Lista de Exercicios Resolvidos Funcoes Vetoriais e Calculo 3

LISTA 3 FUNÇÕES VETORIAIS REVISÃO 1 Seja xt t 1 e yt t2 2t 2 as equações paramétricas de uma função vetorial f a Escreva a função vetorial f b Faça um esboço do gráfico de f 2Construa as curvas de nível da função fxy 3x2 9y2 3Represente graficamente o campo vetorial f xy y i x j 4Parametrize as seguintes curvas a Reta que para no ponto A213 e tem a direção do vetor v555 b 2x2 4x y2 8 0 c x2 y2 2x 2y 2 0 5Consideremos o campo de temperaturas absolutas graus Kelvin Se Txyz x2 y2 xyz 273 qual a direção em que a temperatura cresce mais rapidamente quando se considera o ponto 123 6Determine o divergente e o rotacional do campo vetorial a f xyz xy2 z2 i x2 y z2 j x2 y2 z k b f xyz ln2y 3z i lnx 3z j lnx 2y k Cálculo 3 1 Sendo xt t 1 e yt t2 2t 2 a A função vetorial será f xt yt t 1 t2 2t 2 b Sendo x t 1 t x 1 então y t2 2t 2 x 12 2x 1 2 y x2 2x 1 2x 2 2 y x2 1 u seu gráfico será 2 As curvas de nível fxy 3x2 9y2 3x2 9y2 k p k 0 1 2 e 3 logo 3x2 9y2 0 Ponto P00 3x2 9y2 1 Elipse 3x2 9y2 2 32 x2 92 y2 1 Elipse 3x2 9y2 3 x2 3 y2 1 Elipse 3 Temos que Fxy y î x ĵ p x y 0 F 00 p x y 0 F 0 0 p x 0 e y 1 F 01 p x 1 e y 0 F 0 1 ou seja seu gráfico será 4y AB 1 Parametrização a Sendo A213 e V 5 5 5 então V V0 t V x x0 at y y0 bt e z z0 ct ou seja x 2 5t y 1 5t z 3 5t 3 b Temos que 2x2 4x y2 8 0 2x2 4x y2 8 2x2 2x y2 8 2x2 2x 1 y2 8 2 2x 12 y2 10 x 125 y210 1 Elipse Portanto x 5 cost 1 y 10 sent c Temos que x2 y2 2x 2y 2 0 x2 y2 2x 2y 2 x2 2x y2 2y 2 x2 2x 1 y2 2y 1 2 1 1 x 12 y 12 4 Circunferência Portanto x 2 cost 1 y 2 sent 1 3 Sendo Txyz x2 y2 xyz 273 a direção do maior crescimento será T123 Txp Typ Tzp 5 T 2x yz 2y xz x y e T12 3 4 7 2 c Divergente e Rotacional a Temos que Fxyz xy2 z2 î x2 yz ĵ x2 y2 k F px qy kz y2 z2 x2 z2 x2 y2 e Também xF î ĵ k x y z p q k ky qz î pz kx ĵ qx py k xF 2x2 yz 2x2 yz 2x y2 z 2x y2 z 2x y3 2x y3 xF 000 b Temos que Fxyz ln2y 3z î lnx 3z ĵ lnx 2y k 5 F Px Qy Rz 0 xF Ry Qz î Pz Rx ĵ Qx Py k xF 2x2y 3x3z 32y3z 1x2y 1x3z 22y3z