Prova de Álgebra Linear - UFRPE - Transformações Lineares e Diagonalização

Universidade Federal Rural de Pernambuco Departamento de Matemática Professor Dr Deibeom Silva Nome VA Final de Algebra Linear N1 LF1 20211 Questão 1 20 Sejam α x² t 12 e β t² 1 t 1 1 bases ordenadas de P₂ a Calcule fα b Se uα 2 2 1 3 calcule uβ Expresse u como um vetor de P₂ Questão 2 30 Diga se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas Justificando as casos verdadeira ou dando um contrarexemplo caso falsa a Sejam v₁ v₂ vᵢ vetores de um espaco vetorial V Se W span v₁ v₂ vₙ então dimW n b Seja V um espaco vetorial Se W V é subespaco vetorial de V então dimW dimV c Sejam U e V espaços vetoriais e T U V uma transformação linear injetora Se u₁ u₂ uₙ U são LI então Tu₁ Tu₂ Tuₙ V são também LI Questão 3 20 Seja T R³ P₂ uma transformação linear tal que Tβ 1 0 1 1 3 1 1 0 1 Onde α 0 10 101 100 e β t² 1 t 2 são bases ordenadas de R³ e P₂ respectivamente a Calcule T2 1 3 b Calcule a dimensão do núcleo e da imagem de T T é um isomorfismo Questão 4 30 a Encontre a transformação linear T R³ R² tal que T1 0 0 1 0 1 T0 1 0 0 1 0 e T0 0 1 1 0 2 b Verifique se a transformação linear do item a é diagonalizável Em caso afirmativo exiba sua matriz diagonal Boa Prova 4 T R³ R² T100 101 T010 010 T001 102 Txyz xyz x 100 y 010 z 001 Txyz Tx100 Ty010 Tz001 Txyz x T100 y T010 z T001 Txyz x 101 y 010 z 102 Txyz x z y x 2z a 1 0 1 É DIAGONALIZÁVEL SE EXISTE UMA MATRIZ 0 TAL QUE A PDPl 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 2 ACHANDO OS AUTO VALORES det 1 0 1 λ 1 0 0 det 1λ 0 1 0 1λ 0 1 0 2λ det 1λ² 2λ 1λ 1² det 12λλ²2λ 1λ det 2 λ 4λ 2λ² 2λ² λ³ 1λ det 2 5λ 4λ² λ³ 1 λ det λ³ 4λ² 4λ 1 λ³ 4λ² 4λ 1 0 λ₁ 1 λ₂ 3 52 λ₃ 3 52 D 1 0 0 0 352 0 0 0 352 n det 12λλ²2λ 1λ det 2 λ 4λ 2λ² 2λ² λ³ 1λ det 2 5λ 4λ² λ³ 1 λ det λ³ 4λ² 4λ 1 λ₁ 1 λ₂ 3 52 λ₃ 3 52 D 1 0 0 0 352 0 0 0 352 n Digitalizado com CamScanner Digitalizado com CamScanner