Transformações Lineares e Subespaços Vetoriais - Demonstrações e Exercícios Resolvidos

Provar que a imagem de uma transformada linear qualquer é subespaço do contradomínio Dados espaços vetoriais V ℝ V V 0V e W ℝ W W 0W Transformação de T V W v Tv Provar que a ImT é subespaço de W ℝ W W 0W 3 M3x2 ℝ 0 0 0 0 Exibir um produto interno e dois vetores ortogonais entre si neste produto interno SEJA C22 ℝ 0 UM ESPAÇO VETORIAL REAL MUNIDO DE PRODUTO INTERNO TAL QUE F g PODE SER EXPRESSO POR 22 Fx gx dx DEMONSTRE OS CÁLCULOS DA DISTÂNCIA ENTRE DUAS FUNÇÕES PERTENCENTES A ESSE ESPAÇO VETORIAL NESSE CASO AS FUNÇÕES SÃO EXPRESSAS POR Fx 2x e gx 1 dF g Fg Fg Fg 22 Fgx Fgx dx 22 2x12x1 dx 22 4x² 4x 1 dx 22 4x² dx 22 4x dx 22 1 dx 422 x² dx 422 x dx 22 1 dx 4 13 x³22 4 12 x²22 x22 13 2³ 2³ 42 2² 2² 2 2 43 16 2 8 4 643 12 643 363 283 4 73 2 73 27 3 3 221 3 1 1 Primeiro vamos confirmar que ImT é subconjunto nãovazio de W e depois verificar as propriedades de subespaço vetorial a saber SV1 O vetor nulo de W pertence à ImT SV2 ImT é fechado para a soma de W SV3 O produto dum elemento de ImT por um escalar real é ainda um elemento de ImT v V Tv W ImT Tv v V W ou seja ImT é subconjunto de W Como V e W são espaços vetoriais possuem vetor nulo Como T é transformação linear leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W ou seja T0V 0W Como 0W ImT ImT é nãonulo SV1 T0v 0W 0W ImT SV2 Sejam w1 Tv1 w2 Tv2 ImT w1 W w2 Tv1 W Tv2 T é transformação linear Tv1 v v2 V já que v1 v2 V e V é espaço vetorial Logo w1 W w2 ImT 1 sv3 Sejam w ImT λ R v V w Tv λw λTv T é transformação linear Tλv v v V V é espaço vetorial sobre R λ R λv V λw Tλv ImT Portanto ImT é subespaço vetorial de W R W W 0W 3 M3x2 R 000 000 000 M3x2 x M3x2 R a11 a12 b11 b12 j13 k12 ajkbjk a11 b11 a12 b12 a21 b21 a22 b22 a31 b31 a32 b32 2 PI 1 Sejam A ajk B bjk C cjk M3x2 AB C ajkbjk cjk ajkbjk cjk j13 k12 ajk bjk cjk j13 k12 ajk cjk bjk cjk j13 k12 ajk cjk j13 k12 bjk cjk A C B C PI 2 Sejam A ajk B bjk M3x2 α R αA B αajk bjk α ajk bjk j13 k12 α ajk bjk α a11 b11 α a12 b12 α a21 b21 α a22 b22 α a31 b31 α a32 b32 αj13 k12 ajk bjk α ajk bjk α A B 3 DI 3 Sejam A ajk B bjk M3x2 A B Σj13 Σk12 ajk bjk Σj13 Σk12 bjk ajk B A DI 4 seja A ajk M3x2 A A Σj13 Σk12 ajk ajk Σj13 Σk12 ajk² 0 Deija que A A 0 Todas as entradas de A são zero ou seja se A 0 0 0 0 0 0 0 M3x2 Portanto é produto interno de M3x2 R 0 0 0 0 0 0 Sejam A1 0 1 2 3 0 B0 4 5 0 0 6 M3x2 A B10 04 15 20 30 060 Logo A B são ortogonais entre si em relação a 4