Cálculo Integral de Linha - Exercícios Resolvidos

e C x² y ds onde C x cos t y sen t z t 0 t π2 f C xey² ds onde C é o segmento de reta de 000 a 123 g C xyey² dy onde C x t y t² z t³ 0 t 1 h C z² dx x² dy y² dz onde C consiste nos segmentos de reta de 100 a 412 Questão 1 Temos a seguinte integral 𝑥2𝑦𝑑𝑠 Escrevendo em termos de 𝑡 temos 𝑥2𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑡 2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2 𝑑𝑧 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝜋 2 0 cos2 𝑡 sin𝑡 𝑑 cos 𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑 sin 𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑 𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝜋 2 0 cos2 𝑡 sin 𝑡 sin 𝑡2 cos 𝑡2 12𝑑𝑡 𝜋 2 0 cos2 𝑡 sin 𝑡 sin2 𝑡 cos2 𝑡 1𝑑𝑡 𝜋 2 0 cos2 𝑡 sin𝑡 1 1𝑑𝑡 𝜋 2 0 2 cos2 𝑡 cos 𝑡𝑑𝑡 𝜋 2 0 2 1 3 cos3 𝑡 0 𝜋 2 2 1 3 cos3 𝜋 2 1 3 cos3 0 2 0 1 3 1 𝟐 𝟑 Questão 2 Temos a seguinte integral 𝑥𝑒𝑦𝑧𝑑𝑠 Para parametrizar a trajetória fazemos 𝑥 𝑦 𝑧 000 𝑡123 000 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡123 𝑥 𝑡 𝑦 2𝑡 𝑧 3𝑡 Escrevendo a integral em termos de 𝑡 temos 𝑥𝑒𝑦𝑧𝑑𝑥 𝑑𝑡 2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2 𝑑𝑧 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 1 0 𝑡𝑒2𝑡3𝑡𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑2𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑3𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 1 0 𝑡𝑒6𝑡212 22 32𝑑𝑡 1 0 𝑡𝑒6𝑡21 4 9𝑑𝑡 1 0 14 𝑡𝑒6𝑡2𝑑𝑡 1 0 Seja 𝑢 6𝑡2 𝑑𝑢 12𝑡𝑑𝑡 Assim a integral fica 14 𝑒𝑢 𝑑𝑢 12 6 0 14 12 𝑒𝑢𝑑𝑢 6 0 14 12 𝑒𝑢0 6 14 12 𝑒6 𝑒0 𝟏𝟒 𝟏𝟐 𝒆𝟔 𝟏 Questão 3 Temos a seguinte integral 𝑥𝑦𝑒𝑦𝑧𝑑𝑦 Escrevendo a integral em termos de 𝑡 temos 𝑡𝑡2𝑒𝑡2𝑡3𝑑𝑡2 1 0 𝑡3𝑒𝑡52𝑡𝑑𝑡 1 0 2 𝑡4𝑒𝑡5𝑑𝑡 1 0 Seja 𝑢 𝑡5 𝑑𝑢 5𝑡4𝑑𝑡 Assim temos 2 𝑒𝑢 𝑑𝑢 5 1 0 2 5 𝑒𝑢0 1 2 5 𝑒1 𝑒0 𝟐 𝟓 𝒆 𝟏 Questão 4 Temos a seguinte integral 𝑧2𝑑𝑥 𝑥2𝑑𝑦 𝑦2𝑑𝑧 Para parametrizar a trajetória fazemos 𝑥 𝑦 𝑧 100 𝑡412 100 𝑥 𝑦 𝑧 100 𝑡312 𝑥 1 3𝑡 𝑦 𝑡 𝑧 2𝑡 Escrevendo a integral em termos de 𝑡 temos 4𝑡2𝑑1 3𝑡 1 3𝑡2𝑑𝑡 𝑡2𝑑2𝑡 1 0 4𝑡23𝑑𝑡 1 3𝑡2𝑑𝑡 2𝑡2𝑑𝑡 1 0 12𝑡2 1 3𝑡2 2𝑡2𝑑𝑡 1 0 14𝑡2 1 3𝑡2𝑑𝑡 1 0 14 3 𝑡3 1 9 1 3𝑡3 0 1 14 3 1 9 1 33 1 9 1 03 14 3 1 9 43 1 9 13 42 9 1 9 64 1 9 1 42 9 1 9 63 105 9 𝟑𝟓 𝟑 353 Questão 1 Temos a seguinte integral x 2 yds Escrevendo em termos de t temos 0 π 2 x 2 y dx dt 2 dy dt 2 dz dt 2 dt 0 π 2 cos 2t sint d cost dt 2 d sint dt 2 dt dt 2 dt 0 π 2 cos 2t sint sint 2cost 21 2dt 0 π 2 cos 2t sint sin 2t cos 2t1dt 0 π 2 cos 2t sint 11dt 2 0 π 2 cos 2t cost dt 2 1 3 cos 3t0 π 2 2 1 3 cos 3 π 2 1 3 cos 30 20 1 3 1 2 3 Questão 2 Temos a seguinte integral x e yzds Para parametrizar a trajetória fazemos x y z 000t 123 000 x y z t 123 xt y2t z3t Escrevendo a integral em termos de t temos 0 1 x e yz dx dt 2 dy dt 2 dz dt 2 dt 0 1 t e 2t 3t d t dt 2 d2t dt 2 d 3t dt 2 dt 0 1 t e 6t 21 22 23 2dt 0 1 t e 6t 2149dt 14 0 1 t e 6t 2 dt Seja u6t 2 du12tdt Assim a integral fica 14 0 6 e u d u 12 14 12 0 6 e udu 14 12 e u0 6 14 12 e 6e 0 14 12 e 61 Questão 3 Temos a seguinte integral x y e yz d y Escrevendo a integral em termos de t temos 0 1 t t 2e t 2t 3 d t 2 0 1 t 3e t 5 2tdt 2 0 1 t 4e t 5 dt Seja ut 5 du5t 4dt Assim temos 2 0 1 e u du 5 2 5 e u0 1 2 5 e 1e 0 2 5 e1 Questão 4 Temos a seguinte integral z 2d xx 2dy y 2dz Para parametrizar a trajetória fazemos x y z 100 t 4 12100 x y z 100 t 312 x13t yt z2t Escrevendo a integral em termos de t temos 0 1 4t 2d 13t13t 2d t t 2d 2t 0 1 4 t 2 3dt 13t 2dt2t 2dt 0 1 12t 213t 22t 2dt 0 1 14t 213t 2dt 14 3 t 3 1 9 13t 30 1 14 3 1 9 13 31 9 10 3 14 3 1 9 4 31 9 1 3 42 9 1 9 641 9 1 42 9 1 9 63 105 9