Lista de Exercícios Resolvidos - Álgebra Linear e Espaços Vetoriais

Questão 1 Seja β 111120310 Mostre que a β é uma base do R³ b Determine as coordenadas do vetor u 453 na base β Questão 2 No plano π x 2y z 5 considere as seguintes operações xyz xyz x x 2y y 2z z 1 λxyz λx 2 2λ λy 2 2λ λz 1 λ Verifique se com estas operações π é um espaço vetorial Questão 3 Sejam fx 4x² 3x 9 gx x² 2x 7 e hx 3x² 3x 1 O conjunto fx gx hx é LI Questão 4 Considere o sistema S 2x 4y 6z 0 x y 4z 0 6y 14z 0 Seja W xyz R³ xyz é solução de S ou seja W é o conjunto solução do sistema S Encontre uma base para W Questão 5 Verifique se os conjuntos 112301 e 123334 geram o mesmo subespaço de R³ Questão 6 Mostre que β 11x1x² é uma base para P₂R ax² bx c abc R Questão 7 Determine uma base do conjunto solução do seguinte sistema x y z t 0 2x y t 0 Questão 8 Verifique se o conjunto 2 3i 1 2i gera o espaço C sobre R Questão 9 Seja U x yz t M₂R x y z 0 Considere β 1 1 0 0 1 0 0 1 e β 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 Mostre que β e β são bases de U Questão 10 Sejam β e₁ e₂ e₃ e β f₁ f₂ f₃ bases do R³ onde β é a base canônica e f₁ 2e₁ 2e₂ 2e₃ f₂ 4e₂ 6e₃ f₃ 6e₁ 2e₃ a Determine as matrizes de mudança de base de β para β e de β para β b Se u R³ apresenta coordenadas 1 2 e 3 em relação a β quais as coordenadas de u em relação a β Questão 11 No exercício 9 mostramos que β 1 1 0 0 1 0 0 1 e β 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 são bases de U x yz t M₂R x y z 0 Determine a A matriz de mudança de base de β para β e de β para β b Uma base C de U tal que a matriz de mudança da base C para β seja 1 1 12 3 53 4 7 Questão 12 Considere a seguinte matriz de mudança da base β para a base β de R³ Iββ 1 1 11 0 01 1 1