Lista de Exercícios Resolvidos Calculo-Diferencial-e-Integral

144 Exercícios 16 Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado 1 z 3y² 2x² x 2 1 3 2 z 3x 1² 2y 3² 7 2 2 12 3 z xy 1 1 1 4 z xey 2 0 2 5 z x senx y 1 1 0 6 z lnx 2y 3 1 0 1116 Explique por que a função é diferenciável no ponto dado A seguir encontre a linearização Lx y da função naquele ponto 11 fx y 1 x lnxy 5 2 3 12 fx y x³y⁴ 1 1 13 fx y x x y 2 1 14 fx y x e⁴ʸ 3 0 15 fx y eˣʸ cos y π 0 16 fx y y senxy 0 3 2530 Determine a diferencial da função 25 z e²ˣ cos 2πt 26 u x² 3y² 27 m p⁵q³ 28 T v 1 uvw 29 R αβ² cos λ 30 L xzeʸ²ᶻ² 33 O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm respectivamente com um erro de medida de no máximo 01 cm Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo 145 Exercícios 16 Use a Regra da Cadeia para achar dzdt ou dwdt 1 z x² y² xy x sen t y eᵗ 2 z cos x 4y x 5t⁴ y 1t 3 z 1 x² y² x ln t y cos t 4 z tg¹ yx x eᵗ y 1 eᵗ 5 w xeʸᶻ x t² y 1 t z 1 2t 6 w ln x² y² z² x sen t y cos t z tg t 712 Use a Regra da Cadeia para achar zs e zt 7 z x²y³ x s cos t y s sen t 8 z arcsenx y x s² t² y 1 2st 9 z sen θ cos ϕ θ st² ϕ s²t 10 z eˣ²ʸ x st y ts 11 z eᵗ cos θ r st θ s² t² 12 z tguv u 2s 3t v 3s 2t 13 Se z fx y onde f é diferenciável e x gt y ht g3 2 h3 7 g3 5 h3 4 fₓ2 7 6 fᵧ2 7 8 determine dzdt quando t 3 34 Use diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica fechada de 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro se o metal das tampas de cima e de baixo possui 01 cm de espessura e o das laterais tem espessura de 005 cm 35 Utilize diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 004 cm 36 O índice de sensação térmica é modelado pela função W 1312 06215T 1137v⁰¹⁶ 03965Tv⁰¹⁶ onde T é a temperatura em C e v a velocidade do vento em kmh A velocidade do vento é medida como 26 kmh com uma possibilidade de erro de 2 kmh e a temperatura é medida como 11 C com a possibilidade de erro de 1 C Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo cometido no valor calculado de W em decorrência dos erros de medida em T e v 38 A pressão o volume e a temperatura de um mol de um gás ideal estão relacionados pela equação PV 831T onde P é medida em quilopascals V em litros e T em kelvins Utilize diferenciais para determinar a variação aproximada da pressão se o volume aumenta de 12 L para 123 L e a temperatura decresce de 310 K para 305 K 39 Se R é a resistência equivalente de três resistores conectados em paralelo com resistências R₁ R₂ e R₃ então 1 R 1 R₁ 1 R₂ 1 R₃ Se as resistências são medidas em ohms como R₁ 25 Ω R₂ 40 Ω e R₃ 50 Ω com margem de erro de 05 em cada uma estime o erro máximo no valor calculado de R 42 Suponha que você precise saber uma equação do plano tangente à superfície S no ponto P2 1 3 Você não tem uma equação para S mas sabe que as curvas r₁t 2 3t 1 t² 3 4t t² r₂u 1 u² 2u³ 1 2u 1 ambas estão em S Encontre uma equação para o plano tangente em P 14 Seja Wst Fust vst onde F u e v são diferenciáveis e u10 2 v10 3 us10 2 vs10 5 ut10 6 vt10 4 Fu23 1 Fv23 10 Encontre Ws10 e Wt10 2126 Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas 21 z x2 xy3 x uv2 w3 y u vew zu zv zw quando u2 v1 w0 22 u sqrtr2 s2 r y x cos t s x y sen t ux uy ut quando x1 y2 t0 23 w xy yz zx x r cos θ y r sen θ z rθ wr wθ quando r2 θπ2 24 P sqrtu2 v2 w2 u xey v yex w exy Px Py quando x0 y2 25 N p qp r p u vw q v uw r w uv Nu Nv Nw quando u2 v3 w4 u xey x α2β y β2γ t γ2α uα uβ uγ quando α 1 β 2 γ 1 2730 Utilize a Equação 6 para determinar dydx 27 y cos x x2 y2 28 cosxy 1 sen y 29 tg1x2 y x xy2 30 ey sen x x xy 3134 Utilize as Equações 7 para determinar zx e zy 31 x2 2y2 3z2 1 32 x2 y2 z2 2z 4 33 ez xyz 34 yz x ln y z2 35 A temperatura em um ponto xy é Txy medida em graus Celsius Um inseto rasteja de modo que sua posição após t segundos é dada por x sqrt1 t y 2 13 t onde x e y são medidos em centímetros A função da temperatura satisfaz Tx23 4 e Ty23 3 Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de três segundos 38 O raio de um cone circular reto está aumentando em uma taxa de 46 cms enquanto sua altura está decrescendo em uma taxa de 65 cms Em qual taxa o volume do cone está variando quando o raio é 300 cm e a altura é 350 cm 39 O comprimento l a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo Em um determinado momento as dimensões são l1 m e wh2 m l e w estão aumentando em uma taxa de 2 ms enquanto h está decrescendo em uma taxa de 3 ms Nesse instante encontre as taxas em que as seguintes quantidades estão variando a O volume b A área da superfície c O comprimento da diagonal 40 A voltagem V em um circuito elétrico simples decresce lentamente à medida que a pilha se descarrega A resistência R aumenta lentamente com o aumento de calor do resistor Use a Lei de Ohm VIR para achar como a corrente I está variando no momento em que R400 Ω I008 A dVdt 001 Vs e dRdt 003 Ωs 43 Um lado de um triângulo está aumentando em uma taxa de 3cms e um segundo lado está decrescendo em uma taxa de 2 cms Se a área do triângulo permanece constante a que taxa varia o ângulo entre os lados quando o primeiro lado tem 20 cm de comprimento o segundo lado tem 30 cm de comprimento e o ângulo é π6 4548 Suponha que todas as funções dadas sejam diferenciáveis 45 Se zfxy onde x r cos θ e y r sen θ a determine zr e zθ e b mostre que zx2 zy2 zr2 1r2 zθ2 46 Se ufxy onde xes cos t e y es sen t mostre que ux2 uy2 e2s us2 ut2 53 Se zfxy onde x r cos θ e y r sen θ mostre que 2 zx2 2 zy2 2 zr2 1r2 2 zθ2 1r zr 54 Suponha que z fxy onde x gst e y hst a Mostre que 2 zt2 2 zx2 xt2 2 2 zxy xt yt 2 zy2 yt2 zx 2 xt2 zy 2 yt2 146 Exercícios 46 Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo θ 4 fxy x3 y4 x4 y3 11 θ π6 5 fxy yex 04 θ 2π3 6 fxy ex cos y 00 θ π4 710 a Determine o gradiente de f b Calcule o gradiente no ponto P c Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u 7 fxy sen2x 3y P64 u ½3i j 8 fxy y²x P12 u ⅓2i 5j 9 fxyz xe²yz P302 u 23 23 13 10 fxyz x yz P131 u 27 37 67 1117 Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v 11 fxy ex sen y 0 π3 v 6 8 12 fxy xx² y² 12 v 3 5 13 gpq p⁴ p² q³ 21 v i 3j 14 grs tg¹rs 12 v 5i 10j 15 fxyz xey yez zex 000 v 512 16 fxyz xyz 326 v 1 2 2 17 hrst ln3r 6s 9t 111 v 4i 12j 6k 2126 Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre 21 fxy 4yx 41 22 fst test 02 23 fxy senxy 10 24 fxyz x yz 111 25 fxyz x² y² z² 362 26 fpqr arctgpqr 121 28 Determine as direções em que a derivada direcional de fxy yexy no ponto 02 tem valor 1 29 Determine todos os pontos nos quais a direção de maior variação da função fxy x² y² 2x 4y é i j 32 A temperatura em um ponto xyz é dada por Txyz 200ex² 3y² 9z² onde T é medido em ºC e xyz em metros a Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P2 1 2 em direção ao ponto 3 3 3 b Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P c Encontre a taxa máxima de crescimento em P 33 Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por Vxyz 5x² 3xy xyz a Determine a taxa de variação do potencial em P345 na direção do vetor v i j k b Em que direção V varia mais rapidamente em P c Qual a taxa máxima de variação em P 37 Mostre que a operação de calcular o gradiente de uma função tem a propriedade fornecida Suponha que u e v sejam funções diferenciáveis de x e y e que ab sejam constantes a au bv a u b v b uv u v v u c uv v u u v v² d uⁿ nuⁿ¹ u 24 fxyz x yz 111 25 fxyz x² y² z² 362 26 fpqr arctgpqr 121 28 Determine as direções em que a derivada direcional de fxy yexy no ponto 02 tem valor 1 29 Determine todos os pontos nos quais a direção de maior variação da função fxy x² y² 2x 4y é i j 32 A temperatura em um ponto xyz é dada por Txyz 200ex² 3y² 9z² onde T é medido em ºC e xyz em metros a Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P212 em direção ao ponto 333 b Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P c Encontre a taxa máxima de crescimento em P 33 Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por Vxyz 5x² 3xy xyz a Determine a taxa de variação do potencial em P345 na direção do vetor v i j k b Em que direção V varia mais rapidamente em P c Qual a taxa máxima de variação em P 37 Mostre que a operação de calcular o gradiente de uma função tem a propriedade fornecida Suponha que u e v sejam funções diferenciáveis de x e y e que ab sejam constantes a au bv a u b v b uv u v v u c uv v u u v v² d uⁿ nuⁿ¹ u 4146 Encontre uma equação a do plano tangente e b da reta normal à superfície dada no ponto especificado 41 2x 2² y 1² z 3² 10 335 42 y x² z² 473 43 xyz² 6 321 44 xy yz zx 5 121 45 x y z exyz 001 46 x⁴ y⁴ z⁴ 2x² y² z² 111 57 Mostre que todo plano que é tangente ao cone x² y² z² passa pela origem 58 Mostre que toda reta normal à esfera x² y² z² r² passa pelo centro da esfera 59 Onde a reta normal à parábola z x² y² no ponto 112 intercepta o paraboloide uma segunda vez 60 Em quais pontos a reta normal que passa pelo ponto 121 no elipsoide 4x² y² 4z² 12 intercepta a esfera x² y² z² 102 61 Mostre que a soma das intersecções x y e z de qualquer plano tangente à superfície x y z c é uma constante 63 Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva formada pela intersecção do paraboloide z x² y² com o elipsoide 4x² y² z² 9 no ponto 112 67 Suponha que as derivadas direcionais de fxy sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v É possível determinar f nesse ponto Em caso afirmativo como fazêlo 147 Exercícios 518 Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função 5 fx y 9 2x 4y x² 4y² 6 fx y x³y 12x² 8y 7 fx y x y1 xy 8 fx y xe²ˣ²²ʸ² 9 fx y y³ 3x²y 6x² 6y² 2 10 fx y xy1 x y 11 fx y x³ 12xy 8y³ 12 fx y xy 1x 1y 13 fx y eˣcos y 14 fx y y cos x 15 fx y x² y²eʸ²ˣ² 16 fx y eʸy² x² 17 fx y y² 2y cos x 1 x 7 18 fx y sen x sen y π x π π y π 19 Mostre que fx y x² 4y ² 4xy 2 em um número infinito de pontos críticos e que D 0 em cada um A seguir mostre que f tem um mínimo local e absoluto em cada ponto crítico 20 Mostre que fx y x²yeˣ²ʸ² tem valores máximos em 1 12 e valores máximos em 1 12 Mostre também que f tem infinitos outros pontos críticos e que D 0 em cada um deles Quais deles dão origem a valores máximos E a valores mínimos E a pontos de sela 2936 Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D 29 fx y x² y² 2x D é a região triangular fechada com vértices 2 0 0 2 e 0 2 30 fx y x y xy D é a região triangular fechada com vértices 0 0 0 2 e 4 0 31 fx y x² y² x²y 4 D x y x 1 y 1 32 fx y 4x 6y x² y² D x y 0 x 4 0 y 5 33 fx y x⁴ y⁴ 4xy 2 D x y 0 x 3 0 y 2 34 fx y xy² D x y x 0 y 0 x² y² 3 35 fx y 2x³ y⁴ D x y x² y² 1 36 fx y x³ 3x y³ 12y D é o quadrilátero cujos vértices são 2 3 2 3 2 2 e 2 2 39 Determine a menor distância entre o ponto 2 0 3 e o plano x y z 1 40 Determine o ponto do plano x 2y 3z 6 que está mais próximo do ponto 0 1 1 41 Determine os pontos do cone z² x² y² que estão mais próximos do ponto 4 2 0 42 Determine os pontos da superfície y² 9 xz que estão mais próximos da origem 43 Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo 44 Encontre três números positivos cuja soma é 12 e cuja soma dos quadrados é a menor possível 45 Encontre o volume máximo de uma caixa retangular que está inscrita em uma esfera de raio r 46 Encontre as dimensões de uma caixa com volume de 1000 cm³ que tenha a área de sua superfície mínima 47 Determine o volume da maior caixa retangular no primeiro octante com três faces nos planos coordenados e com um vértice no plano x 2y 3z 6 48 Determine as dimensões da caixa retangular de maior volume se a área total de sua superfície é dada por 64 cm² 49 Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos de suas 12 arestas seja uma constante c 51 Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32000 cm³ Determine as dimensões que minimizem a quantidade de papelão utilizado 148 Exercícios 314 Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita às restriçãoões dadas 3 fx y x² y² xy 1 4 fx y 3x y x² y² 10 5 fx y y² x² ¼ x² y² 1 6 fx y eˣʸ x³ y³ 16 7 fx y z 2x 2y z x² y² z² 9 8 fx y z x² y² z² x y z 12 9 fx y z xyz x² 2y² 3z² 6 10 fx y z x² y² z² x² y² z² 1 11 fx y z x² y² z² x⁴ y⁴ z⁴ 1 fxyz x4 y4 z4 x2 y2 z2 1 13 fxyzt x y z t x2 y2 z2 t2 1 14 fx1x2xn x1 x2 xn x12 x22 xn2 1 17 fxyz yz xy xy 1 y2 z2 1 18 fxyz x2 y2 z2 x y 1 y2 z2 1 20 fxy 2x2 3y2 4x 5 x2 y2 16 27 Utilize os multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o retângulo com área máxima e que tem um perímetro constante p é um quadrado 28 Use multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o triângulo com área máxima e que tem um perímetro constante p é equilátero Dica Utilize a fórmula de Heron para a área A ss xs ys z onde s p2 e x y z são os comprimentos dos lados 42 Determine os volumes máximo e mínimo da caixa retangular cuja superfície tem 1 500 cm2 e cuja soma dos comprimentos das arestas é 200 cm 43 O plano x y 2z 2 intercepta o paraboloide z x2 y2 em uma elipse Determine os pontos dessa elipse que estão mais próximo e mais longe da origem 47 a Determine o valor máximo de fx1x2xn nx1x2 xn sendo que x1 x2 xn são números positivos e x1 x2 xn c onde c é uma constante b Deduza do item a que se x1 x2 xn são números positivos então nx1x2 xn x1 x2 xnn Essa desigualdade diz que a média geométrica de n números não pode ser maior que a média aritmética deles Sob que circunstâncias as duas médias são iguais 14 fxy x e4y 30 Lxy f x2y0 f x0y x x0 f y x0y0y y0 f30 3 e0 4 2 fx 12x e4y f30 123 1 14 fy 4e4y2x e4y fy30 4e023 e0 14 1 Lxy 2 14 x 3 1y 0 Lxy 2 x4 34 y Lxy x4 y 54 15 fxy ex2y cos1y 10 f10 e0 cos0 1 fx y ex2y cos 1y f10 0 e0 cos0 0 fy x2 ex2y cos 1y ex2y sen 1y fy10 π e0 cos0 e0 sen0 π Lxy 1 0x π π y 0 Lxy 1 π y 16 fxy y senx2y 03 f03 3 sen0 3 fx 1y cosx2y fx03 13 cos0 13 fy 1 x2y2 cosx2y fy03 1 03 cos0 1 Lxy 3 13 x 0 1y 3 Lxy 3 x3 y 3 Lxy x3 y 27 m p⁵ q³ dmdp dmdq dqdm dmdp 5 p⁴ q³ dmdq 3 p⁵ q² dm 5 p⁴ q³ 3 p⁵ q² 29 R β³ cos1 dr rα dα rβ dβ rλ dx rα β³ cos1 rβ 2 α β cos1 rλ α β³ sen1 dr β³ cos1 dα 2 α β cos1 dβ α β³ sen1 dλ 28 τ v 1 v u w dτ f u du f r dr f w dw f u v² w 1 v u w f r 1 v π x v³ w u w 1 v u w ² 11 v u w ² f w v x v x u² 1 v u w ² 1 v u w ² dτ v² w du 1 v u w ² f r dr v² u dw 1 v u w ² 30 L x z ey² z² dL f x dx f y dy f z dz f x z ey² z² f y x z 2 y ey² z² f z x ey² z² z 2 z ey² z² dL ey² z² z dx 2 z y dz z 1 2 z² dz 34 Use diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata Cilíndrica fechada de 10cm de altura e 4 cm de diâmetro se o metal das tampas de cima e de baixo possui 01 cm de espessura e o das laterais tem espessura de 005 cm v π r² h dv vr dr vh dh vr 2 π r h vh π r² dv 2 π r h dr π r² dh dv 2 π r 10 005 π 2 02 dv 872 cm³ 35 Use diferenciais para a quantidade de estanho em uma lata cilindrica fechada com 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 004 cm Vrh π r² h dv vr dr vh dh dv 2 π 4 12 004 π 16 008 dv 1608 cm³ 42 Suponha que você precise saber uma equação do plano tangente à superfície S no ponto P213 Você não tem uma equação para S mas sabe que as curvas r 1t 2 3t 1 t² 3 4t t² r 2t 1 t² 2 u t 1 2 u t 7 Ambas estão em S Encontre uma equação para o plano tangente em P N r 1 x r 2 213 r 10 213 r 21 N r 10 x r 21 é normal ao plano tangente r 1 t 3 2t 4 2t r 10 3 0 4 r 2t 2 u 6u t u² r 21 262 N 304 x 262 241418 Eq do plano 24x 2 14 y 1 18 z 3 0 12 x 7 y 9 z 44 145 4 z tg¹yx x et y i et dzdt zx dxdt zy dydt zx yx² y² zy xx² y² dxdt et dydt et dzdt yx² y² et xx² y² et dzdt y etx² y² x etx² y² 1 et et et et et² 1 et² dydt 2 et et 1 et² 5 w x e32 x t² y1 t z1 2t dwdt wx dxdt wy dydt wz dzdt wx e32 dxdt 2t wy x2 e32 dydt 1 wz x yz² e32 dzdt 2 dwdt e32 2t x2 e32 1 2xyz² e32 2 dwdt e32 2t x2 2xyz² 6 w ln x² y² z² x sent y cost z tgt dwdt wx dxdt wy dydt wz dzdt wx x x² y² z² wy y x² y² z² wz z x² y² z² dxdt cost dydt sent dzdt sec²t dwdt x x² y² z² cost y x² y² z² sent z x² y² z² sec²t 10 z ex²y x st y ts z x y s t s zt zx xs zy ys zs st zt zx xt zy yt zs zx xs zy ys zx ex² y zy 2x ex² y xs 1t ys ts² xt st² yt 1s zs ex² y 1t 2ex² y ts² zt ex² y st² 2ex² y 1s 11 z et cosθ r s t θ s² t² zs zr zθ zθ θs zt zr rt zθ θt zr er cosθ zθ er senθ rs t θs ss² t² rt s θt ts² t² zs er cosθ t er senθ s s² t² zt er cosθ s er senθ t s² t² 12 z tguv u 2s 3t v 3s 2t zs zu us zv vs zt zu ut zv vt zu 1v sec²uv zv uv² sec²uv us 2 vs 3 ut 3 vt 2 zs 1v sec²uv 2 uv² sec²uv 3 zt 1v sec²uv 3 uv² sec²uv 2 23 w x y y z z x x r cosθ y r senθ z r θ wr wθ quando r 2 θ π2 wr wθ wx xr wy yr wz zr wr wx xr wy yr wz zr wx y z wy x z wz y x zr cosθ yr senθ zr θ xθ r senθ yθ r cosθ zθ r Substituindo r 2 θ π2 xr 0 yr 1 zr π2 xθ 2 yθ 0 zθ 2 wx 2 π wy π wz 2 wr 2 π 0 π 1 π wr 2 π wθ 2 π 2 π 0 2 2 wθ 4 2 π 4 wθ 2 π 25 Npqpr p u 2w q v wv r w uv Nu Nv Nw quando u2 v3 w4 26 u xey x αβ y βx t xα