encontre a solucao do problema de valor inicial 2y 3y y 0 y0 2 y0 1 2 Depois determine o valor maximo da solucao e encontre tambem o ponto onde a solucao se anula 3 Resolva o problema de valor inicial y y 2y 0 y0 α y0 2 Depois encontre α de modo que a solucao tenda a zero quando t 8 4 Considere o problema de valor inicial 2y 3y 2y 0 y0 1 y0 β onde β 0 a Resolva o problema de valor inicial b Faca o grafico da solucao quando β 1 Encontre as coordenadas t0 y0 do ponto de mınimo da solucao nesse caso c Encontre o menor valor de β para o qual a solucao nao tem ponto de mınimo 5 Encontre a solucao geral da equacao y 2y 2y 0 e determine a solucao y yt dessa EDO que satisfaz a condicao y0 1 e y0 0 6 Para cada uma das equacoes abaixo encontre a solucao do problema de valor inicial dado Esboce o grafico da solucao e descreva seu comportamento para valores cada vez maiores de t a y 4y 0 y0 0 y0 1 b y 4y 5y 0 y0 1 y0 0 c y 2y 5y 0 yπ2 0 yπ2 2 7 Suponha que as funcoes reais p e q sao contınuas em um intervalo aberto I e seja y φt ut ivt uma solucao complexa de y pty qty 0 onde u e v sao funcoes reais Mostre que u e v sao tambem solucoes dessa EDO 8 Encontre a solucao geral da equacao y 10y 25y 0 e determine a solucao y yt dessa EDO que satisfaz a condicao y0 1 e y0 0 9 Considere o problema de valor inicial 4y 4y y 0 y0 1 y0 2 a Resolva o problema de valor inicial e faca o grafico da solucao Determine as coordenadas tM yM do ponto de maximo b Mude a segunda condicao inicial para y0 b 0 e encontre a solucao em funcao de b c Encontre as coordenadas do ponto de maximo tM yM em funcao de b Descreva a de pendˆencia em b de tM e de yM quando b cresce 10 Se as raızes da equacao caracterıstica sao reais mostre que uma solucao de y by cy 0 pode assumir o valor zero no maximo uma vez 11 Considere o problema de valor inicial 9y 12y 4y 0 y0 α 0 y0 1 a Resolva o problema de valor inicial b Encontre o valor crítico de α que separa as soluções que se tornam negativas das que permanecem positivas 12 Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução Não tente encontrar a solução a y 3t y 1 y1 1 y1 2 b y cos t y 3ln t y 0 y2 3 y2 1 c t 1 y 3t y 4y sen t y2 2 y2 1 13 Verifique que y₁t 1 e y₂t t12 são soluções da equação diferencial y y y² 0 para t 0 Depois mostre que c₁ c₂ t12 não é em geral solução dessa equação Explique por que esse resultado não contradiz o princípio da superposição 14 Verifique que y₁t t² e y₂t t¹ são duas soluções da equação diferencial y 2t² y 0 para t 0 Conclua que yt c₁ t² c₂ t¹ é a solução geral dessa equação 15 Encontre as soluções do PVI y eᵗ y cost y 0 y0 0 y0 0 16 Nos problemas abaixo encontre a solução geral da equação diferencial dada a y 2y 3y 3 e²ᵗ b y 2y 5y 3 sen 2t c y 2y 3y 3t eᵗ d y y 3 sen 2t t cos 2t e u ω₀² u cos ωt ω² ω₀² f y y 4y 2 senh t 17 Encontre a solução do problema de valor inicial dado a y y 2y 2t y0 0 y0 1 b y 2y 3y 3 t e²ᵗ y0 1 y0 0 c y 4y 3 sen 2t y0 2 y0 1 Gabarito Modelos matemáticos 1 v k ³36π v²³ 2 u 005u 21 3 v g λm v 4 v g λm v² 5 dRdt 500 04R 6 dpdt rp 450 10 Equacoes separaveis 1a vt 49 e2t51 1 e2t5 1c t 5 arccoshe6049 Equacoes lineares 1a t 2 ln 8 1b p0 9001 e6 2a r ln 230 2b r ln 2N 3a r ln082047 3b Qt 100e002828t 3c t ln 2002828 9a ut u0 Tekt T 9b kτ ln 2 10 t 1 015 ln3312