Exercícios Resolvidos sobre Dependência Linear, Subespaços Vetoriais e Ortogonalidade

Questão 1 Faça o Exercício 315 da apostila p 84 Exercício 315 Determine se são LI ou LD os seguintes vetores a 1 2 2 3 1 4 2 0 b 1 2 3 1 c 4 2 6 2 6 3 9 3 d 2 3 1 7 1 5 e 9 0 7 2 1 8 2 0 4 f 1 0 1 5 1 2 3 1 0 g 1 0 0 2 3 0 1 7 5 h 4 6 2 2 3 1 2 0 4 i 1 0 3 3 1 2 1 5 7 j 1 5 6 2 1 8 3 1 4 2 3 11 k 1 0 1 3 1 2 2 5 3 l 1 3 1 4 3 8 5 7 2 9 4 23 Questão 2 Em R3 Mostre que o plano α que passa pela origem e é ortogonal a um vetor n 0 é um subespaço vetorial de R3 Encontre uma base para α sendo n 1 1 0 Questão 3 Seja V M2R e considere as matrizes M1 1 1 1 1 M2 1 1 1 1 M3 1 1 1 1 M4 1 1 1 1 B M1 M2 M3 M4 é conjunto ortogonal É ortonormal Use a ortogonalidade de B para escrever as coordenadas de A na base B A 10 14 12 18 Questão 1 A Como há apenas dois vetores e um não é proporcional ao outro temos que estes vetores são LI B Como há apenas dois vetores e um não é proporcional ao outro temos que estes vetores são LI C Os vetores são proporcionais veja 426 2 2 3 639 3 Logo estes vetores são LD D Como há apenas dois vetores e um não é proporcional ao outro temos que estes vetores são LI E Para determinar se são LI ou LD calculamos o determinante 9 0 7 2 1 8 2 0 4 9 4 2 7 36 14 22 Como o determinante não é nulo temos que os vetores são LI F Para determinar se são LI ou LD calculamos o determinante 1 0 1 5 1 2 3 1 0 5 2 3 0 Como o determinante é nulo temos que os vetores são LD G Para determinar se são LI ou LD calculamos o determinante 1 0 0 2 3 0 1 7 5 5 3 15 Como o determinante não é nulo temos que os vetores são LI H Para determinar se são LI ou LD calculamos o determinante 4 6 2 2 3 1 2 0 4 4 3 4 6 2 6 2 4 2 3 2 48 12 48 12 96 Como o determinante não é nulo temos que os vetores são LI I Para determinar se são LI ou LD calculamos o determinante 1 0 3 3 1 2 1 5 7 7 3 3 5 2 5 3 7 45 13 Como o determinante não é nulo temos que os vetores são LI J Este conjunto possui 4 vetores com 3 coordenadas cada Logo não já forma de o conjunto ser LI os vetores são LD K Para determinar se são LI ou LD calculamos o determinante 1 0 1 3 1 2 2 5 3 3 3 5 2 5 2 3 15 12 Como o determinante não é nulo temos que os vetores são LI L Este conjunto é LD De fato temos 13 14 𝑎38 57 𝑏29423 Assim devemos ter 1 3𝑎 2𝑏 3 8𝑎 9𝑏 Resolvendo 9 2 27 2 𝑎 9𝑏 3 9 2 8𝑎 27 2 𝑎 3 2 11 2 𝑎 𝑎 3 11 𝑏 1 2 3 2 𝑎 1 2 9 22 1 11 Assim encontramos a combinação linear o que prova que os vetores são LD 13 14 3 11 38 57 1 11 29423 Questão 2 Seja um vetor genérico 𝑛 𝑎 𝑏 𝑐 A equação do plano ortogonal ao vetor é dada por 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 𝑑 0 Mas se o plano passa pela origem o ponto 000 deve pertencer ao plano Assim devemos ter 𝑎 0 𝑏 0 𝑐 0 𝑑 0 𝑑 0 Assim a equação deste plano é dada por 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 0 Este é um subespaço pois consideremos os vetores 𝑣1 𝑥1 𝑦1 𝑧1 e 𝑣2 𝑥2 𝑦2 𝑧2 que pertencem ao plano Assim temos 𝑎𝑥1 𝑏𝑦1 𝑐𝑧1 0 𝑎𝑥2 𝑏𝑦2 𝑐𝑧2 0 Evidentemente a soma de ambos vetores 𝑤 𝑣1 𝑣2 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 𝑧1 𝑧2 ainda pertence ao plano pois somando as equações anteriores temos 𝑎𝑥1 𝑏𝑦1 𝑐𝑧1 𝑎𝑥2 𝑏𝑦2 𝑐𝑧2 0 0 0 𝑎𝑥1 𝑥2 𝑏𝑦1 𝑦2 𝑐𝑧1 𝑧2 0 Também o produto 𝛼𝑣1 pertence ao plano pois 𝛼𝑎𝑥1 𝑏𝑦1 𝑐𝑧1 𝛼 0 0 𝑎𝛼𝑥1 𝑏𝛼𝑦1 𝑐𝛼𝑧1 0 Assim temos que o plano é um subespaço pois atende ambas condições Para 𝑛 1 10 temos 1 𝑥 1 𝑦 0 𝑧 0 𝑥 𝑦 0 𝑦 𝑥 Assim uma base para este subespaço pode ser 𝒗𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝒗𝟐 𝟎 𝟎 𝟏 Questão 3 É um conjunto ortogonal pois para cada duas matrizes que peguemos temos 𝑀𝑖 𝑀𝑗 0 Por exemplo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 Agora o conjunto não é ortonormal pois temos 𝑀𝑖 𝑀𝑖 1 De fato para todas as matrizes temos 𝑀𝑖 𝑀𝑖 4 Por exemplo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 Na base 𝐵 temos 𝐴 𝑎1𝑀1 𝑎2𝑀2 𝑎3𝑀3 𝑎4𝑀4 𝐴 𝑎𝑖𝑀𝑖 4 𝑖1 Para descobrir o coeficiente 𝑘 fazemos 𝐴 𝑀𝑘 𝑎𝑖𝑀𝑖 4 𝑖1 𝑀𝑘 𝐴 𝑀𝑘 𝑎𝑖𝑀𝑖 𝑀𝑘 4 𝑖1 𝐴 𝑀𝑘 𝑎𝑘𝑀𝑘 𝑀𝑘 𝐴 𝑀𝑘 𝑎𝑘4 𝑎𝑘 1 4 𝐴 𝑀𝑘 Assim temos 𝑎1 1 4 10 14 12 18 1 1 1 1 1 4 10 14 12 18 54 4 𝑎2 1 4 10 14 12 18 1 1 1 1 1 4 10 14 12 18 6 4 𝑎3 1 4 10 14 12 18 1 1 1 1 1 4 10 14 12 18 10 4 𝑎4 1 4 10 14 12 18 1 1 1 1 1 4 10 14 12 18 2 4 Logo temos 10 14 12 18 54 4 1 1 1 1 6 4 1 1 1 1 10 4 1 1 1 1 2 4 1 1 1 1 10 14 12 18 27 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 1 5 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 𝟏𝟎 𝟏𝟒 𝟏𝟐 𝟏𝟖 𝟐𝟕 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟓 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 Questão 1 A Como há apenas dois vetores e um não é proporcional ao outro temos que estes vetores são LI B Como há apenas dois vetores e um não é proporcional ao outro temos que estes vetores são LI C Os vetores são proporcionais veja 4 2622 36393 Logo estes vetores são LD D Como há apenas dois vetores e um não é proporcional ao outro temos que estes vetores são LI E Para determinar se são LI ou LD calculamos o determinante 9 0 7 2 1 8 2 0 4 9427361422 Como o determinante não é nulo temos que os vetores são LI F Para determinar se são LI ou LD calculamos o determinante 1 0 1 5 1 2 3 1 0 5230 Como o determinante é nulo temos que os vetores são LD G Para determinar se são LI ou LD calculamos o determinante 1 0 0 2 3 0 1 7 5 5315 Como o determinante não é nulo temos que os vetores são LI H Para determinar se são LI ou LD calculamos o determinante 4 6 2 2 3 1 2 0 4 43462624232 48124812 96 Como o determinante não é nulo temos que os vetores são LI I Para determinar se são LI ou LD calculamos o determinante 1 0 3 3 1 2 1 5 7 7335 253 74513 Como o determinante não é nulo temos que os vetores são LI J Este conjunto possui 4 vetores com 3 coordenadas cada Logo não já forma de o conjunto ser LI os vetores são LD K Para determinar se são LI ou LD calculamos o determinante 1 0 1 3 1 2 2 5 3 335 252 315 12 Como o determinante não é nulo temos que os vetores são LI L Este conjunto é LD De fato temos 1314 a 3857b 294 23 Assim devemos ter 13 a2b 38a9b Resolvendo 9 2 27 2 a9b 39 28a27 2 a 3 2 11 2 a a 3 11 b1 23 2 a1 2 9 22 1 11 Assim encontramos a combinação linear o que prova que os vetores são LD 1314 3 11 3857 1 11 294 23 Questão 2 Seja um vetor genérico nabc A equação do plano ortogonal ao vetor é dada por axbyczd0 Mas se o plano passa pela origem o ponto 000 deve pertencer ao plano Assim devemos ter a0b0c0d0 d0 Assim a equação deste plano é dada por axbycz0 Este é um subespaço pois consideremos os vetores v1x1 y1z1 e v2x2 y2z2 que pertencem ao plano Assim temos a x1b y1c z10 a x2b y2c z20 Evidentemente a soma de ambos vetores wv1v2x1x2 y1 y2z1z2 ainda pertence ao plano pois somando as equações anteriores temos a x1b y1c z1a x2b y2c z2000 ax1x2b y1 y2cz1z20 Também o produto α v1 pertence ao plano pois α a x1b y1c z1α00 aα x1b α y1cα z10 Assim temos que o plano é um subespaço pois atende ambas condições Para n110 temos 1x1y0z0 xy0 yx Assim uma base para este subespaço pode ser v1110 v2001 Questão 3 É um conjunto ortogonal pois para cada duas matrizes que peguemos temos M i M j0 Por exemplo 1 1 1 1 1 1 1 11111111111110 Agora o conjunto não é ortonormal pois temos M i M i1 De fato para todas as matrizes temos M i M i4 Por exemplo 1 1 1 1 1 1 1 11111111111114 Na base B temos Aa1 M 1a2M 2a3M 3a4M 4 A i1 4 ai M i Para descobrir o coeficiente k fazemos A M k i1 4 aiM i M k A M k i1 4 ai Mi M k A M kak M k M k A M kak 4 ak1 4 A M k Assim temos a11 4 10 14 12 18 1 1 1 11 4 10141218 54 4 a21 4 10 14 12 18 1 1 1 11 4 10141218 6 4 a31 4 10 14 12 18 1 1 1 11 4 10141218 10 4 a41 4 10 14 12 18 1 1 1 1 1 4 101412182 4 Logo temos 10 14 12 1854 4 1 1 1 16 4 1 1 1 110 4 1 1 1 1 2 4 1 1 1 1 10 14 12 1827 2 1 1 1 13 2 1 1 1 15 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 10 14 12 1827 2 1 1 1 13 2 1 1 1 15 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1