Lista de Exercicios Calculo 3 - Equacoes Cartesianas e Integrais de Linha

LISTA 1 DE EXERCÍCIOS C3 Instituição Universidade Federal de Uberlândia 1 Encontre a equação cartesiana da curva parametrizada e faça um esboço a x 3 4te y 2 3t para t ℝy 34x 14 b x 1 t² e y t 2 para t 2 2x y² 4y 3 c x t e y 1 t para t 0y 1 x² d x senθ2 e y cosθ2 para θ π πx² y² 1 com 0 y 1 2 Encontre a equação da reta tangente a curva parametrizada no ponto fornecido a x t⁴ 1 e y t³ t em t 1 y x b x t cost e y t sent em t πy πx π² c x 1 lnt e y t² 2 em t 1 y 2x 1 d x 6sent e y t² t em t 0 y 16 x 3 Determine se o campo vetorial dado é conservativo neste caso encontre f tal que F f ou não é conservativo a Fx y 2x 3y 3x 4y 8 b Fx y eˣcosyi eˣseny j c Fx y y eˣ senyi eˣ xcosy j d Fx y lny 2xy³ 3x²y² xy 4 Calcule a integral de linha onde C é a curva dada a C y³ ds onde C é parametrizado por x t³ y t e t 0 2 15414532 1 b C xy⁴ ds onde C é a metade direita do círculo x² y² 16 2 4⁶5 c Cx²y³ xdy onde C é o arco da curva y x de 1 1 a 4 2 2438 d Cx 2ydx x²dy onde C consiste nos segmentos de reta de 0 0 a 2 1 e de 2 1 a 3 0 52 e C xyz ds onde C é parametrizado por x 2 sent y t z 2 cost e t 0 π 5 π Dica 2 cost sent sen2t f C x eʸᶻ ds onde C é o segmento de reta de 0 0 0 a 1 2 3 1412 e⁶ 1 5 a Fx y xyi 3y² j com rt 11t⁴ i t³ j e t 0 1 45 b Fx y eˣ¹ i xy j com rt t² i t³ j e t 0 1 118 1e c Fx y z senxi cosy j xz k com rt t³ i t² j t k e t 0 1 65 cos1 sen1 6 Determine o potencial f tal que F f e calcule a integral de linha C F dr a Fx y x y² x² y com rt t senπt2 t cosπt2 e t 0 1 fx y 12 x² y² k e a integral é 2 b Fx y z yz xz xy 2z onde C é o segmento de reta que de 1 0 2 a 4 6 3 fx y z xyz z² k e a integral é 77 7 Use o Teorema de Green para calcular a C x y dx x y dy onde C é o círculo de centro na origem e raio 2 8π b C xy dx x² y³ dy onde C é o triângulo com vértices 0 0 1 0 e 1 2 23 c C y ex dx 2 x cosy² dy onde C é a fronteira da região englobada pelas parábolas y x² e y² x 13 d C F dr onde Fx y y cosy x seny e C é o o círculo x 3² y 4² 4 orientado no sentido horário 4π 8 Use o Teorema da de Green para calcular o trabalho realizado pela força Fx y xx y i xy² j ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo x para 1 0 em um seguida ao longo de um segmento de reta até 0 1 e por fim volta a origem pelo eixo y 112 9 Calcule a integral de superfície a S x² yz dS onde S é a parte do plano z 1 2x 3y que está acima do retângulo 0 3 0 2 17114 b S y dS onde S é a parte do paraboloide y x² z² e que está dentro do cilindro x² z² 4 π60 39117 1 c S F dS onde Fx y z xy yz zx e S é a parte do paraboloíde z 4 x² y² que está acima do quadrado 0 1 0 1 713180 10 Use o Teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pela força Fx y z z² 2xy 4y² para mover uma partícula ao longo dos segmentos de reta que ligam respectivamente os pontos 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 2 1 0 0 0 3 11 Use o Teorema de Stokes para calcular C F dr onde a Fx y z x y² y z² z x² onde C é o triângulo com vértices 0 0 0 0 1 0 0 0 1 13 12 Use o Teorema do Divergente Gauss para calcular S F dS onde a Fx y z 3x xy 2xz onde S é a superfície do cubo limitado pelos planos x 0 x 1 y 0 y 1 z 0 z 1 92 b Fx y z 3xy² i xez j z³ k onde S é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro y² z² 1 e pelo planos x 1 e x 2 9π2