Lista de Exercícios Resolvida - Álgebra Linear e Equações Diferenciais - Autovalores Autovetores e Operadores Lineares

Lista de SLC609 Álgebra Linear e Equações Diferenciais 12 de julho de 2022 Questão 1 Para cada operador linear abaixo encontre bases para o núcleo e a imagem cheque o resultado do teorema do núcleo e da imagem e determine se T é bijetora a T R3 R2 Ta b c a b 2c b T R2 R3 Ta b a b 0 2a b Questão 2 Para cada uma das matrizes A abaixo Encontre os autovalores e autovetores Determine se A é diagonalizável Encontre a forma canônica de Jordan de A e a matriz P que raliza a forma canônica isto é J P 1AP a A 0 0 0 4 1 2 2 0 2 b A 2 1 0 0 1 0 0 0 2 c A 1 0 0 2 1 1 0 0 1 Questão 1 a T IR³ IR² Tabc ab 2c ab 2c a10 b10 c02 Im T 101002 O conjunto gerador da imagem é LD β 1002 Base da imagem dim ImT 2 dim V dimIR² 2 dim ImT dim V T é sobrejetora ab 2c 00 ab0 ab abc aa0 a110 2c0 c0 NT 110 dim NT1 dim NT 0 T não é injetora Pelo teorema do núcleo e da imagem dim U dim NT dim ImT dimIR³ 1 dim ImT dim ImT 312 O teorema é verificado Como a Transformação não injetora assim T não é bijetora b T IR² IR³ Tab ab02ab ab02ab a102 b101 ImT 102101 LI β 102101 dim ImT 2 dim V dimIR³ 3 dim ImT dim V T não é sobrejetora ab02ab 000 ab0 ab0 ab 00 2ab0 NT 00 dim NT 0 T é injetora Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem dim U dim NT dim ImT dimIR² 0 dim ImT dim ImT 2 O teorema é verificado Como a transformação não é sobrejetora assim T não é bijetora Questão 2 a A 0 0 0 4 1 2 2 0 2 Calculando o autovalor detAλI 0λ 0 0 λ1λ2λ 0 4 1λ 2 0 2λ 3λ² λ³ 0 2 0 2λ λ23λλ² 0 λ 0 e 2 3λ λ² 0 2 3λ λ² 0 x1 λ² 3λ 2 0 Os autovalores são λ0 λ1 e λ2 λ 3 9 412 λ 2 2 λ 1 Calculando os autovetores λ0 00 0 0 x 0 4 x y 2 z 0 x z 4 10 2 y 0 2 x 2 z 0 y 2 x 2 0 20 z 0 x x 1 1 y 2 x x 2 v 2 Autovetor associado a λ0 z x 1 1 λ1 01 0 0 x 0 x0 x0 4 11 2 y 0 4 x 2 z 0 z0 2 0 20 z 0 2 x 2 z 0 x 0 0 0 y y y 1 v 1 Autovetor associado a λ1 z 0 λ2 02 0 0 x 0 2 x0 x0 4 12 2 y 0 4 x y 2 z 0 y 2 z 2 0 22 z 0 2 x 0 x 0 0 0 y 2 z z 2 v 2 Autovetor associado a λ2 z 1 Como os geradores dos autovetores formam uma base para o espaço IR³ logo a matriz A é diagonalizável sendo assim P será P 1 2 1 0 1 0 0 2 1 Por escalonamento podemos encontrar a matriz inversa de P 1 2 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 P¹ 0 1 0 0 2 1 0 0 1 0 2 1 Agora podemos encontrar a forma canônica de Jordan de A J P¹AP 1 0 1 0 0 0 1 2 1 0 1 0 4 1 2 0 1 0 0 2 1 2 0 2 0 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 0 4 1 2 0 1 0 4 3 2 6 2 2 0 2 1 6 6 4 J 2 0 0 4 3 2 6 6 4 b A 2 1 0 0 1 0 0 0 2 Calculando o autovalor detA λI 2λ 1 0 2λ1λ2λ 0 0 1λ 0 0 2λ1λ 0 0 0 2λ λ 1 e 2λ² 0 4 4λ λ² 0 λ² 4λ 4 0 λ 4 16 414 λ 2 2 os autovalores são λ 1 e λ 2 Calculando os autovetores λ 1 21 1 0 x 0 x y 0 x y 0 11 0 y 0 z 0 z 0 0 0 21 z 0 x x 1 1 y x x 1 v 1 autovetor associado à λ 1 0 0 λ 2 22 1 0 x 0 v 0 y 0 0 12 0 y 0 y 0 0 0 22 z 0 x x 1 0 0 y 0 x 0 z 0 v₁ 1 e v₂ 0 z z 0 1 Autovetores associados à λ 2 como os geradores dos autovetores formam uma base para o espaço IR³ logo a matriz é diagonalizável sendo assim P será P 1 1 0 1 0 0 0 0 1 Por escalonamento podemos encontrar a matriz inversa de P 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 P¹ 1 1 0 0 0 1 Agora podemos encontrar a forma canônica de Jordan de A J P¹AP 0 1 0 2 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 J 1 0 0 2 2 0 0 0 2 c A 1 0 0 2 1 1 0 0 1 Calculando o autovalor detA λI 1λ 0 0 1λ1λ1λ 0 2 1λ 1 0 1λ1λ² 0 0 0 1λ λ 1 e 1λ² 0 1 2λ λ² 0 λ² 2λ 1 0 λ 2 4 411 λ 1 2 os autovalores são λ 1 e λ 1 Calculando os autovetores λ 1 11 0 0 x 0 2 11 1 y 0 2x 2y z 0 x y 0 0 11 z 0 2z 0 z 0 x x 1 1 y x x 1 v 1 Autovetor associado à λ 1 0 0 λ 1 11 0 0 x 0 2x 0 x z 0 2 11 1 y 0 2x z 0 0 0 11 z 0 x 0 0 0 y y y 1 v 1 Autovetor associado à λ 1 z 0 epiral como os geradores dos autovetores não formam uma base para o espaço IR³ logo a matriz não é diagonalizável e não podemos encontrar a forma canônica de Jordan