Lista de Exercícios sobre Matrizes e Sistemas Lineares

e MmxnR e MR representam respectivamente os conjuntos de matrizesm x nen xn e representa a matriz identidade n x n e Se A MR definimos trago de A como sendo o niimero trA a11 agg Gnn ie trA éa soma dos elementos da diagonal principal da matriz A LISTA 1 1 Considere as matrizes 6 4 O 2 0 0 4 6 9 7 A 2 Jc p 11 4 6 7 2 8 7 3 2 60 6 6 9 9 eHj1 0 4 6 0 1 Se possivel calcule a AB BA b 2CD c 2Dt 3Et d DDE 2 Conhecendose somente os produtos AB e AC como podemos calcular ABC Bt A CtAt e ABAC 3 Dé exemplo de matrizes quadradas A e B tais que A BA B A B Dé exemplo de matrizes quadradas A e B nao nulas e diferentes uma da outra tais que A BA B A B 4 Encontre todos os valores de x para os quais AB 0 onde A 2 4 2 e B2 3 5 5 Identifique as matrizes que estao na forma escalonada reduzida 100 0 8 0 10 0 4 A0 01 0 4 B0 01 0 5 000 1 2 0 00 1 2 1 00 0 3 000 0 0 001 0 0 001 2 4 C1o 001 2 P lo 001 Of 000 1 2 000 0 0 6 Resolva usando 0 método de GaussJordan os seguintes sistemas e yt 2z 8 2a 2y 2 O x 2 32 1 24 5y 22 1 3a Ty 4 10 8 y 42 1 10 5 7 Sea A1 1 1 0 1 4 1 a Encontre a solugao geral do sistema A 4I3X 0 b Encontre a solugao geral do sistema A 213X 0 1 1 1 1 8 Considere a matriz A 3 Determine o conjunto solugao do sistema Considere a matriz A 7 9 9 949 341 rmin njunto solug istem 3 a2 3 2at1 AX Bem que B4316 para todos os valores de a 9 Resolva os sistemas lineares cujas matrizes aumentadas sao 1 2 3 1 8 a 1 3 01 74 102 1 3 1 13 3 O b 0 2 1 3 34 1 0 2 1 1 12 3 0 c 1 110 1 12 04 1 3 3 0 1 0 cos sené t 2 2 10 Sejam D e P Sabendose que A PDP calcule D PP e A 0 1 sen cosé 11 Se possivel encontre as inversas das seguintes matrizes 1 2 3 122 4 A1 12 B13 1 CH 0 1 2 1 3 2 poo 2 1 3 38 2 zy 21 12 Mostre que as matrizes da forma A 1 onde y 6 um ntmero real diferente de zero satisfazem a y equaciao X 2X 13 Uma matriz A é dita simétricase A A é dita antisimétrica se A A Seja A uma matriz quadrada Mostre que a matriz A A é simétrica e que a matriz A A é antisimétrica 14 Prove que toda matriz pode ser escrita de modo tnico como soma de uma matriz simétrica e outra antisimétrica 15 Prove que a fungao det MIR R que associa cada matriz A ao ntiimero detA é sobrejetora 16 Mostre que se A é invertfvel entao detA 4 0 Conclua nestas condicdes que detA detA7 Mostre ainda que A é invertivel se e somente se AA é invertivel 17 Sejam A e P matrizes invertiveis Mostre que detPAP detA 18 Classifique em verdadeiro V ou falso F cada uma das afirmacoes abaixo Justifique sua resposta Quaisquer que sejam as matrizes quadradas A e B temse que detA B detA detB Seja A uma matriz invertfvel Se B AAA entao detA detB Se A é uma matriz tal que A A e A 6 invertivel entao detA 1 Se Ae B sao matrizes invertiveis e detAB detBA 1 detI entao B At Se AB MR sao tais que trAA BB 0 entao A0 B Se A 2A entao J A I 2A 2 19 Encontre todos os valores de a para os quais a matriz A 1 1 0 1 0 0 1 2 a e invertıvel 20 Sejam A e B matrizes quadradas Mostre que se A B e A sao invertıveis entao A B1 A1In BA11 21 Determine todos os valores de x para os quais detA xIn 0 em que a A 0 1 2 0 0 3 0 0 0 b A 1 0 0 1 3 0 3 2 2 c A 2 2 3 0 3 2 0 1 2 22 Mostre que se A M2R e trA 0 entao A2 λI2 onde λ R 23 Mostre que para quaisquer que sejam as matrizes A B C M2R vale a equacao AB BA2C CAB BA2 0 Sugestao Calcule o traco da matriz AB BA e em seguida use o exercıcio anterior 3