Mapa Mental

1 Mapa mental 1 Números Reais com foco em números racionais números reais e intervalos reais 2 Mapa mental 2 Funções reais de uma Variável Real 3 Mapa mental 3 História de limite e sua noção intuitiva 4 Mapa mental 4 Definição formal de limites e exemplos 5 Mapa mental 5 Limites laterais e exemplos 6 Mapa mental 6 Limites no infinito e limites infinitos 7 Mapa mental 7 Continuidade 8 Mapa mental 8 Derivada e exemplos 9 Mapa mental 9 Regras de derivação 10 Mapa mental 10 Máximos e mínimos através da derivada DEFINIÇÃO GERAL o conjunto dos números reais IR é formado pela união dos números racionais e irracionais Ele inclui todos os números que podem representar uma posição na reta numérica NÚMEROS IRRACIONAIS não podem ser escritos como fração Suas casas decimais são infinitas e não periódicas Exemplo 2 π e NÚMEROS REAIS NÚMEROS RACIONAIS São os números que podem ser escritos na forma de fração a com a Z e b0 b Incluem inteiros decimais exatos e dízimas periódicas Exemplo 3 2 14 0 25 0333 INTERVALOS REAIS usados para representar conjuntos de números reais entre dois valores Exemplos intervalo fechado 25 inclui 2 e 5 intervalo aberto 25 não inclui 2 e 5 semiaberto 25 ou 25 DEFINIÇÃO Uma função real de uma variável real é uma relação que associa cada número real x do domínio a um único número real y da imagem por meio de uma regra de correspondência f R R com fx y FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL EXEMPLO fx x² 1 R todos os reais Para x2 f2 2² 1 5 ELEMENTOS PRINCIPAIS Domínio conjunto dos valores de entrada x Imagem conjunto dos valores de saída fx Gráfico Representação no plano cartesiano DEFINIÇÃO o limite descreve o comportamento de uma função à medida que a variável se aproxima de um valor específico LIMITE HISTÓRIA E NOÇÃO INTUITIVA NOÇÃO INTUITIVA um limite representa o valor que uma função se aproxima mas não necessariamente atinge BREVE HISTÓRIA Antiguidade Zeno de Eleia já abordava ideias semelhantes Século XVIII Newton e Leibniz usaram limites informalmente no cálculo Século XIX Augustin Cauchy e Karl Weierstrass formalizavam a definição com a ideia de ε delta EXEMPLO Limite de fx x² 1 x 1 quando x 1 x² 1 x 1x 1 x 1 lim x 1 fx 2 DEFINIÇÃO Para cada 𝜀 0 por menor que seja existe um 𝛿 0 tal que para todos os x satisfazendo 0 x a fxL 𝜀 Lim x0 1x DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITES EXEMPLO GRÁFICO Fx L 𝜀 a EXEMPLOS 1 Lim x0 1x quando x0 2 Lim x0 sin xx 1 quando x0 DEFINIÇÃO O limite lateral de uma função representa o valor que a função se aproxima quando a variável tende a um ponto específico Pela esquerda ou Pela direita LIMITES LATERAIS TIPOS Limite à esquerda Lim a fx xa Limite à direita Lim fx9 x3 EXEMPLO Considere a função fx 2x 1 se x3 x² x²x se x3 Limite à direita em x 3 Lim fx 23 1 7 x3 DEFINIÇÃO Limites no infinito e limites infinitos são conceitos utilizados para descrever o comportamento de uma função a medida que x se aproxima do infinito LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS TIPOS Limite no infinito Lim fx L x Limite infinito Lim fx x0 EXEMPLO Limite no infinito 1x 0 Limite infinito 1x DEFINIÇÃO Uma função fx é contínua em um ponto x a se 1 fa está definida 2 Existe o limite lim x4 fx 3 Esse limite é igual ao valor da função lim x4 fx fa CONTINUIDADE EXEMPLO fx x2 se x 2 4 se x 2 DERIVADA E EXEMPLOS DEFINIÇÃO A derivada de fx em relação a x é o limite da razão entre as variações da função e as variações na entrada se aproximam de zero fx fxh fx h EXEMPLO Encontrar a derivada de fx x2 Aplicar a definição lim h0 xh2 x2 h fx 2x REGRA DE DERIVAÇÃO REGRA DA CONSTANTE ddx c 0 REGRA DO PRODUTO ddx uv uv uv REGRA DA CADEIA ddx fx fxu REGRA DA POTÊNCIA ddx xn nxn1 REGRA DO CONJUNTO ddx u v u v REGRA DO QUOCIENTE ddx uv vu uv v2 MÁXIMOS E MÍNIMOS ATRAVES DA DERIVADA DEFINIÇÃO Para encontrar máximos e mínimos locais usamos A Primeira derivada Se fa 0 o ponto x a é um Ponto crítico A segunda derivada Se fa 0 x a é um máximo local Se fa 0 x a é um mínimo local EXEMPLO Seja fx x² 4x 1 1 Derivada Fx 2x 4 2 Encontrar ponto crítico Fx 0 2x 4 0 x 2 3 Segunda derivada Fx 2 4 como F2 2 0 então x 2 é um ponto máximo local