Matemática Financeira e suas Aplicações - Alexandre Assaf Neto - 12ª Edição

NCham 65001513 A844m 2012 Autor AssafNeto Alexandre Título Matemática financeira e suas aplicações llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll 9 1 Ex4 PUCPR BC Alexandre Assaf Neto é econo mista e pósgraduado mestrado e doutorado emétodos Luan titativos e Finanças no exterior e no país É livredocente e profes sor titular da Universidade de São Paulo Autor e coautor de 15 livros e mais de 70 trabalhos técnicos e científicos publicados em congres sos no país e no exterior e em re vistas científicas com arbitragem embro do Conselho Editorial de importantes revistas científicas Consultor de empresas nas áreas de Corporate Finance e Valuation e parecerista em assuntos financei ros Responsável por cursos de de senvolvimento profissional e trei namento empresarial Palestrante assafterracom br wwwinstitutoassafcom br J Matemática Financeira e suas Aplicações Alexandre Assaf Neto 12ª Edição SÃO PAULO EDITORA ATLAS SA 2012 1992 by Editora Atlas SA 1ed 19932ed 19943ed 19974ed 19985ed2000 6ed2001 7ed20028ed20039ed2006 10ed2008 11ed2009 12ed2012 Capa Leonardo Hermano Composição Formato Serviços de Editoração Ltda Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil Assaf Neto Alexandre Matemática financeira e suas aplicações I Alexandre Assaf Neto 12 ed São Paulo Atlas 2012 ISBN 9788522472482 1 Matemática financeira L Título 940477 CDD65001513 Índice para catálogo sistemático 1 Matemática financeira 65001513 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS É proibida a reprodução total ou parcial de qualquer forma ou por qualquer meio A violação dos direitos de autor Lei nº 961098 é crime estabelecido pelo artigo 184 do Código Penal Depósito legal na Biblioteca Nacional conforme Decreto nº 1825 de 20 de dezembro de 1907 Impresso no BrasilPrinted in Brazil lf Editora Atlas SA Rua Conselheiro Nébias 1384 Campos Elísios 01203904 São Paulo SP Tel 011 33579144 wwwEditoraAtlascombr Biblioteca Central Matemática financeira e suas aplicações Ac 295790 R 926191 Ex 4 Compra Livrarias Curitiba Nf 19337 R 699505042013 Ciências Contábeis Noturno Reg Sem Sumário Apresentação ix Nota a 12ª edição xv 1 Conceitos Gerais e Juros Simples 1 11 Juro 1 12 Taxas de juros 1 13 Diagrama do fluxo de caixa 2 14 Regras básicas 2 15 Critérios de capitalização dos juros 2 16 Aplicações práticas dos juros simples e compostos 5 17 Capitalização contínua e descontínua 6 18 Fórmulas de juros simples 6 19 Montante e capital 7 110 Taxa proporcional e taxa equivalente 8 111 Juro exato e juro comercial 10 112 Equivalência financeira 10 Exercícios resolvidos 12 Exercícios propostos 14 2 Juros Compostos 18 21 Fórmulas de juros compostos 18 211 Extensões ao uso das fórmulas 20 22 Taxas quivalentes 21 23 Taxa nominal e taXa efetiva 23 231 Conversão de taxa efetiva em nominal 25 232 Taxa efetiva e número de períodos de capitalização 26 24 Fracionamento do prazo e equivalência financeira em juros compostos 26 25 Convenção linear e convenção exponencial para períodos não inteiros 28 251 Convenção linear 28 252 Convenção exponencial 29 26 Introdução à taxa interna de retorno 30 27 Capitalização contínua 31 Exercícios resolvidos 32 Exercícios propostos 35 3 Descontos 40 31 Desconto simples 40 311 Desconto Racional ou por dentro 40 312 Desconto bancário ou comercial ou por fora 42 3121 Despesas bancárias 44 32 Taxa implícita de juros do desconto por fora 44 321 Taxa efetiva de juros 47 322 Apuração da taxa de desconto com base na taxa efetiva 49 vi Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 33 O prazo e a taxa efetiva nas operações de desconto por fora 49 331 Taxas de desconto decrescentes para prazos crescentes 50 34 Desconto para vários títulos 52 35 Desconto composto 53 351 Desconto composto por fora 53 352 Desconto composto por dentro 55 Exercícios resolvidos descontos simples 56 Exercícios propostos descontos simples 58 4 Matemática Financeira e Inflação 61 41 Índices de preços e taxas de inflação 61 42 Valores monetários em inflação 63 421 Comportamento exponencial da taxa de inflação 64 422 Série de valores monetários deflacionados 65 43 Taxa de desvalorização da moeda 66 431 Inflação e prazo de pagamento 67 44 Taxa nominal e taxa real 68 45 Taxa referencial TR 69 46 Caderneta de poupança 70 Exercícios resolvidos 70 Exercícios propostos 72 5 Matemática Financeira e Empréstimos para Capital de Giro 76 51 Descontos de duplicatas 76 52 Commercial papers 79 53 Contas garantidas e o método hamburguês 80 531 Cálculo do custo efetivo 82 54 Operações de fomento comercialfactoring 82 Exercícios resolvidos 84 Exercícios propostos 86 6 Matemática Financeira Reciprocidade Bancária e Taxas Over 90 61 Reciprocidade bancária 90 611 Saldo médio 90 612 Saldo médio remunerado 91 613 Uso do floating como reciprocidade 92 62 Juros por dias úteis taxa nominal over 94 621 622 Operações financeiras com taxa over 95 Equivalência das taxas de aplicações financeiras 97 623 Taxa over anual efetiva 97 Exercícios resolvidos 99 Exercícios propostos 100 7 Fluxos de Caixa 105 71 Modelopadrão 105 711 Valor presente e fator de valor presente 106 712 Valor futuro e fator de valor futuro 108 72 Equivalência financeira e fluxos de caixa 110 73 Fluxos de caixa não convencionais 112 731 Período de ocorrência 112 732 733 734 Periodicidade 113 Duração 114 Valores 115 Exercícios resolvidos 116 Exercícios propostos 120 8 Coeficientes de Financiamento 126 81 Coeficientes de financiamento para fluxos de caixa uniformes 126 82 Coeficientes de financiamento para séries não periódicas 128 83 Coeficientes de financiamento com carência 129 84 Coeficientes de financiamento com entrada 131 85 Coeficiente de financiamento aplicado às operações de arrendamento mercantil 132 851 Inclusão dos juros do VRG nas contraprestações 132 852 Inclusão dos juros do VRG no coeficiente de arrendamento 133 86 Crédito direto ao consumidor 135 87 Período singular de juros 136 Exercícios propostos 137 9 Matemática Financeira e Estratégias Comerciais de Compra e Venda 141 91 Estratégias de vendas 141 911 Custo da venda a prazo 141 92 Estratégias de compras 144 921 Exemplo 1 compra e venda a vista 145 922 Exemplo 2 compra a vista e venda a prazo 146 923 Exemplo 3 compra a prazo e venda a vista 147 924 Exemplo 4 compra e venda a prazo 147 93 Formação do preço de venda a valor presente 149 Exercícios resolvidos 151 Exercícios propostos 153 10 Análise de Investimentos e Reposição de Ativos 158 101 Taxa interna de retorno IRR 158 1011 Interpretação da IRR por meio de planilha financeira 159 1012 Quando a taxa de reinvestimento não coincide com a IRR 160 102 Valor presente líquido NPV 162 1021 Comparações entre NPV e IRR 163 103 Índice de lucratividade IL e taxa de rentabilidade TR 165 104 Comparação entre os métodos de análise de investimentos projetos independentes 165 105 Comparação entre os métodos de análise de investimentos projetos mutuamente excludentes 166 1051 Investimentos com diferentes tamanhos 166 1052 NPV e restrições de capital 168 1053 Investimentos de mesma escala 168 106 Custo equivalente anual 169 107 Substituição de ativos 170 1071 Cálculo do custo de manter um ativo usado 172 1072 Vidas diferentes nas decisões de substituição de ativos 173 1073 Análise do momento da substituição 174 Exercícios resolvidos 174 Exercícios propostos 177 11 Matemática Financeira e Títulos de Renda Fixa 182 111 Certificadosrecibos de depósitos bancários CDBRDB 183 1111 CDBRDB com taxas prefixadas 183 1112 Taxa prefixada com rendimento final 183 1113 Extensões ao cálculo da taxa líquida 185 1114 Taxa prefixada com rendimento periódico 186 1115 CDBRDB com taxas pósfixadas 187 1116 Confronto entre a taxa prefixada e a taxa pósfixada de juros 188 111 7 Desmembramnto da taxa prefixada 188 1118 Diferentes variações dos índices de preços 189 111 9 Custo de captação com recolhimento compulsório 191 112 Debêntures 192 113 Obrigações bônus 194 1131 Zero Coupon Bond 195 1132 Relação entre prazo de emissão e taxa de desconto com o valor do título 196 1133 Títulos bônus com cupons 196 1134 Preço de mercado 196 1135 Yield to Maturity YTM 197 Sumário vii 1136 YTM e IRR 198 1137 Relação entre valor do título e taxa de desconto 198 114 Tributação vigente das aplicações de renda fixa 199 1141 Imposto de Renda IR 199 1142 Imposto sobre Operações Financeiras IOF 200 Exercícios propostos 200 12 Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 205 121 Definições básicas 205 122 Sistema de amortização constante 206 1221 Expressões de cálculo do SAC 207 1222 SAC com carência 208 123 Sistema de prestação constante 211 1231 Expressões de cálculo do SPC 212 1232 SPC com carência 213 124 SPC e taxa nominal de juros 214 125 Sistema de amortização misto 215 126 Comparações entre SAC SPC e SAM 216 127 Sistema de amortização americano 218 1271 Fundo de amortização 219 128 Custo efetivo 219 1281 Planilha com despesas adicionais 219 129 Planilha de financiamento com juros pósfixados pela T JLP 220 Exercícios resolvidos 222 Exercícios propostos 226 13 Taxa e Prazo Médios de Operações Financeiras 231 131 Taxa média 231 1311 Taxa média de operações com prazos diferentes 232 1312 Taxa média com diferentes momentos de aplicação 234 132 Prazo médio 235 1321 Prazo médio duration de Macaulay 236 Exercícios resolvidos 237 Exercícios propostos 240 14 Matemática Financeira e Avaliação de Ações 242 141 Avaliação de ações 242 1411 Aplicações em ações com prazo determinado 242 1412 Aplicações em ações com prazo indeterminado 244 viii Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Exercícios resolvidos 246 Exercícios propostos 248 15 Matemática Financeira Títulos Públicos e Contratos Futuros 251 151 Taxa SELIC 251 152 Preço unitário PU de um ativo 252 153 Contratos futuros de juros 252 154 Títulos públicos 254 1541 Marcação a Mercado MaM 255 1542 Principais medidas dos títulos públicos 255 155 Letras do Tesouro Nacional LTN 255 1551 Exemplos leilão primário de LTN 256 1552 Exemplos mercado secundário de LTN 256 156 Letras Financeiras do Tesouro LFT 257 1561 Cálculo da cotação da LFT 257 1562 Cálculo do acréscimo ao valor de face da LFT 258 1563 Cálculo do valor de mercado da LFT mercado secundário 258 157 Notas do Tesouro Nacional Série F NTNF 259 1571 Cálculo do PU de uma NTNF 259 1572 Operação de leilão primário de NTNF 260 158 Notas do Tesouro Nacional Série B NTNB e Série C NTN C 261 1581 Negociação de NTNB no mercado secundário 261 1582 Cotação da NTN 262 159 Notas do Tesouro Nacional Série D NTND 262 1591 Leilão primário de NTND 263 Exercícios resolvidos 263 Exercícios propostos 266 Apêndice A Operações Básicas de Matemática 271 Apêndice B Expoentes e Logaritmos 275 Apêndice C Noções sobre Progressões 278 Bibliografia 283 Índice remissivo 285 I Apresentação Este livro foi escrito com o intuito de cobrir não somente os fundamentos teóricos da Matemática Fi nanceira como também de desenvolver suas principais aplicações práticas As extensas aplicações da matéria são processadas de forma a adaptar o conhecimento teórico a uma situação prática não havendo preocupa ções maiores com relação aos detalhes normativos da operação bastante mutáveis em nossa economia Este livro foi concebido ainda de forma a atender aos cursos de graduação em Matemática Financeira nas áreas de Administração Contabilidade Economia Engenharia etc Devido ao seu enfoque prático e bas tante ajustado à realidade dos negócios na economia brasileira o livro pode também ser utilizado em cursos profissionais dirigidos a executivos de empresas Cada capítulo é ilustrado com farta quantidade de exercícios resolvidos ilustrações e exemplos conside rados como parte integrante da aprendizagem Ao fi nal de cada capítulo são propostos diversos exercícios para solução sendo bastante recomendável que os estudantes tentem resolvêlos Toda relação de exer cícios propostos vem acompanhada de suas respectivas respostas para melhor orientar o estudo Um dos aspectos que mais me entusiasmou a escre ver este livro foram os inúmeros cursos de Matemá tica Financeira que ministrei ao longo de minha vida profissional Estes cursos foram desenvolvidos tanto em ambientes acadêmicos como empresariais propor cionando enriquecedora experiência Muitas partes deste livro são resultado da contribuição recebida dos participantes dessas atividades didáticas permitindo melhor compreender e expressar os conceitos de Ma temática Financeira e suas aplicações Para os docentes encontrase disponível no site da Editora Atlas solução dos exercícios propostos no livro através de formulações da Matemática Financeira e recursos da calculadora financeira HP 12C Uma apos tila bastante didática dos fundamentos da calculadora pode ser obtida em wwwinsidebookscombr Lista de Abreviaturas e Siglas ANBIMA Associação Brasileira das Entidades dos Mercados Financeiros e de Capitais AMORT Amortização BMF Bolsa de Mercadorias e Futuros C Capital CA Coeficiente de Arrendamento CAG Coeficiente de Arrendamento com Juros do VRG CDB Certificado de Depósito Bancário CDC Crédito Direto ao Consumidor CDI Certificado de Depósito Interfinanceiro CF Coeficiente de Financiamento CFP Coeficiente de Financiamento de Período Singu lar de Juros com Fluxo Postecipado CM Correção Monetária CMPC Custo Médio Ponderado de Capital D Duration DI Depósito Interfinanceiro FAC Fator de Atualização de Capital FAS Fator de Atualização de Juros Simples FC Fluxo de Caixa FCC Fator de Correção de Capital FCS Fator de Capitalização de Juros Simples FFV Fator de Valor Futuro FPV Fator de Valor Presente FV Valor Futuro Future Value ICMS Imposto sobre Circulação de Mercadorias e Serviços IGP Índice Geral de Preços IGPDI Índice Geral de Preços Disponibilidade In terna IGPM Índice Geral de Preços de Mercado IL Índice de Lucratividade INF Inflação INPC Índice Nacional de Preços ao Consumidor IOF Imposto sobre Operações Financeiras IPCA Índice de Preços ao Consumidor Ampliado IPI Imposto sobre Produtos Industrializados IR Imposto de Renda IRR Taxa Interna de Retorno Internal Rate of Re turn J Juros LFT Letras Financeiras do Tesouro LOG Logaritmo LTN Letra do Tesouro Nacional MMontante MaM Marcação a Mercado MMC Mínimo Múltiplo Comum xii Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto N Valor Nominal NA Valor Nominal Atualizado NPV Valor Presente Líquido Net Present Value NTN Nota do Tesouro Nacional P Principal PA Progressão Aritmética PG Progressão Geométrica PMT Prestação Payment PU Preço Unitário PUMaM Preço a Mercado do Título PV Valor Presente Present Value RDB Recibo de Depósito Bancário SAA Sistema de Amortização Americano SAC Sistema de Amortização Constante SAF Sistema de Amortização Francês SAM Sistema de Amortização Misto SD Saldo Devedor SPC Sistema de Prestação Constante TDM Taxa de Desvalorização da Moeda T JLP Taxa de Juros de Longo Prazo TR Taxa Referencial de Juros TR Taxa de Rentabilidade UMC Unidade Monetária de Poder Aquisitivo Cons tante VNA Valor Nominal Atualizado VRG Valor Residual Garantido YTM Yield to Maturity Lista de Símbolos C Capital c Prazode Carência C1 C2 Cn Juros Periódicos Cupons d Taxa de desconto Dl D2 Dn Fluxo de Dividendos Dr Desconto Racional du Dias úteis e Número constante base dos logaritmos neperianos e 27182818284 g Taxa de Crescimento i Taxa de Juro ib Taxa Nominal Bruta antes da dedução do Impos to de Renda iL Taxa Nominal Líquida após a dedução do Impos to de Renda IR Imposto de Renda J Juros K Taxa de Retorno Requerida MMontante N Valor Nominal Valor de Face Valor de Resgate n Prazo Ti Prazo Médio P Principal q Número de Períodos de Capitalização r Taxa Real de Juros rb Taxa Real Bruta rL Taxa Real Líquida T Alíquota de Imposto de Renda VF Valor Descontado Por Fora V Valor Descontado Racional r Nota à 12a Edição Coerente com o objetivo de manter esta obra sem pre atualizada procedeuse nesta 12ª edição a uma ampla revisão de seu conteúdo Da mesma forma que em edições anteriores os capítulos foram revistos e atualizados sempre que ne cessário incorporando diversos deles novos procedi mentos de cálculo e aplicações práticas Procedeuse também uma ampla revisão de todo o livro visando identificar e corrigir eventuais erros de digitação e impressão Foram desenvolvidas atualizações em diversos exemplos ilustrativos e ampliação de exercícios pro postos em alguns capítulos Procurouse também melhorar a apresentação do livro dandose destaque a títulos tabelas e fórmulas e também a alguns con ceitos importantes As principais novidades desta nova edição são re sumidas a seguir introdução dos novos exemplos ilustrativos nos capítulos procurando facilitar o entendimen to da matéria e as aplicações da Matemática Financeira como também demonstrar novas situações práticas discussão das diversas interpretações conflitan tes dos métodos de amortização de emprésti mos e financiamentos Francês e Tabela Price substituise essas denominações por Sistemas de Pagamentos Constantes SPC com taxa efetiva e taxa nominal demonstração de forma prática sobre a diferen ça básica entre as medidas da taxa interna de retorno IRR e da Yield to Maturity YfM atualização do Capítulo 15 reforçando a ava liação dos títulos públicos e principalmente a metodologia de marcação a mercado desses ativos Importante destacar que o livro não prioriza os aspectos normativos das várias operações financeiras presentes no mercado financeiro nacional bastante mutáveis em nossa realidade e também não tem por objetivo recomendar ou sugerir qualquer tipo de in vestimento Deve ser ressaltado ainda que o livro prioriza a formulação do problema financeiro exigindo o de senvolvimento de um raciocínio financeiro Para a solução dos vários exercícios e cálculos financeiros através dos recursos de programação de calculadoras financeiras recomendase uma pesquisa no livro In vestimentos no mercado financeiro usando a calculado ra financeira HP 12C 2ª edição publicado pela Atlas xvi Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto e de autoria dos professores Alexandre Assaf Neto e Fabiano Guasti Lima Como sempre toda e qualquer sugestão e críticas de nossos leitores são muito bem recebidas É nosso intento manter um constante aperfeiçoamento des ta obra visando atender da melhor forma possível a todos que desejam estudar Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto assafterracom br wwwinstitutoassafcom br 1 Conceitos Gerais e Juros Simples 11 Juro A matemática financeira trata em essência do es tudo do valor do dinheiro ao longo do tempo O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificados em diferentes momentos Receber uma quantia hoje ou no futuro não são evidentemente a mesma coisa Em princípio uma unidade monetária hoje é preferível à mesma unida de monetária disponível amanhã Postergar uma en trada de caixa recebimento por certo tempo envol ve um sacrifício o qual deve ser pago mediante uma recompensa definida pelos juros Desta forma são os juros que efetivamente induzem o adiamento do consumo permitindo a formação de poupanças e de novos investimentos na economia As taxas de juros devem ser eficientes de maneira a remunerar a o risco envolvido na operação empréstimo ou aplicação representado genericamente pela incerteza com relação ao futuro b a perda do poder de compra do capital moti vada pela inflação A inflação é um fenômeno que corrói o capital determinando um volu me cada vez menor de compra com o mesmo montante c o capital emprestadoaplicado Os juros devem gerar um lucro ou ganho ao proprietário do capital como forma de compensar a sua priva ção por determinado período de tempo Este ganho é estabelecido basicamente em função das diversas outras oportunidades de investi mentos e definido por custo de oportunidade 12 Taxas de juros A taxa de juro é o coeficiente que determina o va lor do juro isto é a remuneração do fator capital uti lizado durante certo período de tempo As taxas de juros se referem sempre a uma unida de de tempo mês semestre ano etc e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras taxa percentual e taxa unitária A taxa percentual referese aos centos do ca pital ou seja o valor dos juros para cada centésima parte do capital Por exemplo um capital de 100000 aplicado a 20oo ao ano rende de juros ao final deste período 2 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto J 1000 00 20 uro x 100 Juro 1000 x 20 20000 O capital de 100000 tem dez centos Como cada um deles rende 20 a remuneração total da apli cação no período é portanto de 20000 A taxa unitária centrase na unidade de capital Reflete o rendimento de cada unidade de capital em certo período de tempo No exemplo acima a taxa percentual de 20 ao ano indica um rendimento de 020 20100 por unidade de capital aplicada ou seja 20 Juro 100000 x 100 Juro 100000 x 020 20000 A transformação da taxa percentual em unitária se processa simplesmente pela divisão da notação em percentual por 100 Para a transformação inver sa basta multiplicar a taxa unitária por 100 Exemplos 15 8 17 86 120 1500 0015 008 017 086 120 150 Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são efetuados utilizandose a taxa unitária de juros Os enunciados e as respostas dos exercícios apresentados neste livro estão indicados pela taxa percentual 13 Diagrama do fluxo de caixa Conforme foi comentado a matemática financei ra se preocupa com o estudo das várias relações dos movimentos monetários que se estabelecem em dis tintos momentos no tempo Estes movimentos monetários são identificados temporalmente através de um conjunto de entradas e saídas de caixa definido como fluxo de caixa O flu xo de caixa é de grande utilidade para as operações da matemática financeira permitindo que se visuali ze no tempo o que ocorre com o capital Esquemati camente pode ser representado da forma seguinte Entradas de caixa Saídas de caixa o t t 2 3 t t t 5 6 7 8 Tempo A linha horizontal registra a escala de tempo ou seja o horizonte financeiro da operação O ponto zero indica o momento inicial e os demais pontos re presentam os períodos de tempo datas As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas ou recebimentos de dinheiro e as setas para baixo da linha indicam saídas ou aplicações de dinheiro 14 Regras básicas Nas fórmulas de matemática financeira tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem ne cessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo Por exemplo admita que um fundo de pou pança esteja oferecendo juros de 2 ao mês e os rendimentos creditados mensalmente Neste caso o prazo a que se refere a taxa mês e o período de capitalização do fundo mensal são coincidentes atendendo à regra básica Se uma aplicação foi efetuada pelo prazo de um mês mas os juros definidos em taxa anual não há coincidência nos prazos e deve ocorrer necessaria mente um rateio É indispensável para o uso das fórmulas financeiras transformar a taxa de juro anual para o intervalo de tempo definido pelo prazo da operação ou viceversa o que for considerado mais apropriado para os cálculos Somente após a defini ção do prazo e da taxa de juro na mesma unidade de tempo é que as formulações da matemática financei ra podem ser operadas Os critérios de transformação do prazo e da taxa para a mesma unidade de tempo podem ser efetua dos através das regras de juros simples média arit mética e de juros compostos média geométrica dependendo do regime de capitalização definido para a operação 15 Critérios de capitalização dos juros Os critérios regimes de capitalização demons tram como os juros são formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo Nes ta conceituação podem ser identificados dois regimes de capitalização dos juros simples ou linear e com posto C ou exponencial O regime de capitalização simples comportase como se fosse uma progressão aritmética PA cres cendo os juros de forma linear ao longo do tempo Neste critério os juros somente incidem sobre o ca pital inicial da operação aplicação ou empréstimo Conceitos Gerais e Juros Simples 3 não se registrando juros sobre o saldo dos juros acu mulados Por exemplo admita um empréstimo de 100000 pelo prazo de 5 anos pagandose juros simples à ra zão de 10 ao ano O quadro abaixo ilustra a evolu ção desta operação ao período indicando os vários resultados Início do 1Q ano Fim do 1Q ano Fim do 2Q ano Fim do 3Q ano Fim do 4 ano Fim do 5Q ano 100000 110000 120000 130000 140000 01 0 X 1 00000 1 0000 01 0 X 100000 1 0000 O 1 O X 100000 10000 01 0 X 100000 1 0000 01 0 X 1 00000 1 0000 100000 110000 120000 130000 140000 150000 10000 10000 10000 10000 10000 Algumas observações podem ser apresentadas a os juros por incidirem exclusivamente sobre o capital inicial de 100000 apresentam va lores idênticos ao final de cada ano 010 x 100000 10000 b em consequência o crescimento dos juros no tempo é linear no exemplo cresce 10000 por ano revelando um comportamento idêntico a uma progressão aritmética Os ju ros totais da operação atingem nos 5 anos 50000 c se os juros simples ainda não forem pagos ao final de cada ano a remuneração do capital emprestado somente se opera pelo seu valor inicial 100000 não ocorrendo remunera ção sobre os juros que se formam no período Assim no SQ ano a remuneração calculada de 10000 é obtida com base no capital empres tado há 5 anos ignorandose os 40000 de juros que foram se acumulando ao longo do período d como os juros variam linearmente no tempo a apuração do custo total da dívida no prazo contratado é processada simplesmente pela multiplicação do número de anos pela taxa anual isto é 5 anos x 10 ao ano 50 para 5 anos Se se desejar converter esta taxa anual para mês por exemplo basta dividir a taxa anual por 12 isto é 10 ao ano12 meses 08333 ao mês e assim por diante O regime de capitalização composta incorpora ao capital não somente os juros referentes a cada pe ríodo mas também os juros sobre os juros acumu lados até o momento anterior É um comportamen to equivalente a uma progressão geométrica PG no qual os juros incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período correspondente e não unica mente sobre o capital inicial Admitindose no exemplo anterior que a dívida de 100000 deve ser paga em juros compostos à taxa de 10 ao ano têmse os resultados ilustrados no quadro a seguir 4 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Início do 1º ano Fim do 1º ano Fim do 2º ano Fim do 3º ano Fim do 4º ano Fim do 5º ano 100000 110000 121000 133100 146410 01 0 X 1 00000 1 0000 010 X 110000 11000 010 X 121000 12100 010 X 133100 13310 010 X 146410 14641 100000 110000 121000 133100 14641 o 161051 Os seguintes comentários sobre o quadro ilustrati vo acima são colocados a no critério composto os juros não incidem uni camente sobre o capital inicial de 100000 mas sobre o saldo total existente no início de cada ano Este saldo incorpora o capital inicial emprestado mais os juros incorridos em perío dos anteriores b o crescimento dos juros se dá em progressão geométrica evoluindo de forma exponencial ao longo do tempo O juro do primeiro ano é produto da incidência da taxa de 10 ao ano sobre o capital emprestado de 100000 totalizando 10000 Início do 1 ºano 100000 Fim do 1º ano 10000 110000 Fim do 2º ano 10000 120000 Fim do 3º ano 10000 130000 Fim do 4º ano 10000 140000 Fim do 5º ano 10000 150000 As seguintes observações são válidas a no primeiro período do prazo total os juros simples e compostos igualamse 10000 tomando também idêntico o saldo devedor de cada regime de capitalização Assim para operações que envolvam um só período de incidência de juros também deno minado de período de capitalização é indife rente o uso do regime de capitalização simples ou composto pois ambos produzem os mes mos resultados No segundo ano os 21000 de juros identifi cam juros referentes ao 1º ano 010 X 100000 10000 juros referentes ao 22 ano 010 X 100000 10000 juros s os juros apurados no 1º ano 010 X 10000 1000 21000 e assim sucessivamente Diante dos resultados obtidos podese elaborar um quadro comparativo dos regimes de capitaliza ção discutidos 10000 11000 12100 1331 o 14641 100000 110000 Nihil Nihil 121000 1000 1000 133100 2100 3100 14641 o 3310 6410 161051 4641 11051 b A diferença de valores entre os critérios esta belecese em operações com mais de um perío do de capitalização Enquanto os juros simples crescem linearmente configurando uma PA os juros compostos evoluem exponencialmen te segundo o comportamento de uma PG 1 1 Apêndice C deste livro desenvolve o estudo de Progres são Aritmética PA e Progressão Geométrica PG neces sário à Matemática Financeira I No regime composto há uma capitalização dos juros também entendida por juros sobre juros os juros são periodicamente incorpora dos ao saldo devedor anterior e passam as sim a gerar juros Quanto maior for o núme ro de períodos de incidência dos juros maior será a diferença em relação à capitalização simples Observe no quadro comparativo supra que a dife rença entre os juros e os saldos devedores dos regi Figura 11 Comportamento dos juros simples e composto 16 Aplicações práticas dos juros simples e compostos Os juros simples principalmente diante de suas restrições técnicas têm aplicações práticas bastante limitadas São raras as operações financeiras e co merciais que formam temporalmente seus montantes de juros segundo o regime de capitalização linear O uso de juros simples restringese principalmente às operações praticadas no âmbito do curto prazo No entanto as operações que adotam juros sim ples além de apresentarem geralmente prazos re duzidos não costumam apurar o seu percentual de custo ou rentabilidade por este regime Os juros simples são utilizados para o cálculo dos valores mo netários da operação encargos a pagar para emprés timos e rendimentos financeiros para aplicações e não para a apuração do efetivo resultado percen tual Conceitos Gerais e Juros Simples 5 mes de capitalização cresce com o passar do tempo As duas últimas colunas do quadro ilustram esta ob servação Um resumo do comportamento descrito dos juros simples e composto é apresentado na Figura 11 a seguir Observe que a juros simples o capital inicial cresce linearmente ao longo do tempo Ajuros com postos o crescimento é exponencial É importante ressaltar ainda que muitas taxas praticadas no mercado financeiro nacional e interna cional estão referenciadas em juros simples porém a formação dos montantes das operações processase exponencialmente juros compostos Por exemplo a Caderneta de Poupança paga tradicionalmente uma taxa de juros de 6oo ao ano para seus depositantes creditando todo mês o rendimento proporcional de OSoo A taxa referenciada para esta operação é li near porém os rendimentos são capitalizados segun do o critério de juros compostos ocorrendo ao longo dos meses juros sobre juros Para uma avaliação mais rigorosa do custo ou rentabilidade expressos em percentual mesmo para aquelas operações que referendam suas taxas em ju ros simples é sugerida a utilização do critério de juros compostos Tecnicamente mais correto por en volver a capitalização exponencial dos juros o regi 6 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto me composto é reconhecidamente adotado por todo o mercado financeiro e de capitais Uma observação mais detalhada ainda reve la que outros segmentos além do mercado financei ro também seguem as leis dos juros compostos tais como o estudo do crescimento demográfico do com portamento dos índices de preços da economia da evolução do faturamento e de outros indicadores em presariais de desempenho dos agregados macroeco nômicos da apropriação contábil de receitas e despe sas financeiras etc 1 7 Capitalização contínua e descontínua Pelo que foi apresentado podese compreender regime de capitalização como o processo em que os juros são formados e incorporados ao principal Podem ser identificadas duas abordagens de capi talização contínua e descontínua A capitalização contínua se processa em interva los de tempo bastante reduzidos caracteristicamen te em intervalo de tempo infinitesimal promovendo grande frequência de capitalização A capitalização contínua na prática pode ser entendida em todo flu xo monetário distribuído ao longo do tempo e não somente num único instante Por exemplo o fatura mento de um supermercado a formação do custo de fabricação no processamento fabril a formação de depreciação de um equipamento etc são capitaliza ções que se formam continuamente e não somente ao final de um único período mês ano O regime de capitalização contínua encontra di ficuldades em aplicações práticas sendo pouco uti lizado Na capitalização descontínua os juros são for mados somente ao final de cada período de capitali zação A caderneta de poupança que paga juros uni camente ao final do período a que se refere sua taxa de juros mês é um exemplo de capitalização des contínua Os rendimentos neste caso passam a ocor rer descontinuamente somente um único momento do prazo da taxa final do mês e não distribuida mente pelo mês De conformidade com o comportamento dos ju ros a capitalização descontínua pode ser identificada em juros simples e juros compostos cujos conceitos foram apresentados anteriormente A aplicação desse regime de capitalização é bas tante generalizada e totalmente adotada neste livro 18 Fórmulas de juros simples O valor dos juros é calculado a partir da seguinte expressão onde J valor dos juros expresso em unidades monetárias C capital É o valor em representativo de determinado momento taxa de juros expressa em sua forma unitária n prazo Esta fórmula é básica tanto para o cálculo dos ju ros como dos outros valores financeiros mediante simples dedução algébrica Exemplos 1 Um capital de 8000000 é aplicado à taxa de 25 ao mês durante um trimestre Pedese deter minar o valor dos juros acumulados neste perío do Solução c 8000000 i 25 ao mês 0025 n 3 meses J JCxixn J 8000000 X 0025 X 3 J 600000 2 Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6 ao mês durante nove meses Ao final deste período calculou em 27000000 o total dos juros incorridos na opera ção Determinar o valor do empréstimo Solução C i 6 ao mês 006 n 9 meses J 27000000 C J i x n c 27000000 27000000 006 X 9 054 50000000 3 Um capital de 4000000 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses produzindo um rendi mento financeiro de 968000 Pedese apurar a taxa de juros oferecida por esta operação Solução c 4000000 i n 11 meses J 968000 J l Cxn i 968000 4000000 X 11 968000 44000000 0022 ou 22 ao mês 4 Urna aplicação de 25000000 rendendo urna taxa de juros de 18 ao mês produz ao fi nal de determinado período juros no valor de 2700000 Calcular o prazo da aplicação Solução c 25000000 i 18 ao mês 0018 n J 2700000 J n C X i Conceitos Gerais e Juros Simples 7 2700000 n 25000000 X 0018 6 meses 1 9 Montante e capital 2700000 450000 Um determinado capital quando aplicado a urna taxa periódica de juro por determinado tempo pro duz um valor acumulado denominado de montante e identificado em juros simples por M Em outras pala vras o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros isto é No entanto sabese que JCxixn Substituindo esta expressão básica na fórmula do montante supra e colocandose C em evidência MCCxixn Evidentemente o valor de C desta fórmula pode ser obtido através de simples transformação algébri ca A expressão 1 i x n é definida como fator de capitalização ou de valor futuro FCS dos juros sim ples Ao multiplicar um capital por este fator corrige se o seu valor para urna data futura determinando o montante O inverso ou seja 11 i x n é deno minado de fator de atualização ou de valor presente FAS Ao se aplicar o fator sobre um valor expres so em urna data futura apurase o seu equivalente numa data atual Graficamente temse FCS Cn Ct X 1 i X n Ct Cn X 11 i X n y FAS 8 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Exemplos 1 Uma pessoa aplica 1800000 à taxa de 15 ao mês durante 8 meses Determinar o valor acumu lado ao final deste período Solução c 1800000 i 15 ao mês 0015 n 8 meses M M C 1 i X n M 1800000 1 0015 X 8 M 1800000 X 112 2016000 2 Uma dívida de 90000000 irá vencer em 4 me ses O credor está oferecendo um desconto de 7 ao mês caso o devedor deseje antecipar o paga mento para hoje Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida Solução M 90000000 n 4 meses i 7 ao mês 007 C M C Cl i x n C 90000000 90000000 1 007 X 4 128 70312500 110 Taxa proporcional e taxa equivalente Para se compreender mais claramente o significa do destas taxas devese reconhecer que toda opera ção envolve dois prazos 1 o prazo a que se refere a taxa de juros e 2 o prazo de capitalização ocor rência dos juros Ilustrativamente admita um empréstimo bancá rio a uma taxa custo nominal de 24 ao ano O prazo a que se refere especificamente a taxa de juros é anual A seguir devese identificar a periodicidade de ocorrência dos juros Ao se estabelecer que os en cargos incidirão sobre o principal somente ao final de cada ano os dois prazos considerados são coin cidentes O crédito direto do consumidor promovido pelas Financeiras é outro exemplo de operação com prazos iguais Caracteristicamente a taxa cobrada é defini da ao mês e os juros capitalizados também mensal mente Mas em inúmeras outras operações estes prazos não são coincidentes O juro pode ser capitalizado em prazo inferior ao da taxa devendose nesta situa ção ser definido como o prazo da taxa será rateado ao período de capitalização Por exemplo sabese que a Caderneta de Poupan ça paga aos seus depositantes uma taxa de juros de 6 ao ano a qual é agregada capitalizada ao prin cipal todo mês através de um percentual proporcio nal de 05 Temse aqui então dois prazos prazo da taxa ano e prazo de capitalização mês É necessário para o uso das fórmulas de matemá tica financeira conforme foi abordado anteriormen te expressar estes prazos diferentes na mesma base de tempo Ou transformase o prazo específico da taxa para o de capitalização ou de maneira inversa o período de capitalização passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de juros No regime de juros simples diante de sua pró pria natureza linear esta transformação é processada pela denominada taxa proporcional de juros também denominada de taxa linear ou nominal Esta taxa pro porcional é obtida da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros quantidade de períodos de capitalização Por exemplo para uma taxa de juros de 18 ao ano se a capitalização for definida mensalmente ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano o percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês será T 1 18 1 SOl A axa ProporciOna 70 ao mes 12 A aplicação de taxas proporcionais é muito difun dida principalmente em operações de curto e cur tíssimo prazo tais como cálculo de juros de mora descontos bancários créditos de curtíssimo prazo apuração de encargos sobre saldo devedor de conta corrente bancária etc As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital e pelo mes mo intervalo de tempo produzem o mesmo volume linear de juros Por exemplo em juros simples um capital de 50000000 se aplicado a 25 ao mês ou 15 ao se mestre pelo prazo de um ano produz o mesmo mon tante linear de juros Isto é J 25 am 50000000 x 0025 x 12 15000000 J 15 as 50000000 x 015 x 2 15000000 Os juros produzidos pelas duas taxas lineares de juros são iguais logo são definidas como equivalen tes No regime de juros simples taxas proporcionais nominais ou lineares e taxas equivalentes são Consi deradas a mesma coisa sendo indiferente a classifi cação de duas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes No exemplo ilustrativo acima observe que 25 am é equivalente a 15 as verificandose ainda uma proporção entre as taxas A taxa de 25 está relacionada ao período de um mês e a de 15 a seis meses Logo 25 6 15 Pelo Apêndice A A5 temse que as grandezas são proporcionais pois o produto dos meios é igual ao produto dos extremos isto é 6 X 25 15 1 X 15 15 Conceitos e aplicações práticas de taxas equiva lentes são bastante expandidas ao tratarse no capí tulo seguinte de juro composto Exemplos 1 Calcular a taxa anual proporcional a a 6 ao mês b 10 ao bimestre Solução a i 6 x 12 72 ao ano b i 10oo x 6 60oo ao ano 2 Calcular a taxa de juros semestral proporcional a a 60 ao ano b 9oo ao trimestre Solução Conforme foi demonstrado deve haver uma igual dade entre a proporção das taxas e entre os perío dos a que se referem Conceitos Gerais e Juros Simples 9 a 60 r x 6 30 as 12 pois 12 60 6 12 60 6 30 b 9 i x 6 18 as 3 ou i 9oo x 2 18oo as 3 Demonstre se 36 ao ano é proporcional a 12 ao trimestre Solução 12 36 3 12 Verificase pela igualdade que as taxas não são proporcionais pois o produto dos meios 3 x 36 é diferente do produto dos extremos 12 x 12 4 Calcular o montante de um capital de 60000000 aplicado à taxa de 23 ao mês pelo prazo de um ano e 5 meses Solução M c 60000000 n 1 ano e 5 meses 17 meses i 23 ao mês 0023 M C 1 i X n M 60000000 1 0023 X 17 83460000 5 Uma dívida de 3000000 a vencer dentro de um ano é saldada 3 meses antes Para a sua quita ção antecipada o credor concede um desconto de 15 ao ano Apurar o valor da dívida a ser pago antecipadamente Solução M 3000000 n 3 meses i 15 ao ano 15 I 12 125 ao mês c q 3000000 2891566 1 00125 X 3 10 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 111 Juro exato e juro comercial É comum nas operações de curto prazo onde pre dominam as aplicações com taxas referenciadas em juros simples terse o prazo definido em número de dias Nestes casos o número de dias pode ser calcu lado de duas maneiras a pelo tempo exato utilizandose efetivamente o calendário do ano civil 365 dias O juro apurado desta maneira denominase juro exa to b pelo ano comercial o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias Temse por este critério a apuração do denominado juro co mercial ou ordinário Por exemplo 12 ao ano equivale pelos critérios enunciados à taxa diária de a Juro Exato 12 0032877 ao dia 365 dias b Juro Comercial 12 O 033333 ao dia 360 dias Na ilustração o juro comercial diário é ligeira mente superior ao exato pelo menor número de dias considerado no intervalo de tempo 112 Equivalência financeira O problema da equivalência financeira constitui se no raciocínio básico da matemática financeira Conceitualmente dois ou mais capitais representa tivos de uma certa data dizemse equivalentes quan do a uma certa taxa de juros produzem resultados iguais numa data comum Por exemplo 12000 vencíveis daqui a um ano e 10000 hoje são equivalentes a uma taxa de juros simples de 20 uma vez que os 10000 capitaliza dos produziriam 12000 dentro de um ano ou os 12000 do final do primeiro ano resultariam em 10000 se atualizados para hoje Ou seja ambos os capitais produzem numa data de comparação data focal e a taxa de 20 ao ano resultados idênticos Graficamente M 10000 X 1 020 X 1 10000 12000 C 120001 02 X 1 Exemplo 1 Determinar se 43808000 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a se receber hoje 29600000 admitindo uma taxa de juros simples de 6 ao mês Solução Data focal 8 M 29600000 x 1 006 x 8 29600000 43808000 o 8 Data focal 0 C 438080001 006 x 8 Os capitais são equivalentes à taxa de 6 ao mês Portanto a esta taxa de juros é indiferente rece ber 29600000 hoje ou 43808000 daqui a 8 meses A equivalência de capitais pode então ser genera lizada a partir da seguinte representação gráfica 8 83 rr o 2 3 4 5 n Os capitais Al A2 e Bl B2 B3 dizemse equivalen tes se quando expressos em valores de uma data co mum data de comparação ou data focal e a mesma taxa de juros apresentam resultados iguais Sendo a data de comparação o momento O tem se At Az 1 i X 1 1 i X 2 81 8z B3 1 i X 3 1 i X 4 1 i X 5 Sendo o momento 6 escolhido como data focal temse A 11 i X 5 A21 i X 4 B11 i X 3 B21 i X 2 B31 i X 1 e assim por diante Na questão da equivalência financeira em juros simples é importante ressaltar que os prazos não po dem ser desmembrados fracionados sob pena de al terar os resultados Em outras palavras dois capitais equivalentes ao fracionar os seus prazos deixam de produzir o mesmo resultado na data focal pelo crité rio de juros simples Admita ilustrativamente que o montante no final de dQis anos de 10000 aplicados hoje à taxa de ju ros simples de 20 ao ano é igual a 14000 No en tanto este processo de capitalização linear não pode M1 10000 X 1 02 X 1 Conceitos Gerais e Juros Simples 11 ser fracionado de forma alguma Por exemplo apu rar inicialmente o montante ao final do primeiro ano e a partir daí chegar ao montante do segundo ano envolve a capitalização dos juros Guros sobre juros prática esta não adotada no regime de juros simples Graficamente temse M2 12000 X 1 02 X 1 10000 o 12000 14400 2 10000 14000 M2 10000 X 1 02 X 2 O fracionamento em juros simples leva a resulta dos discrepantes dado que C 1 02 X 2 F C 1 02 X 11 02 X 1 Como resultado das distorções produzidas pelo fracionamento do prazo a equivalência de capitais em juro simples é dependente da data de compara ção escolhida data focal Ilustrativamente admita que A deve a B os seguin tes pagamentos 5000000 de hoje a 4 meses 8000000 de hoje a 8 meses Suponha que A esteja avaliando um novo esquema de pagamento em substituição ao original A propos ta de A é a de pagar 1000000 hoje 3000000 de hoje a 6 meses e o restante ao final do ano Sabese que B exige uma taxa de juros simples de 20 ao mês Esta taxa é a que consegue obter normalmente em suas aplicações de capital Pedese apurar o saldo a ser pago O problema é mais facilmente visualizado no grá fico a seguir onde convencionouse representar a dí vida original na parte superior e a proposta alterna tiva de pagamento na parte inferior Esquema original 5000000 8000000 de pagamento o I 2 Esquema proposto 1000000 de pagamento A ilustração apresentada é de substituição de uma proposta de pagamentos por outra equivalente Para serem equivalentes os pagamentos devem produzir os mesmos resultados a uma determinada taxa de juros em qualquer data comum Admita inicialmente que a data focal selecionada é o momento hoje Assim ao igualar os pagamentos das propostas em valores representativos da data fo cal escolhida temse f4 Js 16 I 112 10 3000000 X DATA FOCAL O 5000000 8000000 1 0 02 X 4 1 0 02 X 8 1000000 3000000 X 1 002 X 6 1 002 X 12 4629630 6896550 X 1000000 2678570 1 24 12 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto X 11526180 3678570 1 24 X 78476 10 124 X 9731040 Suponha que B resolva definir no mês 12 a data focal para determinar o valor do saldo a ser pago Ex pressandose os pagamentos na data focal escolhida temse DATA FOCAL 12 5000000 1 002 X 8 8000000 1 002 X 4 1000000 1 002 X 12 3000000 1 002 X 6 X 14440000 4600000 X X 9840000 Como resultado verificase que o saldo a pagar alterase quando a data focal é modificada Esta ca racterística é típica de juros simples em juro com posto este comportamento não existe sendo expli cada pelo fato de não ser aceito o fracionamento dos prazos Na prática a definição da data focal em proble mas de substituição de pagamentos no regime de juros simples deve ser decidida naturalmente pelas partes não se verificando um posicionamento técni co definitivo da Matemática Financeira Exercícios resolvidos 1 Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira 1800000 resgatando 2145600 quatro me ses depois Calcular a taxa mensal de juros sim ples auferida nesta aplicação Solução c 1800000 M 2145600 n 4 meses M C 1 i X n 2145600 1800000 1 4i 2145600 1 4 l 1800000 1192 1 4i 4i 0192 o 192 r 0048 que representa 48 am 4 2 Se uma pessoa necessitar de 10000000 daqui a 10 meses quanto deverá ela depositar hoje num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 12 ao ano Solução M 10000000 n 10 meses 12 aa ou i 12 o IVo am 12 c c M 1 i x n c 10000000 10000000 1 ÜÜl X 10 110 9090909 3 Determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que um capital triplique de valor após 2 anos Solução c 1 M 3 n 24 meses ou 12 bimestres M C X 1 i X n M 1 rxn c 3 1 12i 12i 2 2 01666 ou 166666 ab 12 4 Um título com valor nominal de 720000 vence em 120 dias Para uma taxa de juros simples de 312 ao ano pedese calcular o valor deste títu lo a hoje b dois meses antes de seu vencimento c um mês após o seu vencimento Solução a c 720000 0 1 02 X 4 652174 b c 720000 2 1 Ü 2 X 2 684411 720000 1104 720000 1052 c C5 720000 1 o2 x 1 72ÜÜÜÜ X 1026 cs 738720 5 Uma pessoa deve dois títulos no valor de 2500000 e 5600000 cada O primeiro títu lo vence de hoje a 2 meses e o segundo um mês após O devedor deseja propor a substituição des tas duas obrigações por um único pagamento ao final do 5º mês Considerando 3oo ao mês a taxa corrente de juros simples determinar o valor des te pagamento único o Solução 2500000 5600000 l l 2 3 5 M Ms 2500000 X 1 003 X 3 5600000 X 1 003 X 2 MS 2725000 5936000 8661000 6 Uma pessoa tem os seguintes compromissos fi nanceiros 3500000 vencíveis no fim de 3 meses 6500000 vencíveis no fim de 5 meses Para o resgate dessas dívidas o devedor pretende utilizar suas reservas financeiras aplicandoas em uma conta de poupança que rende 66 ao ano de juros simples Pedese determinar o valor do capi tal que deve ser aplicado nesta poupança de for ma que possam ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de vencimentos sem deixar saldo final na conta Conceitos Gerais e Juros Simples 13 Solução 3500000 6500000 31 5 J Co i 66 aa 55 am 3500000 6500000 c O 1 ÜÜ55 X 3 1 ÜÜ55 X 5 co 3004292 5098039 8102331 A pessoa depositando hoje 8102331 numa poupança que paga 55 ao mês de juros sim ples terá condições com este capital aplicado de resgatar suas dívidas nas respectivas datas de ven cimento Logo ao capitalizar o capital aplicado para os mo mentos 3 e 5 o resultado registrado deve ser igual ao valor dos pagamentos isto é Momento 3 8102331 X 1 0055 X 3 9439216 Resgate Saldo 3500000 5939216 Momento 5 5939216 x 1 0055 x 2 6592530 Resgate Saldo 6500000 92530 O saldo remanescente de 92530 é devido à ca pitalização dos juros procedimento este incorreto no regime linear Foi demonstrado que em juros simples o prazo da operação não pode ser fracio nado originandose daí a diferença encontrada 7 Uma dívida no valor de 4800000 vence daqui a 6 meses O devedor pretende resgatar a dívida pagando 480000 hoje 1400000 de hoje a dois meses e o restante um mês após a data de vencimento Sendo o momento deste último pa gamento definido como a data focal da operação e sabendose ainda que é de 348 ao ano a taxa linear de juros adotada nesta operação determi nar o montante do pagamento 14 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Solução Dívida original lo Proposta de pagamento 480000 48ooooo x 1 o8 x 1 o 348 4800 00 X 1 X 7 o 348 14000 X 1 X 5 M 4939200 577440 1603000 M 4939200 2180440 M M 2758760 Exercícios propostos I 2 1400000 1 Calcular a taxa mensal proporcional de juros de a 144 ao ano b 68 ao quadrimestre c 114 ao semestre d 1104 ao ano e 5472 ao biênio 2 Calcular a taxa trimestral proporcional a juros de a 120 ao ano b 32 ao quadrimestre c 15 ao mês 3 Determinar a taxa de juros simples anual propor cional às seguintes taxas a 25 ao mês b 56 ao quadrimestre c 125 para 5 meses 4 Calcular o montante de 8500000 aplicado por a 7 meses à taxa linear de 25 ao mês b 9 meses à taxa linear de 116 ao semestre c 1 ano e 5 meses à taxa linear de 21 oo ao ano 4800000 1 6 71 Data M Focal 5 Determinar os juros e o montante de uma aplica ção de 30000000 por 19 meses à taxa linear de 42 ao ano 6 Calcular o valor do juro referente a uma aplica ção financeira de 750000 que rende 15 de taxa nominal ao ano pelo período de 2 anos e 3 meses 7 Qual o capital que produz 1800000 de juros simples à taxa de 3 ao mês pelo prazo de a 60 dias b 80 dias c 3 meses e 20 dias d 2 anos 4 meses e 14 dias 8 Uma pessoa aplicou 1200000 numa Institui ção Financeira resgatando após 7 meses o mon tante de 1300800 Qual a taxa de juros equi valente linear mensal que o aplicador recebeu 9 Uma nota promissória de valor nominal de 14000000 é resgatada dois meses antes de seu vencimento Qual o valor pago no resgate saben dose que a taxa de juros simples é de 19 ao mês 10 O montante de um capital de 660000 ao fi nal de 7 meses é determinado adicionandose 109032 de juros Calcular a taxa linear mensal e anual utilizada 11 Um empréstimo de 348000 foi resgatado 5 meses depois pelo valor de 394980 Calcular a taxa de juros simples em bases mensais e anuais desta operação 12 Se o valor atual de um título é igual a 45 de seu valor nominal e o prazo de aplicação for de 15 meses qual a taxa de juros simples considera da 13 Uma mercadoria é oferecida num magazine por 13000 a vista ou nas seguintes condições 20 de entrada e um pagamento de 10690 em 30 dias Calcular a taxa linear mensal de juros que está sendo cobrada 14 Em quanto tempo um capital de 400000 apli cado a 293 ao ano pelo regime linear renderá 194000 15 Em quanto tempo duplica um capital aplicado à taxa simples de 8 ao ano 16 Em quanto tempo triplica um capital que cresce à taxa de 21 ao semestre 17 O valor de resgate de um título é 140 maior que o valor da aplicação Sendo de 30 ao ano a taxa de juros simples pedese calcular o prazo da aplicação 18 Uma aplicação de 1500000 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros simples de 26 ao ano Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear de 18 ao ano para se ob ter o mesmo rendimento financeiro 19 Uma TV em cores é vendida nas seguintes condi ções preço a vista 180000 condições a prazo 30 de entrada e 130600 em 30 dias Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo 20 Um eletrodoméstico é vendido em três pagamen tos mensais e iguais O primeiro pagamento é efetuado no ato da compra e os demais são de vidos em 30 e 60 dias Sendo de 44 ao mês à taxa linear de juros pedese calcular até que va lor interessa adquirir o bem a vista 21 Uma dívida é composta de três pagamentos no valor de 280000 420000 e 700000 vencíveis em 60 90 e 150 dias respectivamen te Sabese ainda que a taxa de juros simples de mercado é de 45 ao mês Determinar o valor da dívida se o devedor liquidar os pagamentos a hoje b daqui a 7 meses 22 Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco 1800000 vencíveis em 37 dias 4200000 vencíveis em 83 dias 10000000 vencíveis em 114 dias Com problemas de caixa nestas datas deseja subs tituir este fluxo de pagamentos pelo seguinte es quema 2000000 em 60 dias Conceitos Gerais e Juros Simples 15 5000000 em 100 dias restante em 150 dias Sendo de 32 ao mês a taxa de juros simples adotada pelo banco nestas operações pedese calcular o valor do pagamento remanescente adotando como data focal o momento atual 23 Uma máquina calculadora está sendo vendida a prazo nas seguintes condições 12800 de entrada 19200 em 30 dias 19200 em 60 dias Sendo de 11 ao mês a taxa linear de juros pedese calcular até que preço é interessante comprar a máquina a vista 24 Uma pessoa tem uma dívida composta dos se guintes pagamentos 2200000 de hoje a 2 meses 5700000 de hoje a 5 meses 9000000 de hoje a 7 meses Deseja trocar estas obrigações equivalentemente por dois pagamentos iguais vencíveis o primeiro ao final do 6º mês e o segundo no 8º mês Sendo de 3 7 ao mês de juros simples calcular o valor destes pagamentos admitindose as seguintes da tas de comparação a hoje b no vencimento do primeiro pagamento pro posto c no vencimento do segundo pagamento pro posto 25 Um poupador com certo volume de capital deseja diversificar suas aplicações no mercado financei ro Para tanto aplica 60 do capital numa alter nativa de investimento que paga 342 ao ano de juros simples pelo prazo de 60 dias A outra parte é invertida numa conta de poupança por 30 dias sendo remunerada pela taxa linear de 3 1 ao mês O total dos rendimentos auferidos pelo aplicador atinge 156240 Pedese calcular o valor de todo o capital investido 26 Uma pessoa contrai um empréstimo de 7500000 à taxa linear de 33 ao mês Em de terminada data líquida este empréstimo pelo montante de 9232500 e contrai nova dívida no valor de 4000000 pagando uma taxa de ju ros simples mais baixa Este último empréstimo 16 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto é resgatado 10 meses depois pelo montante de 4960000 Pedese calcular a o prazo do primeiro empréstimo e o valor dos juros pagos b a taxa simples de juros mensal e anual cobra da no segundo empréstimo 27 Um empréstimo de 4200000 foi tomado por determinado prazo a uma taxa linear de 7 ao mês Em determinado momento o devedor resga ta este empréstimo e contrai outro no valor de 20000000 pagando 5 de juros simples ao mês por certo prazo Após dois anos de ter contraído o primeiro empréstimo o devedor liquida sua dí vida remanescente O total dos juros pagos nos dois empréstimos tomados atinge 18000000 Pedese calcular os prazos referentes a cada um dos empréstimos 28 O valor atual de um título equivale a 23 de seu valor nominal valor de resgate Para uma taxa de juro simples de 2 am calcular o tempo que resta até o vencimento do título 29 Um financiamento no valor de 60000 é conce dido para pagamento em 5 prestações mensais e iguais sendo cobrada uma taxa de juros simples de 22 am Determinar o valor de cada presta ção pelo critério de capitalização linear 30 Calcular a taxa de juro simples mensal em cada alternativa abaixo Admita um valor de aplicação de 30000 a o investidor apura um montante de 3130500 após 3 meses b os juros apurados totalizaram 361200 após 7 meses c o montante após 5 anos foi de 3280500 d os juros totais foram de 6 72000 após 1 ano e 8 meses Respostas 1 a 12 am b 17 am c 19 am d 92am e 228 am 2 a 30 at b 24 at c 45 at 3 a 30 aa b 168 aa c 30 aa 4 a 9987500 b 9979000 c 11028750 S M 49950000 J 19950000 6 253125 7 a 30000000 b 22500000 c 16363636 d 2107728 8 12 am 9 13487476 10 236 am e 2832 aa 11 2 7 am e 324 a a 12 16666 am 13 279 am 14 20 meses 1986 meses 15 125 anos 16 571428 meses 952 semestres 17 56 meses 18 3250000 19 365 am 20 Interessa adquirir o produto a vista por até 959 de seu valor isto é com um desconto de 41 21 a 1198353 b 1601600 22 9405423 23 50578 24 a 8809838 b 8863028 c 8849614 25 3352790 26 a 7 meses 1732500 b 24 am 288 aa 27 n1 85 meses n2 155 meses 28 25 meses 29 1278110 30 a b c d Conceitos Gerais e Juros Simples 17 145 am 172 am 187 am 112 am 2 Juros Compostos O regime de juros compostos considera que os ju ros formados em cada período são acrescidos ao capi tal formando o montante capital mais juros dope ríodo Este montante por sua vez passará a render juros no período seguinte formando um novo mon tante constituído do capital inicial dos juros acumu lados e dos juros sobre os juros formados em perío dos anteriores e assim por diante Este processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para os juros simples onde unica mente o capital rende juros não ocorrendo remune ração sobre os juros formados em períodos anterio res Tecnicamente o regime de juros compostos é su perior ao de juros simples principalmente pela pos sibilidade de fracionamento dos prazos conforme foi introduzido no capítulo anterior No critério compos to a equivalência entre capitais pode ser apurada em qualquer data retratando melhor a realidade das operações que o regime linear 21 Fórmulas de juros compostos No regime de juros compostos os juros são ca pitalizados produzindo juros sobre juros periodica mente Para melhor desenvolver este conceito e definir suas fórmulas de cálculo admita ilustrativamen te uma aplicação de 100000 a taxa composta de 10 ao mês Identificandose por PVo valor presente C capital e FV o valor futuro montante 1 têmse os seguintes resultados ao final de cada período Final do 12 mês o capital de 100000 pro duz juros de 10000 10 x 100000 e um montante de 110000 100000 10000 ou seja FV 100000 X 1 010 110000 Final do 22 mês o montante do mês anterior 110000 é o capital deste 22 mês servindo de base para o cálculo dos juros deste período Assim FV 100000 X 1 010 X 1 010 FV 100000 X 1 0102 121000 1 Para melhor adequar as formulações da Matemática Fi nanceira com o uso de Calculadoras Financeiras a simbo logia adotada em juros compostos e nas várias aplicações a serem expostas em capítulos posteriores acompanha as identificações das teclas utilizadas por estas calculadoras O montante do 2º mês pode ser assim decom posto 100000 10000 capital aplicado juros referentes ao 1 º mês 10 X 100000 10000 juros referentes ao 2º mês 10 X 100000 1000 juros sobre os juros produzidos no 1º mês 10 x 10000 Final do 3º mês dando sequência ao raciocí nio de juros compostos FV 100000 X 1 010 X 1 010 X 1 010 FV 100000 X 1 0103 133100 Final do enésimo mês aplicandose a evolu ção dos juros compostos exposta para cada um dos meses o montante valor futuro acumu lado ao final do período atinge FV 100000 X 1 010 X 1 010 X 1 010 1 010 FV 100000 X 1 010n Generalizandose e onde 1 in é o fator de capitalização ou de valor futuro FCC i n a juros compostos e 11 in o fator de atualização ou de valor presente FAC i n a juros compostos A movimentação de um capital ao longo de uma escala de tempo em juros compostos se processa me diante a aplicação destes fatores conforme pode ser visualizado na ilustração a seguir FV PV x FCC i n PV FV 11i n escala de tempo PV FV PV FV X FAC i n Por outro lado sabese que o valor monetário dos juros J é apurado pela diferença entre o montante FV e o capital PV podendose obter o seu resulta do também pela seguinte expressão J FVPV Como Juros Compostos 19 FV PV 1 in Colocandose PV em evidência Exemplos 1 Se uma pessoa deseja obter 2750000 dentro de um ano quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 17 de juros compostos ao mês Solução FV 2750000 n 1 ano 12 meses 17 am PV PV FV 1 in PV 2750000 2750000 1 001712 101712 PV 2750000 22463 70 1224197 De fato uma aplicação de 2246370 hoje a 17 am de juros compostos produz ao final de um ano o montante de 2750000 ou seja FV 2246370 X 1017 12 2750000 Considerandose ainda a taxa composta de 17 am pelo conceito de valor presente PV é indi ferente a essa pessoa receber 2246370 valor presente hoje ou esse valor capitalizado ao final de 12 meses Efetivamente esses valores mesmo distribuídos em diferentes datas são equivalentes para uma mesma taxa de juros de 17 am 2 Qual o valor de resgate de uma aplicação de 1200000 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 35 am Solução PV 1200000 n 8 meses 35 am FV FV PV 1 in FV 1200000 X 1 00358 FV 1200000 X 1316809 1580171 20 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 3 Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de 4000000 que produz um montante de 4389463 ao final de um quadri mestre Solução PV 4000000 FV 4389463 n 4 meses FV PV 1 in 4389463 1 i4 4000000 1097366 1 i4 1097366 1 i4 ver Apêndice B 1 i 10235 i 00235 ou 235 am 4 Uma aplicação de 2200000 efetuada em certa data produz à taxa composta de juros de 24 ao mês um montante de 2659640 em certa data futura Calcular o prazo da operação Solução PV 2200000 FV 2659640 24am n FV PV 1 in FV 1 in PV 2659640 1024n 2200000 1208927 1024n o Aplicandose logaritmos ver Apêndice B tem se log 1208927 n x log 1024 n log 1208927 0082400 8 meses log 1024 0010300 5 Determinar o juro pago de um empréstimo de 8800000 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 45 ao mês Solução J PV 8800000 n 5 meses 45am J PV 1 in 1 J 8800000 10455 1 J 8800000 0246182 2166402 211 Extensões ao uso das fórmulas Deve ser acrescentado ao estudo de juros compos tos que o valor presente capital não se refere neces sariamente a um valor expresso no momento zero Em verdade o valor presente pode ser apurado em qualquer data focal anterior à do valor futuro mon tante Por exemplo podese desejar calcular quanto será pago por um empréstimo de 2000000 ven cível de hoje a 14 meses ao se antecipar por 5 me ses a data de seu pagamento Sabese que o credor está disposto a atualizar a dívida à taxa composta de 25 ao mês O problema envolve basicamente o cálculo do va lor presente ou seja um valor atualizado a uma data anterior à do montante mês 9 Logo PV 2000000 2000000 17677 10 1 o 0255 1 0255 Graficamente temse a seguinte representação do problema PV 1767710 FV 2000000 9 14 meses Antecipação É importante ressaltar que as expressões de cálcu los de PV e FV permitem capitalizações e atualizações envolvendo diversos valores e não somente um único capital ou montante Por exemplo admita um empréstimo que envol ve os seguintes pagamentos 1500000 de hoje a 2 meses 4000000 de hoje a 5 meses 5000000 de hoje a 6 meses e 7000000 de hoje a 8 meses O devedor deseja apurar o valor presente na data zero destes fluxos de pagamento pois está nego ciando com o banco a liquidação imediata de toda a sua dívida A taxa de juros considerada nesta anteci pação é de 3 ao mês Solução Representação gráfica da dívida PV 1500000 4000000 5000000 7000000 o 2 5 6 8 Utilizandose a fórmula de valor presente Pv 1500000 4000000 5000000 1 032 1 035 1 036 7000000 1038 Juros Compostos 21 PV 1413894 3450435 4187421 5525865 PV 14577615 22 Taxas equivalentes Ao se tratar de juros simples foi comentado que a taxa equivalente é a própria taxa proporcional da operação Por exemplo a taxa de 3 ao mês e 9oo ao trimestre são ditas proporcionais pois mantêm a se guinte relação 1 3 3 9 Prazos Taxas São também equivalentes pois promovem a igual dade dos montantes de um mesmo capital ao final de certo período de tempo Por exemplo em juros simples um capital de 8000000 produz o mesmo montante em qualquer data se capitalizado a 3 am e 9 at n 3 meses FV3 am 800 0000 1 O 03 x FV9 at 8000000 1 009 x 3 8720000 1 8720000 FV3 am 8000000 1 003 x 12 10880000 n 12 meses FV9 at 8000000 1 009 x 4 10880000 e assim por diante O conceito enunciado de taxa equivalente per manece válido para o regime de juros compostos di ferenciandose no entanto a fórmula de cálculo da taxa de juros Por se tratar de capitalização exponen cial a expressão da taxa equivalente composta é a média geométrica da taxa de juros do período intei ro isto é onde q número de períodos de capitalização Por exemplo a taxa equivalente composta mensal de 103826 ao semestre é de 166 ou seja i6 1 0103826 1 i6 1103826 1 10166 1 00166 ou 166 am Assim para um mesmo capital e prazo de apli cação é indiferente equivalente o rendimento de 166 ao mês ou 103826 ao semestre Ilustrativa mente um capital de 10000000 aplicado por dois anos produz Para i 166 e n 24 meses FV 10000000 10166 24 14845763 Para i 103826 e n 4 semestres FV 10000000 1103826 4 14845763 22 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Outra ilustração visa facilitar o melhor entendi mento do conceito e cálculo de taxa equivalente de juros no regime exponencial Um certo banco divulga que a rentabilidade ofere cida por uma aplicação financeira é de 12 ao semes tre ou 2 ao mês Desta maneira uma aplicação de 1000000 produz ao final de 6 meses o montante de 1120000 1000000 x 112 Efetivamen te os 12 constituemse na taxa de rentabilidade da operação para o período inteiro de um semestre e em bases mensais esse percentual deve ser expresso em termos de taxa equivalente composta Assim os 12 de rendimentos do semestre deter minam uma rentabilidade efetiva mensal de 191 e não de 2 conforme foi anunciado De outra maneira i6 112 1 191 ao mês Naturalmente ao se aplicar 1000000 por 6 meses a uma taxa composta de 191 ao mês chega se ao montante de 1120000 FV 1000000 10191 6 1120000 Verificase então que o processo de descapitali zação da taxa de juro no regime composto processa se pela apuração de sua média geométrica ou seja da taxa equivalente Neste caso o percentual de juro considerado representa a taxa efetiva de juro da ope ração Exemplos 1 Quais as taxas de juros compostos mensal e tri mestral equivalentes a 25 ao ano Solução a Taxa de juros equivalente mensal 25 aa q 1 ano 12 meses i12 11 025 1 1125 1 1877 am b Taxa de juros equivalente trimestral q 1 ano 4 trimestres 1 025 1 125 1 5737 at 2 Explicar a melhor opção aplicar um capital de 6000000 à taxa de juros compostos de 99 ao semestre ou à taxa de 2078 ao ano Solução Para a identificação da melhor opção apurase o montante para as duas taxas e para um mesmo período Por exemplo n 1 ano FV 99 as 6000000 1 0099 2 7246800 FV 2078 aa 6000000 1 02078 1 7246800 Produzindo resultados iguais para um mesmo pe ríodo dizse que as taxas são equivalentes É in diferente para um mesmo prazo e para o regi me de juros compostos aplicar a 99 as ou a 2078 aa 3 Demonstrar se a taxa de juros de 118387 ao trimestre é equivalente à taxa de 204999 para cinco meses Calcular também a equivalente men sal composta dessas taxas Solução Uma maneira simples de identificar a equivalên cia de taxas de juros é apurar o MMC de seus pra zos e capitalizálas para este momento Se os resultados forem iguais na data definida pelo MMC dizse que as taxas são equivalentes pois produzem para um mesmo capital montan tes idênticos Sabendose que o MMC dos prazos das taxas é de 15 meses 3 meses e 5 meses temse 1 0118387 5 1 749688 para 15 meses 1 02049993 1 749688 para 15 meses As taxas de 118387 at e 204999 para 5 me ses são equivalentes compostas pois quando ca pitalizadas para um mesmo momento produzem resultados iguais Taxa Equivalente Mensal descapitalização iq 1 0118387 1 38 am iq 1 0204999 1 38 am Por serem equivalentes a taxa mensal é igual 4 a Uma aplicação financeira rendeu 1135 em 365 dias Determinar a taxa equivalente de re torno para 360 dias I Solução 3M iq 365jl 01135 1 1 360 ii 1 135365 1 360 iq 11135365 1 11186 p 360 dias b Calcular a taxa de juro que equivale em 44 dias a uma taxa anual de 112 Solução l44 dias 361112 44 1 44 i44 dias 1112360 1 1306 p 44 dias S Uma mercadoria pode ser adquirida com descon to de 7 sobre o seu preço a prazo Calcular a taxa efetiva mensal de juros que é cobrada na venda a prazo admitindo um prazo de pagamen to de a 30 dias b 40 dias Solução a n 30 dias 100 100 7 X 1 i 1 i 100 93 i 10753 i 00753 753 am b n 40 dias 100 100 7 X 1 i 1 i 100 93 i 00753 753 p 40 dias i 107533040 1 i 559 am 23 Taxa nominal e taxa efetiva A taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo n sendo formada exponencial Juros Compostos 23 mente através dos períodos de capitalização Ou seja taxa efetiva é o processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização É obtida pela seguinte expressão onde q representa o número de períodos de capitali zação dos juros Por exemplo uma taxa de 38 ao mês determi na um montante efetivo de juros de 5645 ao ano ou seja if 1 0038 12 1 5644 aa Quando se diz por outro lado que uma taxa de juros é nominal geralmente é admitido que o prazo de capitalização dos juros ou seja período de for mação e incorporação dos juros ao principal não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros Por exemplo seja a taxa nominal de juros de 36 ao ano capitalizada mensalmente Os prazos não são coincidentes O prazo de capitalização é de um mês e o prazo a que se refere a taxa de juros igual a um ano 12 meses Assim 36 ao ano representa uma taxa nominal de juros expressa para um período inteiro a qual deve ser atribuída ao período de capitalização Quando se trata de taxa nominal é comum admi tirse que a capitalização ocorre por juros proporcio nais simples Assim no exemplo a taxa por período de capitalização é de 3612 3 ao mês taxa proporcional ou linear Ao se capitalizar esta taxa nominal apurase uma taxa efetiva de juros superior àquela declarada para a operação Baseandose nos dados do exemplo ilus trativo acima temse Taxa nominal da operação para o período 36 ao ano Taxa proporcional simples taxa definida para o período de capitalização 3 ao mês 036 12 Taxa efetiva de juros if 1 t 1 426 ao ano Observe que a taxa nominal não revela a efetiva taxa de juros de uma operação Ao dizer que os juros anuais são de 36 mas capitalizados mensalmente apurase que a efetiva taxa de juros atinge 426 ao ano 24 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Para que 36 ao ano fosse considerada a taxa efe tiva a formação mensal dos juros deveria ser feita a partir da taxa equivalente composta ou seja Taxa Equivalente qr 1 1 Mensal de 36 a a lq 1 l 2 11 036 1 1136 1 26 am Ao se capitalizar exponencialmente esta taxa de juros equivalente mensal chegase evidentemente aos 36 ao ano Taxa Efetiva Anual if 1 002612 i1 102612 1 36 ao ano Convencionase neste livro que quando houver mais de um período de capitalização e não houver uma menção explícita de que se trata de uma taxa efetiva a atribuição dos juros a estes períodos deve ser processada através da taxa proporcional Por ou tro lado quando os prazos forem coincidentes prazo da taxa e o de formação dos juros a representação da taxa de juros é abreviada Por exemplo a expres são única 10 aa indica que os juros são também capitalizados em termos anuais Muitas vezes ainda o mercado define para uma mesma operação expressões diferentes de juros em termos de sua forma de capitalização Por exemplo o custo efetivo de 42 ao mês cobrado por um ban co pode ser equivalentemente definido em 412 ao mês para o mesmo período ou seja 31042 1 0137234 ao dia X 30 412 ao mês A taxa de 412 am é nominal linear e equiva lente a efetiva de 42 am Os exemplos desenvolvidos a seguir visam promo ver um melhor entendimento do conceito e cálculo das taxas nominais e efetivas de juros Exemplos 1 Um empréstimo no valor de 1100000 é efe tuado pelo prazo de um ano à taxa nominal li near de juros de 32 ao ano capitalizados tri mestralmente Pedese determinar o montante e o custo efetivo do empréstimo Solução Admitindo de acordo com a convenção adotada que a taxa de juros pelo período de capitalização seja a proporcional simples temse Taxa nominal linear Descapitalização proporcional Montante do empréstimo FV PV X 1 i4 i 32 aa i 324 8 at FV 1100000 X 1084 FV 1496540 Taxa Efetiva if 1 0084 1 if 108 4 1 i1 360 aa 2 A Caderneta de Poupança paga juros anuais de 6 com capitalização mensal à base de 05 Calcular a rentabilidade efetiva desta aplicação fi nanceira Solução Taxa Efetiva i1 1 r 1 if 1 000512 1 617 aa 3 Sendo de 24 a a a taxa nominal de juros cobra da por uma instituição calcular o custo efetivo anual admitindo que o período de capitalização dos juros seja a mensal b trimestral c semestral Solução a Custo efetivo i1 o 24 12 1 tz 1 2682 aa b Custo efetivo i1 o 24 4 1 1 2625 a a c Custo efetivo if o 24 2 1 1 2544 aa 4 Urna aplicação financeira promete pagar 42oo ao ano de juros Sendo de um mês o prazo da aplica ção pedese determinar a sua rentabilidade efeti va considerando os juros de 42oo a a como a Taxa Efetiva b Taxa Nominal Solução a Taxa Efetiva A rentabilidade mensal é a taxa equivalente composta de 42oo aa iq 11 042 1 iq 1142 1 2 97oo am Capitalizandose exponencialmente os juros de 297 ao mês chegase evidentemente à taxa efetiva anual de 42oo isto é 1 00297 12 1 42oo ao ano b Taxa Nominal A rentabilidade mensal de 42oo aa é definida pela taxa proporcional simples isto é 42oo l 35oo am 12 Banco A Conversão em taxa nominal Juros Compostos 25 Ao se capitalizar exponencialmente esta taxa para o prazo de um ano chegase a um resul tado efetivo superior à taxa nominal dada de 42oo aa if 1 0035 12 1 511 oo aa Logo 511 é a taxa efetiva anual da opera ção sendo de 42oo a taxa declarada nomi nal 231 Conversão de taxa efetiva em nominal Muitas vezes o mercado financeiro define para uma mesma operação expressões diferentes de juros em termos de sua forma de capitalização Por exem plo uma linha de crédito de cheque especial costuma ser definida na prática tanto por taxa efetiva como por taxa nominal linear Nestas condições para a comparabilidade dos custos é essencial que se refe rendem as taxas segundo um mesmo critério de apu ração dos juros Ilustrativamente admita que o custo do crédito pessoal do banco A corresponda a uma taxa efetiva de 42oo ao mês Por outro lado o banco B diz que está cobrando uma taxa nominal de somente 4 12oo ao mês 30 dias corridos Os juros da operação são calculados diariamente sobre o saldo devedor da conta corrente Em verdade os custos das instituições são equi valentes produzindo a mesma taxa efetiva ou seja 42oo am Taxa efetiva 31 0042 1 0137234 ao dia x 30 4 12oo am Banco B Conversão em taxa efetiva 412 0137333 ao dia 30 1 00013733330 1 Taxa nominal Outro exemplo ilustrativo visa melhor compreen der o processo de conversão das taxas de juros Transformar a taxa efetiva de 48oo ao ano em taxa nominal com capitalização mensal 42oo am 412 am Solução 11 048 1 33210 am X 12 39852 aa 26 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 232 Taxa efetiva e número de períodos de capitalização À medida que o número de períodos de capitali zação de uma taxa nominal de juros aumenta a taxa efetiva também se eleva Em outras palavras quanto maior a frequência de capitalização de uma mesma taxa nominal mais alto é o rendimento acumulado Para ilustrar admita uma taxa nominal de 18 ao ano A tabela a seguir apresenta a taxa efetiva anual para diferentes períodos de capitalização Observe que a taxa efetiva anual cresce conforme aumenta o número de períodos de incidência dos ju ros produzindo um valor futuro maior Para uma mesma taxa nominal podese con cluir que maior número de períodos de capitalização são mais interessantes aos aplicadores de recursos pois produzem maior rendimento acumulado efeti vo Para os tomadores de empréstimos ao contrário uma maior frequência na capitalização dos juros ele va o custo efetivo da operação 24 Fracionamento do prazo e equivalência financeira em juros compostos Muitos conceitos desenvolvidos para juros sim ples permanecem válidos em juros compostos alte randose unicamente suas expressões de cálculo Por exemplo apuração do valor presente e valor futuro Outros enunciados no entanto apesar de mante rem a mesma linha de raciocínio assumem algumas propriedades diferenciadoras no regime composto necessitando de um tratamento específico Assim podem ser considerados os aspectos referentes ao fracionamento dos prazos de juros e à formulação da equivalência financeira Ao contrário do que ocorre em juros simples o prazo de uma operação pode ser fracionado des membrado no regime de juros compostos sem que isso leve a alterar os resultados de valor presente e valor futuro calculados Basicamente esta propriedade pode ser explica da pelo produto de potências conforme exposto no Apêndice B Sendo n n1 n2 temse ou FV PV 1 in1 x 1 in2 PV X 1 in1 n2 PV x 1 in O prazo do expoente do prazo n pode ser fracio nado de forma que a soma dos subperíodos seja igual ao período inteiro Por exemplo calcular o montante de um capital de 3000000 aplicado a 14 ao ano pelo prazo de um ano tendo os seguintes períodos de capitali zação n 12 meses FV 3000000 x 114 3420000 n 6 meses FV 3000000 x 114112 x 1 14 112 3420000 n 4 meses FV 3000000 x 114 113 x 114 113 X 114 113 3420000 e assim por diante Para cada período de capitalização podese tam bém utilizar a respectiva taxa equivalente composta ao invés de se trabalhar com expoentes fracionários isto é n 12 meses i 14 aa FV 3000000 X 114 3420000 n 6 meses iq 114 1 677 as FV 3000000 X 106772 3420000 n 4 meses i 114 1 446 aq q FV 3000000 X 104463 3420000 Sabese que a equivalência financeira se verifica quando dois ou mais capitais produzem o mesmo re sultado se expressos em certa data comum de compa ração a uma mesma taxa de juros Em juros compostos ao contrário do verificado no regime linear a equivalência de capitais pode ser de finida para qualquer data focal A capacidade de des I membramento do prazo descrita há pouco determina que a equivalência independe da data de compara ção escolhida Ilustrativamente admita o mesmo exemplo desen volvido no item 111 do capítulo anterior e descrito no gráfico abaixo A taxa de juros considerada é de 2 am Pagamento original Proposta de pagamento Jo 1000000 5000000 1 4 8000000 1 8 3000000 12 meses X A situação trata em essência da substituição de um conjunto de compromissos financeiros por outro equivalente devendose determinar o valor do paga mento no mês 12 Este pagamento deve ser tal que o valor da proposta expressa em certa data focal seja exatamente igual ao valor do plano original expresso no mesmo momento Admitindose que a data de comparação escolhi da seja o momento atual data zero temse DATA FOCAL O 5000000 8000000 1000000 1 o 024 1 o 028 3000000 X 1 o 026 1 o 0212 4619227 6827923 1000000 X 2663914 12682 11447150 3663914 07885 X 07885 X 7783236 X 9871025 Definindose no mês 12 outra data focal para o cálculo do pagamento DATA FOCAL 12 5000000 X 1 0028 8000000 X 1 0024 1000000 X 1 002 12 3000000 X 1 002 6 X 5858297 8659457 1268242 3378487 X 14517754 4646729 X X 9871025 O saldo a pagar não se altera com a data focal Em juros compostos a equivalência financeira independe do momento tomado como comparação Juros Compostos 27 Exemplos 1 Uma empresa deve 18000000 a um banco sen do o vencimento definido em 3 meses contados de hoje Prevendo dificuldades de caixa no perío do a empresa negocia com o banco a substitui ção deste compromisso por dois outros de valores iguais nos meses 5 e 6 contados de hoje Sendo de 36 ao mês a taxa de juros pedese calcular o valor dos pagamentos propostos sendo a data focal a hoje b de hoje a 3 meses c de hoje a 5 meses Solução Graficamente Dívida 18000000 atual 1 sl 61 Dívida 3 proposta p p a DATA FOCAL hoje 18000000 p p 1 0362 1 0365 1 0366 16188000 0837917 X P 0808801 X P 16188000 1646718 X P p 16188000 9830464 1646718 b DATA FOCAL no 3º mês p p 180000 00 10362 10363 18000000 0931709 X P 0899333 X p 1831042 X P 18000000 p 18000000 98304 64 1831042 c DATA FOCAL no 5º mês p 18000000 X 10362 P 1036 19319330 P 0965251 X P 1965251 X P 19319330 p 19319330 9830464 1965251 28 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 2 Um título vence daqui a 4 meses apresentando um valor nominal resgate de 40716490 É proposta a troca deste título por outro de valor nominal de 48000000 vencível daqui a 8 me ses Sendo de 5 ao mês a rentabilidade exigida pelo aplicador pedese avaliar se a troca é vanta josa Solução o Graficamente a operação é representada 40716490 48000000 4 8 Com o intuito de promover um entendimento mais profundo de equivalência este problema será solucionado de diferentes maneiras Rentabilidade Inicialmente calculase a rentabilidade esperada da proposta comparandoa com a taxa mínima exigida pelo aplicador Se a taxa calculada superar o percentual mínimo exigido a proposta é classificada como atraente Em caso contrário a decisão é de rejeição PV 40716490 FV 48000000 n 4 meses FV PV 1 On 48000000 40716490 1 04 48000000 1 04 40716490 1178884 1 04 t1 178884 1 04 1042 1 i i 0042 ou 42 am A proposta não é vantajosa pois oferece uma ren tabilidade 42 am inferior à taxa mínima exi gida pelo aplicador 5 am Valor Presente Uma maneira simples de resolver o problema é calcular o valor presente do título que vence em 8 meses no momento do vencimento do outro título à taxa de atratividade do investidor isto é o 40716490 4 48000000 8 n 4 meses PV 480000 OO 394897 20 1054 Verificase que o PV é menor que os 40716490 do título proposto indicando que a rentabilidade oferecida no intervalo de tempo n 4 a n 8 é inferior a 5 ao mês taxa exigida pelo investi dor Portanto o critério do PV valor presente ratifica o desinteresse pela substituição dos títu los O valor presente também poderia ser calculado na data focal zero ou em qualquer outra data de comparação mantendose as mesmas conclu sões a respeito da desvantagem na troca É suge rido ao leitor que faça a comparação em outras datas focais 25 Convenção linear e convenção exponencial para períodos não inteiros Em algumas operações financeiras o prazo não é um número inteiro em relação ao prazo definido para a taxa Por exemplo taxa de juros de 18 ao ano e prazo da operação de 1 ano e 7 meses Sendo anual o períoao de capitalização dos juros o prazo inteiro é 1 ano e o fracionário 7 meses Ao se adotar rigorosamente o conceito de capita lização descontínua conforme definida no capítulo anterior item 1 7 não poderia haver a incôrrência de juros no intervalo de tempo fracionário somente ao final de um período completo Como na prática é muito raro a não formação dos juros e incorporação ao principal em intervalos de tempo inferiores a um período inteiro passase a adotar duas convenções para solucionar estes casos linear e exponencial 251 Convenção linear A convenção linear admite a formação de juros compostos para a parte inteira do prazo e de juros simples para a parte fracionária Esta convenção é em essência uma mistura do regime composto e li near adotando fórmulas de juros compostos na parte inteira do período e uma formação de juros simples na parte fracionária A expressão de cálculo do montante na conven ção linear é a seguinte sendo mk parte fracionária do prazo Por exemplo seja o capital de 10000000 em prestado à taxa de 18 ao ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses Calcular o montante deste empréstimo pela convenção linear Solução PV 10000000 n inteiro 4 anos mf 9 racwnano c 12 FV FV 18 ao ano 1 PV x 1 in X 1 i X FV 10000000 X 1 0 184 X 1 018 X J FV 10000000 X 1938778 X 1135 FV 22005130 Deve ser registrado que o uso deste critério de formação dos juros na prática é bastante reduzido A ampla maioria das operações financeiras adota a convenção exponencial para todo o intervalo de tem po 252 Convenção exponencial A convenção exponencial adota o mesmo regime de capitalização para todo o período Ou seja utili za capitalização composta tanto para a parte inteira como para a fracionária Esta convenção é mais generalizadamente usa da na prática sendo considerada tecnicamente mais correta por empregar somente juros compostos e ta xas equivalentes para os períodos não inteiros Juros Compostos 29 A expressão básica de cálculo é a seguinte Utilizandose os dados do exemplo anterior calcu lase o montante FV 10000000 X 1 0184 912 FV 10000000 X 1184 075 FV 10000000 X 118475 21950250 O procedimento é o mesmo ao se determinar a taxa equivalente mensal de 18 ao anoe capitalizá la para os 57 meses C 4 anos e 9 meses i 18 aa iq 1 18 1 1388843 am FV 10000000 X 1 001388843 57 21950250 Observe que existe uma diferença entre os mon tantes apurados FV Conv Linear FV Conv Exponencial Diferença 22005130 21950250 54880 Isto se deve conforme foi explicado à formação de juros simples no prazo fracionário da convenção linear Apesar de não parecer grande apenas 54880 ou 025 em relação ao montante apurado na con venção exponencial em outras situações principal mente de maiores expressões numéricas a diferença pode ser relevante Exemplo 1 Uma pessoa aplicou um capital pelo prazo de 2 anos e 5 meses à taxa de 18 ao ano Determinar o valor da aplicação sabendose que o montante produzido ao final do período atinge 2480000 Resolver o problema utilizando as convenções li near e exponencial Solução FV 2480000 n 2 anos e 5 meses 18 ao ano 30 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Convenção Linear FV PV 1 in X 1 i X 2480ooo PV x 1182 x 1 018 x 1 5J 2480000 PV X 13924 X 1075 PV 2480000 2480000 13924 X 1075 1496830 1656835 Convenção Exponencial FV PV x 1 in mK 2480000 PV x 1182 512 2480000 PV x 11824166 PV 2480000 16624 OS 1 1824166 26 Introdução à taxa interna de retorno O conceito de taxa interna de retorno represen tada por IRR apresenta inúmeras aplicações práti cas constituindose num dos mais importantes ins trumentos de avaliação da matemática financeira É relevante notar que a IRR é utilizada não somente para calcular a taxa de retorno rentabilidade de uma aplicação como também para determinar o cus to de um empréstimofinanciamento Por este uso mais amplo talvez fosse melhor denominála de taxa interna de juros em vez de retorno Conceitualmente a taxa interna de retorno é a taxa de juros que iguala numa única data os flu xos de entrada e saída de caixa produzidos por uma operação financeira aplicação ou captação Em ou tras palavras é a taxa de juros que se utilizada para descontar um fluxo de caixa produz um resultado nulo Na formulação de juros compostos apresenta da a taxa interna de retorno é o i da expressão de cálculo Por exemplo admita uma aplicação de 36000000 que produz montante de 38768060 ao final de 3 meses A taxa de juros que iguala a entrada de caixa resgate da aplicação no mês 3 com a saída de caixa aplicação financeira de 36000000 na data zero constituise efetivamente na IRR da ope ração ou seja em sua rentabilidade Graficamente FV 38768060 I 3 meses n PV 36000000 Sendo FV PV 1 in temse 38768060 36000000 X 1 i3 38768060 1 i3 36000000 1076891 1 i 3 1 i3 1076891 1 i 1025 i 25 am Observe que pela equivalência de capitais em ju ros compostos a taxa de 25 iguala o fluxo de cai xa em qualquer data focal Por conveniência é que se adota na maioria das vezes a data zero como a de comparação dos valores Logo 25 é a taxa inter na de retorno da aplicação realizada pois iguala em qualquer momento do horizonte de tempo o capital de 36000000 com o montante de 38768060 produzido após três meses O Capítulo 10 dedicase mais pormenorizada mente ao estudo do método da taxa interna de retor no e de suas aplicações na matemática financeira e análise de investimentos Exemplo 1 Para um empréstimo de 1150000 um banco exige o pagamento de duas prestações mensais e consecutivas de 600000 cada Determinar o custo mensal da operação Solução 1150000 I 11 600000 2 meses 600000 O custo do empréstimo é a taxa de juros que igua la numa mesma data os valores do fluxo de cai xa Para uma data focal zero 1150000 600000 600000 1 i 1 02 Com o auxílio de uma calculadora financeira che gase a um custo de i 2885 ao mês que representa a taxa interna de retorno da operação Corroborando ao se calcular o PV dos pagamen tos mensais a 2885 am apurase um resulta do exatamente igual a 1150000 anulando o fluxo de caixa PV 600000 600000 11500 OO l 1 02885 1 028852 PV 583175 566825 1150000 PV 1150000 1150000 O 2 Um imóvel no valor de 470000 é vendido nas seguintes condições Entrada de 190000 2 parcelas mensais iguais e sucessivas de 96000 1 parcela ao final do 5º mês de 180000 Determinar a taxa de juros ao mês embutida no financiamento do imóvel Solução Representação da venda do imóvel no fluxo de caixa Entrada 96000 96000 190000 I I 2 3 470000 180000 I I 4 5 meses A taxa de juro embutida no financiamento taxa interna de retorno do fluxo de caixa é a taxa de desconto que iguala o valor presente dos paga mentos ao valor do imóvel no momento zero As sim 470000 190000 96000 96000 180000 1 i 1 02 1 i5 Calculando com o auxílio de uma calculadora fi nanceira temse Taxa Interna de Retorno i 9 78 am Juros Compostos 31 Esta é a taxa de juro mensal cobrado no financia mento do imóvel Observe que o valor presente dos pagamentos pela taxa de retorno calculada é igual ao valor líquido do financiamento ou seja 470000 190000 96000 96000 180000 1 0978 1 09782 1 09785 280000 280000 2 7 Capitalização contínua O capítulo tratou das taxas de juros ocorrendo de forma finita e discreta ao final de cada período conforme é mais usual nas operações que envolvem matemática financeira Foram apresentadas diversas situações em que os juros são capitalizados por cada período com frequência cada vez maior como anual semestral trimestral mensal diária etc Nesta sequência podese ainda prever uma forma de capitalização infinitamente grande que ocorre a cada instante infinitesimal conhecida por capitali zação contínua A formulação da capitalização con tínua apresentase da forma seguinte onde e número constante base dos logaritmos ne perianos e 27182818284 I taxa de juro periódica conhecida por taxa instantânea Por exemplo admita uma aplicação de 100000 por dois anos à taxa de 10 com capitalização contí nua Qual o montante apurado ao final desse período com capitalização contínua e nas condições de capi talização discreta de juros compostos Solução Capitalização contínua FV PV X efn FV 100000 X 2718210 X 2 FV 100000 X 2 718220 FV 122140 Juros compostos capitalização discreta FV PV X 1 in FV 100000 X 110 2 32 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto FV 121000 A capitalização contínua produz um resultado final maior que o calculado pelas condições de ju ros compostos A taxa capitalizada de forma contí nua equivale a uma taxa de juros compostos com capitalização discreta anual de 105 12214 100000 112 1 tornando indiferente as duas for mas de capitalização As aplicações práticas de capitalização contínua são restritas a certas operações em que os fluxos de caixa encontramse de forma uniforme distribuídos no tempo Alguns exemplos receitas de vendas de um supermercado depreciações de ativos fixos for mação do preço de venda rentabilidade de um título cotado no mercado etc Da mesma forma uma carteira formada por inú meras ações paga rendimentos em intervalos bastan te curtos de tempo Uma carteira mais diversificada com ações e títulos de renda fixa oferece ganhos de juros e dividendos praticamente todos os dias Estes valores reaplicados oferecem retornos capitalizados com grande frequência sendo também recomenda do o uso das formulações de capitalização contínua Exemplo Ilustrativo 1 Determinar o montante produzido por um capital inicial de 700000 aplicado por 15 meses à taxa de juros de 15 am nos regimes de capitalização descontínua finita e contínua Solução Capitalização descontínua FV PV X 1 in FV 7000000 X 1015 15 FV 8751624 Capitalização contínua FVPVxeixn FV 7000000 x e0015 x 15 FV 7000000 X 2 7182810015 X 15 FV 8766259 Taxa Contínua I Conforme explicado na capitalização contínua supõese que as variações do tempo variável n se jam mínimas infinitesimais assumindo uma capita lização instantânea No caso da capitalização descontínua temse FV PV X 1 in Para a capitalização contínua FVPVX eixn Igualandose PV X 1 on PV X el X n 1 on el X n 1iei Por exemplo uma taxa de 22 am no regime de capitalização descontínua equivale na capitalização contínua a taxa de I ln 1022 2176 am As duas taxas i 22 am e I 2176 am são equivalentes produzindo em cada regime de ca pitalização o mesmo montante Assim para um capi tal de 500000 aplicado por 2 meses temse Descontínua FV 500000 x 10222 FV 522240 Contínua FV 500000 x e02176 x 2 FV 522240 Exemplo Ilustrativo 2 Sendo 45 a valorização de uma ação em deter minado mês apurar a taxa de juro instantânea Solução I ln 1045 I 440 am Crescimento do Capital Tanto a capitalização contínua como a descontínua crescem segundo uma progressão geométrica porém com razões diferen tes A taxa de crescimento da capitalização contínua é maior determinando um crescimento mais rápido do capital Exercícios resolvidos 1 Calcular o montante de uma aplicação financeira de 8000000 admitindose os seguintes prazos e taxas a i 55 am n 2 anos b i 9 ao bimestre n 1 ano e 8 meses c i 12 aa n 108 meses Solução a i n FV FV FV FV b i n FV FV FV c n FV FV FV 55 am 24 meses PV X 1 in 8000000 X 1 005524 8000000 X 105524 8000000 X 3614590 28916720 9 ao bimestre 1 ano e 8 meses 20 meses 10 bimes tres 8000000 X 1 009 10 8000000 X 10910 8000000 X 2367364 18938910 12 aa 108 meses 9 anos 8000000 X 1 0129 8000000 X 1129 8000000 X 2773079 22184630 2 Determinar o juro J de uma aplicação de 10000000 nas seguintes condições de taxa e pra zo a i 15 am n 1 ano b i 35 at c i 5 as d i 42 aq Solução a i 15 am n 2 anos e meio n 3 anos n 84 meses n 1 ano 12 meses J PV X 1 in 1 J 10000000 X 1 001512 1 J 10000000 X 101512 1 J 10000000 X 0195618 1956180 b i 35 at Juros Compostos 33 c n 2 anos e meio 10 trimestres J 10000000 X 103510 1 J 10000000 X 0410599 4105990 5 as n 3 anos 6 semestres J 10000000 X 105 6 1 J 10000000 X 0340096 3400960 d i 42 aq n 84 meses 21 quadrimestres J 10000000 X 104221 1 J 10000000 X 1372587 13725870 3 Uma pessoa irá necessitar de 1200000 daqui a 7 meses Quanto deverá ela depositar hoje numa conta de poupança para resgatar o valor dese jado no prazo admitindo uma taxa de juros de 35 ao mês Solução PV FV 1200000 o i 35 am 7 meses PV FV 1 in PV 1200000 1 0035f 943189 1200000 1035f 4 Calcular a taxa mensal de juros de uma aplica ção de 660000 que produz um montante de 738581 ao final de 7 meses Solução PV 660000 FV 738581 n 7 meses FV PV 1 in FV 1 in PV 34 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 738581 1 if 660000 1119 1 i 7 Z1119 1 if 10162 1 i i 162 am 5 Em quanto tempo duplica um capital que cresce à taxa de juros compostos de 22 ao mês Solução PV 1 FV 2 Mantida a proporção podese atribuir qualquer valor a PV e FV 22 am n Utilizandose a fórmula básica Solução PV o PV 400000 900000 1 00195 1 0019f 400000 5 PV 364074 788902 1152976 7 Verificar se as taxas de juros de 13789318 at e 35177214 para 7 meses são equivalentes Solução Uma solução simples é calcular o MMC dos pra zos definidos para as taxas e capitalizálas até esta data Sendo de 21 meses o MMC temse 1 0137893 7 1 147 p21 meses 1 03517723 1 147 p21 meses As taxas são equivalentes Alternativamente a equivalência poderia também ser verificada na taxa mensal iq 1137893 1 44 am FV PV 1 in FV 1 in PV 2 l022n Aplicandose logaritmo conforme demonstrado no Apêndice B log 2 log 1022n log 2 n log 1022 log 2 n log 1022 0301030 0009451 3185 meses 31 meses e 26 dias 6 Uma pessoa deve a um banco dois títulos com va lores de resgate de 400000 e 900000 ven cíveis respectivamente em 5 e 7 meses Desejan do antecipar a liquidação de toda a dívida para o momento atual data zero pedese determinar o valor a pagar considerando uma taxa de juros de 19 ao mês 900000 i 19 am 7 meses iq Z1351772 1 44 am 8 Calcular a taxa efetiva anual ou capitalizar para um ano às seguintes taxas a 25 am b 4 ab c 6 at d 10 as Solução a i12 1 0025 12 1 3449 aa b i12 1 0046 1 2653 aa c i12 1 0064 1 2625 aa d i12 1 O 102 1 210 a a 9 Uma aplicação de 7800000 gerou um montan te de 11021196 numa certa data Sendo de 25 ao mês a taxa de juros considerada calcular o prazo da aplicação I Solução PV 7800000 FV 11021196 25 am FV PV X 1 in FV 1 in PV 11021196 1025n 7800000 1412974 l025n Aplicandose log log 1412974 log 1025n log 1412974 n x log 1025 log 1412974 0150134 n 14 meses log 1025 0010724 10 Para uma taxa de juros de 7 ao mês qual das duas alternativas de pagamento apresenta menor custo para o devedor a pagamento integral de 14000000 a vista na data zero b 3000000 de entrada 4000000 em 60 dias e 10436856 em 120 dias Solução O problema pode ser solucionado calculandose PV das duas alternativas à taxa de 7 am A al ternativa que apresentar o maior valor presente é a que tem o maior custo isto é a PV 14000000 b PV 30000 OO 4000000 10436856 1 072 1 074 PV 3000000 3493755 7962227 14455982 A alternativa de pagamento b com maior valor presente apresenta um custo superior a 7 ao mês sendo portanto a mais onerosa O custo taxa percentual da alternativa b em re lação ao pagamento a vista é calculado pelo con ceito da taxa interna de retorno Em verdade de sejase saber a taxa de juros que iguala o PV da alternativa b ao valor do pagamento a vista As sim Juros Compostos 35 14000000 30000000 4000000 10436856 1 i2 1 i4 11000000 4000000 10436856 1 i2 1 i4 Com o auxílio de uma calculadora financeira chegase a IRR 83 am que representa o custo mensal efetivo das condições de pagamento expostas emb Exercícios propostos 1 A taxa de juros de um financiamento está fixada em 33 am em determinado momento Qual o percentual desta taxa acumulada para um ano 2 Capitalizar as seguintes taxas a 23 ao mês para um ano b 014 ao dia para 23 dias c 745 ao trimestre para um ano d 6 75 ao semestre para um ano e 187 equivalente a 20 dias para um ano 3 Calcular a taxa equivalente composta a 34 ao ano para os seguintes prazos a 1 mês b 1 quadrimestre c 1 semestre d 5 meses e 10 meses 4 Se um investidor deseja ganhar 18 ao ano de taxa efetiva pedese calcular a taxa de juro que deverá exigir de uma aplicação se o prazo de ca pitalização for igual a a 1 mês b 1 trimestre c 7 meses 5 Admitase que um banco esteja pagando 165 ao ano de juros na colocação de um título de sua emissão Apurar a taxa efetiva equivalente para os seguintes prazos a 1 mês b 9 meses c 37 dias d 100 dias 36 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 6 Calcular a taxa equivalente mensal das seguintes taxas a 29 para 26 dias b 355 para 34 dias 7 Com relação a formação das taxas de juros pede se a em 77 dias uma aplicação rendeu 83 de ju ros Apurar as taxas mensal e anual equivalen tes b um banco cobra atualmente 186 ao ano de juros Para uma operação de 136 dias deter minar a taxa efetiva equivalente que será co brada c uma empresa está cobrando juros de 3 para vendas a prazo de 28 dias corridos Determi nar a taxa efetiva mensal e anual da venda a prazo d determinar a taxa equivalente para 44 dias de 1093 ao ano 8 Um financiamento está sendo negociado a uma taxa nominal linear de 72 ao ano Determinar o custo efetivo anual desta operação admitindo que os juros sejam capitalizados a mensalmente b trimestralmente c semestralmente 9 a Um título está pagando uma taxa efetiva de 285 ao mês Para um mês de 30 dias trans formar esta remuneração em taxa nominal li near b Para cada taxa nominal apresentada a seguir pedese calcular a taxa efetiva anual 9 aa capitalizados mensalmente 14 aa capitalizados trimestralmente 15 aa capitalizados semestralmente 12 aa capitalizados anualmente 10 Determinar o montante de uma aplicação de 2200000 admitindo os seguintes prazos e taxas a i 22 am n 7 meses b i 5 am n 2 anos c i 12 at n 1 ano e meio d i 20 as n 4 anos e i O 15 ao dia n 47 dias f i 9 aa n 216 meses 11 Calcular o juro de uma aplicação de 30000000 nas seguintes condições de prazo e taxa a i 25 am n 1 semestre b i 33 am n 1 ano e 3 meses c i 6 as n 72 meses d i 10 aa n 120 meses e i 25 aq n 4 anos 12 Um banco lança um título pagando 6 at Se uma pessoa necessitar de 5800000 daqui a 3 anos quanto deverá aplicar neste título 13 Sendo a taxa corrente de juros de 10 aq ao quadrimestre quanto deve ser aplicado hoje para se resgatar 3850000 daqui a 28 meses 14 Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de 6870000 que produz um montante de 8208490 ao final de 8 meses 15 Um banco publica em suas agências o seguin te anúncio aplique 100000 hoje e receba 118000 ao final de 6 meses Determinar a efe tiva taxa mensal semestral e anual de juros ofe recida por esta aplicação 16 Uma loja está oferecendo uma mercadoria nova lor de 90000 com desconto de 12 para paga mento a vista Outra opção de compra é pagar os 90000 após 30 dias sem desconto Calcular o custo efetivo mensal da venda a prazo 17 Os rendimentos de uma aplicação de 1280000 somaram 743312 ao final de 36 meses Deter minar a taxa efetiva mensal de juros desta aplica ção 18 Determinar as taxas mensal e anual equivalentes de juros de um capital de 6700000 que pro duz um montante de 17192917 ao final de 17 meses 19 Determinar a taxa mensal de juros de uma apli cação de 2296000 que produz um montante de 2882230 ao final de 10 meses 20 Uma empresa tem observado um crescimento ex ponencial médio de 10 ao ano na demanda fí sica de seus produtos Mantida esta tendência ao longo do tempo determine em quantos anos do brará a demanda 21 Uma empresa observa que seu faturamento está crescendo a uma taxa geométrica de 4 ao se mestre nos últimos anos Mantida esta tendência calcular em quantos anos o faturamento irá I a duplicar b triplicar 22 Determinar a taxa mensal de juros compostos que faz com que um capital triplique de valor após três anos e meio 23 Uma taxa efetiva de juros com capitalização qua drimestral é aplicada a um capital gerando um total de juros ao final de 2 anos igual a 270 do valor do capital aplicado Determinar o valor desta taxa de juros 24 Uma empresa contrata um empréstimo de 4870000 e prazo de vencimento de 30 meses Sendo a taxa de juro anual de 195 pedese cal cular o montante a pagar utilizando as conven ções linear e exponencial 25 Quanto um investidor pagaria hoje por um tí tulo de valor nominal valor de resgate de 1345000 com vencimento para daqui a um se mestre Sabese que este investidor está dispos to a realizar a aplicação somente se auferir uma rentabilidade efetiva de 20 aa 26 Admita que uma pessoa irá necessitar de 3300000 em 11 meses e 4700000 em 14 me ses Quanto deverá ela depositar hoje numa al ternativa de investimento que oferece uma taxa efetiva de rentabilidade de 17 aa 27 Para um poupador que deseja ganhar 25 ao mês o que é mais interessante a receber 1850000 de hoje a 4 meses ou b 2550000 de hoje a 12 meses 28 Uma pessoa deve 250000 vencíveis no fim de 4 meses e 850000 de hoje a 8 meses Que valor deve esta pessoa depositar numa conta de poupança que remunera à taxa de 2 77 ao mês de forma que possa efetuar os saques neces sários para pagar seus compromissos Admita em sua resposta que após a última retira da para liquidação da dívida a não permanece saldo final e b permanece um saldo igual a 400000 na conta de poupança 29 Um investidor efetuou no passado uma aplicação num título cujo vencimento se dará daqui a 4 me ses sendo seu montante de 3667000 O ban co procura o aplicador e oferece trocar este título por outro vencível daqui a 9 meses apresentando valor de resgate de 4140000 Sendo de 21 oo ao mês a taxa corrente de juros de mercado é interessante para o investidor a troca de títulos Juros Compostos 37 Qual a rentabilidade da nova aplicação proposta pelo banco 30 João tem as seguintes obrigações financeiras com Pedro dívida de 1820000 vencível no fim de um mês dívida de 2330000 vencível no fim de 5 meses dívida de 3000000 vencível no fim de 10 meses Prevendo dificuldades no pagamento desses compromissos João propõe substituir este plano original por dois pagamentos iguais vencendo o primeiro de hoje a 12 meses e o segundo no fim de 15 meses Determinar o valor desses paga mentos para uma taxa de juros de 28 am 31 Uma empresa levanta um empréstimo de 2500000 a ser pago em 3 prestações crescentes em PA de razão igual ao primeiro termo O pri meiro pagamento deve ser efetuado no fim de 3 meses o segundo no fim de 4 meses e o terceiro no fim de um ano Para uma taxa de juros de 35 am apurar o valor desses pagamentos 32 Uma empresa tem o seguinte conjunto de dívidas com um banco 3900000 vencível de hoje a 3 meses 5500000 vencível do hoje a 6 meses 7400000 vencível de hoje a 8 meses Toda a dívida poderia ser quitada em um úni co pagamento de 19238707 Para uma taxa de juro nominal de 2808 ao ano capitalizada mensalmente determinar em que momento de veria ser efetuado esse pagamento para que seja equivalente com o conjunto atual da dívida 33 Uma pessoa deve a outra a importância de 1240000 Para a liquidação da dívida propõe os seguintes pagamentos 350000 ao final de 2 meses 400000 ao final de 5 meses 1 70000 ao final de 7 meses e o restante em um ano Sendo de 3 ao mês a taxa efetiva de juros cobrada no empréstimo pedese calcular o valor do último pagamento 34 Uma dívida apresenta as seguintes condições de pagamento 620000 vencíveis em certa data e 960000 vencíveis 4 meses após O deve dor propõe uma renegociação da dívida nas se 38 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto guintes condições 300000 após 3 meses do vencimento do primeiro pagamento original 450000 daí a 3 meses e o restante 5 meses de pois deste último pagamento Para uma taxa efe tiva de juros de 29 am calcular o saldo a pa gar 35 Determinada mercadoria foi adquirida em 4 pa gamentos bimestrais de 146000 cada um Al ternativamente esta mesma mercadoria poderia ser adquirida pagandose 20 de seu valor como entrada e o restante ao final de 5 meses Sendo de 3060 aa a taxa nominal de juros com ca pitalização mensal a ser considerada nesta ope ração pedese determinar o valor da prestação vencível ao final de 5 meses 36 Uma dívida tem o seguinte esquema de pagamen to 390000 vencíveis em 3 meses a partir de hoje e 1170000 de hoje a 5 meses O devedor propõe ao credor refinanciar esta dívida median te 5 pagamentos bimestrais iguais e sucessivos vencendo o primeiro de hoje a um mês Sendo de 21 oo ao mês a taxa de juros da dívida original e de 30 ao mês a taxa a ser considerada no refi nanciamento pedese determinar o valor de cada pagamento bimestral 37 Sabese que a taxa nominal de uma aplicação financeira é de 12 aa capitalizados mensal mente Pedese determinar a quanto valerá uma aplicação de 1000000 depois de 5 meses b taxa efetiva anual da aplicação financeira c taxa efetiva mensal da aplicação financeira 38 Um investidor aplicou 24000000 em fundo de investimento apurando as seguintes taxas efeti vas mensais de retorno Mês 1 09376 Mês 2 09399 Mês 3 08283 Mês 4 08950 Pedese calcular a montante do investimento ao final do mês 4 b taxa de retorno acumulada do período c taxa média equivalente mensal 39 Uma pessoa levanta um empréstimo de a se o empréstimo prever um pagamento de 2500000 ao final de 3 meses 1500000 ao final de 4 meses e uma parcela ao final de 6 meses calcular o valor deste último paga mento b calcular o valor de cada pagamento admi tindo que o empréstimo seja liquidado em 3 parcelas iguais vencíveis respectivamente em 2 4 e 6 meses 40 Um banco concede um empréstimo de 120000 para uma empresa para ser pago em 4 prestações ao final dos meses 3 5 6 e 8 As três primei ras prestações têm o mesmo valor porém o últi mo pagamento previsto para o final do mês 8 é igual ao dobro das parcelas anteriores A taxa de juro cobrada pelo banco é de 15 am Calcular o valor de cada um dos pagamentos 41 O aplicador A possui o dobro do capital de B O capital somado de A e B totaliza 4200000 Os dois aplicadores decidiram investir seus capitais por três meses da forma seguinte 20 em caderneta de poupança com rendi mento nominal de 094 am 30 em título de renda fixa com rendimento nominal de 1125 aa 50 em um fundo de investimento renda fixa com rendimento nominal de 1075 a a Pedese calcular o montante principal e juros de cada aplicador em cada alternativa de investi mento ao final do trimestre Respostas 1 2 3 4764 aa a 3137 aa b 327 p23 dias c 3330 aa d 1396 aa e 3958 aa a 247 am b 1025 aq c 1576 as d 1297 p5 meses e 2762 p10 meses 6000000 pagando uma taxa de juro de 12 4 a 139 am am Pedese b 422 at c 1014 p7 meses 5 a 128 am b 1214 p9 meses c 158 p37 dias d 433 p100 dias 6 a 335 am b 313 am 7 a 316 am 4518 aa b 666 p136 dias c 322 am 4623 aa d 945 p44 dias 8 a 10122 aa b 9388 aa c 8496 aa 9 a 281 am taxa nominal b Taxa Efetiva Anual i 938 i 1475 i 1556 i 120 10 a FV 2561999 b FV 7095220 c FV 4342410 d FV 9459597 e FV 2360573 f FV 10377665 11 a J 4790803 b J 18823182 c J 30365894 d J 47812274 e J 406557457 12 PV 2882422 13 PV 1975659 14 i 225 am 15 i 280 am i 180 as i 3924 aa 16 i 1364 am 17 i 128 am 18 i 57 am i 9450 aa Juros Compostos 39 19 i 23 am 20 727 anos 21 a 1767 semestres b 2801 semestres 22 i 265 am 23 i 2437 aq i 9235 aa 24 FV Linear 7632544 FV Exponencial 7602365 25 PV 1227811 26 PV 6771000 27 Receber 2550000 ao final de um ano maior PV 28 a PV 907223 b PV 1228684 29 i 246 am A troca do título foi interessante 30 Valor de cada pagamento 4406810 31 1º Pagamento 539936 2º Pagamento 1079872 3º Pagamento 1619808 32 12º mês 33 608547 34 1125547 35 467941 36 328306 37 a 1051010 b i 1268 aa c i 1 am 38 a 24875921 b i 365 ao período c i 090 am 39 a 2317869 b 2097344 40 P3 P5 P6 2623214 p 8 5246428 41 AplicadorA Caderneta de poupança 575941 Título de renda fixa 862689 Fundo de investimento 1436197 Aplicador B 287970 431345 718098 3 Descontos Entendese por valor nominal o valor de resgate ou seja o valor definido para um título em sua data de vencimento Representa em outras palavras o próprio montante da operação A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa ou um desconto pelo pagamento antecipado Desta ma neira desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atu alizado apurado n períodos antes de seu vencimento Por outro lado valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto sendo determi nado pela diferença entre o valor nominal e o des conto ou seja As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no de juros compostos O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto prazo restringindo se o desconto composto para as operações de longo prazo Tanto no regime linear como no composto ainda são identificados dois tipos de desconto a desconto por dentro ou racional e b desconto por fora ou bancário ou comercial 31 Desconto simples Conforme foi salientado são identificados dois ti pos de desconto simples o desconto por dentro ou racional e o desconto por fora ou bancário ou comercial 311 Desconto Racional ou por dentro O desconto racional também denominado de des conto por dentro incorpora os conceitos e relações básicas de juros simples conforme desenvolvidos no primeiro capítulo Assim sendo D r o valor do desconto racional C o capital ou valor atual i a taxa periódica de juros e no prazo do desconto número de períodos que o tí tulo é negociado antes de seu vencimento temse a conhecida expressão de juros simples Pela própria definição de desconto e introduzin dose o conceito de valor descontado no lugar de capi tal no cálculo do desconto temse sendo N o valor nominal ou valor de resgate ou montante e V o valor descontado racional ou valor r atual na data da operação Como temse N D N r 1ixn N1 i x n N N x i x n 1ixn 1ixn A partir dessa fórmula é possível calcular o va lor do desconto racional obtido de determinado valor nominal N a uma dada taxa simples de juros i e a determinado prazo de antecipação n Já o valor descontado conforme definição apre sentada é obtido pela seguinte expressão de cálculo V ND r r N1 i x n N x i x n 1 i x n N 1 i x n Observe uma vez mais que o desconto racional representa exatamente as relações de juros simples descritas no capítulo inicial É importante registrar que o juro incide sobre o capital valor atual do tí tulo ou seja sobre o capital liberado da operação A taxa de juro desconto cobrada representa dessa maneira o custo efetivo de todo o período do des conto Descontos 41 Exemplos 1 Seja um título de valor nominal de 400000 vencível em um ano que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento Sendo de 42 aa a taxa nominal de juros corrente pedese cal cular o desconto e o valor descontado desta ope ração Solução o Graficamente V N 400000 i 42 aa 35 am Desconto N x i x n 1 i x n 4000 ÜÜ X Ü 035 X 3 1 0035 X 3 42000 380 10 1105 Valor Descontado V ND r r 9 v 40000038010 361990 r ou N 1 i x n v 400000 361990 r 1 0035 X 3 12 meses Do ponto de vista do devedor 38010 represen tam o valor que está deixando de pagar por saldar a dívida antecipadamente 3 meses antes de seu vencimento O valor líquido do pagamento va lor descontado é de 361990 2 Determinar a taxa mensal de desconto racio nal de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento sendo seu valor de resgate igual a 2600000 e valor atual na data do desconto de 2443610 Solução n 2 meses 60 dias N 2600000 vr 2443610 42 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Sabese que no desconto racional o desconto é aplicado sobre o valor atual do título ou seja sobre o capital liberado Logo Dr vr X i X n L V x n r 2600000 2443610 2443610 1563 90 o 032 3 2 ou 70 am 4887220 312 Desconto bancário ou comercial ou por fora Esse tipo de desconto simplificadamente por inci dir sobre o valor nominal valor de resgate do título proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações Observe que ao contrário dos juros por dentro que calculam os encargos sobre o capital efetivamente liberado na operação ou seja sobre o valor presente o critério por fora apura os juros sobre o montante indicando custos adicionais ao tomador de recursos A modalidade de desconto por fora é ampla mente adotada pelo mercado notadamente em ope rações de crédito bancário e comercial a curto prazo O valor desse desconto genericamente denomi nado desconto por fora DF no regime de juros simples é determinado pelo produto do valor nomi nal do título N da taxa de desconto periódica por fora contratada na operação d e do prazo de ante cipação definido para o desconto n Isto é b valor descontado por fora VF aplicandose a definição é obtido VFNDF VFNNxdxn Exemplos Para melhor avaliar as diferenças dos ti pos de descontos são desenvolvidos os mesmos exemplos utilizados anterior mente no desconto racional ou por dentro 1 Seja um título de valor nominal de 400000 vencível em um ano que está sendo liquidado an tes de seu vencimento Sendo de 42 aa a taxa de desconto adotada pedese calcular o desconto e o valor descontado desta operação Solução o Analogamente VE N 400000 9 12 meses Desconto DF N X d X n DF 400000 X 0035 X 3 DF 42000 d 42 aa 35 am Observe que o maior valor dos juros cobrado pelo título devese ao fato conforme ressaltado ante riormente de o desconto por fora ser aplicado diretamente sobre o valor nominal valor deres gate e não sobre o valor atual como é caracterís tico das operações de desconto racional Em verdade o valor do desconto por fora equi vale num mesmo momento do tempo ao mon tante do desconto por dentro supondose as mesmas condições de prazo e taxa Isto é Dr 38010 DF 42000 Para uma taxa de 35 am e um período de des conto de 3 meses conforme estabelecido na ilus tração temse DF Dr 1 i X n DF 38010 X 1 0035 X 3 DF 38010 X 1105 DF 42000 O cálculo do valor descontado VF é desenvolvi do VF N 1 d X n VF 400000 X 1 0035 X 3 VF 400000 X 0895 VF 358000 Tornase evidente que o devedor desse título des contado pelo desconto bancário C ou comercial ou por fora assume encargos maiores que aqueles declarados para a operação A taxa de juros efetiva desta operação não equiva le à taxa de desconto utilizada Note que se são pagos 42000 de juros sobre um valor atual de 358000 a taxa de juros assume o seguinte per centual efetivo 42000 r 1173 ao tnmestre 358000 ou 377 am pela equivalente composta Logo no desconto por fora é fundamental se parar a taxa de desconto d e a taxa efetiva de juros i da operação Em toda operação de des conto por fora há uma taxa implícita efetiva de juro superior à taxa declarada O item seguinte dispensa um tratamento mais detalhado para este assunto 2 Determinar a taxa de desconto por fora de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento sendo seu valor de resgate igual a 2600000 e valor atual na data do desconto de 2443610 Solução V f 244361 O N 2600000 t 2 t meses n 2 meses DF N X d X n DF 26000002443610 156390 n 2 meses 60 dias N 2600000 d DF N X d X n 156390 2600000 X d X 2 156390 5200000 X d d 1563 90 3 OOJ A 70 ao mes 5200000 A liquidação de um título 60 dias antes de seu ven cimento foi efetuada pela taxa mensal de desconto por fora de 30 d 30 ao mês Essa taxa conforme será abordado no item a se guir não indica o custo efetivo desta operação mas a taxa de desconto aplicada sobre o valor nominal resgate do título O juro efetivo desta Descontos 43 operação de desconto é aquele obtido pelo crité rio racional por dentro conforme apurado no exemplo 2 do item 311 DESCONTO POR DENTRO x DESCONTO POR FORA Admita uma operação de desconto de um título de 5000000 realizada por uma empresa pelo prazo de 3 meses O banco cobra uma taxa de desconto de 22 am Desenvolver uma análise da operação pe las metodologias de desconto por dentro desconto racional e desconto por fora desconto bancário ou comercial Desconto Por Dentro Valor do Resgate Nominal Valor Líquido Liberado 5000000 10022x3 5000000 4690432 5000000 Valor de Resgate 4690432 Capital Liberado J 3 meses O custo da operação equivale a 66 at e correspon de a uma taxa efetiva de 215 am ou seja i 1 066113 1 x 100 215 am Desconto Por Fora Valor do Desconto Por Fora 5000000 X 0022 X 3 Valor Líquido Liberado 5000000 330000 330000 4670000 O crédito liberado ao tomador pelo desconto bancá rio ou comercial Por Fora é menor explicado pela incidência dos juros sobre o valor de resgate do título Com isso a taxa efetiva é maior atingindo a Custo Efetivo i 5000000 1 7066 at 4670000 Esta taxa equivale a uma taxa efetiva mensal de juros de i 1 0766113 1 x 100 23 am 44 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 3121 Despesas bancárias É importante registrar que em operações de des conto com bancos comerciais são geralmente cobra das taxas adicionais de desconto a pretexto de cobrir certas despesas administrativas e operacionais incor ridas pela instituição financeira Estas taxas são ge ralmente prefixadas e incidem sobre o valor nominal do título uma única vez no momento do desconto A formulação do desconto por fora apresenta se conforme demonstrada anteriormente DF N X d X n Chamando de t a taxa administrativa cobrada pe los bancos em suas operações de desconto e incluin do esta taxa na formulação temse DF N X d X n t X N De forma análoga o valor descontado VF in cluindo a cobrança da taxa administrativa t é apura do da forma seguinte VFNDF VF N N d X n t Exemplo 1 Uma duplicata de valor nominal de 6000000 é descontada num banco dois meses antes de seu vencimento Sendo de 28 ao mês a taxa de des conto usada na operação calcular o desconto e o valor descontado Sabese ainda que o banco cobra 15 sobre o valor nominal do título des contados integralmente no momento da liberação dos recursos como despesa administrativa Solução N 6000000 4750000 VF Liberação dos recursos d 28 am n 2 meses t 15 sobre valor nominal Desconto DF N d X n t F 6000000 X 0028 X 2 0015 DF 6000000 X 0071 DF 426000 Observe que o desconto de 426000 representa Desconto N x d x n 6000000 X 0028 X 2 Despesa Administrativa N x t 6000000 X 0015 Valor Descontado VF N 1 d X n t 336000 90000 426000 VF 6000000 1 0028 X 2 0015 VF 6000000 1 0071 VF 6000000 X 0929 VF 5574000 32 Taxa implícita de juros do desconto por fora Conforme foi introduzido nos exemplos ilustrati vos apresentados no item anterior o desconto por fora ao ser apurado sobre o valor nominal resgate do título admite implicitamente uma taxa de juros superior àquela declarada para a operação Por exemplo suponha um título de valor nominal de 5000000 descontado num banco um mês antes de seu vencimento à taxa de 5 ao mês Aplicandose o critério de desconto por fora como é típico destas operações temse 250000 5000000 N Valor de resgate Observe que a taxa de juros adotada de 5 ao mês não iguala VF e Nem nenhum momento do tem po Ou seja esta taxa se aplicada ao valor descon tado de 4750000 não produz para o período de um mês o montante de 5000000 atinge a 4750000 5 4987500 Logo há uma taxa implícita de juros na operação superior aos declarados 5 ao mês que conduz VF e N a um mesmo resultado no período Esta taxa é obtida pelo critério de desconto racional Uuros por dentro conforme definido atingindo a DCxixn Deslocandose i 4500000 VF 500000 11 b r 1 ao 1mestre 4500000 X 1 À base de juros simples esta taxa equivale a 556 ao mês ou seja 500000 560V A i 5 ro ao mes 4500000 x 2 meses Em termos de juros compostos critério tecnica mente mais correto a taxa de todo o período bimes tre atinge a 111 No entanto a mensal efetiva é a equivalente composta i J1111 1 54 ao mês Algumas observações conclusivas com relação aos tipos de descontos simples são elaboradas a seguir a o desconto por fora é apurado sobre o valor de resgate valor nominal do título e o des conto por dentro é obtido sobre o valor líqui do liberado capital Em verdade o desconto por fora apesar de amplamente adotado nas operações bancárias e comerciais de curto prazo não pode ser en tendido como juro em sua forma mais rigoro sa de interpretação É preferível interpretálo como uma metodologia peculiar de cálculo pois o seu valor é obtido do montante a pa gar ou receber e não do capital efetivamente empregado pelo devedor ou credor Descontos 45 Substituindo os valores chegase a 250000 l 250000 4750000 4750000 X 1 mês 5 26 ao mês O resultado indica que há uma taxa implícita de juro de 526 numa operação de desconto de 5 am d 5 pelo período de um mês Admitindo em sequência que esta operação de desconto tenha sido realizada com antecipação de dois meses temse 500000 5000000 N O valor do desconto por fora será sempre su perior ao do desconto por dentro quando ob tidos em idênticas condições de prazo e taxa determinando maior volume de receitas ao credor b a operação de desconto por fora a uma de terminada taxa d e a um prazo n implica a existência de uma taxa implícita i apurada para este mesmo prazo a qual é calculada se gundo os critérios de desconto racional por dentro A taxa de desconto por fora adota da numa operação será sempre inferior à taxa de desconto racional calculada nas mesmas condições c no exemplo ilustrativo de desconto acima defi niuse em 5 a taxa de desconto da operação No entanto ao se apurar o custo racional desta operação que é determinado sobre o capital efetivamente empenhado chegase à taxa im plícita mensal de 526 para n 1 mês e de 111 para n 2 meses Os cálculos de apuração da taxa racional de juros podem ser substituídos pelo emprego direto da se guinte fórmula Assim para a obtenção da taxa implícita i da operação basta tão somente conhecer a taxa de des 46 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto conto por fora e o prazo do desconto Aplicandose esta fórmula nos exemplos anteriores n 1 mês 005 005 60 A r 5 2 Yo ao mes 100Sx1 095 n 2 meses 005x2 010 i 1 0 05 X 2 111 ao bimestre 0 90 Deve ser ressaltado que essas taxas mensais são representativas do regime de juros simples Para cál culos mais rigorosos é necessário conforme foi dis cutido em capítulos anteriores adotar o regime de juros compostos Para o desconto de um mês a taxa implícita men sal de 526 está correta Lembrese que para um único período os dois regimes de capitalização pro duzem o mesmo resultado No entanto para um desconto de dois meses a taxa mensal não é de 556 resultado da média aritmética da taxa bimestral de 111 Nas opera ções com mais de um período é necessário sempre trabalhar comjuros compostos ou seja Taxa Mensal Implícita i J1 111 1 54 ao mês Assim pela fórmula direta apresentada o custo efetivo deve ser apurado para todo o período da ope ração e a partir deste resultado podese obter pelo critério de juros compostos a taxa equivalente para os intervalos de tempo Por exemplo admita uma taxa de desconto d de 2 7 am para uma operação de desconto de 35 dias O custo efetivo para o período de 35 dias pela fórmula direta atinge i dxn 1dxn 0027 X 35 i 30 1 0027 X 35 30 325 p35 dias 00315 09685 Observe que o valor percentual de d é representa tivo para todo o prazo da operação A partir deste custo efetivo para todo o período do desconto 35 dias podese apurar o equivalente composto para outros intervalos de tempo Taxa Efetiva Mensal 3fi0325 30 1 278 am Taxa Efetiva Anual 3zy103253601 3895 aa e assim por diante Exemplos 1 Um título é descontado num banco 3 meses an tes de seu vencimento A taxa de desconto de finida pelo banco é de 33 ao mês Sendo de 2500000 o valor nominal deste título e saben dose que a instituição financeira trabalha com o sistema de desconto por fora pedese calcular a valor do desconto cobrado pelo banco e o va lor descontado do título liberado ao cliente b taxa implícita simples e composta desta opera ção c apuração da taxa implícita pela fórmula direta de cálculo Solução a Desconto DF N X d X n DF 2500000 X 0033 X 3 DF 247500 Valor Descontado VFNDF VF 2500000 247500 2252500 ou VF N 1 d X n VF 2500000 X 1 0033 X 3 VF 2500000 X 0901 2252500 b Taxa Implícita i 2475 oo 2252500 x 1 trim Mensal simples i 1099 ao tri mestre taxa de juros referente ao trimestre 247500 3 660 A lO ao mes 2252500 x 3 m I ou 1099 A r 366 ao mes 3 A taxa efetiva mensal da operação de des conto obtida pelo critério de juro com posto atinge i 11099 1 354 am c Emprego da fórmula direta d i i 1dxn O 033 x 3 meses 1 0033 x 3 meses 1099 ao tri mestre taxa efetiva do perí odo Logo a taxa efetiva implícita para um mês é a equivalente composta ou seja i 11099 1 354 am Observe uma vez mais que d é a taxa de des conto referente a todo o período da opera ção 2 Uma instituição financeira publica que sua taxa de desconto é de 35 ao mês Calcular a taxa implícita mensal simples e composta admitindo um prazo de desconto de dois meses Solução i l dxn 1dxn 0035 x 2 007 753 ab 10035 X 2 093 i 10753 1 37 ao mês equivalente composta 3 Admita que uma instituição financeira esteja co brando juros por fora de 22 am em suas ope rações de desconto Sendo um título descontado 39 dias antes de seu vencimento pedese deter minar a taxa efetiva implícita de juros mensal e anual Solução Taxa Efetiva para todo o Período de Desconto 39 dias i dxn 1dxn 0022 X 39 Descontos 47 i 30 1 0022 X 39 30 00286 O 09714 2 94 p39 dias Taxa Efetiva Mensal i 31 0294 30 1 225 am Taxa Efetiva Anual i 310294 360 1 307 aa 321 Taxa efetiva de juros Nos exemplos ilustrativos anteriores ficou de monstrado que a taxa implícita de juros calculada para todo o período da operação é adequada para a matemática financeira permitindo comparações em idênticas condições de prazo No entanto quando os prazos dos descontos não forem os mesmos o regi me de juros simples não é adequado tecnicamente para esta análise Ficou esclarecido também no capí tulo anterior a nítida superioridade técnica do regi me composto para o cálculo da taxa de juros de um fluxo de caixa Dessa maneira a taxa efetiva de juros de um des conto por fora apurado à taxa d é definida pela apli cação do conceito de taxa interna de retorno confor me exposta no capítulo anterior Em outras palavras a taxa efetiva conceitualmente é aquela obtida pelo critério de capitalização composta Com relação aos exemplos desenvolvidos no item anterior a taxa equivalente mensal obtida pelo regi me de juros compostos é interpretada como a taxa efetiva da operação Em verdade é a própria taxa interna de juros da operação ou seja a taxa de juros que iguala num único momento entradas com saídas de caixa As sim para o Exemplo 1 apresentado temse VF 2252500 t3 n 3 meses FV PV 1 On 2500000 2252500 1 03 2500000 1 03 2252500 N 2500000 t meses 48 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 1109878 1 i3 1109878 1 i3 10354 1 i i 354 am conforme calculado no referido exemplo Exemplos 1 Sendo de 4oo ao mês a taxa de juros por fora aplicada sobre uma operação de desconto de um título de valor nominal de 70000000 calcular a taxa de juros efetiva mensal e anual desta ope ração O título foi descontado 4 meses antes de seu vencimento Solução DF N x d x n DF 70000000 X 004 X 4 DF 11200000 N 70000000 VF 70000000 11200000 VF 58800000 i 11200000 190 5oo aq 58800000 x 1 quadr ou i 1120oo oo 58800000 x 4 meses 4 76oo am juros simples Taxa Efetiva Composta i 1 1905 1 446 am i 11905 3 1 687 aa Obs A taxa efetiva pode também ser obtida desconhecendose o valor do título des contado Aplicandose a fórmula direta de cálculo demonstrada anteriormente temse dxn i sendo 1dxn d 16oo aq 4oo am n 1 quadrimestre Substituindo i 016 016 19 05 aq 1016x1 084 Logo i 1 1905 1 446 am i 119053 1 687 aa 2 Um título com valor de resgate de 1400000 é descontado num banco 78 dias antes de seu ven cimento Determinar o valor do desconto calcu lado para a operação e a taxa efetiva mensal de juros sabendose que a taxa de desconto contra tada é de 45 aa Solução N 1400000 n 78 dias ou 7830 26 meses d 45 aa ou 4512 375 am Desconto DF 1400000 X 00375 30 X 78 DF 136500 Valor Descontado VF 1400000 136500 VF 1263500 Taxa Efetiva 136500 d l 108 p78 ias ou i 1263500 x 1 período dxn 1dxn 00375 X 78 30 1 00375 X 78 30 108 p78 dias Logo i C1 10830 1 402 am taxa efetiva por juros compostos 3 As condições de desconto de dois bancos são as seguintes Banco A taxa de desconto bancário de 43 am para operações com prazo de desconto de 4 meses Banco B taxa de desconto bancário de 39 am para operações com prazo de desconto de 3 meses Com base nestas informações determinar a taxa efetiva mensal de juros cobrada por cada banco Solução i BancoA 0 043 x 4 2077 aq 10043 X 4 i j1 2077 1 483 am taxa efetiva mensal i Banco B 0 039 x 3 1325 at 10039 X 3 i 1 1325 1 423 am taxa efetiva mensal 322 Apuração da taxa de desconto com base na taxa efetiva As formulações apresentadas nos itens preceden tes atribuíram maior destaque ao cálculo da taxa efetiva de juros com base em dada taxa de descon to Considerando a fórmula desenvolvida é possível também isolar o percentual do desconto por fora definido com base na taxa efetiva de juros Isto é sendo d conforme definido a taxa de desconto de todo o prazo da operação e i a taxa efetiva de juros taxa implícita Logo i 1 d d iidd iddi d 1 i i Por exemplo admita que uma instituição dese ja cobrar uma taxa efetiva de juro de 37 ao mês em suas operações de desconto de duplicatas A taxa de desconto mensal por fora que deve ser cobrada para prazos de 30 dias e 40 dias é calculada Prazo do desconto 1 mês 30 dias Taxa efetiva desejada 37 am Logo d 0037 3 o 57Vo am 1 0037 Prazo do desconto 40 dias Taxa efetiva desejada 37 am 103740130 1 496 p40 dias Descontos 49 00496 Logo d 473 p40 dias 1 00496 d 4 73 x 30 355 am 40 33 O prazo e a taxa efetiva nas operações de desconto por fora As características de apuração do desconto por fora convencionalmente obtido a partir do valor de resgate do título podem apresentar certos resultados bastante estranhos Inicialmente colocase a situação de uma opera ção de desconto bancário ou comercial apresentan do um prazo longo Dependendo do produto taxa de desconto x prazo de desconto a que se chega pode se concluir pela existência de um valor descontado negativo Ou seja o proprietário do título além de não receber recurso algum pelo desconto deve ainda desembolsar certa quantia no ato da operação Por exemplo seja o caso de um empréstimo de 3000000 concedido por meio de desconto por fora de uma nota promissória 18 meses antes de seu ven cimento Sendo de 6 ao mês a taxa de juros simples considerada temse o seguinte valor descontado VF 3000000 X 1 006 X 18 VF 3000000 X 1 108 240000 Nesse caso hipotético o detentor do título não re cebe nada pela operação e ainda tem que desembol sar a quantia de 240000 Em outras palavras os encargos financeiros des conto da operação são 240000 maiores que o va lor descontado DF 3000000 x 006 x 18 3240000 Como por convenção os encargos são descontados no ato da operação o proprietário do tí tulo nada recebe pelo desconto realizado Ao contrá rio deve ele ainda pagar uma quantia equivalente ao saldo negativo do valor descontado apurado Para que esse resultado absurdo não venha a ocor rer é necessário que as condições de prazo e taxa de desconto sejam definidas da forma seguinte Neste caso de o produto d x n ser inferior a 1 o VF apresenta valor positivo Se ao contrário d x n for maior que 1 temse um VF negativo pois os en 50 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto cargos dos juros superam o valor dos juros Sendo d x n 1 o VF é nulo No exemplo ilustrativo acima sendo d 6oo am o prazo do desconto não pode exceder 1667 meses para que se produza um VF positivo isto é n ld n 1006 n 1667 meses Como o prazo admitido na operação foi de 18 me ses o valor descontado totalizou absurdamente 240000 Por outro lado para um prazo fixado por exem plo em 10 meses o VF positivo somente se realiza para uma taxa de desconto inferior a 10oo am isto é d ln d 110 010 10oo am Outro aspecto importante também presente no desconto por fora ou bancário ou comercial diz respeito à influência do prazo da operação sobre o seu custo efetivo Para uma mesma taxa de desconto por fora quanto maior o prazo de desconto maior o custo efetivo da operação Ilustrativamente admita uma taxa de desconto por fora de 4oo ao mês O custo efetivo desta taxa assumindose diferentes prazos de desconto pode ser apurado a partir da fórmula apresentada anterior mente ou seja n 1 mês 004 1 o z 4 7Vo am 1004 X 1 n 2 meses i 004 x 2 87oo ab 1004 X 2 n 3 meses i 426oo am por juros compostos i 004 x 3 136oo at i 434oo 1004 X 3 am por ju ros compos tos n 4 meses i 004 x 4 19 Ooo aq i 446oo 1 004 X 4 e assim por diante am por ju ros compos tos Pelo que se observa na ilustração o prazo do des conto exerce grande influência sobre o custo efetivo da operação Prazos menores acarretam custos mais reduzidos Em princípio tornase mais interessante às em presas obterem créditos em prazos mais curtos e re noválos periodicamente No entanto esta política de barateamento de custos pode trazer certas dificulda des de caixa para a empresa principalmente em re lação ao risco de não conseguir renovar o crédito em qualquer época do ano Ademais está presente tam bém o risco de as taxas de juros de mercado não se manterem inalteradas em todo o horizonte de tem po Acréscimos nesses percentuais determinam evi dentemente maiores custos efetivos aos tomadores de empréstimos Esses aspectos essenciais devem ser levados em consideração no momento de se realizar uma operação de desconto comercial ou bancário conjugandose os vários aspectos de custo e risco en volvidos 331 Taxas de desconto decrescentes para prazos crescentes Pelo fato de o prazo de desconto exercer influên cia sobre o custo efetivo da operação acréscimos no prazo podem determinar taxas efetivas excessiva mente altas fora da realidade de mercado ou até mesmo resultados absurdos como o valor desconta do negativo Diante dessas características comentadas de juros por fora é comum no mercado serem definidas ta xas de desconto decrescentes de conformidade com a elevação dos prazos de desconto Neste caso a taxa efetiva da operação pode permanecer inalterada va riando somente a taxa de desconto por fora A partir da fórmula direta de cálculo da taxa efe tiva é possível enunciar a seguinte identidade que de fine uma taxa de desconto por fora d para cada prazo n de forma a manter a taxa efetiva i inal terada sendo d a taxa de desconto simples por fora para todo o período Por exemplo suponha que uma instituição finan ceira tenha definido em 4Soo ao mês sua taxa de des conto por fora Esta taxa conforme é ilustrado na apuração da taxa implícita de juros produz um custo efetivo de 4 7oo am para operações de um mês de prazo Ao elevar o prazo de desconto da operação foi demonstrado no item precedente que o custo tam bém se incrementa passando para uma taxa efetiva de 483oo am se o prazo subir para dois meses de 49Soo am se o prazo for definido em três meses e assim por diante Ao se fixar ilustrativamente em 49Soo ao mês a taxa de juro que efetivamente se de seja cobrar nas operações de desconto a taxa de des conto declarada para cada prazo é reduzida para n 3 meses d 1 0049S3 1 1d d 01S6 1d 01S6 01S6 d d 11S6 d 01S6 d 01S6 13 SOl 70 at 11S6 d 13Soo 4 sol 70 am 3 n 4 meses d 1049S4 1 1d d 02132 1d 02132 02132 d d 12132 d 02132 d 17 6 d l6oo 4 4 70 aq 70 am 4 A partir do exemplo apresentado podese elabo rar a seguinte tabela ilustrativa de taxas de desconto para diferentes prazos Descontos 51 Exemplos 1 Elaborar uma tabela de taxa efetiva racional mensal admitindose taxas mensais de desconto por fora variando de 1 a ISoo para prazos de desconto de 1 a 6 meses Solução 2 No exemplo anterior admita que um banco deseje cobrar uma taxa efetiva de 42oo ao mês em suas operações de desconto Pedese determinar a taxa de juros por fora que deve adotar para prazos de desconto de 1 a 6 meses Solução 52 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 34 Desconto para vários títulos As diversas situações desenvolvidas neste capítu lo consideraram preferencialmente o cálculo do des conto e consequentemente da taxa racional efeti va de juros para um único título No entanto é bastante adotado na prática prin cipalmente em operações com bancos comerciais procederse de uma única vez ao desconto de vários títulos Estes títulos com prazos e valores nominais geralmente diferentes são descontados numa mes ma data produzindo um valor descontado represen tativo da soma do valor descontado de cada título O problema maior dessa operação restringese à obtenção da taxa efetiva de juros representativa de um conjunto de títulos com prazos desiguais Uma maneira simples e bastante empregada na prática de solucionar essa questão é definir o prazo de anteci pação dos títulos pelo seu valor médio ponderado Dessa maneira a identidade de cálculo da taxara cional de juros passa a ter a seguinte expressão onde n prazo médio ponderado de desconto dos títulos Ilustrativamente suponha que em determi nada data um banco creditou o valor líquido de 2360000 na conta de um cliente após efetuar a se guinte operação de desconto no borderô de duplica tas enviado Pelo enunciado da operação são conhecidos os seguintes valores Valor Nominal Total dos Títulos N Valor Descontado VF Valor do Desconto DF 2600000 2360000 240000 Por estarem envolvidos diversos títulos com dife rentes prazos de desconto o critério proposto apura n por meio de uma média ponderada em que cada tí tulo tem o seu valor ponderado pelo número de dias de antecipação ou seja 5ÜÜÜÜÜ X 50 9ÜÜÜÜÜ X 70 8ÜÜÜÜÜ X 82 4ÜÜÜÜÜ X 60 n 500000 900000 800000 400000 1 77600000 6 3 d 6 6 n 8 ms ou 8330 227 7 meses 2600000 Substituindo os valores identificados na fórmula da taxa de juros racional i conforme apresentada chegase i 240000 2360000 X 22767 00447 ou 447 am A forma de cálculo da taxa racional apresentada é baseada no regime de juros simples o qual rigoro Valor descontado 2360000 t samente não é critério de capitalização de juros mais correto O amplo uso desta metodologia notadamen te para apuração da taxa efetiva de um conjunto de títulos descontados num banco comercial é explica do principalmente pela simplicidade dos cálculos Ao adotar o regime de juros compostos para a ob tenção da taxa efetiva desta operação a solução pas sa necessariamente pela taxa interna de retorno do fluxo de caixa ou seja Valor nominal resgate de cada título Jso 160 170 821 dias 500000 400000 900000 800000 A IRR conforme foi demonstrado no capítulo an terior é obtida pela taxa de juros que iguala numa única data convencionalmente na data zero entra das de caixa valor descontado com saídas de caixa valor nominal de cada título isto é 23600 00 500000 400000 1 iS030 1 i6030 900000 800000 1 if030 1 i8230 Resolvendose a expressão com o auxílio de uma calculadora financeira chegase à taxa efetiva de ju ros cobrada no desconto do borderô de duplicatas i 435 ao mês ou i 10435 12 1 667 ao ano 35 Desconto composto O desconto composto utilizado basicamente em operações de longo prazo pode ser identificado igualmente ao desconto simples em dois tipos o desconto por dentro racional e o desconto por fora O desconto composto por fora ou comercial é raramente empregado no Brasil não apresentando uso prático O desconto por dentro racional en volve valor atual e valor nominal de um título capi talizado segundo o regime de juros compostos apre sentando portanto larga utilização prática 351 Desconto composto por fora O desconto composto por fora caracterizase pela incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o valor nominal do título o qual é deduzido em cada período dos descontos obtidos em períodos anterio res Nessa conceituação o desconto composto por fora apresenta os seguintes resultados numa suces são de períodos JQ Período VF1 ND Como DF N X d temse VFl NN x d VFl N 1 d Descontos 53 O valor N 1 d é o novo valor nominal sobre o qual incidirá a taxa de desconto no período seguin te 2QPeríodo DF2 N 1 d X d Logo VF2 VFl DF2 VF2 N 1 d N 1 d X d Vp2 N Nd N Nd X d VF2 N Nd Nd Nd2 VF2 N 2Nd Nd2 Colocando N em evidência VF2 N 1 2d d2 VF2 N 1 d2 3QPeríodo DF3 N 1 d 2 X d Logo VF3 VF2 DF3 Vp3 Nl d2 N 1 d 2 X d VF3 N 1 2d d2 N 1 2d d2 X d VF3 N 2dN Nd2 Nd 2d2N Nd3 VF3 N 1 2d d2 d 2d2 d3 VF3 N 1 3d 3d2 d3 VF3 N 1 d 3 e assim sucessivamente até o enésimo período Enésimo Período Generalizando o desenvolvimento do desconto composto por fora obtémse a seguinte expressão de cálculo Como temse 54 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Por apresentar raríssimas aplicações práticas os exercícios deste tipo de desconto composto ficam res tritos aos exemplos abaixo desenvolvidos Exemplos 1 Um título de valor nominal de 3500000 é ne gociado mediante uma operação de desconto composto por fora 3 meses antes de seu ven cimento A taxa de desconto adotada atinge 5 ao mês Pedese determinar o valor descontado o desconto e a taxa de juros efetiva da operação Solução N 3500000 n 3 meses d 5 ao mês Desconto VF DF DF N X 1 1 dn DF 3500000 X 1 1 005 3 DF 3500000 X 0142625 DF 499188 Valor Descontado VF N 1 dn VF 3500000 1 005 3 VF 3000812 ou VF NDF VF 3500000 499188 VF 3000812 Taxa Efetiva de Juros VF 3000812 o N 3500000 3500000 3000812 1 i 3 3 3500000 1 i3 3000812 1166351 1 i 10526 1 i i 00526 ou 526 am 3 meses 2 A partir das informações do exemplo anterior efe tuar uma demonstração mensal ilustrando a for mação do desconto e do valor descontado con forme sequência apresentada no desenvolvimento das fórmulas Solução 12 mês Dn N X d DFl 3500000 X 005 175000 VFl N 1 d Vn 3500000 1 005 3325000 22 mês DF2 N 1 d X d DF2 3500000 1 005 X 005 166250 VF2 N 1 d2 ou VF2 3500000 1 005 2 3158750 VF2 3500000 175000 166250 3158750 32 mês DF3 N 1 d 2 X d DF3 3500000 X 1 0052 X 005 157938 VF3 N 1 d3 ou VF3 3500000 X 1 005 3 3000812 VF3 3500000 1 75000 166250 157938 3000812 3 Uma empresa deve 8000000 a um banco cujo vencimento se dará daqui a 10 meses No entan to 4 meses antes do vencimento da dívida resolve quitar antecipadamente o empréstimo e solicita ao banco um desconto O banco informa que opera de acordo com o con ceito de desconto composto por fora sendo sua taxa de desconto para esse tipo de operação de 35 ao mês Pedese calcular o valor líquido que a empresa deve pagar ao banco quando da liquidação ante cipada do empréstimo Solução N 8000000 V 7 F n 4 meses d 35 am VF N 1 dn VE 8000000 X 1 00354 6937440 4 Um título foi descontado à taxa de 3 am 5 me ses antes de seu vencimento Sabese que esta operação produziu um desconto de 3900000 Admitindo o conceito de desconto composto por fora calcular o valor nominal do título Solução DF N 1 1 dn 3900000 N 1 1 003 5 3900000 N X 0141266 N 3900000 276074 92 0141266 352 Desconto composto por dentro Conforme comentado o desconto composto por dentro ou racional é aquele estabelecido segundo as conhecidas relações do regime de juros compos tos Assim sendo o valor descontado racional Vr equivale ao valor presente de juros compostos con forme apresentado no Capítulo 2 ou seja Por outro lado sabese que o desconto é obtido pela diferença entre o valor nominal resgate e o valor descontado valor presente Logo o desconto racional Dr tem a seguinte expressão de cálculo D NV r r N D N r 1 in Colocandose Nem evidência Por exemplo suponha que uma pessoa deseja des contar uma nota promissória 3 meses antes de seu vencimento O valor nominal deste título é de 5000000 Sendo de 45 ao mês a taxa de desconto o Descontos 55 racional o valor líquido recebido valor descontado pela pessoa na operação atinge v 50000 00 43814 83 r 1 00453 O valor do desconto racional por seu lado soma a Dr 50000004381483 618517 Por se tratar de desconto racional por dentro a taxa efetiva de juros é a própria taxa de desconto considerada isto é 5000000 4381483 1 i3 3 5000000 1 i3 4381483 1 141166 1 i 1045 1 i i 45 am Exemplos 1 Sabese que um título para ser pago daqui a 12 meses foi descontado 5 meses antes de seu venci mento O valor nominal do título é de 4200000 e a taxa de desconto de 35 ao mês Calcular o valor líquido liberado nesta operação sabendose que foi utilizado o desconto composto por den tro Solução V N 4200000 7 i 35 am 12 meses N 1 in 4200000 35362 87 1 o 0355 2 Calcular o valor do desconto racional de um títu lo de valor nominal de 1200000 descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa de 25 ao mês Solução 56 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto N 1200000 n 4 meses 25 am D N 1 1 l r l 1 on 1 l Dr 1200000 l1 1 002S4 Dr 1200000 X 0094049 112859 3 Um banco libera a um cliente 680000 prove nientes do desconto de um título de valor nomi nal de 900000 descontado à taxa de 4 am Calcular o prazo de antecipação que foi desconta do este título Solução Dr 680000 N 900000 4 am n N 1 on 6800 00 900000 1 004n 104n 900000 680000 104n 1323529 log 104n log 1323529 n log 104 log 1323529 log 1323529 0121733 n log 104 0017033 715 meses 7 meses e 4 dias Exercícios resolvidos descontos simples 1 Calcular o valor descontado racional nas seguin tes condições a Valor Nominal 1700000 Prazo de Desconto Taxa de Desconto b Valor Nominal Prazo de Desconto Taxa de Desconto 3 meses 50 ao ano 5200000 4 meses 36 ao ano c Valor Nominal 3500000 Prazo de Desconto 2 meses Taxa de Desconto 188 ao ano Solução a V 1700000 1511111 r 1 05 3 x 12 b v 5200000 4642857 r 1 036 X 4 12 c vr 35 0 00 3393665 1x2 12 2 Calcular o desconto por fora nas seguintes con dições a Valor Nominal Prazo de Desconto Taxa de Desconto b Valor Nominal Prazo de Desconto Taxa de Desconto c Valor Nominal Prazo de Desconto Taxa de Desconto Solução 4400000 120 dias 336 ao ano 7860000 25 dias 30 ao ano 28000000 2 meses e 1 O dias 36 ao ano DF N X d X n o 336 a DF 4400000 X X 4 492800 o 30 b DF 7860000 X 60 X 25 163750 o 36 c DF 28000000 X X 70 1960000 360 3 Um título de valor nominal de 4100000 é des contado comercialmente 4 meses antes de ser pago A taxa de desconto adotada atinge 25 ao I mês Calcular o valor liberado o valor do descon to e a taxa efetiva de juros desta operação Solução N 4100000 n 4 meses d 25 ao mês DF N x d x n VF DF i DF 4100000 X 0025 X 4 410000 VF NDF VF 4100000410000 3690000 i D Cxn 410000 3690000 X 4 2 78 ao mês Uuros simples 278 x 4 1112 aq 11112 1 267 ao mês Uuros compostos 4 Sendo de 4 ao mês a taxa de desconto por fora pedese calcular a taxa efetiva de juros mensal e anual desta operação para os seguintes prazos de desconto a 1 mês b 2 meses c 3 meses Solução a i 004 4 17 am 1 0417 12 1 1 004 633 aa b i 004 x 2 87 ab 1004 X 2 i 1087 1 426 am 10426 12 1 650 aa 004 X 3 c i 1364 at 1004 X 3 r 11364 1 435 am 10435 12 1 667 aa 5 Sendo de 184 a taxa anual de desconto por fora de um título pedese determinar a sua taxa Descontos 57 efetiva mensal admitindo um prazo de desconto de 3 meses Solução d 184 aa 18412 153 am r o0153x3 481 at 1 00153 X 3 i 10481 1 158 am 6 O valor atual de um título é de 15952930 sendo o valor de seu desconto racional apurado a uma taxa de juros de 55 ao mês igual a 2047070 Com base nestas informações deter minar o número de dias que falta para o venci mento do título Solução vr 15952930 i 55 am Dr 2047070 n 15952930 15952930 2047070 1 0055 x n 15952930 877411 n 18000000 874411 x n 2047070 204 7070 d n 877411 233 meses 70 1as 7 Calcular o valor do desconto por dentro racio nal e por fora de um título de valor nominal 5400000 descontado 95 dias antes de seu venci mento à taxa de desconto de 45 ao mês Solução N 5400000 n 95 dias Taxa de desconto 45 am 5400000 X 0045 X 95 D 30 r 1 0045 X 95 30 D 7695 00 6735 23 r 11425 58 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 0045 DF 5400000 X X 95 769500 30 8 O desconto de urna duplicata de valor nominal de 7700000 e com prazo de vencimento de 141 dias produz um valor atual de 6500000 De terminar a taxa de desconto por dentro e por fora desta operação Solução 65 000 00 7700000 141 1zx 30 6500000 30550000 i 7700000 30550000 i 1200000 i 1200000 3 93 arn 30550000 DF N X d X n d 7700000 6500000 1200000 7700000 X 141 36190000 30 3 32 arn Exercícios propostos descontos simples 1 Calcular o desconto racional por dentro nas seguintes condições a Valor Nominal 7000000 Prazo do Desconto 3 meses Taxa de Desconto 34 ao ano b Valor Nominal 3700000 Prazo do Desconto 80 dias Taxa de Desconto 25 ao ano 2 Um título no valor de 2200000 é desconta do 2 meses antes de seu vencimento O concei to usado na operação é de desconto por fora sendo a taxa de desconto considerada de 48 ao ano Pedese calcular a taxa efetiva mensal com posta de juros desta operação 3 Calcular o valor descontado valor atual por fora nas seguintes condições a Valor Nominal 6600000 Prazo do Desconto 3 meses Taxa de Desconto 24 ao ano b Valor Nominal 10500000 Prazo do Desconto 130 dias Taxa de Desconto 15 ao ano 4 Calcular a taxa efetiva mensal e anual de juros das operações de desconto por fora nas seguin tes condições de prazo e taxa Prazo de Taxa de Desconto Desconto por fora a 1 mês 45 arn b 2 meses 40 arn c 3 meses 35 arn 5 Calcular a taxa mensal de desconto racional de um título com valor nominal de 540000 ne gociado 90 dias antes de seu vencimento O va lor atual deste título é de 495690 6 Um banco oferece um empréstimo à taxa efetiva de 47 arn para um prazo de 40 dias Nesta alternativa o pagamento do principal acrescido dos juros é efetuado ao final do período contra tado O banco deseja oferecer esse mesmo emprésti mo porém mediante urna operação de desconto cobrando urna taxa antecipada por fora Qual deve ser a taxa de desconto mensal de forma que o custo efetivo da operação não se altere 7 Urna empresa realiza urna operação de descon to bancário com urna instituição financeira pelo prazo de 23 dias O banco opera com urna taxa efetiva de juros de 4576 aa Determinar a taxa de desconto por fora que deve ser utiliza da na operação 8 Um banco desconta um título de valor nominal de 1600000 80 dias antes de seu vencimento Nesta operação o banco cobra 39 ao ano de taxa de desconto por fora e 2 de despesa ad ministrativa Calcular o valor líquido liberado ao cliente e a taxa efetiva mensal composta desta operação 9 O valor descontado de um título é de 3200000 tendo sido negociado 100 dias antes de seu ven cimento à taxa de desconto comercial de 30 ao ano Determinar o valor nominal deste título 10 Um banco credita na conta de um cliente a quan tia de 2700000 proveniente do desconto de um título efetuado 80 dias antes de seu venci mento Sendo 285 ao mês a taxa de descon to e de 15 a taxa administrativa cobrada pelo banco pedese determinar o valor nominal deste título 11 Sabese que o valor do desconto racional de um título à taxa de 66 ao ano e prazo de desconto de 50 dias atinge 28 96300 Para estas mes mas condições pedese determinar o valor do desconto deste título se fosse adotado o conceito de desconto comercial ou por fora 12 A taxa de desconto comercial publicada por uma instituição financeira é de 276 ao ano Deter minar a taxa efetiva mensal e anual composta desta operação admitindo um prazo de desconto de a 1 mês b 2 meses c 3 meses 13 Uma instituição financeira deseja cobrar uma taxa efetiva de 31 oo ao mês em suas operações de desconto por fora Determinar a taxa de desconto que deve ser considerada para um pra zo de antecipação de a 1 mês b 2 meses c 3 meses 14 Qual o valor máximo que uma pessoa deve pagar por um título de valor nominal de 8200000 com vencimento para 110 dias se deseja ganhar 5 ao mês Usar desconto racional 15 Uma instituição desconta comercialmente um tí tulo n dias antes de seu vencimento creditan do o valor líquido de 5440000 na conta do cliente O valor de resgate deste título é de 6300000 tendo sido adotada a taxa de descon to por fora de 22 ao mês Pedese determi nar o prazo de antecipação deste título 16 Qual a taxa de juros efetiva anual de um título descontado à taxa por fora de 696 ao ano 30 dias antes de seu vencimento 17 Uma instituição concede empréstimos de acordo com o conceito de desconto simples por fora São propostas duas alternativas a um cliente em termos de taxa de desconto e prazo a d 38 am e n 3 meses b d 35 am e n 5 meses Determinar o custo mensal efetivo de cada pro posta de empréstimo Descontos 59 18 A taxa de desconto por fora do banco A é de 31 oo ao mês para operações com prazo de 90 dias O banco B oferece uma taxa de desconto de 29 ao mês com o prazo de 120 dias De terminar qual banco está cobrando a maior taxa efetiva mensal de juros Uuros compostos 19 Determinar o tempo que falta para o venci mento de uma duplicata de valor nominal de 37000000 que produziu um desconto bancário de 3372000 à taxa de desconto por fora de 38 ao ano 20 Uma empresa apresenta num banco para des conto três duplicatas no valor nominal de 1900000 4200000 e 6300000 cada uma Respectivamente as duplicatas foram des contadas 37 dias 66 dias e 98 dias antes do ven cimento Sendo de 212 ao ano a taxa de des conto calcular o valor do desconto bancário o valor líquido liberado à empresa e a taxa efetiva mensal de juros desta operação utilizando o pra zo médio ponderado Calcular também a taxa in terna de retorno da operação 21 Uma empresa leva a um banco para desconto as seguintes duplicatas Com base nessas informações o banco credi tou na conta da empresa o valor líquido de 3990000 Determinar o custo efetivo desta operação pelo prazo médio ponderado e pelo regime de juros compostos Respostas 1 a 548387 b 194737 2 426 am 3 a 6204000 b 9931250 4 a 471 am 7376 aa 60 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto b 426 am 649 aa 14 6929577 c 377 am 559 aa 15 62 meses 5 298 am taxa linear 16 10483 aa 290 am taxa composta 17 a 412 am 6 594 p40 dias 445 am b 392 am 7 238 p23 dias 31 am 18 331 am Banco A 8 1429333 313 am Banco B 432 am 19 288 meses 9 3490910 20 Prazo médio ponderado 78 dias 10 2970297 Desconto bancário 5695 73 11 3161794 Valor Liberado 11830427 12 a 235 am 3215 aa i médio ponderado 185 am b 238 am 3265 aa i IRR 182 am c 241 am 3311 aa 21 i médio ponderado 412 am 13 a 30 am 360 aa i IRR 398 am b 296 am 3554 aa c 292 am 3500 aa 4 Matemática Financeira e Inflação Em ambientes inflacionários é indispensável para o correto uso das técnicas da Matemática Financeira ressaltar nas várias taxas de juros nominais pratica das na economia o componente devido à inflação e aquele declarado como real A parte real é aquela ob tida livre das influências da taxa de depreciação mo netária verificada isto é adicionalmente à inflação De maneira simplista o processo inflacionário de uma economia pode ser entendido pela elevação ge neralizada dos preços dos vários bens e serviços Em sentido contrário diante de uma baixa predo minante dos preços de mercado dos bens e serviços temse o fenômeno definido por deflação Tradicionalmente o desenvolvimento da econo mia brasileira temse caracterizado pela presença marcante da inflação apresentando taxas na maior parte do tempo em níveis relevantes É importante acrescentar ainda que mesmo dian te de cenários econômicos de reduzida taxa de infla ção o conhecimento do juro real permanece bastan te importante para a Matemática Financeira Nestas condições mesmo pequenas oscilações nos índices de preços produzem impacto relevante sobre as ta xas de juros ao longo do tempo alterando a competi tividade dos ativos negociados no mercado 41 Índices de preços e taxas de inflação Um índice de preços é resultante de um procedi mento estatístico que entre outras aplicações per mite medir as variações ocorridas nos níveis gerais de preços de um período para outro Em outras pala vras o índice de preços representa uma média global das variações de preços que se verificaram num con junto de determinados bens ponderada pelas quanti dades respectivas No Brasil são utilizados inúmeros índices de pre ços sendo originados de amostragem e critérios desi guais e elaborados por diferentes instituições de pes quisa É importante antes de selecionar um índice para atualização de uma série de valores monetários procederse a uma análise de sua representatividade em relação aos propósitos em consideração Ilustrativamente a seguir são relacionados os va lores do IGP Índice Geral de Preços conceito dis ponibilidade interna da FGV referentes aos meses de maio a dezembro de determinado ano 62 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Pela evolução desses índices de preços pode ser constatado como os preços gerais da economia va riaram no período Para tanto relacionase o índice do fim do período que se deseja estudar com o do início Por exemplo a taxa de inflação do 2º semestre me dida pelo IGP está refletida na evolução apresentada entre o índice de junho início do semestre e o de dezembro fim do semestre Assim fl d In açao o 2º semestre 157656 1 70338 224141 12414 Os preços nesse período cresceram 22414 vezes indicando uma evolução de 12414 A inflação do trimestre outdez seguindo o mes mo raciocínio é medida da forma seguinte fl d 157656 6 In açao e OutDez 1 5 15 100967 A inflação verificada no mês de outubro atinge 1416 isto é fl d 115263 6 In açao eOut 1 141 100967 e assim por diante Dessa maneira a taxa de inflação a partir de ín dices de preços pode ser medida pela seguinte ex pressão onde I taxa de inflação obtida a partir de deter minado índice de preços P índice de preços utilizado para o cálculo da taxa de inflação n n t respectivamente data de determina ção da taxa de inflação e o período anterior considerado Exemplos 1 Abaixo são transcritos alguns valores divulgados do IGPdi e do INPC Índice Nacional de Preços ao Consumidor Com base nestes resultados pede se a calcular a taxa de inflação medida pelo IGP e INPC para os seguintes períodos de 20X3 ano 1 º semestre mês de dezembro b um bem que custava 500000 no início do ano quanto deve valer ao final deste ano se for corrigido pela variação do IGP e INPC c admitindo que o proprietário tenha vendido este imóvel ao final do ano pot 9000000 determinar o lucro auferido Solução a Taxa de Inflação I ANO 1576561 000 1 147656 1º semestre 708381 000 1 60838 100059341 1 158518 4345995 9341 1 63238 Dezembro 1576561353 79 1 000839349 1 1 1646 1914 b Valor Corrigido do Imóvel Pelo IGP 5000 00 í576 56 78828 00 10000 Pelo INPC 5000 00 100 00 84258 80 59341 c O lucro pode ser avaliado sob duas formas o nominal medido pela simples diferença entre o valor de venda e o de compra e o real apu rado adicionalmente à inflação No caso em questão o proprietário vendeu o imóvel apurando lucro real isto é o preço de venda excedeu ao valor de compra corrigido Assim pelo IGP apurase um lucro real de 9000000 7882800 1117200 e pelo INPC o lucro real foi menor 9000000 8425880 574120 2 Um investidor aplicou 10000000 e obteve ao final de um ano rendimentos de juros de 1200000 Sabese que no período da aplicação a inflação da economia atingiu a 56 Desenvol ver uma análise do resultado do investidor Solução O investidor apurou os seguintes resultados Rendimento nominal Inflação do período 56 X 10000000 Ganho do investidor acima da inflação ganho real 1200000 560000 640000 Valor da aplicação corrigido para o final do ano Capital corrigido 10000000 X 1056 10560000 A taxa de retorno nominal do investidor é me dida pela relação entre o ganho nominal e o valor histórico do capital investido ou seja Retorno nominal 1200000 12 10000000 O ganho real é obtido após depurarse os efeitos da inflação do investimento É calcu lado pela relação entre o rendimento real e o capital investido corrigido pela inflação em moeda de poder de compra de final do ano Retorno real 640000 6 06 10560000 Em contexto de inflação somente existe lucro ao se comparar valores expressos com mesmo poder de compra 42 Valores monetários em inflação Ao relacionar valores monetários de dois ou mais períodos em condições de inflação defrontase com Matemática Financeira e Inflação 63 o problema dos diferentes níveis de poder aquisitivo da moeda Por exemplo suponha que uma pessoa tenha ad quirido um imóvel por 6000000 em certa data e vendido dois anos depois por 8000000 Neste período a inflação atingiu 40 Qualquer avaliação com relação ao resulta do auferido nesse negócio é precipitada Lucro 8000000 6000000 2000000 principal mente ao se conhecer que os preços cresceram em média 40 no período O ganho na venda terá sido aparente nominal determinado prioritariamente pela evolução dos preços e não por uma valorização real acima da inflação do imóvel vendido Observe simplistamente que para não ocorrer prejuízo o imóvel deveria ser vendido por um pre ço de 40 maior que o seu valor de compra há dois anos ou seja por 6000000 x 1 040 8400000 Somente a partir desse valor é que existe legitimamente lucro A venda por 8000000 con forme ilustrada no exemplo indica um prejuízo real de 400000 Preço de Venda 8000000 Preço de Custo Corrigido 8400000 Assim do resultado encontrado ao comparar va lores de diferentes datas deve ser dissociado do ga nho nominal de 2000000 ou 333 de rentabi lidade auferida na venda do imóvel a parcela de resultado real produzida adicionalmente à inflação Os ajustes para se conhecer a evolução real deva lores monetários em inflação se processam mediante indexações inflacionamento e desindexações defla cionamento dos valores nominais os quais se pro cessam por meio de índices de preços A indexação consiste em corrigir os valores nomi nais de uma data em moeda representativa de mes mo poder de compra em momento posterior A de sindexação ao contrário envolve transformar valores nominais em moeda representativa de mesmo poder de compra num momento anterior Assim no exemplo comentado de compra e ven da de um imóvel observase um ganho nominal de 333 isto é Ganho Nominal 8000000 1 33 3 6000000 Em outras palavras o imóvel foi vendido por 1333 vezes o seu valor de compra Essa relação no entanto compara valores de di ferentes datas com capacidades de compra desiguais 64 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto É necessário para se conhecer o resultado real da operação expressar os valores monetários em moe da representativa de poder de compra de um mesmo momento Ao se indexar os valores para a data da venda ad mitindose uma inflação de 40 no período temse 8000000 1 476 6QQQ0QQ X 140 que representa uma evolução real negativa de 476 Note que esta taxa real negativa de 4 76 é ob tida rigorosamente pelo regime de juros compostos e não pelo critério linear Este aspecto é compatível com o próprio comportamento exponencial da for mação da taxa de inflação Desta maneira é incorre to subtrair da taxa nominal encontrada de 333 o percentual específico da inflação de 40 Itens pos teriores deste capítulo abordarão este assunto com mais profundidade Por outro lado ao desindexar os valores colocan doos em moeda da data da compra do imóvel ob témse 8000000140 1 4 76 6000000 Pelo processo de inflacionamento ou de deflacio namento apurase para o negócio um mesmo prejuí zo real depurado dos efeitos da inflação de 476 421 Comportamento exponencial da taxa de inflação O comportamento da inflação se processa de ma neira exponencial ocorrendo aumento de preço so bre um valor que já incorpora acréscimos apurados em períodos anteriores Da mesma forma que o regi me de juros compostos a formação da taxa de infla ção assemelhase a uma progressão geométrica veri ficandose juros sobre juros Por exemplo sendo de 28 14 e 30 res pectivamente as taxas de inflação dos três primeiros meses de um ano um ativo de 1200000 no iní cio do ano se corrigido plenamente pela inflação da economia apresentaria os seguintes valores ao final dos meses 1º mês 1200000 x 1028 1233600 2º mês 1233600 x 1014 1250870 3º mês 1250870 x 103 1288397 O incremento do valor do ativo no trimestre é de 703 1284386 1200000 o que equivale ao produto capitalização composta das taxas men sais de inflação isto é Inflação do Trimestre I 1028 X 1014 X 103 1 737 A taxa equivalente mensal de inflação do perío do identicamente ao regime de juros compostos é apurada Taxa Equivalente Mensal Iq 10737 1 24 ao mês Dessa forma são válidos para a inflação os mes mos conceitos e expressões de cálculos enunciados no estudo de juros compostos do Capítulo 2 Exemplos 1 A taxa mensal de inflação de um quadrimes tre atinge respectivamente 28 34 57 e 88 Determinar a taxa de inflação acumulada do período e a taxa média geométrica mensal Solução I 1028 X 1034 X 1057 X 1088 1 222 aq Iq 1222 1 515 ao mês 2 A taxa de inflação da economia de determinado ano foi de 6 78 Calcular a taxa equivalente se mestral e mensal da inflação do período Solução Equivalente Semestral Iq 1 00678 1 333 as Equivalente Mensal Iq 11 O 0678 1 0548 am 3 Sendo projetada em 091 ao mês a taxa de infla ção para os próximos 5 meses determinar a infla ção acumulada deste período Solução I para 5 meses 10091 5 1 463 p 5 meses 4 Determinado trimestre apresenta as seguintes ta xas mensais de variações nos preços gerais da eco nomia 72 29 e 12 deflação Determi nar a taxa de inflação acumulada do trimestre Solução I trim 1 0072 X 1 0029 X 1 0012 1 899 at Para uma avaliação inicial do comportamento dos valores no período são apuradas a seguir a evolu Tanto a evolução das vendas como a do índice de preços são determinadas pela divisão entre o valor de um período e o do período imediatamente anterior Pelos resultados apurados é possível concluirse que no período de 20XO a 20X3 as vendas apresen taram crescimento real positivo ou seja cresceram mais que a inflação registrada em cada ano Este comportamento é determinado por apresentarem as vendas uma evolução anual nominal superior à dos índices de preços Em 20X4 verificase um comportamento inverso crescendo as vendas nominalmente menos que a in PUtPR Biblioteca Central Matemática Financeira e Inflação 65 422 Série de valores monetários deflacionados Ao se tratar de uma série de informações monetá rias é comum trabalharse com valores deflacionados para se chegar à evolução real de cada período Um exemplo desenvolvido a seguir ilustra o cál culo do crescimento real de uma série de valores mo netários Ilustrativamente admita que se deseja conhecer o crescimento real anual das vendas de uma empresa referentes ao período 20X020X4 Os valores nomi nais de cada ano e os índices gerais de preços que servirão de ajuste dos valores das receitas de venda são transcritos a seguir ção nominal das vendas e o crescimento do índice de preços fiação Depurada a inflação podese afirmar que as vendas decresceram neste ano A partir dessas informações a taxa real de cresci mento das vendas é determinada pela divisão do ín dice de evolução nominal das vendas pelo índice de evolução dos preços de cada ano ou seja 66 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto As vendas anuais deflacionadas e a taxa de variação real do ano são também calculadas a seguir Conforme observouse as vendas apresentaram crescimento real até 20X3 decrescendo em 537oo em 20X4 Em termos acumulados o crescimento das receitas de vendas no período atingiu 213oo o qual pode ser obtido da forma seguinte ou Crescimento real de 20X020X4 3120334 1 213oo 2571500 1 01501 X 1 00896 X 1 00231 X 1 00537 1 213oo 43 Taxa de desvalorização da moeda Enquanto a inflação representa uma elevação nos níveis de preços a taxa de desvalorização da moeda TDM mede a queda no poder de compra da moeda causada por estes aumentos de preços Por exemplo se em determinado período os pre ços em geral dobraram inflação de 100oo conclui se que a capacidade de compra das pessoas redu ziuse em 50oo ou seja somente podem adquirir a metade do que costumavam consumir no passado Dizse em outras palavras que a capacidade aquisi tiva da moeda diminuiu em 50oo A taxa de desvalorização da moeda TDM para diferentes taxas de inflação pode ser obtida a partir da seguinte fórmula sendo I a taxa de inflação do período Por exemplo se em determinado período a taxa de inflação alcançar a 8oo a queda na capacidade de compra registra a marca de 74oo isto é TDM 008 008 74oo 1 008 108 A inflação de 8oo determina uma redução do po der de compra da moeda igual a 74oo isto é com este percentual de evolução dos preços as pessoas ad quirem 74oo a menos de bens e serviços que costu mam consumir Quanto maior a inflação evidentemente maior será a taxa de desvalorização da moeda definindo em consequência uma menor capacidade aquisitiva Outro exemplo permite uma melhor compreensão das taxas de inflação e de desvalorização da moeda Admita que a inflação em determinado período tenha alcançado a taxa de 40oo Este percentual in dica uma queda na capacidade de compra geral de 286oo 0414 ou o que é o mesmo ao final do período somente podem ser consumidos 714oo dos bens e serviços originais Para que o poder de com pra se mantenha inalterado as rendas das pessoas devem ser corrigidas por 40oo que corresponde à in flação verificada no período Para um salário de por exemplo 100000 o reajuste para manter inalterado o poder de com pra deve atingir 40oo passando o seu valor para 140000 Se for atribuído um reajuste salarial de 50oo o as salariado obtém um ganho real em suas rendas isto é uma correção acima da inflação Assim seu salário se eleva para 150000 que representa um reajuste adicional à inflação de 10000 ou 150000 140000 1 714oo Um reajuste salarial exatamente igual à inflação de 40 preserva o poder aquisitivo constante O sa lário passa para 140000 indicando que em mé dia pode ser adquirido ao final do período o mesmo montante de bens e serviços consumidos no início Uma correção de 25 nos salários por outro lado denota uma perda no poder de compra redu zindo o ingresso de recursos em valores reais em 15000 100000 x 125 140000 Esta correção nominal dos salários menor que a inflação equivale a uma perda real de 107 125000 140000 1 431 Inflação e prazo de pagamento Uma aplicação do conceito da taxa de desvalori zação da moeda muito utilizada na prática referese ao cálculo da perda do poder de compra do dinheiro nas operações de venda a prazo Conforme foi demonstrado o dinheiro tem dife rentes valores no tempo motivados basicamente pe las taxas de juros e da inflação Centrando o objetivo deste item unicamente na inflação a postergação do recebimento de uma venda produz uma perda infla cionária determinada pela redução do poder de com pra do dinheiro Ilustrativamente admita que uma empresa te nha vendido 10000000 para recebimento em 120 dias Sendo de 10 a taxa de inflação do período a taxa de perda inflacionária assumida pela empresa na operação atinge a TDM I 1I TDM O 1 9 09 11 Quando do recebimento do dinheiro ao final do quadrimestre seu poder efetivo de compra reduziu se para 9091 de seu valor Em outras palavras a receita de venda realizada perdeu 909 de sua capacidade aquisitiva origi nandose uma perda inflacionária de 10000000 x 909 909090 Esta perda indica em valores monetários a queda do poder de compra motivada pelo aumento nos níveis gerais de preços Nessa situação ainda a desvalorização de 909 pode ser interpretada como o desconto máximo que a empresa poderia conceder para pagamento imedia to de forma a tornar equivalente indiferente ven Matemática Financeira e Inflação 67 der a vista ou a prazo em 120 dias O desconto de 909 reduz a receita num montante exatamente igual à perda inflacionária determinada pela venda a prazo admitindose uma taxa de inflação de 10 Exemplos 1 Admita que em determinado período a inflação tenha atingido 106 Determinar a reposição salarial necessária para que um assalariado man tenha a mesma capacidade de compra b redu ção do poder aquisitivo do assalariado supondo que os seus vencimentos não sofreram reajuste no período Solução a A reposição salarial para manutenção do seu poder aquisitivo é a própria taxa de inflação de 106 Por refletir o aumento médio dos bens e servi ços consumidos na economia admitese que a correção dos salários pela taxa de inflação re põe pelo menos ao nível de uma cesta básica de bens e serviços a perda da capacidade de compra da moeda b A redução do poder aquisitivo é mensurada pela taxa de desvalorização da moeda ou seja TDM I 0 106 9 58 1 I 1106 Com a elevação de 106 nos índices de pre ços o assalariado passa a ter uma capacidade de compra 958 menor 2 Num período de inflação a moeda perde uma par te de sua capacidade de compra afetando princi palmente aqueles que não obtêm um reajuste em suas rendas Nestas condições determinar para uma pessoa que manteve inalterado o seu salário no período quanto pode adquirir ao final do mês daquilo que consumia no início Considere uma inflação de 25 no mês Solução TDM 002S 2 44 1025 A pessoa perdeu 244 de seu poder de com pra indicando uma capacidade de consumo de 9756 no final do mês do que consumia no iní cio 68 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 3 Uma loja está vendendo suas mercadorias para pagamento em 30 dias sem acréscimo Sendo de 18 ao mês a taxa de inflação determinar o per centual de perda inflacionária motivada pela ven da a prazo Solução A perda inflacionária pela venda a prazo está re fletida na taxa de desvalorização da moeda isto é TDM I 0 018 1 77 1 I 1018 Em outras palavras o dinheiro no momento do recebimento estará valendo 177 a menos de terminado pela taxa de inflação verificada no pe ríodo 4 Uma venda de 4000000 foi efetuada compra zo de pagamento de 40 dias Sendo de 2 ao mês a inflação determinar o montante da perda infla cionária desta venda e a taxa de redução do poder de compra do dinheiro Solução I 2 am ou 3Rj1 0240 1 268 p40 dias o 0268 TDM 10268 261 taxa de reduçao do poder de compra Montante da Perda 4000000 X 261 104400 44 Taxa nominal e taxa real A taxa nominal de juros é aquela adotada normal mente nas operações correntes de mercado incluin do os efeitos inflacionários previstos para o prazo da operação Constituise em outras palavras numa taxa prefixada de juros que incorpora as expectati vas da inflação É importante separar claramente a taxa nominal de juros que mede o resultado de uma operação em valor corrente da taxa nominal linear estudada nos dois primeiros capítulos que indica a descapitaliza ção do juro de forma proporcional juros simples Em contexto inflacionário ainda devem ser iden tificadas na taxa nominal prefixada uma parte de vida à inflação e outra definida como legítima real que reflete realmente os juros que foram pagos ou recebidos Em consequência o termo real para as operações de Matemática Financeira denota um resultado apu rado livre dos efeitos inflacionários Ou seja quanto se ganhou ou perdeu verdadeiramente sem a in terferência das variações verificadas nos preços O objetivo do cálculo da taxa real r é o de expur gar a indexação da taxa total de juros nominal de maneira a expressar o juro real Por exemplo foi publicado que a remuneração das aplicações em determinado título atingiu 128 num período sendo de 92 a taxa de inflação des te intervalo de tempo Logo quem aplicou ilustrati vamente 10000000 no início do período obteve um rendimento nominal de 1280000 128 x 10000000 no período totalizando um montante de 11280000 Por outro lado para manter inalterado o seu poder de compra o capital acumulado do aplica dor deve atingir ao final do período a soma de 10920000 10000000 x 1092 Como o valor de resgate soma 11280000 concluise pela exis tência de um lucro real em valores monetários de 360000 11280000 10920000 Isto é o aplicador obteve um ganho real acima do princi pal investido corrigido pela inflação de 360000 Em termos percentuais o retorno real da operação determinado pela relação entre o lucro ganho e o valor aplicado ambos expressos em moeda de mes mo poder de compra é igual a 33 360000 10920000 De uma maneira geral a fórmula de apuração da taxa real é a seguinte Substituindose os valores do exemplo acima na expressão de cálculo de r temse r 1 O 128 1 1128 1 3 3 1 0092 1092 A partir da identidade da taxa real podese calcu lar a taxa nominal e a taxa de inflação i I r X I n 1 A taxa real também pode ser negativa desde que a inflação supere a variação nominal dos juros Por exemplo sabese que no mesmo período da ilustra ção anterior o dólar apresentou uma evolução de 75 abaixo portanto da inflação de 92 Quem aplicou 10000000 neste ativo no período conse guiu resgatar 10750000 10000000 x 1075 Como precisava obter um montante de 10920000 para manter o poder de compra da moeda com base na taxa de inflação da economia concluise que o investidor teve uma perda real de 170000 10750000 10920000 Ou em termos percen tuais a perda real atingiu a taxa negativa de 156 170000 10920000 Em outras palavras o aplicador obteve somente 9844 10750000 10920000 do valor de seu investimento corrigido perdendo em consequên cia 156 em capacidade de compra Pela expressão de cálculo da taxa real temse r 1 variação nominal do dólar 1 1 taxa de inflação 1 o 075 1 1 56 1 0092 Exemplos 1 Uma pessoa aplicou 40000000 num título por 3 meses à taxa nominal de 65 at Sendo de 40 a inflação deste período demonstrar os ren dimentos nominal e real auferidos pelo aplicador assim como as respectivas taxas de retorno Solução Valor de Resgate 40000000 x 1065 42600000 Valor Aplicado Rendimento Nominal c 40000000 2600000 Esta expressão de cálculo foi originalmente proposta por Irving Fisher The Theory of Interest New York The Macmillan 1930 por isso sua utilização é conhecida como efeito Fisher Matemática Financeira e Inflação 69 Rentabilidade Nominal i 2600000 40000000 65 at ou 1065 1 212 am Perda pela Inflação do Trimestre 40000000 X 4 Rendimento Real Rentabilidade Real r 1600000 1000000 1000000 2 40 70 at 40ÜÜÜÜÜÜ X 104 ou V1024 1 079 am A taxa real pode ser obtida pelo emprego direto da fórmula 1 i 1 1 0065 1 2 40 r 70 a t 11 1004 2 Suponha que uma pessoa adquira no início de determinado ano um imóvel por 6000000 vendendoo dois anos após por 8532000 Sendo de 311 a inflação deste biênio pedese determinar a rentabilidade nominal e real anual produzida por esta operação Solução Rentab Nominal i Preço de venda 1 Preço de compra 8532000 1 42 20 bA r 70 ao ren10 6000000 i J1 0422 1 1925 ao ano 1 i Rentab Real r 1 11 r 1 0422 1 1422 1 1 0311 1311 847 ao biênio r J10847 1 415 ao ano 45 Taxa referencial TR A taxa referencial é apurada a partir das taxas pre fixadas de juros praticadas pelos bancos na colocação de títulos de sua emissão A TR é utilizada como um indexador em diversos contratos de financiamentos 70 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto inclusive nos pagamentos de seguros e também em aplicações financeiras como a caderneta de pou pança A TR é calculada e divulgada pelo Banco Central e obedece à seguinte metodologia de apuração diariamente os principais bancos captadores de recursos informam ao Banco Central suas taxas de juros pagas aos aplicadores em certi ficados e recibos de depósitos bancários prefi xados de emissão de 30 a 35 dias o Banco Central calcula então a média ponde rada dos juros pagos pelo mercado bancário sendo esta taxa média conhecida por Taxa Bá sica Financeira TBF A TBF representa dessa forma o custo médio de captação dos bancos na colocação de seus títulos de renda fixa no mercado sobre a taxa básica financeira o Banco Central aplica um redutor obtendo assim a Taxa Refe rencial TR Por exemplo se a TBF e a TR publicadas em deter minado dia atingirem respectivamente 11723 e 06787 sabese que o redutor aplicado sobre as ta xas de juros usadas na remuneração aos aplicadores de CDB será de 04936 O cálculo do redutor segue em essência os crité rios de política econômica de competência do Banco Central Ao elevar o valor do redutor a autoridade monetária imprime menor custo ao tomador do em préstimo corrigido em TR e ao mesmo tempo re duz os rendimentos dos aplicadores em caderneta de poupança De maneira inversa ao diminuir o redutor pro move uma elevação do empréstimo indexado à TR incentivando ainda as aplicações em caderneta de poupança pelo aumento de seus rendimentos 46 Caderneta de poupança A caderneta de poupança é considerada a moda lidade de aplicação financeira mais popular do mer cado Seus principais atrativos encontramse na li quidez imediata o aplicador pode sacar seu saldo a qualquer momento na garantia de pagamento dada pelo governo e na isenção de impostos A remuneração da caderneta de poupança está atualmente fixada pela TR mais 05 am de juros sendo creditada mensalmente para os depositantes pessoas físicas As contas de pessoas jurídicas têm os rendimentos creditados a cada trimestre O cálculo dos rendimentos tem por base sempre o menor saldo mantido pelo aplicador no período Exemplo Admita uma aplicação de 750000 em caderne ta de poupança por dois meses A TR definida para cada mês na data de aniversário é a seguinte Mês 1 06839 am Mês 2 07044 am Determinar a saldo disponível do aplicador ao final de cada período A remuneração da caderneta de poupança é for mada pela TR definida para a data de aniversário mais juros de 05 am Logo MÊS 1 FV1 750000 X 1006839 X 1005 FV1 758905 MÊS 2 FV2 758905 X 1007044 X 1005 FV2 768072 b rentabilidade efetiva da aplicação Rentabilidade Acumulada do Período bi mestre i 1006839 X 1007044 X 1005 2 1 i 241 ab Rentabilidade Mensal i 10241112 1 i 1198 am Exercícios resolvidos 1 No primeiro mês de um ano a taxa de inflação foi de 127 No segundo mês foi de 156 e no terceiro mês de 189 De quanto foi a inflação acumulada no trimestre Solução O crescimento da inflação se processa de forma exponencial igual a juros compostos Logo 1 1 00127 X 1 00156 X 1 00189 1 479 at 2 Determinar a variação real do poder aquisitivo de um assalariado que obtém em determinado se mestre um reajuste salarial de 12 admitindo que a inflação do período tenha atingido a a 8 b 12 c 20 Solução a r 1 12 1 3 7 108 112 1 hl r nL L 112 b c r 112 1667 120 3 Sabese que o preço a vista de um imóvel é de 7800000 Na hipótese de serem oferecidos uma entrada de 40 e o saldo restante após um se mestre determinar o valor deste pagamento sa bendose que a taxa de inflação projetada para um ano atinge 21 Solução Valor a Financiar 7800000 40 4680000 Valor Corrigido do Pagamento 4680000 X 121 5148000 4 A taxa nominal de juros explicitada num emprés timo é de 12 ao ano Tendo ocorrido uma varia ção de 54 nos índices de preços neste mesmo período determinar a taxa real anual de juros do empréstimo Solução r 1i 1 1012 1 1 I 1 0054 1 12 1 6 26 1054 S Uma aplicação de 3860000 pelo prazo de 7 meses gera um resgate de 4840000 Sendo os juros reais de 15 am calcular a taxa de corre ção monetária mensal e a taxa nominal de juros desta operação Matemática Financeira e Inflação 71 Solução FV 4840000 CM PV 3860000 i r 15 am 4840000 o L 1 2539 Vo p7 meses 3860000 Taxa Nominal i Z1 2539 1 329 am C NM CM 1 i 1 orreçao onetana 1r 1 o 0329 1 1 76 am 1 0015 6 Calcular a rentabilidade nominal anual de uma caderneta de poupança que paga juros reais de 05 am sendo de 75 a correção monetária do ano Solução i 1 0005 12 X 1 1075 1 1413 aa 7 Os índices gerais de preços referentes ao primeiro semestre de 20X6 são os seguintes Com base nesses valores calcular a evolução dos preços no semestre b evolução mensal dos preços c se as inflações de julho e agosto de 19X6 atin girem respectivamente 113 e 097 de terminar o índice de preços que deve vigorar em cada um desses meses Solução a sem 16201 1 8 95 14870 I Jall 15007 1 o 92 14870 72 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Ifev 15215 1 1 39 15007 1mar 15398 1 1 20 15215 Jabr 15721 1 2 10 15398 1maio 15813 1 o 58 15721 I JUn 16201 1 2 45 15813 c Índicejul 16201 x 10113 16384 Índiceago 16384 x 10097 16543 8 Um financiamento em moeda estrangeira US cobra juros de 80 aa mais variação cambial Sendo de 45 a variação cambial do dólar e de 68 a inflação da economia pedese calcular a taxa real de juros com base no dólar e na inflação Solução Moeda estrangeira Taxa real de juros 80 aa Taxa nominal de juros 1081045 1 1286 Inflação da economia Taxa real lOB l04S 1 567 1068 O devedor em dólar obteve um custo real menor em razão da inflação da economia superar a va riação cambial Exercícios propostos 1 Uma aplicação rendeu 295 de taxa nominal em determinado mês Sabendo qÚe a variação cambial do dólar em relação à moeda nacional foi de 18 e a inflação da economia de 22 no mesmo período determinar a rentabilidade real da aplicação em relação à inflação interna e à variação cambial 2 Qual o custo real mensal de uma operação de financiamento por 5 meses sabendose que os juros nominais cobrados atingem 28 ao mês e a inflação de todo o período 12 3 Uma pessoa levanta um empréstimo para ser li quidado ao final de 4 meses pagando uma taxa real de juros de 20 ao ano Determinar a taxa nominal equivalente mensal de juros desta ope ração ao se prever para cada um dos meses con siderados respectivamente as seguintes taxas de inflação 15oo 12oo 22oo e 1 7 4 Um banco oferece duas alternativas de rendi mentos para aplicação em título de sua emissão a taxa prefixada de 50 aa b correção monetária pósfixada mais juros de 20 aa Qual a taxa de correção monetária anual que de termina os mesmos rendimentos para as duas al ternativas S Um imóvel foi adquirido por 300000 em de terminada data sendo vendido por 3000000 quatro anos depois Sendo a taxa de inflação equivalente em cada um desses anos de 100 determinar a rentabilidade nominal e real anual desta operação 6 Em determinado período a variação cambial do dólar foi de 15oo enquanto a inflação da econo mia atingiu 175 Admitindo que uma dívida em dólar esteja sujeita a juros de 16 no pe ríodo mais variação cambial determinar o custo real da operação em dólar em relação à inflação da economia 7 Os rendimentos nominais mensais da caderneta de poupança no segundo trimestre de determi nado ano foram os seguintes abril i 3 984 maio i 3763 junho i 3400 a Determinar o rendimento nominal acumu lado da caderneta de poupança no trimes tre b Com base nas variações mensais do índice de preços ao consumidor demonstradas a seguir apurar a rentabilidade real da cader neta de poupança no trimestre abril 2 90 maio 221 junho 439 8 Sendo de 98 a inflação de determinado se mestre calcular a variação real do poder de compra de um assalariado admitindo que r a não tenha ocorrido reajuste de salário no período b o salário tenha sido corrigido em 53 c o salário tenha sido corrigido em 121 9 A correção monetária de um empréstimo basea da no IPC em determinado período foi de 24 Neste mesmo período os índices gerais de pre ços da economia variaram 30 Se for de 14 a taxa real de juros apurar o custo real efetivo do empréstimo no período em relação ao IGP da economia 10 Em determinado semestre em que a inflação al cançou a marca dos 15 os salários foram rea justados em 115 Determinar a perda efetiva no poder de compra do assalariado 11 Admita que uma pessoa deseja ganhar 25 ao ano de taxa real em suas aplicações financeiras Projetandose a inflação no valor médio mensal de 18 nos próximos 3 meses e de 10 ao longo dos 3 meses seguintes determinar a taxa nominal mensal que a pessoa deve aplicar seus recursos no semestre 12 Um investidor adquiriu um título por 4000000 e o resgatou 70 dias após por 4199700 Sa bendo que a correção monetária deste período atingiu a 66 pedese determinar a rentabili dade real mensal auferida pelo investidor 13 Sendo de 11835 a inflação de determinado ano calcular a taxa média equivalente mensal 14 Até abril de um ano a inflação atingiu a 44 Mantendose em 11 a taxa mensal de inflação até o fim do ano calcular a inflação acumulada do período 15 A inflação de certo mês atingiu 394 Tendo este mês 20 dias úteis de terminar a taxa de in flação por dia útil 16 Um índice de preços ao consumidor publicado apresentou os seguintes valores para o segundo trimestre de um ano abril 73918 maio 78643 e junho 82823 Sendo de 46 31 e 39 respectivamente as taxas de inflação de julho agosto e setembro determinar o va lor mensal deste índice de preços ao consumidor para o terceiro trimestre deste ano 17 Sendo de 22 a taxa de inflação de determina do mês e de 18 a taxa do mês seguinte deter minar a redução no poder de compra verificada no bimestre Matemática Financeira e Inflação 73 18 Sendo de 118 a taxa de desvalorização da moeda em determinado período calcular a in flação que determinou este resultado negativo no poder de compra da moeda 19 Os índices gerais de preços IGP referentes aos seis primeiros meses de determinado ano no Brasil foram Dezx8 Janx9 107325 108785 Fevx9 110039 Marx9 112035 Abrx9 Maiox9 Junx9 Pedese calcular 114614 115071 118090 a taxa de inflação dos meses de janeiro feve reiro e março de x9 b inflação do primeiro trimestre de x9 c taxa média mensal de inflação do primeiro trimestre de x9 d taxa de inflação do semestre e considerando de 224 a inflação de julho apurar o IGP do mês 20 A taxa de inflação verificada em cada um dos quatro primeiros meses de determinado ano é apresentada a seguir I 092 Jan Ifev 035 mar 053 deflação abr 7 101 Pedese determinar a taxa acumulada de inflação do quadrimestre e a equivalente mensal 21 Um empréstimo em dólar foi contratado à taxa real efetiva de 14 ao ano mais variação cam bial pelo prazo de três meses Os índices de cor reção cambial atingem para cada um dos meses da operação respectivamente 118 127 e 109 Admitindo que a operação seja liquidada ao fi nal do trimestre determinar o custo efetivo no minal trimestral e mensal do empréstimo 22 Admita uma instituição financeira que deseja obter uma remuneração real de 15 am em suas operações de crédito Sendo de 09 am 74 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto a taxa esperada de inflação pedese calcular a taxa nominal de juros a ser cobrada 23 Os rendimentos trimestrais acumulados de uma caderneta de poupança em determinado ano fo ram 1º trimestre 198 22 trimestre 211 32 trimestre 221 Para que se obtenha um rendimento total de 12 aa qual deveria ser a taxa de remunera ção da caderneta de poupança no último trimes tre 24 Admita que o governo tenha fixado uma meta de inflação IGPM de 22 no primeiro trimes tre do ano de X2 A tabela a seguir apresenta os índices de preços dos primeiros meses do ano Qual deve ser o IGPM de marçoX2 para que se obtenha a taxa de inflação projetada de 22 para o ano DezX1 21334 JanX2 21502 FevX2 21701 MarX2 25 Admita as seguintes informações de três aplica ções financeiras Fundo de investimento A remuneração 105 aa taxa efetiva tributação 25 s os rendimentos nomi nais Caderneta de poupança remuneração taxa de juros de 6 com capitalização linear mensal mais corre ção pela TR tributação isento Fundo de investimento B remuneração 975 aa taxa efetiva tributação 20 s os rendimentos nomi nais A taxa de inflação projetada da economia para o próximo mês IPCA é igual a 05 Pedese cal cular a rentabilidade real líquida mensal e anual de cada alternativa de investimento Respostas 1 r inflação 073 r câmbio 113 2 r 25 p5 meses r 0496 am 3 i 1345 aq i 32 am 4 I 25 S i 7783 aa r 1109 aa 6 r 1353 7 i 1157 at r 162 at 8 a 893 b 41 c 209 9 873 10 304 11 33 am 12 r 15 p70 dias r 065 am 13 I 237 am 14 I 1395 15 I 0193 pdia útil 16 Julho 86633 Agosto 89318 Setembro 92802 17 388 18 I 1338 19 a ljan 136 lfev 115 lmar 181 b ltrim 439 c 1média 144 am d lsem 100 e IGPiuL 120735 20 Iquadr 175 1mensal 044 21 i 703 at i 229 am 22 i 241 am Matemática Financeira e Inflação 75 23 i 523 at 24 IGPM 21804 25 Fundo A 0133 am 16 aa Caderneta de poupança 05 am 61678 aa Fundo B 01272 am 15374 aa 5 Matemática Financeira e Empréstimos para Capital de Giro A Matemática Financeira encontra importantes aplicações práticas no âmbito das atividades comer ciais tanto no que se refere às operações bancárias de crédito comercial como em avaliações de estra tégias de compras e vendas mercantis Este capítulo tem por objetivo básico o estudo das várias modali dades de empréstimos bancários de curto prazo diri gidos ao capital de giro das empresas As operações de desconto bancário uma das for mas mais tradicionais de financiamento do capital de giro das empresas incorporam além da taxa de des conto paga a vista certas características de tributa ção IOF e de despesas bancárias que impõem um maior rigor na determinação de seus resultados A mesma atenção ainda deve ser dispensada às demais operações bancárias de crédito comercial cujos custos finais geralmente se elevam pela cobran ça de taxas e comissões adicionais 51 Descontos de duplicatas O Capítulo 3 dedicouse integralmente ao estudo das operações de desconto e de seus tipos conheci dos desconto racional ou por dentro e desconto ban cário ou comercial ou por fora Este item a partir dos conhecimentos extraídos do referido capítulo tem por objetivo desenvolver a prática de cálculo dos encargos financeiros e da taxa efetiva de custo das operações bancárias de desconto de duplicatas defi nidas por desconto bancário ou por fora Conforme foi apresentado a operação de descon to envolve basicamente a negociação de um título re presentativo de um crédito em algum momento an terior à data de seu vencimento É interpretado em outras palavras como uma cessão dos direitos exis tentes sobre um título em troca de alguma compen sação financeira As operações de desconto praticadas pelos ban cos comerciais costumam apresentar os seguintes en cargos financeiros os quais são geralmente cobrados sobre o valor nominal do título valor de resgate e pagos a vista descontados no momento da liberação dos recursos a Taxa de Desconto nominal Segue as carac terísticas de desconto bancário estudadas no Capítulo 3 Basicamente representa a relação entre os juros e o valor nominal do título Esta taxa costuma ser definida em bases mensais e empregada de forma linear nas operações de desconto b IOF Imposto sobre Operações Financeiras Identicamente à taxa de desconto este percen tual é calculado linearmente sobre o valor no minal do título e cobrado no ato da liberação dos recursos c Taxa Administrativa Cobrada muitas vezes pelas instituições financeiras visando cobrir certas despesas de abertura concessão e con trole do crédito É calculada geralmente de uma única vez sobre o valor do título e des contada na liberação dos recursos Esses encargos financeiros do desconto bancário são referenciados para o cálculo de seus valores mo netários pelo critério de juros simples Evidentemen te para uma apuração rigorosa da taxa de juros efe tiva destas operações é adotado o regime composto conforme amplamente discutido Foi estudado ainda no Capítulo 3 item 32 a taxa implícita de juros admitida no desconto por fora ou bancário a qual é calculada com base nos crité rios por dentro A fórmula direta de apuração desta taxa racional de juros para todo o período da opera ção foi colocada como Adaptandose essa equação mediante a inclusão da despesa de IOF temse a expressão de cálculo do custo efetivo para todo o período da operação sendo d e IOF taxas representativas de todo o período do desconto Por exemplo atingindo a 38 ao mês a taxa de desconto bancário taxa nominal 00041 ao dia o IOF e um prazo de desconto de 60 dias o custo efe tivo desta operação aplicandose a fórmula direta de cálculo atinge 0038 X 2 0000041 X 60 l 1 0038 X 2 0000041 X 60 007846 8 51 ab 092154 Em termos de juros compostos a taxa efetiva mensal é a equivalente ou seja i 110851 1 417 am Matemática Financeira e Empréstimos para Capital de Giro 77 Admitindose por outro lado que o valor nominal resgate do título descontado dois meses antes de seu vencimento e nas demais condições anteriores seja de 4000000 temse os seguintes resultados Valor Nominal do Título 4000000 Desconto 4000000 x 0038 x 2 304000 IOF 4000000 X 0000041 X 60 9840 Valor Líquido Liberado 3686160 O custo efetivo a partir desses resultados é de terminado por i Valor Nominal do Título 1 Valor Líquido Liberado i 4000000 1 851 ab 3686160 Em termos mensais o custo efetivo atinge a i 110851 1 417 am ou Encargos Financeiros Totais l Valor Líquido Liberado i 304000 9840 851 ab 417 am 3686160 Exemplos 1 Suponha o desconto de uma duplicata de valor nominal de 1500000 descontada 50 dias antes de seu vencimento A taxa de desconto nominal cobrada pelo banco é de 33 am e o IOF atinge a 00041 ao dia Determinar o valor líquido li berado e o custo efetivo desta operação Solução FV 1500000 n 50 dias d 33 am IOF 00041 ao dia Pela fórmula direta temse a seguinte taxa implí cita de juros 0033 X 5030 0000041 X 50 i 1 0033 X 50300000041 X 50 i 0 05705 6 05 50 dias o 94295 p 78 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto que equivale no regime de juros compostos à taxa de 10605 30150 1 359 am A demonstração financeira dos resultados dessa operação é processada da maneira seguinte Valor Nominal do Título 1500000 o 033 Desconto 1500000 x x 50 30 82500 IOF 1500000 X 0000041 X 50 Valor Líquido Liberado 3075 1414425 O custo efetivo a partir desses resultados é apu rado i 15000 00 1 605 p50 dias 1414425 359 am ou i 825 00 30 75 605 p50 dias 1414425 359 am 2 Admita no exercício acima que a instituição finan ceira cobra ainda 15 de taxa administrativa Calcular o valor líquido liberado e o custo efetivo da operação incluindo essa despesa adicional Solução Valor Liberado Anterior 1414425 Taxa Administrativa 1500000 X 0015 22500 Valor Líquido Liberado 1391925 O cálculo do desconto e valor líquido liberado do borderô pode mais facilmente ser processado por meio do prazo médio isto é 1500000 X 27 2800000 X 39 n 1500000 2800000 1100000 X 42 3200000 X 36 1100000 3200000 n 361744 dias Logo O custo efetivo do desconto se eleva para i 1500000 1 7 76 50 dias 1391925 p 459 am ou l 82500 3075 22500 776 p50 1391925 dias 459 am 3 Admita que uma empresa tenha apresentado a um banco o seguinte borderô de duplicatas para desconto Sendo de 45 am a taxa de desconto cobrada pelo banco e de 00041 ad o IOF incidente sobre a operação determinar a valor do desconto calculado pelo banco b valor líquido liberado ao cliente c custo efetivo mensal pelo custo médio ponde rado Solução Custo Efetivo Mensal i 8600000 1 59 36 1744 dias 8120596 p Utilizando a fórmula direta i QQQ15 ÜÜÜÜ041 X 361744 1 ÜÜÜ15 ÜÜÜÜÜ41 X 361744 00557 59 36 1744 dias o 9443 p O custo efetivo mensal é apurado pela taxa equi valente ou seja i 1059301361744 1 487 am 4 Suponha que um banco tenha definido em 41 a a a taxa efetiva de juros que deseja ganhar em suas operações de desconto Para uma operação de 72 dias determinar a taxa nominal mensal de desconto que deve cobrar Solução A taxa efetiva de 41 aa equivale a 711 para 72 dias i 141 721360 1 711p72dias A fórmula da taxa efetiva de juros a partir de uma taxa de desconto é expressa conforme demonstrado da forma seguinte Logo ildd iidd idid idli Substituindo d 00711 6 64 72 dias 1 00711 p d 6 64 x 30 277 am 72 Observe que a taxa nominal de 664 para 72 dias determina uma taxa efetiva de 711 no período 006641 00664 Capitalizandose esta taxa para um ano chegase evidentemente nos 41 de juros desejados 10711360150 1 41 aa Matemática Financeira e Empréstimos para Capital de Giro 79 52 Commercial papers Os commercial papers ou notas promissórias são títulos de curto prazo que as empresas emitem visan do captar recursos no mercado para financiar suas necessidades de capital de giro É uma alternativa às operações de empréstimos bancários convencionais permitindo geralmente uma redução nas taxas de ju ros pela eliminação da intermediação financeira ban cária Os commercial papers imprimem ainda maior agilidade às captações das empresas determinada pela possibilidade de os tomadores negociarem di retamente com os investidores de mercado bancos fundos de pensão etc Os custos de emissão desses títulos são em geral formados pelos juros pagos aos aplicadores comis sões e despesas diversas publicações taxas de regis tro na Comissão de Valores Mobiliários etc Os commercial papers costumam ser negociados com desconto sendo seu valor de face valor nomi nal pago por ocasião do resgate Os títulos podem ser adquiridos no mercado ou por meio de fundos de investimentos Exemplos 1 Admita que uma empresa tenha emitido 35 mi lhões em commercial papers por 180 dias A re muneração oferecida aos aplicadores é uma taxa de desconto de 12 ao mês 72 ao semestre A empresa incorre ainda em despesas diversas equivalentes a 04 do valor da emissão Calcular o valor líquido recebido pela empresa emitente e o custo efetivo mensal da operação Solução Valor Líquido Recebido Valor nominal Desconto 3500000 x 72 Despesas diversas 3500000 X 04 3500000 252000 14000 Valor líquido recebido 3234000 Custo Efetivo i 350000016 1 1 32 am 3234000 2 Admita uma nota promissória de seis meses nego ciada no mercado por 98940 sendo seu valor nominal igual a 100000 O título paga varia ção do IGPM mais 128 a a de juros Sendo de 80 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 21 a variação monetária do semestre pedese determinar o valor de resgate e a taxa nominal de retorno obtida pelo investidor Solução Valor de Resgate do Título Resgate 100000 x 1 0021 x 1 0128 112 Resgate 108438 Taxa Nominal de Retorno 108438 J 1 semestre 98940 NOMi 108438 1 9 60 as 98940 1096116 1 154 am 10962 1 2012 aa 53 Contas garantidas e o método hamburguês Esse tipo de conta é uma forma de crédito rotativo no qual é definido um limite máximo de recursos que poderá ser sacado Representa em outras palavras uma conta de saldo devedor em que o cliente saca a descoberto e os juros são calculados periodicamente sobre o saldo médio utilizado A determinação dos encargos financeiros sobre os valores devedores é geralmente processada por capi talização simples por meio do denominado método hamburguês O exemplo ilustrativo a seguir permite melhor entendimento do funcionamento das contas garanti das e do método hamburguês para cálculo dos ju ros incidentes sobre os saldos devedores Assim admita uma conta garantida com limite de 50000000 contratada por 2 meses e aberta no dia 1501 Os encargos financeiros fixados para a opera ção são juros nominais de 39 ao mês debitados ao final de cada mês e uma taxa de abertura de crédi to TAC de 2 cobrada no ato e incidente sobre o limite Sabese que no período da operação foram reali zadas as seguintes movimentações na conta garan tida MÊS 1 Dia 15 Saque de 25000000 data da abertu ra da conta Dia 20 Saque de 10000000 MÊS2 Dia 01 Saque de 5000000 Dia 10 Depósito de 4000000 Dia 18 Saque de 3500000 Dia 22 Saque de 5000000 Conforme se observa nas movimentações o de vedor da conta pode também processar créditos me diante depósitos em sua conta garantida Os resultados das várias movimentações realiza das na conta garantida são apresentados a seguir TAC Taxa de Abertura de Crédito 50000000 X 2 1000000 Número de Dias indica o número de dias que o saldo permanece descoberto sujeito a juros O cálculo dos juros pelo método hamburguês envolve o produto da taxa proporcional diária dos juros pelo também produto do saldo devedor e quan tidade de dias em que esses valores tenham perma necido acumulados Ou seja em que taxa de juros proporcional diária SD saldo devedor D número de dias que o saldo perma nece inalterado Assim para o primeiro mês temse o seguinte montante de juros o 039 Juros x 526000000 683800 30 Esse valor conforme aparece no quadro anterior Uuros em 3101 é debitado na conta do mutuário no último dia do primeiro mês Para o segundo mês os juros somam 0039 Juros x 1210830200 1574080 Matemática Financeira e Empréstimos para Capital de Giro 81 E para todo o bimestre 0039 Juros x 1736830200 2257880 Exemplo 1 Admita um cliente que mantenha um cheque es pecial com limite definido de 20000000 Ao final do mês de junho o banco expede um extra to de movimentação do período conforme ilus trado a seguir Sabendose que esse banco cobra 32 am de juros determinar os encargos to tais do mês que devem ser debitados na conta do cliente Solução TOTAL 21 247600000 J T d MA oo32 246 00 26 uros otms o es x 7 000 4107 30 82 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 531 Cálculo do custo efetivo Nessa modalidade de operação conforme comen tado é geralmente cobrada uma taxa de juros defi nida em bases mensais e também uma taxa de aber tura de crédito TAC Esta taxa de crédito cobrada no momento da liberação dos recursos eleva o per centual de juros cobrados O critério básico de se apurar o custo efetivo de uma conta garantida pode ser expresso no seguinte diagrama de fluxo de caixa mensal Limite da conta TAC t 11 Juros 21 meses Juros Juros Limite da conta O custo efetivo final será evidentemente a taxa interna de retorno deste fluxo de entradas e saídas de caixa Por exemplo suponha uma conta garantida que cobra juros de 26 am debitados mensalmente e uma TAC de 15 Determinar o custo efetivo ad mitindo que a conta garantida tenha sido contratada por a 30 dias b 60 dias c 90 dias Assim para um prazo de 30 dias temse o seguin te custo Limite da conta 10000 TAC Crédito liberado 9850 1 mês Juros 260 Limite 1 0000 10260 c 10260 1 4 160 Custo E1etivo r 70 am 9850 Observe que a comissão de abertura de crédito eleva o custo da conta garantida por 30 dias de 26 para 416 am Sendo de 60 dias o prazo da conta temse 10000 l1áQ 9850 t 21 meses 260 10000 10260 c 260 10260 Custo E1etivo r j 9850 2 1 i 1 i Resolvendose i 339 am Finalmente para 90 dias o custo atinge a 10000 f1áQ 9850 r Custo Efetivo i j 98 50 260 260 10260 1 i 1 i2 1 i3 Resolvendose i 313 am 3 meses 260 10000 10260 O custà final se reduz à medida que se eleva o prazo da conta garantida Este comportamento é ex plicado pela maior diluição da TAC cobrada uma única vez no ato de liberação do crédito pelos me ses da operação 54 Operações de fomento comercial factoring As operações de factoring visam financiar o giro das empresas por meio da compra de direitos credi tórios decorrentes de vendas mercantis realizadas a prazo e também prestar serviços associados a essa aquisição Como provedora de crédito a operação de facto ring consiste na cessão venda de direitos de cré ditos representados geralmente por duplicatas de r I um sacador tomador de recursos a uma instituição compradora jactar mediante um deságio no valor nominal dos ativos negociados O Jactar adquire es ses direitos creditórios seguindo geralmente a me todologia de cálculo de um desconto de duplicatas conforme demonstrada no Capítulo 3 pagando ao cedente um valor descontado A atuação das sociedades de fomento comercial ampliouse bastante no Brasil incluindo principal mente as prestações de serviços associados à gestão comercial de pequenas e médias empresas como a administração de fluxos de caixa assessoria na ges tão de estoques e controles de valores a pagar e a receber Como municiadora de créditos para giro o facto r adquire ativos por meio da aplicação de um fator so bre o preço dos títulos de créditos negociados Esse fator deve ser capaz de cobrir todas as despesas ope racionais o custo do dinheiro os impostos e apurar ainda uma margem de lucro para a empresa de fo mento A formulação geralmente adotada para o fa tor de fomento é apresentada da forma seguinte Custo do Dinheiro também denominado de taxa de fundeamento dos recursos Constituise em essência no custo médio ponderado do capital CMPC de terceiros levantado pela empresa de fac toring para financiar a operação e no custo de opor tunidade calculado para o capital próprio utilizado Para ilustrar o cálculo do custo médio ponderado admita que uma empresa de factoring esteja operan do com a seguinte estrutura de capital Capital próprio Empréstimos bancários Custo dos empréstimos bancários Ki Custo do capital próprio Ke 70 30 17 am 24 am O custo do dinheiro CMPC que deverá fundear a operação de factoring atinge a CMPC Ke X 70 Ki X 30 CMPC 24 X 070 17 X 030 219 am Despesas incluem basicamente as despesas fixas e variáveis inclusive as bancárias calculadas Matemática Financeira e Empréstimos para Capital de Giro 83 como uma porcentagem das receitas mensais totais dofactor Para ilustrar admita que as despesas incorridas sejam equivalentes a 15 das receitas mensais da sociedade Margem de lucro representa o ganho espera do pela sociedade de factoring em suas operações Essa margem é geralmente um percentual sobre o va lor de face dos títulos adquiridos Admita que a margem de lucro desejada do facto r seja de 18 am Impostos incluem PIS Cofins e CPMF Cons tribuição Provisória sobre Movimentação Financei ra Na ilustração considere que esses impostos atin gem a 1 das receitas O cálculo do fator de uma operação de factoring é formado da forma seguinte Custo total 219 15 18 549 Fator de Factormg 5 49 555 1 001 A transformação do fator de factoring para taxa de desconto processase por meio da fórmula apre sentada o 0555 Taxa de Desconto d 526 10555 que representa a taxa a ser aplicada sobre o valor no minal do título adquirido Por exemplo um título de 7200000 com ven cimento para 30 dias é adquirido pela sociedade de factoring de uma empresa cliente por 7200000 x 1 00521 6821280 o que equivale a um custo efetivo de 555 am Exemplo Admita uma sociedade de fomento comercial que esteja avaliando a aquisição de 38 milhões em du plicatas de uma empresacliente O prazo de venci mento dos títulos é de 70 dias Afactoring irá finan ciar a operação mediante um empréstimo equivalente a 22 do valor da operação captado a um custo efe tivo de 16 ao ano antes do benefício fiscal Ores tante do capital necessário para a compra dos ativos será financiado por recursos próprios com um custo efetivo anual de 24 Admita que a alíquota de im posto de renda da sociedade seja de 34 As despesas da factoring equivalem a 12 de suas receitas e seu ganho esperado nas operações de cré 84 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto dito atinge 15 sobre o valor dos títulos adquiridos Os impostos incidentes sobre as receitas da operação de crédito somam 1 Pedese determinar o fator de factoring em taxa efetiva e em taxa de desconto Solução Custo do Dinheiro Estrutura de Financiamento Capital próprio Capital de Terceiros Custo do Capital Próprio Ke Custo do Capital de Terceiros Ki antes do IR 78 22 24 aa 16 aa Deve ser deduzido o benefício fiscal da socie dade tomadora dos recursos Para uma alíquota sugerida de IR de 34 temse Ki após IR 16oo X 1 034 1056 Logo o custo do dinheiro dafactoring calcula do pelo conceito de custo médio ponderado de capital CMPC atinge CMPC 24 X 078 1056 X 022 CMPC 210 aa Despesas e Margem de Lucro Desejada 12 15 27 Impostos sobre Receitas 10 Fator de Factoring E 1axa 1etiva 210 27 2394 aa 1 001 Equivalendo a 426 para 70 dias prazo da operação Taxa de desconto d i O 0426 1 l 1 o 0426 41 para 70 dias O critério adotado de cálculo do fator de factoring foi a descapitalização da taxa custo efetiva anual de 2394 para o período da operação 70 dias Com isso apurase uma taxa de desconto para os 70 dias da operação Em outras palavras uma taxa de desconto de 41 para um prazo de 70 dias equiva le em termos de juros compostos a uma taxa efetiva anual de 2394 Exercícios resolvidos 1 Uma duplicata de valor nominal de 32 70000 é descontada junto a uma instituição financeira 77 dias antes de seu vencimento Considerando que o IOF atinge 00041 ao dia e a taxa de desconto cobrada pelo banco a 25 ao mês determinar a valor líquido liberado ao cliente e o custo efe tivo mensal e anual desta operação b recalcular o custo efetivo mensal e anual admi tindo que o banco exija um saldo médio igual a 7 do valor liberado do título para realizar o negócio Solução a Valor Nominalda Duplicata Desconto o 025 3270000 X X 77 30 IOF 3270000 209825 3270000 X 0000041 X 77 10323 Valor Líquido Liberado 3049852 3270000 l 30 4 9852 1 722 p77 dias ou i 209825 10323 3049852 i 107223077 1 i 10722360177 1 b Valor Líquido Liberado Saldo Médio 7 X 3049852 i 3270000 2134 90 2836362 7 76 p77 dias ou 722 p77 dias 275 am 3853 aa 1 3049852 213490 2836362 r 209825 10323 7 76 p77 dias 2836362 i 1077630177 1 295 am 2 Admita um título descontado junto a um banco 37 dias antes de seu vencimento A taxa nomi nal de desconto cobrada pelo banco é de 28 ao mês e o IOF de 00041 ao dia Determinar a custo efetivo mensal e anual da operação b recalcular o custo efetivo admitindo que como reciprocidade a instituição libere o valor líqui do do título somente após 2 dias da realização do negócio SoluÇão o 002830 0000041 X 37 a l 1 002830 0000041 X 37 374oo p37 dias i 1037430137 1 302oo am i 10374360137 1 429oo aa b Para cada 10000 de desconto a instituição libera 9640 ou seja d IOF X n 002830 0000041 x 37 360oo p37 dias Valor Liberado 10000 360oo 9640 Representando o desconto no diagrama do flu xo de caixa temse 9640 l 37 dias 2 10000 n 35 dias i 100 00 1 3 73oo p35 dias 9640 i 10373 30135 1 319oo am 3 Um banco está atualmente operando com uma taxa prime taxa de juros de cliente preferencial efetiva de 25oo ao ano mais um spread remune ração adicional pelo risco de 12oo ao ano Apurar a taxa de juro mensal a ser utilizada numa operação de desconto de duplicatas por 30 dias Solução Prime mensal 125 1112 1 1877oo am Spread mensal 1121112 1 0949oo am Juro total cobrado 101877 100949 1 284oo am Taxa de desconto mensal d i d 1 i d O 0284 2 76oo am 10284 Matemática Financeira e Empréstimos para Capital de Giro 85 4 Admita uma operação de desconto de dois che ques realizada por uma empresa Um cheque tem valor de 600000 para 44 dias e outro de 400000 para 51 dias A taxa de juros cobrada pelo banco no desconto é de 2oo am A empre sa incorre ainda pela operação em despesas de IOF de 00041 oo ad taxa de abertura de crédito TAC de 8000 e custódia de 200 por cheque Pedese calcular a valor líquido liberado ao cliente b custo efetivo mensal da operação Solução a Para o cálculo do capital liberado pelo banco deve ser calculado o prazo médio ponderado 11 dos cheques n 600000 X 44 400000 X 51 600000 400000 468 dias Valor líquido liberado Total dos cheques Juros O 002 6 10000 0 X X 4 8 30 IOF 1000000 31200 1000000 X 0000041 X 468 1919 TAC 8000 Custódia 2 cheques x 200 400 Valor líquido liberado 958481 b Custo efetivo do desconto i C 1000000 1 usto l 958481 433oo s 468 dias Taxa equivalente mensal 10433 301468 1 002756 2756oo am Esta taxa representa o custo efetivo de toda a operação incluindo juros IOF TAC e custódia dos títulos 86 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Exercícios propostos 1 Um banco diz cobrar 31 ao mês por fora em suas operações de desconto de duplicatas Apurar o custo efetivo mensal incluindo o IOF de 00041 ao dia para os seguintes prazos de desconto a 20 dias b 30 dias c 51 dias d 60 dias 2 Admitindo um prazo de desconto de 36 dias cal cular o custo efetivo mensal incluindo o IOF de 00041 ad para as seguintes taxas de descon to bancário a 26 am b 17 am c 29 am d 45 am e 50 am 3 Um banco deseja cobrar 31 aa de taxa efetiva em suas operações de desconto Para uma ope ração de 40 dias determinar a taxa de desconto mensal que deve cobrar 4 Determinar a taxa mensal de desconto bancário para um prazo de 35 dias que corresponde a uma taxa efetiva de 23 ao ano S Uma empresa apresenta num banco comercial para desconto o seguinte borderô de duplicatas O valor líquido liberado pelo banco já deduzi dos todos os encargos financeiros da operação atinge 3010000 Pedese determinar o custo efetivo mensal pelo método da taxa interna de retorno 6 A taxa de desconto bancária de uma instituiçãq financeira está definida em 36 am Sendo de 00041 ad o IOF vigente determinar o custo efetivo mensal e anual de uma operação de des conto com prazo de 45 dias 7 Um banco está avaliando a taxa de desconto de duplicatas para uma operação de 70 dias A ins tituição deseja apurar uma prime de 22 am mais um spread de 10 am Ambas S taxas são consideradas efetivas pelo banco Determinar a taxa de desconto mensal que deve cobrar 8 Admita que uma instituição financeira esteja cobrando uma taxa efetiva de 47 ao mês em suas operações de empréstimo Os juros acresci dos do principal são pagos ao final do prazo Transforme este empréstimo para uma operação de desconto mensal calculando a taxa de juros por fora mensal que mantenha inalterado o seu custo efetivo 9 Um banco está exigindo para uma operação de empréstimo uma taxa preferencial efetiva de ju ros de 374 ao mês mais um spread de 98 ao ano Admita que a operação seja de desconto I bancário Determinar a taxa de desconto mensal que deve ser utilizada na operação O prazo da operação está definido em 42 dias 10 Em suas operações de desconto um banco de seja apurar uma taxa efetiva de 369 ao ano Apurar a taxa de desconto mensal que deve co brar admitindo os seguintes prazos de desconto a 23 dias b 57 dias 11 Determinado financiamento bancário tem esti pulado uma taxa efetiva de juros de 4122 ao ano 365 dias Calcular a taxa equivalente men sal 12 Considerando que seja de 211 oo am a taxa efetiva de juro de um empréstimo para capital de giro determinar o custo efetivo anual 365 dias 13 Calcule o custo efetivo de uma conta garantida por 30 dias na qual o banco cobra uma taxa de juros de 42 am além de uma comissão de abertura de crédito paga no ato da contratação do empréstimo de 18 14 Admita que um banco esteja cobrando 24 am para conta garantida de 30 dias No entan to a taxa que efetivamente o banco deseja co brar nesta operação é de 35 am Calcular o valor da taxa de abertura de crédito que deve ser fixada de maneira que o custo efetivo da conta garantida atinja os 35 am desejados 15 Um investidor adquire um lote de commercial paper com vencimento para 140 dias por 952000 O valor nominal resgate dos títulos atinge a 1000000 Calcular a rentabilidade efetiva mensal auferida pelo investidor 16 Uma empresa está necessitando de 130000 por 100 dias Para tanto está negociando uma operação de desconto com uma instituição bancária nas se guintes condições taxa de desconto 29 am IOF 00041 ad taxa de abertura de crédito a ser paga na li beração dos recursos 11 Qual deve ser o valor nominal do título a ser des contado de maneira que a quantia desejada pos sa ser liberada Matemática Financeira e Empréstimos para Capital de Giro 87 17 Calcular o custo efetivo mensal da alternativa de empréstimo ilustrada a seguir desconto de duplicatas pelo prazo de 84 dias à taxa de desconto por fora comercial de 21 oo am O banco cobra ainda no ato da liberação dos recursos despesas administra tivas de 15 e IOF de 00041 oo ad calcula dos sobre o valor nominal dos títulos 18 Uma duplicata no valor de 2780000 deve ser quitada por uma empresa em 69 dias A empre sa com disponibilidades de caixa está propondo pagar este título hoje no valor de 2668000 O credor pode aplicar seus recursos à taxa efetiva de 203 aa Qual a melhor decisão a ser toma da pelo credor 19 Se um banco exige uma taxa efetiva anual de 280 em seus empréstimos de capital de giro que taxa de desconto mensal por fora deve cobrar de seus clientes para operações compra zos de a 1 mês b 50 dias c 2 meses d 70 dias Sabese que as operações de desconto bancário cobram IOF de 00041 oo ad 20 Uma sociedade de factoring opera com um cus to de dinheiro igual a 17 am taxa efetiva As despesas equivalem a 14 de suas receitas mensais e a margem de lucro esperada em suas operações é de 15 sobre o valor dos títulos Os impostos incidentes sobre as receitas atingem 11 Pedese a determinar o fator de factoring em taxa efe tiva e taxa de desconto mensal b admitindo a aquisição de uma carteira de ativos de 78500000 com vencimento para 110 dias determina o fator de facto ring para o período de operação taxa de desconto e o valor descontado pago à em presacliente cedente 21 Uma empresa desconta uma duplicata no ban co com prazo de 80 dias à taxa de 21 oo am desconto comercial No momento da liberação dos recursos é cobrado também IOF imposto sobre operações financeiras de 00041 ad 88 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto incidente sobre o valor nominal da operação Na data do seu vencimento do título deve a em presa pagar ainda uma taxa de 2 para cobrir despesas de cobrança e 038 de imposto sobre movimentação financeira calculados sobre o va lor nominal do título Pedese calcular o custo efetivo mensal do des conto 22 Uma nota promissória prefixada de 90 dias e va lor nominal de 100000 é adquirida no mer cado por 95650 Pedese determinar a taxa de retorno efetiva mensal e anual oferecida pelo tí tulo 23 Uma nota promissória de 60 dias tem remune ração prevista de 137 aa acima da variação do IGPM O título foi adquirido por 98270 com deságio de 173 sobre o valor nominal de 100000 A variação monetária do período bimestre da aplicação é de 187 Pedese de terminar a rentabilidade nominal mensal obtida pelo investidor 24 Um banco libera um empréstimo a uma empre sa pelo prazo de 5 meses cobrando uma taxa de juros de 24 am A tributação total inciden te sobre a operação equivale a uma alíquota de 25 calculada sobre o montante do emprésti mo principal juros e descontada do capital liberado Pedese calcular a custo efetivo mensal da operação b se o imposto fosse pago por ocasião do resga te qual seria o custo efetivo mensal do em préstimo 25 Condições de uma operação de empréstimo para giro praticadas por um banco prazo da operação 4 meses 120 dias pagamento do principal mais os encargos em uma única parcela ao final do prazo 4 me ses Taxa de juro efetiva cobrada pelo banco 185 aa demais despesas incidentes sobre a opera ção IOF 0041 ao dia calculado sobre o valor emprestado e cobrado no ato da ope ração TAC 2 calculada sobre o capital empres tado e descontado no ato da opera ção admita que na liquidação do empréstimo a empresa deve pagar um imposto de 038 sobre o montante a ser pago Pedese calcular o custo efetivo mensal do em préstimo Respostas 1 a i 331 am b i 333 am c i 337 am d i 339 am 2 a i 281 am b i 186 am c i 313 am d i 487 am e i 543 am 3 d 222 am 4 d 171 am 5 i 592 am 6 i 39 am i 584 aa 7 d 305 am 8 d 4489 am 9 d 431 am 10 a d 259 am b d 255 am 11 2877 am 12 289 aa 13 i 61 am 14 TAC 1063 15 i 106 am 16 N 14635794 17 i 837 p 84 dias i 291 am 18 Manter a dívida até o vencimento A taxa que pode aplicar os recursos i 155 am i 203 aa é menor que o desconto proposto para pagamento antecipado i 18 am 19 a d 2159 am b d 2145 am c d 2138 am d d 2131 am 20 a Fator taxa efetiva 465 am Fator taxa de desconto 444 am b Fator taxa de desconto 1535 para 110 dias Valor descontado 66450250 Matemática Financeira e Empréstimos para Capital de Giro 89 21 i 322 am 22 i 149 am i 1947 aa 23 i 291 am 24 a i 2986 am b i 290 am 25 i 216 am 6 Matemática Financeira Reciprocidade Bancária e Taxas Over Principalmente em operações de desconto bancá rio é comum defrontarse com certas exigências de reciprocidade estabelecidas pelas instituições finan ceiras Por exemplo a liberação de um crédito ban cário é comumente definida a partir dos valores que o cliente mantém em conta corrente ou aplicados em títulos da instituição O nível de exigências da reci procidade bancária é estabelecido evidentemente a partir da disponibilidade de dinheiro na praça O saldo médio e outras formas de reciprocidade constituemse efetivamente em um encargo o qual deve ser qualificado e incorporado ao custo final da operação financeira Dependendo do nível da reciprocidade exigida pelos bancos a sua inclusão no cálculo do custo ra cional do crédito pode promover alterações relevan tes nas decisões de alocação de recursos Algumas operações financeiras por outro lado principalmente aquelas de curto prazo definem os juros com base no número de dias úteis e não em dias corridos conforme é mais usual Esta sistemáti ca costuma se verificar nas operações financeiras de prazos curtos curtíssimos definidas por hot money as quais têm como referencial a taxa do certificado de depósito interfinanceiro CDI acrescida de um spread comissão Outras operações do mercado financeiro tainbém vêm incorporando o uso de taxas over em seus cálcu los como é o caso dos juros dos cheques especiais fundos de investimentos entre outras Este capítulo está voltado ao estudo da recipro cidade bancária e operações financeiras que adotam as taxas over conforme praticadas no mercado bra sileiro 61 Reciprocidade bancária Existem diversas formas de reciprocidade bancá ria estando as mais expressivas apresentadas a se guir 611 Saldo médio Uma forma bastante adotada de reciprocidade bancária é aquela baseada na manutenção geral mente pelo prazo da operação de determinado per centual do crédito concedido em conta corrente no banco Em verdade esta modalidade constituise no pagamento antecipado de uma parcela do principal da dívida elevando o custo efetivo do empréstimo Por exemplo suponha uma operação de desconto envolvendo os seguintes valores Valor das duplicatas 1900000 Taxa de Desconto 3 am Prazo 30 dias IOF Reciprocidade 00041 ad 0123 am manter um saldo mé dio em conta corrente equivalente a 10 do valor liberado Nessas condições é determinado inicialmente o valor liberado pela instituição financeira Valor das Duplicatas Desconto 1900000 x 003 IOF 1900000 X 000123 Valor Líquido 1900000 57000 2337 1840663 Conforme estabelece a reciprocidade do saldo médio do total do crédito são descontados 10 que permanecerão depositados em conta corrente no banco Admitindo que o saldo médio seja calculado a partir do montante solicitado o valor efetivamente liberado ao cliente atinge a 1840663 10 X 1900000 1650663 Ao final de 30 dias os 1900000 em duplicatas são resgatados e creditados ao banco Neste momen to ainda os 190000 que ficaram em conta cor rente do cliente são liberados e reduzem o valor da parcela transferida ao banco de 1900000 para 1710000 1900000 190000 Dessa maneira o custo efetivo dessa operação in cluindo a perda dos recursos retidos pelo banco na forma de reciprocidade atinge ou i 1900000 190000 1 359 am 1650663 i 57000 2337 359 am 1650663 Nesse raciocínio considerase para o cálculo do valor líquido liberado e consequentemente da deter minação da taxa racional de desconto os encargos fi nanceiros totais pagos a vista Uuros e IOF e também Matemática Financeira Reciprocidade Bancária e Taxas Over 91 o montante retido pelo banco saldo médio como reciprocidade É interessante observar que nessa metodologia de cálculo o custo de oportunidade do saldo médio é embutido no custo total da operação consideran dose a taxa efetiva de juros cobrada pelo banco i 359 am como calculado Ao se acrescentar aos encargos financeiros de 59337 o custo de manutenção do saldo médio de 6821 359 x 190000 e relacionar esse resul tado com o valor líquido valor da duplicata menos juros e IOF chegase naturalmente ao mesmo valor ou seja i 59337 6821 359 am 1840663 612 Saldo médio remunerado Em determinadas ocasiões o banco pode ofere cer remunerar o saldo médio exigido como reciproci dade mediante sua aplicação em alguma alternativa de poupança No entanto o rendimento financeiro é normalmente inferior à taxa efetiva cobrada pela ins tituição em sua operação de empréstimo O cálculo do custo efetivo nessa situação segue basicamente a metodologia desenvolvida anterior mente só que deduzindo do valor final a ser resgata do pelo cliente a remuneração apurada no período No exemplo ilustrativo comentado no item ante rior admita que o banco remunere o saldo médio de 190000 a uma taxa nominal de juros de 15 am O rendimento é resgatado somente quando da liqui dação da operação de desconto Permanecendo inal teradas as demais condições descritas para a opera ção temse Montante a Pagar 1900000 Saldo Médio Exigido Amortização Antecipada 190000 Remuneração do Saldo Médio 15 X 190000 Valor Líquido a Pagar 2850 1707150 Com a redução do montante a pagar o custo efe tivo atinge i 1707150 1650663 1 342 am 92 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto ou considerando a redução dos encargos financeiros pelos rendimentos auferidos i 57000 2337 2850 342 am 1650663 Exemplo 1 Um banco cobra de forma antecipada 32oo am para desconto de duplicatas considerando um prazo de 54 dias taxa linear O IOF incidente na operação é de 00041 oo ad No entanto para rea lizar a operação o banco exige do tomador uma aplicação equivalente a 8oo do valor nominal da duplicata apresentada para desconto em título de sua emissão o qual rende 16oo am em juros compostos O prazo da aplicação coincide com o da captação Sendo de 5000000 o valor deres gate das duplicatas descontadas determinar a Valor líquido liberado ao cliente b Valor líquido de pagamento c Custo efetivo mensal da operação Solução a Valor Líquido Liberado Valor das Duplicatas 5000000 0032 Desconto 5000000 x x 54 288000 30 IOF 5000000 X 00041oo X 54 11070 Valor Líquido 4700930 Reciprocidade 8oo x 5000000 C 400000 Valor Líquido Liberado 4300930 b Valor de Pagamento Montante a Pagar 5000000 Reciprocidade Aplicação Financeira C 400000 Remuneração da Aplicação 400000 X 1016 54130 1 11594 Valor Líquido a Pagar 4588406 c Custo Efetivo Mensal l 45884 06 1 6 68oo 54 dias 4300930 p A taxa mensal por juros compostos atinge i 1066830154 1 366oo am Alternativamente pela relação entre os encargos financeiros líquidos e o valor liberado chegase ao mesmo resultado 288000 11070 11594 i 4300930 668oo p54 dias que equivale a 366oo am 613 Uso do floating como reciprocidade As instituições financeiras podem também solici tar como garantia em suas operações de crédito a en trega de duplicatas para cobrança em volume igual ou maior que o valor do empréstimo solicitado No entanto nessa exigência normal de mercado é que se visualiza uma forma de reciprocidade capaz de alte rar bastante o custo efetivo do empréstimo Ao reter por exemplo por alguns dias o dinhei ro arrecadado das duplicatas em cobrança antes de creditar em conta corrente do cliente num mecanis mo conhecido como floating de duplicatas o custo da operação é acrescido com base na taxa diária do valor do dinheiro Um exemplo ajuda a esclarecer melhor esse me canismo de floating e sua influência sobre o custo do crédito Admita que uma empresa esteja negociando uma operação de desconto com um banco pelo prazo de 60 dias A taxa de desconto é de 27oo ao mês e o IOF atinge a 0123oo am O valor da duplicata é de 4400000 Adotandose a fórmula direta de cálculo da taxa efetiva apresentada no item 51 temse 0027 000123 X 2 i 1 0027 000123 X 2 O 05646 5 98oo ab 094354 O custo efetivo nominal mensal atinge i J10598 1 295oo am Ao se supor por outro lado que a instituição fi nanceira exija 100oo do valor nominal da operação em duplicatas sacadas como garantia da operação e ainda decida creditar o dinheiro em conta corrente do cliente somente quatro dias após o seu recebimen to é certo que o custo final do crédito se eleva Cada dia de atraso no recebimento representa uma perda determinada basicamente pelo que o to mador do empréstimo deixou de receber no período em que o banco utilizandose do mecanismo do floa ting reteve o dinheiro recebido das duplicatas Em outras palavras nesses quatro dias defloating o emi tente das duplicatas perdeu a oportunidade de efe tuar aplicações em diferentes ativos com o produto do recebimento realizando um prejuízo evidente O valor líquido liberado pelo banco na operação atinge Valor Nominal Desconto 4400000 x O 027 000123 X 2 Valor Liberado 4400000 248424 4151576 O fluxo de caixa do floating admitindo ilustra tivamente que as duplicatas sacadas tenham venci mento no resgate da operação final do 2º mês apre sentase 4151576 1 44ooooo t I 60 I 164 O o I I L 4400000 I 4400000 j Expressando os valores em moeda atual temse 4151576 8800000 4400000 o 1 02 1 06430 Resolvendose com o auxílio de uma calculadora financeira i IRR 316 ao mês que representa o custo efetivo do desconto comfloa ting Uma metodologia mais simplificada porém não tão exata quanto o cálculo ilustrado da taxa interna de retorno do fluxo de caixa propõe estender a taxa efetiva calculada para mais quatro dias que repre sentam o prazo do floating Dessa maneira 1059864160 1 639 ab equivalendo a 1 0639 1 315 am O resultado sobretudo diante da suposição de as duplicatas em garantia apresentarem vencimento na mesma data da operação é bastante próximo a IRR apurada de 316 am Principalmente diante da fa Matemática Financeira Reciprocidade Bancária e Taxas Over 93 cilidade de cálculo o critério simplificado é bastante utilizado pelo mercado Evidentemente outras formas de reciprocidade bancária podem ocorrer na prática onerando de di ferentes maneiras o custo efetivo dos empréstimos Entretanto o raciocínio desenvolvido pode ser dire tamente aplicado na determinação do custo final das outras modalidades sem necessidade de se introdu zir novos conceitos ou instrumentos de cálculo Exemplos 1 Admita um empréstimo pelo prazo de 50 dias à taxa mensal efetiva de 4 O banco exige como reciprocidade a entrega para cobrança de um montante de duplicatas com vencimento idêntico ao da operação O repasse do dinheiro será feito 4 dias após a cobrança Calcular o custo efetivo des te empréstimo Solução Tomandose por 100 a base do valor emprestado temse o seguinte fluxo de caixa para o tomador dos recursos 100 100 t i f dias o I 50 I I 54 100 1 04 50130 100 Igualandose os valores financeiros no vencimen to da operação 100 1 i 50130 100 1 0450130 lOO 0 1 0430 O custo efetivo da operação de empréstimo com floating é a taxa interna de retorno do fluxo de caixa Resolvendo a expressão com o auxílio de uma calculadora financeira chegase a i 4329 am 2 Admita no exemplo ilustrativo acima que o ven cimento das duplicatas em garantia ocorre no mo mento da liberação do empréstimo Determinar o custo efetivo mensal desta nova situação man tendose em 4 dias o prazo do floating Solução O fluxo de caixa para o vencimento antecipado das duplicatas em garantia apresentase 94 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto r3 1 O I I I I ro 4so I I I I I 5030 yJo 3 1 00 1 04 O cálculo do custo efetivo taxa interna de retor no é processado PV 10000 FV 100 10450130 10676 n 46 dias Logo 10676 100 1 04630 10676 1 015333 153310676 15331 015333 10436 1 i i 436 am Observe que o uso da metodologia mais simpli ficada de cálculo do custo do floating conforme sugerido apresenta um resultado praticamen te igual ao obtido na suposição de os títulos em cobrança apresentarem o mesmo vencimento da operação conforme ilustrado no exemplo 1 Isto é Custo do Floating 10454150 1 4327 am Ao se admitir o vencimento dos títulos em outra data diferente da definida pela operação de em préstimo conforme previsto neste exemplo há uma diferença maior entre os valores expondo as limitações técnicas da metodologia mais simplifi cada de cálculo do custo de um empréstimo com floating 62 Juros por dias úteis taxa nominal over Toda taxa nominal over deve informar o número de dias úteis que os juros serão capitalizados de for ma que se possa apurar a taxa efetiva do período Por exemplo suponha que a taxa over em determinado momento esteja definida em 15 am No período de referência da taxa estão previstos 22 dias úteis Sendo a taxa over definida por juros simples taxa nominal a taxa diária atinge 1 5 o 05 d ro ao 1a 30 Sabendo que no período de referência dessa taxa existem 22 dias úteis a taxa efetiva é obtida pela ca pitalização composta ou seja i 1 0000522 1 111 am Em outras palavras podese concluir que 111 representa a taxa efetiva para 22 dias úteis ou mes mo para os 30 dias corridos do mês Em resumo os procedimentos de apurar a taxa efetiva dada uma taxa nominal mensal de juros over são os seguintes Dividir a taxa over mensal pelo número de dias corridos no período para se obter a taxa nominal diária Capitalizar a taxa diária pelo número de dias úteis previsto na operação A expressão básica de cálculo da taxa efetiva é sendo over a taxa nominal mensal over duo número de dias úteis previsto no prazo da operação Por outro lado muitas vezes é interessante trans formar uma taxa efetiva em taxa over No exemplo acima foi definida uma taxa nominal over de 15 am para um período com 22 dias úteis Com isso calculouse a taxa efetiva de 111 am Se fosse dada a taxa efetiva para se transformar em over o procedimento de cálculo seria o inverso ou seja descapitalizar exponencialmente a taxa efetiva para cada dia útil previsto na operação por ser nominal e definida mensalmente a taxa over é obtida pelo produto da taxa descapitali zada pelo número de dias corridos do mês Aplicandose esses procedimentos na ilustração temse i 111 ao mês du 22 dias úteis i 10111 1122 1 005 adu ao dia útil OVER 005 X 30 15 am Uma taxa over é geralmente representada por amo ao mês over Por exemplo uma taxa over mensal de 15 é expressa por 15 amo A fórmula de cálculo da taxa over dada uma taxa efetiva de juros pode ser desenvolvida da forma se guinte Substituindo os valores ilustrativos dados chega se a 15 am ou seja OVER 101111122 1 X 30 15 amo Exemplos 1 Uma taxa over nominal está definida em 48 am Para um mês de 23 dias úteis determinar a taxa efetiva Solução o 048 23 i efetiva 1 1 375 am 2 Converter a taxa efetiva de 41 oo am em taxa over mensal sabendo que no período existem 21 dias úteis Solução OVER 1 00411121 1 X 30 575 amo ao mês over 3 Uma aplicação pelo prazo de 35 dias corridos que incluem 25 dias úteis remunerou o capital aplica do a uma taxa over nominal de 43 am Deter minar a taxa efetiva mensal de juros Solução 4 3 OVER 01433 ao d1a 30 Os juros são capitalizados somente nos dias úteis Os 25 dias úteis considerados na operação equi valem a 2535 0714286 dos 35 dias da aplica ção financeira ou a 0714286 x 30 2142858 dias do mês Logo i efetiva 1 00014332142858 1 312 am 4 Admita que a taxa efetiva de juros de mercado no mês de janeiro tenha sido de 103 Pedese a calcular a taxa mensal over para o mês de ja neiro que acumula 21 dias úteis b supondo que a taxa efetiva de 103 seja man tida em fevereiro determinar a taxa over para o mês de fevereiro com 17 dias úteis Matemática Financeira Reciprocidade Bancária e Taxas Over 95 Solução a iadu 101031121 1 00488 adu iamo 00488 x 30 dias 146 amo ao mês over b iadu 101031117 1 00603 adu iamo 00603 x 30 dias 181 amo 621 Operações financeiras com taxa over Ilustrativamente suponha uma empresa que ob teve um empréstimo hot money por um dia A taxa de negociação contratada é nominal tipo over de 44 am sendo cobrado pelo banco ainda um spread de O 1 oo ad pela intermediação da operação O spread é um percentual cobrado pelo banco an terior da taxa de negociação É normalmente calcula do para cada renovação Sabese que na prática os encargos dessas opera ções envolvendo taxa over são geralmente apurados por dia segundo o critério de juros simples O cálculo do custo efetivo processase OVER 44 am OVER 4 4 01467 ad 30 Custo efetivo do empréstimo incluindo o spread cobrado i 1 0001467 X 1 0001 1 0247 adu Logo a taxa efetiva para todo o mês admitindo a existência de 21 dias úteis no período e supondo também a renovação do empréstimo 21 vezes no mês pela mesma taxa de juro e de spread atinge i 1 000146721 X 1 000121 1 531 am Nessas condições pode ser estabelecida a seguin te expressão genérica de cálculo do custo efetivo fi nal de uma operação de empréstimo com taxa over e cobrança de spread 96 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Exemplos 1 Uma empresa levantou um empréstimo por sete dias corridos Neste período são identificados cinco dias úteis A taxa de negociação contratada é uma over de 32 am cobrando ainda a insti tuição financeira um spread de 06 para todo o período Determinar o custo efetivo mensal da operação Solução i 1 Ozr x 1 0006 I 114 pos 5 dias úteis A taxa de 114 é válida para o período de sete dias corridos sendo determinada a partir dos cin co dias úteis existentes Logo a taxa equivalente mensal é obtida supondose 307 renovações do empréstimo ou seja i 1 001143017 1 498 am Deve ser registrado que esse tipo de operação é geralmente realizado considerandose para cada dia do prazo contratado a taxa de juro vigente Desta maneira os 32 am de taxa over defi nidos no exemplo são válidos somente para o primeiro dia podendo alterarse esse percentual para os demais dias da operação financeira de acordo com as taxas estabelecidas pelo mercado 2 Um empréstimo tipo hot money é contratado por três dias úteis As taxas over estabelecidas para cada dia do prazo da operação são 28 am 30 am e 31 am O intermediário financeiro cobra um spread de 24 am taxa efetiva Determinar o custo efetivo da operação Admita a existência de 23 dias úteis Solução Over 1 º dia 28 00933 adu 30 3 0 Over 2º dia 010 adu 30 31 Over 3º dia 01033 adu 30 Spread 24 am taxa efetiva Spread 10241123 1 01032 adu Custo Efetivo Total i Apesar de o prazo contratado ser de três dias o empréstimo deve ser renovado diaria mente com base na taxa over vigente Logo i 1º dia 1000933 x 1001032 1 01966 i 2º dia 10010 x 1001032 1 02033 i 3º dia 1001033 x 1001032 1 02066 i total 1001966 x 1002033 x 1002066 1 06077 pos 3 dias da operação Tendo o mês 23 dias úteis o custo efetivo mensal atinge i 1006077 2313 1 475 am 3 Determinar o custo efetivo mensal de uma ope ração de empréstimo hot money sendo a taxa de negociação de 36 ao mês Admitindo que a taxa se mantenha constante determinar o custo efeti vo mensal assumindose os seguintes prazos para a operação a 8 dias corridos sendo 6 dias úteis b 5 dias todos úteis Solução 1 o 036 6 a l 3 1 07222 p os 6 d1as úteis i 10072223018 1 2735 ain 1 0036 5 b i 30 1 06014 para os 5 dias úteis i 1006014 3015 1 366 am A metodologia de cálculo do custo final das opera ções hot money conforme ilustrada em termos de dias úteis estabelece um custo efetivo final maior quanto menor se apresentar o prazo da operação Quando o prazo é menor existem evidentemente mais períodos de capitalização No exemplo an terior o custo final cresceu quando o prazo redu ziu indicando um maior número de períodos de capitalização 622 Equivalência das taxas de aplicações financeiras O raciocínio desenvolvido sobre a taxa over pode ser estendido também para avaliações em aplicações em tí tulos de renda fixa cujos vencimentos ocorrem em fe riados ou fins de semana As taxas nominais de juros desses títulos costumam elevarse dando por vezes a impressão de um aumento na rentabilidade sem que necessariamente esse ganho maior tenha ocorrido Ilustrativamente suponha uma aplicação num tí tulo prefixado pelo prazo corrido de 30 dias o qual apresenta 22 dias úteis à taxa efetiva de 30 ao ano A remuneração do período da aplicação é ob tida conforme foi visto pela taxa equivalente com posta isto é i 130301360 1 221 am Ao se verificar por exemplo que a data de resga te do título cai num sábado o prazo corrido se eleva para 32 dias mantendose ainda em 22 o número de dias úteis do período Nesse caso a taxa equivalente para 32 dias se ele va para i 130321360 1 236 p32 dias No entanto a taxa equivalente anual de juros da aplicação por 32 dias corridos e 22 dias úteis se re duz para i 10221360132 1 279 aa Outra aplicação prática relevante é determinar a partir de um percentual de juros definido para um período a taxa equivalente para outro intervalo de tempo com diferente número de dias úteis Por exemplo admita que a taxa efetiva de um tí tulo esteja definida para uma aplicação por 30 dias em 26 aa No período da aplicação são identifi cados 22 dias úteis Qual a taxa de juro equivalente para uma aplicação por 34 dias e 24 dias úteis Em dias corridos a aplicação por 30 dias apresen ta a seguinte rentabilidade i 126301360 1 194 am que equivale a 0087 por dia útil ou seja i 101941122 1 0087 por dia útil Ampliandose o prazo para 24 dias úteis a taxa de juro passa para Matemática Financeira Reciprocidade Bancária e Taxas Over 97 i 10008724 1 211 p 24 dias úteis Logo a taxa equivalente anual para uma aplica ção por 34 dias corridos com 24 dias úteis atinge i 10211360134 1 2474 aa Exemplo 1 Um investidor aplica 12000000 no mercado financeiro e resgata 12560000 90 dias após Neste intervalo de tempo são contados 62 dias úteis Pedese calcular a Taxa de retorno efetiva do período b Taxa por dia corrido c Taxa ao mês over amo Solução a EFEi 12560000 1 12000000 467 p 90 dias b d d 12560000 1190 1 l 1a corn o 12000000 O 0507 ao dia c i dia útil 12560000162 1 12000000 O 0736 adu i mês over 00736 x 30 dias 221 amo 623 Taxa over anual efetiva As taxas de juros over conforme descritas neste item estão referenciadas no padrão mês A partir de 1998 no entanto o Banco Central do Brasil passou a privilegiar o tratamento dessas taxas em base ano visando difundir uma visão de longo prazo no mer cado financeiro Com o término das altas taxas de inflação predominantes até 1995 o objetivo da au toridade monetária era o de formar uma taxa básica de juros na economia que fosse capaz de refletir um período maior independentemente do mês e do nú mero de dias úteis O cálculo da taxa over ano é processado com base em 252 dias úteis Por exemplo sendo de 1843 ao ano a taxa efetiva de um título a taxa por dia útil atinge 98 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 251 1843 1 00671 adu Para obterse a taxa over nominal expressa ao mês basta multiplicar a taxa ao dia útil por 30 No mês a taxa over nominal é de 00671 x 30 dias 2014 amo ao mês over A taxa over efetiva do mês é apurada capitalizan dose a taxa ao dia útil pelo número de dias úteis Admitindo a existência de 22 dias úteis no mês tem se i 1000671 22 1 1487 amo No exemplo a taxa de 1843 é denominada taxa over anual efetiva Equivale a uma taxa anual efetiva transformada para dia útil considerando a presença de 252 dias úteis no período Os jornais costumam publicar diversas taxas de juros efetivas anuais refe renciadas em taxa over anualizada Exemplos 1 Sendo de 2024 aa a taxa efetiva de juro determinar a taxa over nominal mensal Solução Taxa Efetiva por Dia Útil 251 2024 1 00732 adu Taxa Over Nominal Mensal 00732 x 30 dias 219 amo Ao se desejar apurar a taxa over efetiva do mês devese capitalizar a taxa diária pelos dias úteis no mês ou seja i 1000732du 1 Admitindo du 22 i 1000732 22 1 1623 amo 2 Sendo de 152 a taxa over efetiva mensal de um CDB determinar sua equivalente over anual sa bendo que existem 21 dias úteis no mês Solução Taxa Efetiva por dia útil no mês 2110152 1 00719 adu Taxa over anual 1000719 252 1 198 aao 3 Demonstrar os cálculos da taxa over anual de um título conforme publicada em um jornal de econo mia e finanças Solução Taxa Equivalente Mensal 11207 1 158 am Taxa por Dia Útil 210158 1 00747 adu Taxa over Anual 1000747252 1 207 aao 4 A seguir são fornecidos os dados históricos da taxa Selic anual efetiva referentes aos dias úteis do mês de fevereiroX5 Taxa efetiva over base 252 dias úteis a Determinar a taxa efetiva Selic para o mês de fevereiro iFEV 11824 11252 X 1182511252 X 11825 11252 X X 11874 11252 1 iFEV 12182 amo ao mês over b Determinar a taxa efetiva Selic ao ano over Como fevereirox5 tem 18 dias úteis a taxa mensal é capitalizada 25218 vezes ou seja iSELIC 1012182252118 1 1847 aaO 5 Uma aplicação financeira foi realizada pelo prazo de 33 dias corridos No período existem apenas 24 dias úteis A taxa over efetiva anual considera da na operação atingiu 1175 Pedese determinar a taxa de retorno da opera ção no Solução a Período de 24 dias úteis i 11175241252 1 106366 p 24 du A taxa efetiva de 106366 equivale a 24 dias úteis ou 33 dias corridos b Mês taxa efetiva mensal i 1010636630133 1 09665 am c Taxa over nominal mensal i 101063661124 1 0044095 adu i 0044095 x 30 132 am over no minal Exercícios resolvidos 1 Uma empresa contrata junto a um banco um em préstimo hot money de 5000000 pelo prazo de um dia útil A taxa de negociação firmada é de 41 oo am mais um spread de 04 para todo o período Determinar a montante a pagar b custo efetivo da operação no período Solução a Total a Pagar o 041 5000000 X 1 X 1004 5026860 b Custo Efetivo do Período i 1 0041 x 1004 1 054 ao 30 dia 2 Uma empresa capta no mercado um empréstimo de 9000000 para ser resgatado em 44 dias à taxa nominal de 18 ao ano No entanto a condição formalizada pela institui ção financeira é a de liberar o valor do emprésti mo em parcelas de acordo com o seguinte crono grama de desembolso Matemática Financeira Reciprocidade Bancária e Taxas Over 99 Diante dessas condições estabelecidas calcular o custo efetivo mensal desta operação de emprés timo Solução Montante a Pagar do Empréstimo FV 9000000 X 1 018 X 44 44 360 9198000 Fluxo de Caixa da Operação 4000000 3000000 2000000 t t I o 4 8 Uma forma de apurar o custo efetivo desse em préstimo é atualizar os valores das parcelas libe radas por uma taxa de desconto representativa do custo de oportunidade do tomador dos recursos Admitindose ser essa taxa de 10 ao mês tem se PV do Empréstimo 4000000 3000000 2000000 101430 101830 PV do Empréstimo 8990723 O custo efetivo do empréstimo embutindose a reciprocidade é obtido i 9198000 1 23 p44 dias 8990723 i 102330144 1 157 am que equivale à taxa efetiva de 205 aa 3 Considerando a taxa over de 285 am pedese determinar a taxa efetiva mensal num mês com 22 dias úteis b taxa over anualizada Solução 1 2 85 O 095 du a Taxa por dm utl 10 a 30 dias Taxa Efetiva Mensal 10009522 1 211 oo amo b Taxa over anualizada 100095252 1 2703 aao 100 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 4 Sendo de 148 a taxa over anualizada determi nar a taxa over nominal ao mês Solução Taxa Equivalente ao Dia 251148 1 00548 Taxa Over Nominal ao Mês 00548 x 30 dias 164 amo 5 Admita uma aplicação financeira que paga taxa de 135 aao O prazo da operação é de 21 dias úteis Pedemse a Taxa efetiva de retorno no período da opera ção 21 dias úteis Solução i 1135 211252 1 1061 p 21 dias úteis b Sendo de 33 dias corridos e 21 dias úteis o prazo da operação calcular a taxa efetiva de retorno do mês 30 dias Solução i 10106130133 1 0964 am 6 A taxa básica de juro divulgada como meta pelo Banco Central taxa SELIC para fevereiro de 2012 está fixada em 105 aa Pedese calcular a taxa equivalente por dia útil Solução idia útil 110511252 1 00396 adu 7 Admita que um banco esteja prevendo uma taxa de juros anual efetiva de 1375 base de 252 dias úteis para o mês de setembro que tem 20 dias úteis Dessa forma seu interesse em aplicar recursos em contratos futuros de juros deve ser a uma taxa maior que os 1375 a a o previstos Admitindo que o banco realize um negócio à taxa de 1425 aao pedese calcular o PU do con trato ou seja quanto estaria o banco disposto a pagar hoje para receber R 10000000 no venci mento do contrato Solução R 10000000 PU 1142520252 R 98 94828 8 Uma aplicação promete rendimentos financeiros baseados na taxa over anual efetiva de 1085 base 252 dias úteis Sobre o ganho nominal ob tido incide imposto de renda de 20 O prazo da operação é de 3 meses existindo nesse período 64 dias úteis Pedese calcular a taxa de retorno efeti va mensal base 30 dias corridos da aplicação Solução Taxa over anual 1085 aao Taxa por dia útil 1108511252 1 004088 adu Taxa efetiva p o período 3 meses 104088 64 1 265 p 64 dias úteis Taxa líquida do IR 265 X 1 020 212 Taxa efetiva mensal 10212113 1 070 am Exercícios propostos 1 Uma nota promissória no valor de 5390800 é descontada num banco 20 dias antes de seu vencimento A taxa de desconto utilizada atinge 29 am e o IOF 00041 ad O banco exige no entanto que o tomador mantenha 10 do valor nominal do empréstimo em conta corrente a título do saldo médio sem oferecer nenhum rendimento financeiro Determinar a custo efetivo mensal do empréstimo b custo efetivo real mensal do empréstimo ad mitindo uma taxa de inflação de 12 no período 2 Admita que para realizar uma operação de des conto de um título de 4500000 por 60 dias uma instituição financeira está exigindo que o tomador adquira com o valor líquido liberado um título de sua emissão O banco assume nesta operação um compromisso imediato de recom pra do título com um deságio desconto de 3 Sendo de 2 7 am a taxa de desconto cobrada pelo banco e de O 123 am o IOF pedese de terminar o custo efetivo mensal desse emprésti mo incorporando a perda pelo deságio sofrido na aplicação 3 Uma empresa obtém junto a um banco comer cial 7000000 de empréstimo para ser pago T I I L em 40 dias O empréstimo se processa mediante o desconto de uma nota promissória Para a liberação da operação no entanto a insti tuição exige a retenção de 8 do valor nominal do empréstimo em conta corrente reciprocida de pelo prazo da operação Admita que o IOF seja de 00041 ad e a taxa de desconto de 34 am a determinar o custo efetivo mensal e anual do empréstimo supondo que o banco não remunera o saldo mantido em conta corren te b recalcular o custo acima supondo que a ins tituição bancária aplica o saldo médio exigi do em um fundo que remunera à taxa nomi nal de 15 am 4 Um banco comercial fornece a seus clientes as seguintes condições em suas operações de des conto Taxas de desconto 45 am Taxa administrativa 1 sobre o valor nomi nal do título a ser co brado identicamente aos demais encargos no ato da liberação dos recursos IOF 00041 ad Reciprocidade retenção de 7 sobre o valor nominal do título pelo prazo da operação O saldo não é remunerado Sabendose que a empresa necessita de 4900000 para pagamento de uma dívida de terminar quanto deve solicitar de empréstimo do banco dadas as condições estipuladas O prazo do desconto é de 55 dias 5 Uma empresa está levantando um empréstimo junto a um banco pelo prazo de 60 dias A taxa efetiva postecipada de juros considerada para a operação é de 5 am Admita que o banco está exigindo como reciprocidade para a realiza ção do empréstimo uma das seguintes alternati vas manutenção de um saldo médio equivalen te a 10 do valor nominal do empréstimo durante todo o prazo da operação entrega ao banco para cobrança de dupli catas no valor igual ao empréstimo e com vencimento na mesma data da operação Matemática Financeira Reciprocidade Bancária e Taxas Over 101 Pedese a determinar o custo efetivo mensal da opera ção considerandose a manutenção do sal do médio durante todo o prazo do emprés timo b apurar o número de dias para repasse da co brança para que o empréstimo apresente o mesmo custo efetivo calculado acima Ad mita em sua resposta que as duplicatas en tregues para cobrança tenham vencimento na data de realização da operação c na hipótese de as duplicatas em cobrança apresentarem vencimento idêntico ao do empréstimo determinar o número de dias para repasse da cobrança visando manter o mesmo custo efetivo calculado em a 6 Uma empresa realiza uma operação de desconto junto a um banco com prazo de 50 dias A taxa de desconto simples cobrada é de 58 am mais IOF de 00041 ad O banco exige para a realização da operação a entrega de duplicatas para cobrança em montante igual ao valor nomi nal do desconto O vencimento destas duplicatas ocorre na data de vencimento da operação de desconto O banco libera para a empresa o crédito relativo à cobrança somente quatro dias após o recebi mento das duplicatas Pedese determinar o cus to efetivo mensal da operação 7 Uma taxa over está definida em determinada data em 245 am Para um mês de 22 dias úteis pedese determinar a taxa efetiva mensal 8 Supondo uma taxa efetiva mensal de 30 con verter em taxa over sabendo que no mês estão previstos 21 dias úteis 9 A formação da taxa de juros de um banco para empréstimo compõese da taxa over de 22 am para um período de 20 dias úteis e um spread de 14 aa taxa efetiva Calcular a taxa efetiva mensal que a instituição deve cobrar na operação de empréstimo 10 Admita que um banco tenha captado recursos no mercado pagando uma taxa over de 142 am para 22 dias úteis Pedese calcular a custo efetivo mensal pago pelo banco ao aplicador 102 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto b se a instituição bancária acrescentar um spread de 15 aa taxa nominal qual a taxa efetiva mensal que deve repassar esse recurso 11 O custo efetivo de captação de um banco está atualmente fixado em 154 aa A instituição repassa esse dinheiro acrescentando um spread de 12 aa taxa efetiva Admita ainda que o Banco Central está exigindo um encaixe de 10 calculado sobre os emprésti mos e exigido no momento de sua liberação Determinar a taxa efetiva mensal que o banco deve cobrar em suas operações de empréstimos considerando o custo associado a esse recolhi mento compulsório 12 Com relação aos diferentes tipos de taxas de ju ros a uma taxa over está definida em 33 am Para um mês de 21 dias úteis determinar a taxa efetiva mensal b converter a taxa efetiva de 47 am em taxa over sabendo que no período existem 23 dias úteis 13 Uma operação de hot money é contratada por 3 dias úteis O banco define o custo do emprésti mo de acordo com a taxa de negociação vigente em cada dia Sendo de 27 29 e 30 ao mês respectivamente as taxas de cada um dos dias da operação e de 04 o spread cobrado pelo banco para os três dias da operação deter minar o custo efetivo final da operação no pe ríodo Admitese que no período existem 21 dias úteis 14 Admita uma instituição financeira que está pa gando 25 ao mês de taxa over na colocação de títulos de sua emissão O período de vencimento destes títulos tem 22 dias úteis O banco para repassar este dinheiro sob a forma de emprésti mo acrescenta um spread de 22 ao ano taxa efetiva Determinar a taxa efetiva mensal de juros desta operação de empréstimo 15 A taxa efetiva para empréstimo de uma insti tuição bancária é de 16 am Desejando ele var sua rentabilidade para 20 am o banco está estudando a retenção dos recursos libera dos para empréstimos por alguns dias Para uma operação de 60 dias C o principal acrescido dos juros são pagos ao final quantos dias devem os recursos ser retidos 16 Um empréstimo de 1800000 a ser pago em 90 dias foi contratado à taxa efetiva de 18 am O banco reteve a liberação dos recursos por quatro dias Calcular o custo efetivo mensal do tomador do empréstimo 17 Calcular a taxa equivalente composta mensal das seguintes taxas de juros a 115 para 19 dias b 205 para 42 dias 18 a capitalizar juros compostos 413 equi valente a 54 dias para um ano b para uma taxa efetiva de 252 aa ou 189 am pedese determinar taxa over mensal admitindose 23 dias úteis no período taxa de desconto por fora mensal para uma operação de 53 dias sendo de 095 a taxa de inflação no mês apurar a taxa real mensal 19 Um empréstimo é concedido por sete dias à taxa over de 29 am Nesse intervalo existem cin co dias úteis A instituição financeira cobra um spread de 006 ad para realizar essa operação de empréstimo Calcular o custo efetivo mensal da operação para o tomador de recursos 20 Para uma taxa efetiva de 325 aa pedese de terminar a taxa de desconto por fora mensal para uma operação de 53 dias b taxa over mensal admitindose 23 dias úteis no período 21 Admita que o custo de captação de um banco esteja definido pela taxa over de 248 am O número de dias úteis no mês de referência desta taxa é 21 Sabese que o Banco Central vem exigindo um encaixe equivalente a 10 dos recursos libera dos para empréstimos sem oferecer qualquer remuneração sobre o depósito Esse encaixe é recolhido no momento da liberação do emprés timo Pedese calcular a custo efetivo mensal de captação do banco b taxa efetiva mensal da operação de emprés timo sabendo que o banco ao repassar esse dinheiro exige um ganho spread de 12 aa taxa nominal com capitalização men sal 22 Um banco cobra de uma empresa uma taxa efe tiva de juro de 175 aa para um empréstimo de 4 meses A empresa tomadora dos recursos incorre ainda nos seguintes custos IOF 4 incidente sobre o principal da dívi da e recolhido na data do empréstimo despesa de cobrança de 05 calculada sobre o valor final da operação montante e paga na data de liquidação do empréstimo Pedese calcular o custo efetivo anual da capta ção 23 No dia 0406 a taxa over estava fixada em 00691 adu Sabese que no mês existem 20 dias úteis Determinar a taxa overmês nominal e a taxa overano efetiva 24 Admita uma aplicação de 30000000 em um título por 59 dias corridos nos quais são pre vistos 39 dias úteis O valor do resgate é de 31350000 Pedese calcular a taxa efetiva do período da aplicação b taxa efetiva mensal c taxa efetiva por dia corrido d taxa efetiva por dia útil e taxa over nominal ao mês f taxa over ao ano 25 Para uma taxa over nominal ao mês de 228 pedese determinar a taxa over efetiva anual ao ano over 26 Para uma taxa over efetiva anual de 165 de terminar a taxa de juros over nominal mensal e a taxa efetiva mensal admitindo um mês com 22 dias úteis 27 A taxa Selic taxa básica da economia mensal referente aos meses de março e abril do ano XS e os dias úteis existentes em cada mês são apre sentados a seguir Pedese determinar a taxa efe tiva anual base de 252 dias úteis da Selic para cada mês Matemática Financeira Reciprocidade Bancária e Taxas Over 103 28 Uma aplicação financeira por 49 dias corridos produziu uma taxa efetiva de retorno de 192 no período Supondo que no intervalo de tempo da aplicação existam 4 7 dias corridos e 33 dias úteis determinar a taxa over mensal 29 Admita que o CDI esteja oferecendo as seguintes taxas efetivas anuais over aao nos quatro pri meiros dias de um mês Dia 1 1329 Dia 2 1166 Dia 3 1276 Dia 4 1357 Pedese calcular a taxa acumulada do período b taxa over mensal 30 Um CDB é negociado à taxa de 128 aao O prazo da operação é de 22 dias úteis e 30 dias corridos Pedese determinar a taxa efetiva do período b taxa efetiva anual base 360 dias corridos Respostas 1 a i 346 am b r 162 am 2 i 453 3 a i 40 am 603 aa b i 39 am 578 aa 4 5866542 5 a i 554 am b 57 dias c 638 dias 6 i 70 am 7 i 181 am 8 over 423 am 9 i 259 am 10 a i 1046 am b i 23 am 11 i 229 am 104 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 12 a i 234 am b over 5997 am 13 i 0688 p3 dias úteis i 49 am 14 i 355 am 15 119 dias 16 i 188 am 17 a i 182 am b i 146 am 18 a i 3097 aa b over 244 am desconto am real r 093 am 19 i 341 am 20 d 2297 am over 3057 am 21 a i 194 am b i 296 am 22 i 3481 aa d 184 23 overmês 2073 am overano 1901 a a 24 a 45 ao período b 226 am c 00746 adc ao dia corrido d O 1129 adu ao dia útil e 339 amo ao mês over f 3289 aa 25 211 aa 26 Taxa over mês 18187 am Taxa efetiva mês 134 am 27 imar 1897 aao iabr 1932 aao 28 i 173 amo 29 a i 01916 ap b i 144 amo 30 a i 10571 p 21 du b i 1345 aa 7 Fluxos de Caixa Um fluxo de caixa representa uma série de paga mentos ou de recebimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de tempo É bastante comum na prática defrontarse com operações financeiras que se representam por um flu xo de caixa Por exemplo empréstimos e financia mentos de diferentes tipos costumam envolver uma sequência de desembolsos periódicos de caixa De maneira idêntica têmse os fluxos de pagamentos recebimentos de aluguéis de prestações oriundas de compras a prazo de investimentos empresariais de dividendos etc Os fluxos de caixa podem ser verificados das mais variadas formas e tipos em termos de períodos de ocorrência postecipados antecipados ou diferidos de periodicidade períodos iguais entre si ou diferen tes de duração limitados ou indeferidos e de valo res constantes ou variáveis Com o intuito de melhor estudar as formulações e aplicações práticas do fluxo de caixa como um dos mais importantes temas da Matemática Financeira o assunto será tratado separadamente A primeira par te do capítulo dedicase ao estudo do fluxo de caixa uniforme o qual apresenta uma característica de for maçãopadrão É entendido como o modelopadrão de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos A sequência do capítulo dedicase às demais classifi cações dos fluxos de caixa definidas como não con vencionais Os termos dos fluxos de caixa são genericamente simbolizados por PMT sendo para as demais variá veis empregada a mesma simbologia adotada em ca pítulos anteriores PV FV n i 71 Modelopadrão Os fluxos de caixa podem ser representados sob diferentes formas e tipos exigindo cada um deles um tratamento específico em termos de formulações Esquematicamente os fluxos de caixa são identi ficados com base na seguinteclaioos 1 Período de Ocorrência Antecipados Diferidos 2 Periodicidade 3 Duração Periódicos Não periódicos Limitados Finitos Indeterminados Indefinidos 106 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 4 Valores Constantes Variáveis O modelopadrão de um fluxo de caixa conforme grifado no esquema acima é verificado quando os termos de uma sucessão de pagamentos ou recebi mentos apresentam ao mesmo tempo as seguintes classificações a Postecipados indica que os fluxos de paga mentos ou recebimentos começam a ocorrer ao final do primeiro intervalo de tempo Por exemplo não havendo carência a prestação inicial de um financiamento é paga ao final do primeiro período do prazo contratado ven cendo as demais em intervalos sequenciais b Limitados o prazo total do fluxo de caixa é conhecido a priori sendo finito o número de termos pagamentos e recebimentos Por exemplo um financiamento por 2 anos envol ve desembolsos neste intervalo fixo de tempo sendo consequentemente limitado o número de termos do fluxo prestações do financia mento c Constantes indica que os valores dos termos que compõem o fluxo de caixa são iguais entre si d Periódicos é quando os intervalos entre os termos do fluxo são idênticos entre si Ou seja o tempo entre um fluxo e outro é constante Graficamente o fluxo de caixa uniforme padrão é representado da forma seguinte PMT PMT PMT PMT PMT o 2 3 n 1 n tempo Observe que a estrutura desse fluxo obedece à classificaçãopadrão apresentada anteriormente o PMT inicial ocorre em n 1 postecipado a diferença entre a data de um termo e outro é constante periódico o prazo do fluxo é preestabelecido fixo apre sentando n períodos limitado oufinito os valores do PMT são uniformes iguais constantes 711 Valor presente e fator de valor presente O valor presente de um fluxo de caixa uniforme conforme discutido no item precedente para uma taxa periódica de juros é determinado pelo soma tório dos valores presentes de cada um de seus va lores Reportandose à representação gráfica do fluxo padrão apresentado temse PV 1PMTPMTPMTPMT PMTi o 2 3 n 1 Logo PV PMT PMT PMT 1 i 1 i2 1 ii PMT PMT 1 on1 1 on Colocandose PMT em evidência n tempo PV PMT 1 1 1 1 1 l 1 i 1 i2 1 i3 1 on1 1 on PV PMT 1 i1 1 i2 1 i3 1 on1 1 on FPV A expressão entre colchetes é denominada de Fa tor de Valor Presente sendo representada pela Mate mática Financeira da forma seguinte Com isso a formulação genérica do valor presen te assume a expressão Observe que FPV conforme é apresentado na for mulação anterior entre colchetes equiparase à soma de uma progressão geométrica PG de n termos sendo o primeiro termo a1 e a razão q igual a 1 o1 e o nésimo termo an igual a 1 on A fórmula de cálculo da soma de uma PG é dada por Substituindose os valores da expressão na soma dos termos de uma PG temse Fluxos de Caixa 107 FPVi n 1 o1 1 on X 1 o1 1 c1 o1 Seguindose a sequência de dedução adotada por Mathias e Gomes1 multiplicase o numerador e o de nominador por 1 i obtendose FPVi n 1 o1 1 in X 1 o X 1 i 1 1 l1 X 1 l V 1i1 x1i1in x1i1 x1i FP L n 1 i 1 W1 X 1 i 1 o11 1 on X 1 o11 FPVl n C1 o C1 o11 FPVi n 1 1 on 1i1 Exemplos Essa expressão é muitas vezes representada da maneira seguinte 1 Determinado bem é vendido em 7 pagamentos mensais iguais e consecutivos de 400000 Para uma taxa de juros de 26 am até que pre ço compensa adquirir o aparelho a vista FPVi n FPVi n 1 1 1 on 1 in 1 1 on Mediante o FPV a fórmula do valor presente de um fluxo de caixa uniforme é apresentada da manei ra seguinte ou Solução PMT 400000 26 am n 7 PV PMT x 1 1 on ou PV PMT x FPV i n PV PV 4000 00 X 1 1026 0026 PV 400000 X 6325294 2530118 O valor presente pode também ser calculado pela atualização de cada um dos termos do fluxo ou seja PV 400000 400000 400000 1026 10262 10263 400000 1026f 1 MATHIAS N Franco GOMES J Maria Matemática fi nanceira 2 ed São Paulo Atlas 1998 p 242 108 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Resolvendose a expressão chegase evidente mente ao mesmo resultado PV 2530118 2 Determinar o valor presente de um fluxo de 12 pagamentos trimestrais iguais e sucessivos de 70000 sendo a taxa de juros igual a 17 am Solução PMT 70000 n 12 pagamentos trimestrais 17 am ou 1017 3 1 519 at PV PMT x FPV i n PV 70000 x FPV 5 19 12 PV 70000 X 8769034 PV 613830 3 Um empréstimo de 2000000 é concedido para pagamento em 5 prestações mensais iguais e su cessivas de 430000 Calcular o custo mensal deste empréstimo Solução PV 2000000 n 5 pagamentos mensais PMT 430000 PV PMT x FPV i n 2000000 430000 X FPV i 5 1 1 os 2000000 430000 X l Resolvendose com o auxílio de uma calculadora eletrônica ou tabelas financeiras conforme apre sentadas no Capítulo 13 temse o seguinte custo mensal efetivo do empréstimo i 246 am 4 Um veículo novo está sendo vendido por 400000 de entrada mais 6 pagamentos mensais iguais e consecutivos de 300000 Sabendose que a taxa de juros de mercado é de 55 am determinar até que preço interessa comprar o veí culo a vista Solução 4ooooo l3ooooo 3ooooo 3ooooo 3ooooo 3ooooo 3ooooo I o 2 3 O preço a vista é formado pela entrada de 400000 mais a soma dos valores atuais das presta ções de 300000 cada ou seja PV Entrada PMT x FPV i n PV 400000 300000 x FPV 55 6 PV 400000 300000 X 4995530 PV 1898659 712 Valor futuro e fator de valor futuro O valor futuro para determinada taxa de juros por período é a soma dos montantes de cada um dos termos da série de pagamentosrecebimentos Grafi camente temse a seguinte representação 4 5 6 meses IPMT PMT PMT PMTI PMT I FV o 2 3 n 1 n O valor futuro pelo padrão ocorre junto com o úl timo termo do fluxo de caixa Capitalizandose cada um dos valores da série apurase a seguinte expres são FV PMT PMT x 1 i PMT X 1 i 2 PMT X 1 i3 PMT X 1 in 1 Colocandose PMT em evidência FV PMT 1 1 i 1 i2 1 i3 1 in l FFV Identicamente a expressão entre colchetes é defi nida por Fator de Valor Futuro e representada por FFV i n A formulação genérica do valor futuro de um flu xo de caixa uniforme é expressa da forma seguinte Da mesma maneira em relação ao desenvolvi mento da fórmula do valor presente observe que a expressão do FFV representa a soma dos termos de uma progressão geométrica onde a 1 1 q 1 Fluxos de Caixa 109 A Tabela 4 desenvolvida no Capítulo 13 apresen ta o fator de valor futuro para diferentes valores de n e i Assim a partir do FFV podese elaborar a expres são de cálculo do valor futuro montante de um flu xo de caixa uniforme ou seja i e an 1 on 1 ou Pela mesma equação de cálculo da soma dos valo res de uma PG temse a a x q Sn FFV X i n 1 n 1q Promovendo os mesmos ajustes e simplificações desenvolvidos na identidade do valor presente che gase a Exemplos 1 Calcular o montante acumulado ao final do 7º mês de uma sequência de 7 depósitos mensais e sucessivos no valor de 80000 cada numa con ta de poupança que remunera a uma taxa de juros de 21 am Solução 80000 80000 80000 80000 80000 80000 80000 O 2 3 4 5 6 7 meses O valor futuro pode ser calculado pela soma do montante de cada depósito isto é FV 80000 80000 1021 80000 1021 2 80000 10213 80000 10216 FV 596541 Aplicandose a fórmulapadrão de apuração do valor futuro temse de forma abreviada o mes mo resultado FV PMT x FFV i n FV PMT x 1 in 1 i FV 800 00 X 1021f 1 0021 FV 80000 X 7456763 596541 2 Uma pessoa irá necessitar de 2200000 daqui a um ano para realizar uma viagem Para tanto está sendo feita uma economia mensal de 125000 a qual é depositada numa conta de poupança que remunera os depósitos a uma taxa de juros com postos de 4 am Determinar se essa pessoa terá acumulado o montante necessário ao final de um ano para fazer a sua viagem Solução o FV 125000 125000 125000 125000 125000 1 2 3 4 12 FV PMT X FFV 4 12 FV 1250 00 X 1 04 12 1 004 FV 125000 X 15025805 1878226 O montante acumulado nos 12 meses apresenta se insuficiente para a viagem Para apurar os 2200000 necessários os depósitos mensais nes sa conta de poupança devem ser de 146415 ou seja FV PMT x 1 in 1 22000 00 PMT 104 12 1 004 110 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 2200000 PMT X 15025805 PMT 2200000 1464 15 1025805 72 Equivalência financeira e fluxos de caixa Deve ser ressaltado também no estudo do fluxo de caixa o conceito de equivalência financeira con forme está desenvolvida no Capítulo 2 Esse raciocí nio é de fundamental importância para a Matemática Financeira permitindo o correto entendimento e uso de seus resultados A equivalência financeira encontra extensas apli cações práticas estando presente na tomada de de cisões financeiras na seleção de planos de emprésti mos e financiamentos mais atraentes em propostas de refinanciamento e reescalonamento de dívidas etc De acordo com o que foi desenvolvido anterior mente dizse que dois ou mais fluxos de caixa ca pitais são equivalentes quando produzem idênticos valores presentes num mesmo momento convencio nandose determinada taxa de juros Por exemplo os 4 fluxos de caixa ilustrados a se guir são equivalentes para uma taxa de juros de 5 ao mês pois geram para uma mesma taxa de juros valores iguéiS em qualquer data focal escolhida 19000 22000 26700 41400 o 2 5 9 18 meses Definindose t0 momento presente como data fo cal 19000 1052 22000 1055 26700 1059 41400 10518 Registrese uma vez mais que a equivalência fi nanceira no regime de juros compostos para dada taxa de juros pode ser verificada em qualquer mo mento tomado como referência data focal Por exemplo se a data focal for definida em t18 temse 41400 26700 105 9 22000 10513 19000 10516 e assim por diante A equivalência de dois ou mais capitais para de terminada taxa de juros ocorre em qualquer data to mada como referência Alterandose a taxa a equi valência evidentemente deixa de existir dado que o conceito depende da taxa de juros Algumas ilustrações práticas evidenciando o uso do conceito de equivalência financeira são desenvol vidas a seguir Exemplos 1 Admita que uma empresa esteja avaliando quatro planos de pagamentos de um financiamento de 30000000 conforme apresentados a seguir A taxa de juros considerada nas propostas é de 7 am Qual a opção de pagamento economicamen te mais atraente Solução Os planos de pagamento formulados apresentam o mesmo valor presente data zero quando des contados à taxa de juros de 7 am O resultado atualizado continua igual mesmo se definida ou tra data focal Logo concluise que os fluxos de pagamento do financiamento são equivalentes apresentando o mesmo custo Assim em termos estritamente econômicos de atratividade tornase indiferente equivalente a escolha de uma ou outra forma de pagamento Mesmo que a soma das prestações seja diferen te em cada proposta o fundamental na avaliação econômica é a comparação entre valores expres sos em uma mesma unidade de tempo A decisão dessa forma deve ser tomada levan do em conta o aspecto financeiro do desembol so pois os fluxos de caixa são diferentes em cada plano em termos de valores e data de ocorrência A forma de pagamento escolhida deve evidente mente adequarse à capacidade financeira do to mador de recursos e ao comportamento das taxas de juros de mercado 2 Determinado produto é vendido por 100000 a vista ou em 2 pagamentos mensais iguais e su cessivos de 52000 cada vencendo o primeiro de hoje a 30 dias Determinar o custo mensal da compra a prazo Solução O preço a vista na data atual é de 100000 O custo da venda a prazo é a taxa de juros que toma equivalentes essas duas alternativas de pa gamento Assim descontandose os pagamentos mensais a determinada taxa de juros i de forma que o PV seja igual ao preço a vista temse o custo mensal ou seja PV 100000 PMT 52000 n2 i 100000 c 121 ls2ooo s2oool 100000 52000 x FPV i 2 100000 52000 52000 1 i 1 ii o PV 1628490 x FPV 24 4 2 PV 1628490 X 3771054 6141124 3 O fluxo de 12 PMT proposto a uma taxa de juro mensal de 35 deve ser equivalente ao valor presente da dívida original isto é 6141124 PMT X 35 12 Fluxos de Caixa 111 Resolvendose i 266 am 3 Uma empresa contraiu um empréstimo de 9000000 para ser pago em 6 prestações men sais uniformes de 1628490 cada No entanto quando do pagamento da 2ª prestação a empre sa passando por dificuldades financeiras solicita ao banco que refinancie o saldo de sua dívida em 12 prestações mensais iguais e sucessivas ven cendo a primeira a partir de 30 dias dessa data A taxa de juro cobrada pelo banco no refinancia mento é de 35 am Determinar o valor de cada prestação do refinan ciamento solicitado Solução a A taxa de juro cobrada no empréstimo original é de 24 am inferior aos 35 cobrados no refinanciamento Ou seja 9000000 1628490 X FPV i 6 Resolvendose i 24 am b Após o pagamento da 2ª PMT restam ainda 4 pagamentos a serem efetuados que equiva lem a 6141124 de valor presente à taxa de 24 am 1628490 1628490 1628490 1 4 5 6 meses 6141124 PMT x 1 1035 12 0035 PMT 6141124 635508 9663334 112 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 73 Fluxos de caixa não convencionais Os fluxos definidos no denominado modelopa drão foram amplamente estudados no início do capí tulo Esta parte dedicase mais especificamente aos demais tipos de caixa não considerados no modelo padrão A seguir são desenvolvidas as várias classificações não convencionais dos fluxos de caixa 731 Período de ocorrência Com relação ao período em que começa a ocorrer o fluxo de caixa pode ser identificado como posteci pado antecipado e diferido POSTECIPADO PMT PMT PMT PMT PMT 114l o 2 3 4 n tempo No tipo postecipado a série de pagamentosrece bimentos começa a ocorrer exatamente ao final do primeiro período de acordo com a ilustração gráfi ca acima Esse fluxo enquadrase no modelopadrão detalhado inicialmente não havendo nada mais a acrescentar ANTECIPADO PMT o PMT Antecipado PMT 2 PMT 3 PMT PMT 1 4 n tempo O fluxo de caixa antecipado indica que a série de valores começa a ocorrer antes do final do primeiro período conforme é representado graficamente aci ma Por exemplo um aluguel pago no início do perí odo de competência geralmente no início do mês enquadrase como um fluxo de caixa antecipado por um período mês Se dois aluguéis forem adiantados ao locador a antecipação é de dois períodos e assim por diante A determinação do valor presente e montante de um fluxo de caixa antecipado não apresenta maiores novidades Além de terse sempre a opção de atuali zar ou corrigir os seus termos individualmente pode se também utilizar a fórmula do modelopadrão para a parte convencional do fluxo e adicionar os termos antecipados corrigidos a esse resultado Por exemplo admita o seguinte fluxo de caixa com antecipação de dois períodos 7000 7000 17000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 se 2 3 4v567 8 tempo 1 o v Antecipação Modelo básico Para uma taxa de juros de 4 por período tem PV 7000 X FPV 4 8 7000 7000 X 104 PV 7000 X 6732745 7000 7280 PV 47129 7000 7280 61409 FV 7000 X FFV 4 8 7000 1048 7000 104 9 FV 7000 X 9214226 9580 9963 FV 64500 9580 9963 84043 DIFERIDO CARÊNCIA PMT PMT PMT PMT PMT PMT 1ft1 I o 2 3 4 5 6 n tempo Carência O diferimento indica que os termos da série come çam a ocorrer após o final do primeiro período con forme ilustrado no gráfico anterior Nessa ilustração a série iniciase no período ime diatamente após o final do primeiro intervalo de tempo indicando consequentemente uma carência de um período Se a série começar a ocorrer no mo mento 3 do gráfico a carência atinge dois períodos no momento 4 temse uma carência de 3 períodos e assim por diante Em suma a base de comparação para se definir uma carência é o final do primeiro período Para a Matemática Financeira a carência existe quando o primeiro fluxo de caixa se verificar após o final do primeiro período ou seja após ter decorrido c perío dos de tempo A determinação do montante de um fluxo de cai xa com carência segue a formulação desenvolvida do Fluxos de Caixa 113 modelopadrão Deve ser ressaltado uma vez mais que nesse caso n representa o número de termos da série e não o seu prazo total A formulação do valor presente no entanto re quer um pequeno ajuste de forma a ser expresso na data zero ou seja onde c número de períodos de carência FAC Fator de Atualização de Capital valor presente conforme estudado no Ca pítulo 2 item 21 FAC 11 in Por exemplo admita o seguinte fluxo de caixa di ferido por 2 períodos 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 o 2 3 4 Carência C 2 Observe que o fluxo de caixa apresenta um prazo total de 9 períodos sendo o número de termos igual a 7 n 7 e a carência de 2 períodos c 2 Para uma taxa de juros de 22 por período têm se os seguintes resultados PV 10000 X FPV 22 7 X FAC 22 2 PV 10000 X 6422524 X 0957410 61490 FV 10000 X FFV 22 7 FV 10000 X 7479318 74793 PMT PMT 5 6 7 8 9 tempo 732 Periodicidade A periodicidade reflete os intervalos de tempo em que os fluxos de caixa ocorrem Se esses intervalos forem sempre iguais dizse que os fluxos são perió dicos enquadrandose no modelopadrão apresenta do Se por outro lado os termos se verificarem em intervalos irregulares diferentes entre si temse o que se denomina de fluxos de caixa não periódicos O gráfico a seguir ilustra um fluxo de caixa não periódico onde os valores não se verificam unifor memente em termos de sua periodicidade PMT PMT 4 6 1 O tempo J o 3 períodos 2 períodos 4 períodos 114 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Tanto o cálculo do valor presente como o do va lor futuro devem ser processados respectivamen te pelo somatório da atualização e capitalização de cada um dos termos Genericamente têmse as seguintes expressões 10000 1 0000 1 0000 o 3 4 Para uma taxa de juros de 19 am temse PV 100 OO 10000 10000 10193 10194 10000 10000 1 0198 1 01915 PV 10000 9451 9275 8602 7540 PV 44868 FV 10000 10000 1019 7 10000 1019 11 10000 1019 12 10000 1019 15 FV 10000 11408 12300 12534 13262 FV 59504 ou FV 44868 X 1019 15 59504 733 Duração A duração de um fluxo de caixa pode ser finita característica do modelopadrão ou indeterminada indefinida quando o prazo não é conhecido pre viamente Ilustrativamente admita o seguinte fluxo de caixa não periódico 10000 10000 8 15 tempo No caso de uma série infinita determinase unica mente o seu valor presente Para algumas situações específicas podem ser atribuídas probabilidades para se definir a duração de um fluxo como é o caso da atividade de seguros No entanto este tipo de situa ção não será tratado aqui ficando mais restrito ao estudo da Matemática Atuarial A representação gráfica de uma série indefinida pode ser ilustrada da forma seguinte o 2 3 4 O cálculo do valor presente é efetuado pelo soma tório do valor atualizado de cada um de seus termos isto é Pv PMT PMT PMT PMT 1 i 1 i2 1 i3 1 ooo Genericamente Detalhando a formulação PV PMT PMT PMT PMT PMT 1 i 1 i2 1 i3 1 i4 1 ooo 1 1 1 1 1 PV PMT 2 1 i 1 i 1 i3 1 i4 1 i 00 Os valores entre colchetes representam a soma dos termos de uma progressão geométrica indefinida cuja razão é menor que 1 Aplicandose o teorema de limite na fórmula da soma dos termos temse a a x q FFV lim 1 n noo 1 q Processandose as deduções e simplificações per tinentes a partir dessa expressão chegase ao valor presente de um fluxo de caixa igual constante peri ódico e indeterminado ou seja Em outras palavras o valor presente desse fluxo é determinado pela relação entre o pagamentorecebi mento periódico igual e sucessivo e a taxa de juros considerada As séries indeterminadas encontram aplicações práticas principalmente em avaliações de imóveis efetuadas com base nos rendimentos de aluguéis na apuração do preço de mercado de uma ação a partir do fluxo previsto de dividendos etc Com o intuito de proceder a uma aplicação prá tica do cálculo do valor presente de um fluxo inde terminado admita que um imóvel esteja rendendo 200000 de aluguel mensalmente Sendo de 2 am o custo de oportunidade de mercado ganho da melhor alternativa de aplicação disponível pode se avaliar preliminarmente que o valor deste imóvel atinge 10000000 isto é PV 200000 100000 00 002 O valor de referência do imóvel válido para uma avaliação inicial é o valor presente do fluxo de ren dimentos mensais aluguéis previsto por um prazo indeterminado descontado a um custo de oportuni dade 734 Valores No que se refere aos valores os termos de caixa podem ser constantes se os fluxos de caixa apresen taremse sempre iguais ou variáveis se os fluxos não forem sempre iguais entre si Se os valores de caixa forem constantes o fluxo identificase com o modelopadrão estudado No en o Fluxos de Caixa 115 tanto se os valores de caixa apresentaremse desi guais variáveis o valor presente é calculado pela soma dos valores atualizados de cada um de seus termos O valor futuro por seu lado é determinado pelo somatório dos montantes de cada um dos ter mos ou ainda capitalizandose o valor presente para a data futura Identicamente aos fluxos de caixa não periódicos têmse as seguintes generalizações ou Por exemplo admita um fluxo de caixa com os seguintes valores ocorrendo respectivamente ao final de cada um dos próximos 5 anos 8000 12600 19400 34000 e 5 7000 Para uma taxa de ju ros de 4 aa têmse os seguintes resultados 8000 12600 19400 34000 57000 2 3 4 5 anos 8000 12600 19400 PV 104 1042 1043 34000 57000 1044 1045 PV 7692 11649 17246 29063 46850 PV 112500 FV 57000 34000104 194001042 126001043 80001044 FV 57000 35360 20983 14173 9359 FV 136880 ou FV 112500 X 104 5 136880 116 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Exercícios resolvidos2 1 Uma mercadoria é vendida a prazo em 5 paga mentos mensais de 70000 Sendo de 35 am a taxa de juros determinar o seu preço a vista ad mitindo que a o primeiro pagamento é efetuado no ato da compra b o primeiro pagamento é efetuado ao final do primeiro mês c o primeiro pagamento é efetuado ao final do segundo mês Solução a o o 70000 70000 70000 70000 70000 o 2 3 PV 70000 70000 x FPV 35 4 PV 70000 70000 X 3673079 PV 327116 b 4 meses 70000 70000 70000 70000 70000 2 3 PV 70000 X FPV 35 5 PV 70000 X 4515052 PV 316054 c 4 5 meses 70000 70000 70000 70000 70000 2 3 4 5 6 meses Carência PV 70000 X FPV 35 5 X FAC 35 1 PV 70000 X 4515052 X 0966184 PV 305366 2 Uma pessoa irá necessitar de 700000 daqui a 10 meses Quanto deverá ela depositar mensal mente num fundo de poupança que rende 17 am de juros Solução FV 700000 PMT PMT PMT PMT PMT 11 o 2 3 4 1 O meses FV PMT x FFV i n 700000 PMT x FFV 17 10 700000 PMT X 10800733 PMT 700000 648 10 10800733 3 Uma pessoa possui hoje 5000000 em dinhei ro e uma capacidade de poupança de 300000 mensais no próximo semestre e 400000 men sais nos 4 meses seguintes ao semestre Se esse fluxo de poupança for depositado mensalmen te num fundo que rende 25 am determinar quanto essa pessoa terá acumulado ao final de a 10 meses b 15 meses Solução a Valor Acumulado no 1 Oº Mês 5000000 300000 300000 FV 300000 400000 400000 400000 400000 o 2 6 2 Para a solução dos vários exercícios e cálculos financei ros através de calculadoras financeiras recomendase AS SAF N Alexandre LIMA E Guasti Investimentos no mer cado financeiro usando a calculadora HP12C 2ª ed São Paulo Inside Books Editora 2008 7 8 9 1 O meses Todo o fluxo de depósitos deve ser corrigido para o 10º mês Com o intuito de melhor explicar o pro cesso a correção será efetuada em três partes de pósito inicial 6 depósitos mensais de 300000 e 4 depósitos mensais de 400000 FV10 5000000 X FCC 25 10 FV10 5000000 X 102510 6400423 FV10 300000 X FFV 25 6 X FCC 25 4 FV 3000 00 X 1025 6 1 X 1 0254 10 0025 FV10 300000 X 6387737 X 1103813 FV10 2115260 Observe que o FFV corrige o fluxo para a data do último depósito 6º mês Para obter o valor acu Fluxos de Caixa 117 mulado no 10º mês o montante encontrado deve ser corrigido por mais 4 meses FV10 400000 X FFV 25 4 FV 4000 00 X 1 025 4 1 10 0025 FV10 400000 X 4152516 1661006 Valor Total Acumulado no 1 Oº Mês 6400423 2115260 1661006 10176689 b Valor Acumulado no 15º Mês lsoooooo 3ooooo 3ooooo 3ooooo 4ooooo 4ooooo 4ooooo 4ooooo 1tv o 2 FV15 10176689 X FCC 25 5 FV15 10176689 X 10255 11513990 6 4 Um veículo cujo preço a vista é de 3000000 está sendo vendido nas seguintes condições a entrada 30 b saldo em 6 prestações mensais iguais e suces sivas vencendo a primeira daqui a dois me ses Determinar o valor de cada prestação admitindo uma taxa de juros de 2 am Solução 7 300r00 I Entrada 900000 31 41 51 61 7J meses PMT PMT PMT PMT PMT Valor a Financiar 3000000900000 2100000 PV PMT X FPV 2 6 X FAC 2 1 21000 00 PMT X 1 102 6 X 1 021 002 2100000 PMT X 5601431 X 0980392 2100000 PMT X 5491598 PMT 2lOOOOO 3824 02 5491598 5 Determinado produto está sendo vendido por 180000 a vista ou em 3 pagamentos mensais e 8 9 10 15 meses iguais de 65000 Estando atualmente em 33 am as taxas de juros de mercado pedese avaliar a melhor alternativa de compra Solução A indicação da alternativa de compra mais inte ressante pode ser obtida pelo valor presente das duas propostas escolhese evidentemente aque la de menor PV ou pela determinação do custo mensal da venda a prazo o percentual apurado é comparado com a taxa de mercado PV a vista 180000 PV a prazo 65000 x FPV 33 3 65000 X 2812375 182804 A venda a prazo por apresentar um PV maior que o valor a vista indica um custo maior que a taxa de mercado 33 am Interessa a compra a vista O custo mensal da compra a prazo é calculado PV PMT x FPV i n L8oooo 65ooo x 1 c1 o 3 i 411 am Confirmase um custo embutido na venda a pra zo de 411 am maior que os juros de mercado 33 am 6 Calcular o valor presente de cada um dos fluxos abaixo a 48 prestações mensais iguais e sucessivas de 400000 Taxa de juros 12 am 118 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto b 14 prestações trimestrais iguais e sucessivas de 700000 Taxa de juros 5 am c 5 prestações mensais e sucessivas crescentes em PA à razão de 200000 O valor da primei ra prestação é de 1000000 Taxa de juros 26am Solução a PV 400000 400000 400000 400000 400000 i O 2 3 4 48 meses PV o o PV 400000 x FPV 12 48 PV 400000 X 36327241 14530900 b c 700000 700000 700000 700000 700000 i 2 3 4 14 trimestres i 5 am i 1053 1 1576 at PV 700000 x FPV 1576 14 PV 700000 X 5527420 3869194 1000000 1200000 1400000 1600000 1800000 i 2 3 4 5 meses PV 1000000 1200000 1400000 1 026 1 0262 1 0263 1600000 1800000 1 0264 1 0265 PV 974659 1139952 1296242 1443878 1583200 PV 6437930 7 Determinada mercadoria é vendida por 250000 a vista ou por 20 de entrada mais prestações mensais de 30900 Sendo de 2 am a taxa corrente de juros determinar o número de pres tações Solução Valor a Financiar 250000 20 200000 PV PMT FPV i n 200000 30900 X FPV 20 n 2000 oo 309 oo x 1 1 02rn o 02 200000 X O 02 1 1 02n 30900 0129450 1 102n 102n 0870550 Aplicandose a propriedade de logaritmo ver Apêndice B n x log 102 log 0870550 log 0870550 n log 102 o 060206 N n 7 meses prestaçoes men 0008600 SaiS 8 Um eletrodoméstico é vendido a vista por 800000 ou em 4 pagamentos mensais de 208579 ocorrendo o primeiro pagamento 3 me ses após a compra Qual deve ser o valor da entra da admitindo uma taxa de juros de 4 am Solução 8000 208579 208579 208579 2085791 I I I I I 1 o 2 3 4 5 6 PV PMT x FPV i n x FAC i n PV 2085 79 X 1 1 04 4 X 1 042 004 PV 208579 X 3629895 X 0924556 PV 700000 Pelo conceito de equivalência financeira o valor presente das prestações deve ser igual ao preço a vista Logo Entrada 800000 700000 100000 9 Um financiamento no valor de 3500000 é con cedido para pagamento em 12 prestações men sais iguais com 3 meses de carência Para uma taxa de juros de 35 am determinar o valor das prestações Solução PV 3500000 o PMT PMT PMT PMT PMT PMT 1 2 3 4 5 6 7 8 15 meses I li PV PMT x FPV i n x FAC i c 35000 00 PMT X 1 1 035 12 X 1 0353 035 3500000 PMT X 9663334 X 0901943 3500000 8715776 X PMT PMT 3500000 4015 70 8715776 10 Um fluxo de caixa está definido em 12 prestações mensais de 120000 Calcular o fluxo de caixa equivalente para 5 prestações trimestrais iguais Considere uma taxa de juros de 15oo am Solução Dois fluxos de caixa se dizem equivalentes quan do produzem o mesmo valor num mesmo mo mento Admitindo a data de hoje como a data fo cal temse O 2 3 4 5 6 7 8 9 1 O 11 12 meses o PV PMT x FPV i n PV 120000 X 15oo 12 PV 120000 X 10907505 PV 1308900 PMT PMT PMT 2 3 PMT PMT 4 5 trimestres i 15oo am 7 i 10153 1 457 at PV PMT x FPV 457 5 PV PMT x 4381427 Igualandose o PV dos dois fluxos temse o valor de cada uma das cinco prestações trimestrais 1308900 PMT X 4381427 PMT 1308900 2987 40 4381427 11 Um empréstimo no valor de 1500000 é con cedido à taxa de juro de 223 am Os fluxos de caixa da operação são apresentados abaixo 1500000 t 2 3 4 5 meses I 200000 X 460000 380000 290000 Para os dados do empréstimo pedese calcular o valor da parcela referente ao 2º mês Fluxos de Caixa 119 Solução Pelo conceito de equivalência de capital estuda do os fluxos de saídas de caixa devem igualarse a certa taxa de juro às entradas de caixa em um momento do tempo Logo 1500000 200000 X 460000 1 0223 1 02232 1 02233 380000 290000 1 02234 1 02235 1500000 195637 09568X 430549 347913 259720 09568 X 266181 X 2 78200 12 Um empréstimo no valor de 1250000 deve ser pago em 4 parcelas trimestrais de valores linear mente crescentes na razão de 12oo A primeira parcela vence de hoje a 3 meses e as demais se quencialmente A taxa de juro contratada para a operação é de 27oo ao ano taxa efetiva Determinar o valor de cada pagamento do empréstimo Solução 2 3 4 trimestres PMT 112 PMT 124 PMT 136 PMT i 27oo aa equivalendo a i 127114 1 616 at 12500 OO PMT 112 PMT 10616 106162 124 PMT 136 PMT 106163 106164 1250000 09420 PMT 09938 PMT 10364 PMT 10708 PMT 1250000 40430 PMT PMT 309180 Valor de cada Prestação PMT1 309180 PMT2 309180 X 112 346280 PMT3 309180 x 124 383380 PMT4 309180 X 136 420480 120 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Exercícios propostos devedor procura o credor e decide liquidar toda a sua dívida vencida e vincenda Para uma 1 Determinar o valor presente PV de cada fluxo taxa de juros de 37 am determinar quanto de caixa identificado a seguir Admita uma taxa foi pago de juros de 2 9 ao mês 6 Um empréstimo no valor de 2430000 prevê a a 36 prestações mensais iguais e sucessivas sua liquidação em 4 parcelas iguais e vencíveis de 165000 respectivamente de hoje a 17 dias 39 dias 66 b 24 prestações mensais iguais e sucessivas dias e 90 dias Para uma taxa efetiva de juro de de 85000 cada vencendo a primeira ao 31 am pedese calcular o valor de cada par final do 3º mês cela de pagamento c 10 prestações trimestrais iguais e sucessi 7 Uma televisão está sendo negociada em 6 paga vas de 280000 cada mentos mensais de 7200 cada um Qual deve d 05 prestações bimestrais e sucessivas de ser a entrada de forma que o financiamento seja respectivamente 420000 530000 equivalente ao preço a vista de 65000 A taxa 770000 1090000 e 1500000 de juro mensal é de 39 e 06 prestações iguais de 120000 cada 8 Uma dívida de 1760000 deve ser paga em 5 com vencimentos respectivamente no 3º parcelas mensais e decrescentes na razão aritmé mês 7º mês 11 º mês 25º mês 28º mês e tica de 10 Os vencimentos começam a ocorrer 33º mês de hoje a 60 dias Pedese calcular o valor de 2 São efetuados a partir do final do primeiro mês cada prestação mensal admitindo uma taxa efe tiva de juros de 235 ao ano 12 depósitos mensais de 90000 num fundo de investimento que paga juros de 185 am Cal 9 Uma pessoa deseja acumular 1400000 ao fi cular o montante acumulado ao final dos seguin nal de um semestre Para tanto deposita mensal tes meses mente num fundo a importância de 150000 a 12º mês sendo corrigida à taxa de 45 am Qual deve ser o valor do depósito inicial momento zero b 15º mês de forma que possa obter o montante desejado c 24º mês ao final do período 3 Um terreno é vendido por 2000000 a vista 10 Um veículo é vendido por 1800000 a vista ou por 40 de entrada e o restante em 12 pres ou a prazo com 400000 de entrada e 4 pres tações mensais Para uma taxa de juros de 25 tações mensais de 384505 cada Determinar am determinar o valor de cada prestação men o custo efetivo mensal do financiamento sal 11 Uma loja apresenta duas propostas de venda de 4 Sabese que uma pessoa tem a receber os seguin um produto eletrônico tes pagamentos a entrada de 40000 mais 8 prestações men a 10 prestações mensais de 70000 cada sais de 72000 cada vencendo a primeira de hoje a um mês b entrada de 65000 mais 15 prestações b 06 prestações trimestrais de 280000 mensais de 60000 cada cada vencendo a primeira 3 meses após o Sendo de 35 am a taxa corrente de juros in término da sequência de pagamentos aci dicar a alternativa mais atraente para o compra ma dor Para uma taxa de juros de 41 am determi 12 Calcular o valor presente de um fluxo de 15 pa nar o valor presente na data zero e o valor fu turo ao final do 19º mês deste fluxo de paga gamentos mensais de 210000 cada sendo mentos que o primeiro desembolso ocorre de hoje a 15 5 Uma pessoa deve a outra 15 pagamentos men dias Admita uma taxa de juros de 22 am sais de 240000 Até o final do 6º mês não ha 13 Um sítio é vendido nas seguintes condições via efetuado nenhum pagamento Nesta data o a entrada 3000000 b 20 prestações mensais de 110000 cada vencendo a primeira daqui a 30 dias c 06 prestações semestrais de 750000 cada vencíveis a partir do final do 3º mês Sendo de 25 am a taxa de juros determinar até que preço é interessante adquirir este sítio a vista 14 Determinado produto é vendido numa loja por 112000 a vista ou em 5 prestações mensais de 24500 cada Calcular o custo efetivo mensal admitindo que a a primeira prestação vence ao final do 1 º mês b a primeira prestação é paga como entrada no momento inicial c a primeira prestação vence ao final do se gundo mês 15 Um imóvel é vendido nas seguintes condições de pagamento a 1000000 de entrada b mais 04 pagamentos trimestrais de 500000 cada vencendo o primeiro daqui a 120 dias c mais 60 prestações mensais de 80000 cada ocorrendo o primeiro pagamento da qui a dois meses Sendo de 18 am a taxa corrente de juros de mercado até que preço vale a pena pagar o imó vel a vista 16 Uma empresa apresenta o seguinte fluxo de de sembolso de um financiamento de 2980000 Para uma taxa de juros efetiva de 342 aa determinar o montante do pagamento previsto para daqui a 109 dias 17 Uma pessoa deve atualmente 18 prestações mensais de 220000 cada uma Com o intuito de adequar esses desembolsos mensais com suas disponibilidades de caixa está propondo ao cre Fluxos de Caixa 121 dor a transformação deste fluxo numa série de 8 pagamentos trimestrais iguais e sucessivos Para uma taxa de juros de 24 am determinar o valor de cada prestação trimestral que está sen do proposta 18 Um financiamento no valor de 7000000 está sendo concedido a uma taxa de juros de 4 am O prazo da operação é de 12 meses e as alterna tivas de pagamento da dívida apresentadas são as seguintes a 12 pagamentos mensais iguais e sucessi vos b 04 pagamentos trimestrais iguais e sucessi vos c 07 pagamentos mensais iguais com carên cia de 5 meses d 04 pagamentos mensais vencendo o pri meiro ao final do 2º mês o segundo ao final do 5º mês o terceiro ao final do 9º mês e o quarto ao final do 12º mês Calcular o valor das prestações para cada pro posta de pagamento 19 Um depósito de 800000 é efetuado num fun do de poupança que rende juros de 21 am Após 5 meses o depositante decide retirar sua poupança em 12 parcelas mensais iguais e su cessivas vencendo a primeira 30 dias após Ad mitindo a manutenção da mesma taxa de juros para todo o período determinar o valor das par celas que serão sacadas 20 Um financiamento no valor de 680000 é con cedido para pagamento em 10 prestações men sais e iguais com 2 meses de carência Sendo de 36 am a taxa de juros calcular o valor de cada pagamento mensal 21 Determinar quanto deve ser aplicado mensal mente num fundo de poupança durante 8 meses de forma que se possa efetuar a partir do 11 º mês 4 retiradas trimestrais de 1 90000 cada Considere uma taxa de juros de 15 am 22 Uma pessoa efetua um depósito inicial de 2800000 numa conta remunerada processan do sequencialmente mais 9 depósitos mensais iguais de 300000 cada Determinar quanto essa pessoa terá acumulado quando da realiza ção do último depósito admitindose uma taxa de juros de 17 am 122 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 23 Uma empresa consegue um empréstimo de 3000000 para ser liquidado da seguinte manei ra 20 do montante ao final de 2 meses e o restante em 6 prestações mensais iguais vencí veis a partir do 4º mês Para uma taxa de juros de 34 am determinar o valor dos pagamen tos 24 Um financiamento no valor de 8 70000 está sendo negociado a uma taxa de juros de 27 am Determinar o valor de cada prestação ad mitindo as seguintes condições de pagamento a 10 prestações mensais iguais com 2 meses de carência b 03 prestações iguais vencíveis respectiva mente ao final do primeiro quarto e déci mo mês 25 Uma empresa tem atualmente as seguintes dívi das junto a um banco 1200000 1600000 2100000 3000000 e 5000000 vencí veis sucessivamente ao final dos próximos 5 bi mestres Esta dívida foi contraída pagando uma taxa de juro nominal 28 aa A empresa está negociando o refinanciamento desta dívida em 10 prestações bimestrais iguais e sucessivas vencendo a primeira em dois me ses O banco está exigindo uma taxa de juro no minal de 40 aa para aceitar o negócio Determinar o valor de cada pagamento bimes tral 26 A capacidade de pagamento mensal de um consumidor é de 35000 Desejando adquirir a prazo um aparelho eletrônico no valor de 270000 pedese determinar o número de pres tações que o financiamento deve apresentar nas seguintes hipóteses a a primeira prestação é paga de hoje a 30 dias b a primeira prestação é paga no ato como en trada Admita uma taxa de juros de 23 am 27 Uma pessoa deve 36 prestações de 120000 cada uma Tendo atualmente 900000 em dis ponibilidade deseja liquidar tantas prestações quantas forem possíveis Para uma taxa de juro definida em 35 am calcular quantas presta ções podem ser pagas admitindo que sejam li quidadas a as n primeiras b as n últimas 28 Admita um financiamento de 500000 a ser pago em 8 prestações iguais e mensais A taxa de juro cobrada na operação é de 26 am Deter minar o valor das prestações sabendo que a a primeira prestação vence em 20 dias e as demais de 30 em 30 dias b a primeira prestação vence em 45 dias e as demais de 30 em 30 dias 29 Um financiamento de 350000 é concedido a juros de 235 am Podendo dispor de 27000 ao final de cada mês determinar quantos paga mentos são necessários para liquidar o emprésti mo 30 Um empréstimo de 3800000 deve ser liquida do em 3 pagamentos trimestrais crescentes em progressão geométrica a uma razão igual a 2 Sendo de 85 at a taxa corrente de juros cal cular o valor de cada prestação 31 Um imóvel é vendido por 18000000 a vista A construtora facilita o negócio da forma seguinte entrada 10 prestações intermediárias de 1800000 vencíveis de hoje a 3 meses 2400000 de hoje a 7 meses e 3600000 de hoje a 12 meses 12 prestações mensais iguais e sucessivas vencíveis de hoje a um mês para uma taxa de juros de 32 am deter minar o valor de cada prestação mensal 32 Uma empresa captou um financiamento de 5400000 para ser liquidado em 18 prestações mensais iguais e sucessivas Quando do paga mento da 7ª prestação passando por dificulda des financeiras solicitou ao banco que refinan ciasse o seu saldo devedor para 20 prestações mensais iguais e sucessivas O empréstimo foi levantado com juros de 29 am e o refinan ciamento foi processado cobrando juros de 40 am Determinar o valor de cada prestação do refinanciamento 33 Uma loja de móveis diz financiar a seus clientes de acordo com as seguintes condições Entrada 20 Saldo em 4 prestações mensais e iguais Cálculo do valor de cada prestação PMT Valor da Compra Entrada x 12 4 A loja anuncia estar cobrando 5 de juros ao mês Você concorda 34 Um bem é financiado em 15 prestações men sais crescentes em PA à razão de 140000 por Fluxos de Caixa 123 mês Sabese que o valor da 9ª prestação é de 2250000 Para uma taxa de juros de 35 ao mês determinar o valor presente deste fluxo de caixa valor a vista 35 Calcular o valor presente dos fluxos de caixa ilustrados a seguir admitindose uma taxa de ju ros de 3 ao mês 7000 7000 7000 7000 7000 7000 a 1 o 2 3 4 5 48 meses 7000 10000 20000 30000 30000 30000 40000 40000 40000 50000 b 1 o 2 3 4 5 6 7 8 meses 20000 20000 20000 20000 20000 c 1 o 2 3 9 10 11 12 24 meses 10000 10000 d 10000 10000 10000 o 2 3 4 5 6 7 8 meses 30000 30000 30000 30000 30000 30000 e o 2 3 4 5 6 00 meses 36 Calcular o valor futuro dos fluxos de caixa ilustrados a seguir admitindose uma taxa de juros de 5 ao mês 4000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 a 1 o 2 3 4 5 6 60 meses 9000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 b c d o 2 3 4 5 6 15 meses 12000 12000 12000 12000 12000 1ltl o 2 3 4 5 6 7 8 9 20 meses 10000 10000 10000 30000 30000 30000 50000 50000 50000 70000 o 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 meses 124 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 37 Um Fundo de Poupança iniciase em determi nado mês com um saldo de 775000 Ao final de cada um dos meses seguintes é depositado 900000 no Fundo A cada trimestre ainda é sacado 1300000 Para uma taxa de juros de 25 ao mês determinar o montante acumula do pelo Fundo de Poupança ao final de 3 e de 8 anos 38 Uma pessoa irá necessitar de um montante de 3100000 daqui a 4 anos Ela deposita hoje 250000 e planeja fazer depósitos mensais no valor de 29000 por período numa conta de poupança Que taxa de juros deve esta conta pa gar mensalmente para que o poupador receba o montante desejado ao final dos 4 anos 39 Uma pessoa levanta um financiamento de 7000000 pagando uma taxa de juros de 174 am Pedese a se o financiamento for liquidado em duas parcelas iguais respectivamente ao final do 3º mês e do 5º mês determinar o valor de cada parcela b se o banco concedente do crédito exigir um pagamento de 2500000 ao final do 2º mês e duas parcelas iguais ao final do 4º mês e do 6º mês calcular o valor de cada parcela 40 Uma empresa contrata um financiamento de 250000000 nas seguintes condições prazo da operação 2 anos taxa de juros efetiva 115 aa pagamentos em parcelas iguais Determinar o valor de cada parcela conside rando a os pagamentos são efetuados mensalmen te b os pagamentos são efetuados trimestral mente c se o financiamento previr uma carência de 4 meses e forem mantidos 24 paga mentos mensais iguais e sucessivos cal cular o valor de cada parcela mensal 41 Um financiamento no valor de 200000000 é concedido por um banco nas seguintes condi ções taxa efetiva de juros 12oo aa pagamento em parcelas iguais prazo da operação 3 anos Pedese a calcular o valor de cada parcela do emprés timo se os pagamentos forem feitos mensal mente ao final de cada um dos próximos 36 meses b calcular o valor de cada parcela se os paga mentos forem realizados no início de cada um dos próximos trimestres 42 Uma pessoa planeja depositar mensalmente nos próximos 10 anos uma determinada quantia em um fundo de investimentos que promete pagar uma remuneração de 07 am O valor acumu lado nos 10 anos de poupança deve ser suficien te para que a pessoa efetue uma retirada mensal de 200000 por mais 12 anos As retiradas de vem iniciar um mês após o último depósito Admitindo parcelas iguais pedese calcular o va lor do depósito mensal a ser efetuado no fundo de investimento por 12 anos Respostas 12 2687490 13 7693270 14 a i 306 am b i 469 am c i 228 am 15 5590600 16 528963 17 541168 18 a PMT 745865 b PMT 2328293 c PMT 1418942 d PMT 2277410 19 84448 20 88200 21 80702 22 6149790 23 496290 24 a 105932 b 329703 25 1535738 26 a 85895 prestações b 73767 prestações 27 a 88511 prestações b 187448 prestações 28 a 69435 b 70936 29 156410 pagamentos 30 PMT1 660617 PMT2 1321234 PMT3 2642468 31 1033969 32 266529 Fluxos de Caixa 125 33 Não O custo efetivo do crédito é de 771 am 34 23270880 35 a 176867 b 259012 c 198317 d 44265 e 1000000 36 a 1414335 b 234496 c 258943 d 405116 37 FV3 29236422 FV8 193547870 38 216 am 39 a Parcela x 3749474 b Parcela x 2498520 40 a PMT 11644412mês b PMT 35252531trim c PMT 12074619mês 41 a 6584415 b 8737885 42 96788 8 Coeficientes de Financiamento O coeficiente de financiamento pode ser entendi do como um fator financeiro constante que ao mul tiplicarse pelo valor presente de um financiamento apura o valor das prestações Esses coeficientes são amplamente utilizados na prática sendo importante o seu manuseio As ope rações de financiamento pelo Crédito Direto ao Con sumidor CDC e as operações de arrendamento mercantil constituemse em aplicações práticas im portantes desses fatores O capítulo desenvolve os coeficientes de financia mento para séries uniformes inseridas no modelo padrão apresentado anteriormente para séries não periódicas as quais apresentam intervalos de tempo entre uma e outra prestação desiguais e para fluxos de caixa com carência A partir das formulações estu dadas nessas situações é possível desenvolver fato res para outras formas de amortização 81 Coeficientes de financiamento para fluxos de caixa uniformes Nesse caso o coeficiente é desenvolvido a partir do modelopadrão dos fluxos de caixa adotado pela Matemática Financeira e estudado no capítulo an terior Por exemplo admita que uma instituição financei ra divulgue que seu coeficiente para financiamento a ser liquidado em 6 prestações mensais iguais e su cessivas atinge atualmente 0189346 utilizase ge ralmente seis casas decimais Em consequência um financiamento de 1600000 envolve o pagamento de 6 prestações mensais e iguais de 302954 ou seja PMT 1600000 X 0189346 302954 Esse fator financeiro indica em outras palavras o valor da prestação para cada unidade monetária tomada emprestada Assim cada 100 de emprés timo gera 6 prestações de 0189346 200 deter minam 0378692 de prestação e assim por diante Logo um financiamento de 1600000 conforme ilustrado determina prestações de 302954 men sais iguais e sucessivas A expressão de cálculo do coeficiente de financia mento é desenvolvida a partir da fórmula do valor presente padrão dos fluxos de caixa conforme estu dada no Capítulo 7 ou seja PV PMT x FPV i n Operandose com PMT PMT PV FPVi n Observe que multiplicandose o valor presente do financiamento pelo inverso do FPV chegase ao valor de cada prestação Logo onde CF coeficiente de financiamento FPV fator de valor presente Expressandose a fórmula do FPV temse 1 CF 1 1 on Resultados do coeficiente de financiamento CF para diferentes valores de i e n podem ser obtidos de tabelas de fator de valor presente FPV especialmen te preparadas ou mediante a utilização de calculado ras financeiras C ou planilhas eletrônicas Por exemplo o coeficiente de financiamento de uma dívida a ser paga em 10 prestações mensais iguais e sucessivas admitindose uma taxa de juros de 3 am atinge CF 1 1 on CF 003 1 1 0310 0 03 0255906 o 117231 Logo cada unidade de capital emprestado en volve o pagamento de 10 prestações mensais de 0117231 Por exemplo se o valor do financiamen to for de 480000 a operação envolve o desem bolso mensal de 10 prestações de 56270 cada 480000 X 0117231 Por outro lado a partir do coeficiente de financia mento podese determinar a taxa de juros cobrada Coeficientes de Financiamento 127 na operação Por exemplo suponha que o fator para 5 prestações mensais seja de 0217420 O custo desse financiamento embutido no fator é CF 1 1 on i 0217420 5 1 c1 o Resolvendose com o auxílio de uma calculadora financeira chegase ao custo efetivo de i 285 am Conforme foi exposto o coeficiente de financia mento embute os juros definidos para a operação No entanto outras despesas podem ainda ser considera das no fator financeiro tais como IOF taxa de aber tura de crédito usualmente cobrada em operações de financiamento encargos do valor residual de um contrato de arrendamento mercantil etc Exemplos 1 Construir o coeficiente financeiro de um contrato de financiamento envolvendo 15 prestações men sais iguais e sucessivas a uma taxa de juros de 35 am Solução CF 1 1 on CF 0035 1 1 03515 o 035 o 086825 0403109 Para o cálculo da prestação mensal basta multi plicar o valor do financiamento pelo fator encon trado CF 0086825 2 Uma empresa está avaliando o custo de determi nado financiamento Para tanto identificou as se guintes condições em dois bancos a Coeficiente 0119153 Pagamento 10 prestações mensais iguais e sucessivas b Coeficiente 0307932 Pagamento 4 prestações trimestrais iguais e sucessivas Determinar a proposta que apresenta o menor custo mensal 128 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Solução a A taxa mensal de juros cobrada pela primeira proposta atinge CF 1 1 on i 0119153 10 1 c1 o Resolvendose i 332 ao mês b A segunda proposta apesar de apresentar um coeficiente maior indicando prestações mais elevadas envolve pagamentos em intervalos trimestrais Logo i 0307932 4 1 c1 o i 889 at que equivale a i 1 0889 1 288 am Pela taxa equivalente mensal de 288 con cluise ser esta proposta de menor custo que a primeira 82 Coeficientes de financiamento para séries não periódicas Conforme foi demonstrado o coeficiente de fi nanciamento para séries uniformes modelopadrão é obtido a partir da identidade de cálculo do valor presente ou seja O desenvolvimento do fator financeiro nessas con dições implica a determinação de prestações periódi cas intervalos de tempo entre as prestações sempre iguais iguais de mesmo valor sucessivas e finitas No entanto certas operações financeiras envol vem a apuração de prestações iguais e finitas porém com intervalos de ocorrência desiguais Por exemplo um financiamento pode prever resgate em 3 presta ções iguais porém vencendo a primeira ao final do 1º mês a segunda ao final do 4º mês e a terceira ao final do 9º mês Graficamente essa situação é representada da forma seguinte Valor do financiamento Como não se constitui em série uniforme defini da no modelopadrão os fluxos não são periódicos não é possível utilizarse a fórmula direta do valor presente para todos os fluxos de caixa As prestações devem ser atualizadas uma a uma constituindose o seu somatório no valor presente da série Isto é PV PMT PMT PMT 1i 1i4 1i9 Colocandose PMT em evidência PV PMT x 1 1 1 1 i 1 i4 1 i9 Os termos entre colchetes são os fatores de atuali zação ou de valor presente a juros compostos con forme definidos no Capítulo 2 item 21 para cada um dos termos do fluxo de prestações ou seja Dessa maneira PV PMT x FAC i 1 FAC i 4 FAC i 9 PMT PV FAC i 1 FACi 4 FAC i 9 Logo podese representar o coeficiente de finan ciamento para fluxos de caixa não periódicos como o inverso do somatório dos FAC i n de cada pres tação Assim para o exemplo em consideração tem se CF lFAC i 1 FAC i 4 FAC i 9 ou CF 1 I 1 1 1 1 i 1 i4 1 i9 Generalizandose a expressão No exemplo ilustrativo em consideração definin dose em 4 a taxa mensal de juros e em 4000000 o valor do financiamento obtémse CF 1 I 1 1 1 104 1044 1049 CF 10961538 0854804 0702587 CF 12518929 0396994 Logo o valor de cada prestação vencível ao final do 1 º 4º e 9º meses atinge PMT PVx CF PMT 4000000 X 0396994 1587976 Graficamente 11 1587976 41 1587976 91 meses 1587976 Observe que ao se determinar o custo efetivo des se financiamento pelo método da taxa interna de re torno chegase evidentemente à taxa mensal equiva lente de 4 ou seja 4000000 1587976 1587976 1 i 1 i4 1587976 1 i9 Calculandose com o auxílio de uma máquina fi nanceira i 40 am corroborandose assim o raciocínio utilizado no cál culo do fator financeiro Exemplo 1 Uma pessoa contrata no início de janeiro de de terminado ano um empréstimo para ser pago em 5 prestações iguais vencíveis respectivamente ao final dos seguintes meses janeiro março junho julho e dezembro Sendo de 18 ao mês a taxa de juros cobrada nesta operação determinar Coeficientes de Financiamento 129 a coeficiente de financiamento para as 5 presta ções não periódicas b o valor de cada prestação admitindo que o va lor do empréstimo atinja 12000000 Solução Valor do financiamento 12j meses PMT a CF 1 I 1 1 1 1 018 1 0183 1 0186 1 1 1018f 101812 CF 14518584 CF 0221308 b PMT PV x CF PMT 12000000 X 0221308 PMT 2655696 Esse é o valor de cada prestação vencível nos me ses assinalados acima 83 Coeficientes de financiamento com carência Um fluxo de caixa com carência ou diferido é aquele em que os pagamentosrecebimentos come çam a ocorrer após o final do primeiro período con forme foi demonstrado no capítulo anterior Graficamente podese representar o diferimento da forma seguinte PMT PMT PMT PMT PMT 1 o 1 2 3 4 5 n tempo v Carência de 1 período Ilustrativamente se um empréstimo é contraído para pagamento em 5 prestações mensais e iguais com carência de 3 meses temse a seguinte repre sentação 130 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto PVo 3 PMT o 1 2 3 4 Carência 3 meses Ao se desejar determinar o PV desse fluxo de cai xa no momento zero pela atualização de cada um de seus termos temse PV PMT PMT PMT 1 04 1 os 1 06 PMT PMT 1 if 1 08 Por outro lado a aplicação direta da fórmula do valor presente para n fluxos de caixa traz os valores somente para o momento 3 PV3 conforme ilustrado no gráfico A partir desse ponto o capital calculado deve ser atualizado para a data inicial zero pelo período de carência de acordo com o ilustrado no gráfico Utilizandose as expressões de cálculo apresenta das anteriormente PV PMT x FPVi 5 x FACi 3 PV no mês 3 PV na data zero É importante observar que a atualização do FPV pelo FAC de 3 meses representa o intervalo de tempo em que os fluxos de caixa se encontram diferidos É o prazo de carência Sabendose que o coeficiente de financiamento equivale ao inverso desses fatores temse CF 1 X 1 FPV1 n FACi c CF 1 X 1 1 1 on 1 1 iY onde c número de períodos de carência Logo O coeficiente de financiamento diferido é igual ao coeficiente desenvolvido para um fluxo de caixa uni forme e corrigido pela taxa de juros capitalizada pelo período de carência PMT I 5 PMT I 6 PMT I 7 PMTI I 8 meses Por exemplo se um financiamento for pago em 18 prestações mensais e iguais com carência de um tri mestre e admitindose uma taxa de juros de 23 ao mês o coeficiente de financiamento assume a se guinte expressão n 18 prestações mensais e iguais c 3 meses de carência i 23 ao mês CF 0023 X 10233 1 1 02318 CF 0068474 X 1070599 CF 0073308 Admitindose ainda que o valor do financiamento seja de 2500000 as prestações mensais somam PMT 2500000 X 0073308 PMT 1832 70 cada uma Graficamente representase Financia 1200000 mento t 25 55 85 115 145 175 dias l l l l l l Pagamentos mensais Exemplos 1 Determinar o coeficiente de financiamento e o valor das prestações de uma operação de finan ciamento de 2500000 a ser liquidado em 18 prestações mensais e iguais com carência de um trimestre Admita uma taxa de juros de 2 73 am Solução Coeficientes de Financiamento 131 I I PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT I o I I 2 I 3 I I I I I I 1 1 I I 4 5 6 7 8 9 21 meses I Carência 3 meses X 1 iC 1 1 on CF CF 00273 X 102733 1 C10273r18 CF 0071059 X 1084156 0077039 PMT PV x CF PMT 2500000 x 0077039 PMT 192600 A liquidação do financiamento deve ser efe tuada em 18 prestações mensais e sucessivas de 192600 vencendo a primeira ao final do 3º mês 2 O preço a vista de uma TV é de 200000 O vendedor está oferecendo as seguintes condições para venda a prazo a entrada 20oo b saldo em 4 prestações mensais iguais e suces sivas vencendo a primeira de hoje a 60 dias Determinar o valor de cada prestação admitindo uma taxa de juros de 31oo am Solução 200000 o 1 I 21 31 41 sf meses Entrada PMT PMT PMT PMT 40000 Uma maneira direta de calcular o valor da presta ção mensal é por meio do coeficiente de financia mento com carência ou seja Valor a Financiar PV 200000 20oo 160000 CF ecarência x 1 ic 1 1 on CF 0031 X 1 031 1 10314 CF 0269671 X 1031 0278030 PMT PV X CF PMT 160000 X 0278030 44485 Pelo conceito de equivalência financeira o valor presente desse fluxo de pagamento descontado à taxa de 31 oo ao mês deve ser igual ao valor do financiamento ou seja PV 44485 x FPV 31oo 4 x FAC 31 1 PV 44485 X 3708227 X 0969932 PV 160000 84 Coeficientes de financiamento com entrada A entrada para os fluxos de caixa é definida con forme estudado no capítulo anterior quando a primei ra prestação é paga no ato da operação Graficamen te esta alternativa é ilustrada da forma seguinte PV Financiamento o 2 3 4 n tempo I I I l flfL PMT PMT PMT PMT PMT Entrada A formulação do valor presente dessa estrutura de fluxo de caixa é apresentada 1 1 Cn1 PV PMT PMT x i l Colocandose PMT em evidência 1 1 Cn1 PV PMT 1 i l PV PMT 1 1 1 ocn1 l O coeficiente de financiamento C CF para uma sé rie de valores com entrada fluxo de caixa antecipa do é representado pela formulação 132 Matemática Financeira e suas Aplicaçõe5 Assaf Neto Por exemplo suponha que uma loja esteja inte ressada em determinar o coeficiente de financiamen to com entrada a ser aplicado às modalidades de ven das em 4 e 5 pagamentos A taxa de juros definida para a operação é de 42 am A elaboração dos fatores admitindo o primeiro pagamento como entrada é desenvolvida CF 1 3 1 1 1 1 0424 1 0265633 0042 Para cada 1 de compra a prazo o cliente deve pagar 0265633 de prestação vencendo a primeira no ato isto é 0265633 0265633 0265633 0265633 o CF 1 4 2 3 1 0216786 1 1 1 042CS1 0042 Identicamente para uma compra a prazo de 340000 em 5 pagamentos com entrada o cliente deve pagar prestações de 340000 x 0216786 73707 mensais vencendo a primeira no momento da compra 85 Coeficiente de financiamento aplicado às operações de arrendamento mercantil O arrendamento mercantil leasing é uma moda lidade de financiamento que como o próprio nome descreve promove o arrendamento aluguel de bens móveis e imóveis entre pessoas jurídicas Du rante o período do aluguel a empresa Arrendatária tomadora do arrendamento paga uma prestação mais conhecida por contraprestação à instituição Ar rendadora O contrato de arrendamento também prevê que a Arrendatária ao final do contrato pode devolver o bem à Arrendadora ou se for de seu interesse adqui rilo por determinado preço previamente estipulado no contrato Este preço de compra é definido por va lor residual garantido VRG Para o cálculo das contraprestações de um arren damento o mercado trabalha geralmente com um fa tor de financiamento fixo denominado de coeficiente de arrendamento CA Ao se multiplicar este coefi ciente pelo valor do bem arrendado determinase as contraprestações periódicas de responsabilidade da Arrendatária O coeficiente de arrendamento é apurado de ma neira semelhante aos outros fatores de financiamento estudados ao longo deste capítulo No entanto o pro cesso de cálculo das contraprestações requer alguns ajustes em razão de seus valores não se apresentarem uniformemente constantes verificandose frequente mente algum pagamento diferenciado ao final do flu xo do arrendamento referente ao seu VRG Basicamente existem duas maneiras de tratar essa situação a se inclui os juros do VRG nas con traprestações em vez de no coeficiente ou b apura se o coeficiente de arrendamento levandose em con ta os encargos do VRG Estas duas metodologias são tratadas a seguir 851 Inclusão dos juros do VRG nas contraprestações Nesse caso as contraprestações do contrato de ar rendamento são calculadas pela aplicação do coefi ciente de arrendamento CA sobre o valor do bem arrendado diminuído do valor residual garantido Para melhor compreensão dessa metodologia ad mita ilustrativamente um contrato de arrendamento mercantil com as seguintes características Valor global do bem arrendado 30000000 Valor residual garantido VRG 3000000 Taxa de juros cobrada 27 ao mês Prazo 24 meses Periodicidade dos pagamentos Mensal Com base nessas informações e utilizando as mesmas formulações desenvolvidas em itens prece dentes para a apuração do coeficiente de financia mento temse I r Custo do Bem a Recuperar Coeficiente de Arrendamento Financiamento CA Valor Global do Bem VRG 30000000 3000000 27000000 1 1 on CA Coeficientes de Financiamento 133 0027 1 102724 0057156 Os valores das contraprestações do contrato de arrendamento são definidos da forma seguinte 3000000 X 27 81000 24 1543212 Ao se determinar a taxa interna de retorno do flu xo gerado do contrato de arrendamento em ilustra ção chegase evidentemente ao custo de 2 7 ao mês conforme definido pela Arrendadora ou seja 30000000 1624212 x FPV i 23 4624212 X FAC i 24 Resolvendose i 27 ao mês Observe que o esquema apresentado promove o cálculo das contraprestações sobre o custo do bem a recuperar e não sobre o seu valor global Em outras palavras o valor periódico das contraprestações é computado sobre o custo do bem a recuperar sendo adicionado em cada parcela encontrada os juros re ferentes ao VRG Desta forma fica demonstrado que a taxa de juros estipulada pela instituição Arrendado ra embute além da remuneração dos recursos aplica dos os juros provenientes do VRG a ser liquidado ao final do contrato de arrendamento 852 Inclusão dos juros do VRG no coeficiente de arrendamento A empresa de leasing pode também optar por apli car diretamente o coeficiente de arrendamento sobre o valor global do bem arrendado sem excluir o seu VRG Nesta situação evidentemente a instituição passa a operar com um coeficiente menor mas que irá ser aplicado sobre um montante maior Este crité rio apesar das diferenças de cálculo produz os mes 81000 3000000 4624212 mos resultados do método anterior supondo idênti cas condições A expressão de cálculo do coeficiente de arrenda mento segundo esse critério apresentase da forma seguinte onde W percentual do VRG em relação ao bem arrendado CAG Coeficiente de arrendamento com a in clusão dos juros do VRG Processandose o cálculo do CAG no exemplo ilus trativo desenvolvido no item anterior temse w 3000000 10 30000000 CA 0057156 i 27 am Portanto CAG 1 01 X 0057156 0027 X 01 CAG 0051440 00027 CAG 0054140 Aplicandose o coeficiente de arrendamento en contrado sobre o valor global do bem arrendado de 30000000 determinamse as contraprestações exa tamente iguais àquelas apuradas anteriormente ou seja 134 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 1 a 23 30000000 x 0054140 1624212 24 1624212 Exemplo 1 Um contrato de arrendamento foi realizado com as seguintes características 1624212 3000000 4624212 Pedese determinar o valor das contraprestações a pagar e o coeficiente de financiamento de acordo com as duas metodologias apresentadas Solução Valor Global do Bem Arrendado 26500000 Valor Residual Garantido 1855000 Contraprestações Taxa de Juros 36 contraprestações mensais 5 ao mês 1 a 35 24645000 x 0060434 1855000 X 5 92750 1489396 b Juros do VRG no Coeficiente w 1855000 7 26500000 CA 0060434 i 5 1 a 35 26500000 X 0059704 1582156 36 1582156 a Juros do VRG nas Contraprestações Custo do Bem a Recuperar 26500000 1855000 24645000 CA 1 1 on CA 00 5 oo60434 1 1 0536 1582146 CAG 1 W X CA i X W CAG 1 007 X 0060434 005 X 007 CAG 0056204 00035 CAG 0059704 1582156 1855000 3437156 86 Crédito direto ao consumidor O crédito direto ao consumidor conhecido no mercado por CDC é uma operação destinada a finan ciar a aquisição de bens e serviços por consumidores ou usuários finais O financiamento é geralmente amortizado com prestações mensais iguais e sucessivas seguindo a estrutura do modelopadrão de fluxo de caixa apre sentado Podem existir também contratos de CDC com carência e com entrada Os encargos do CDC são basicamente juros e um tributo denominado de imposto sobre operações fi nanceiras IOF O imposto é pago pelo financiado e recolhido pela instituição financeira Para uma alíquota do IOF de 03 ao mês embu tida na prestação temse a seguinte fórmula de cál culo onde IOF100 Taxa unitária do IOF cIOF com IOF incluído sIOF sem IOF Por exemplo admita um financiamento de 500000 feito por meio de um contrato de CDC por 7 meses 7 prestações mensais iguais e sucessivas à taxa de 38 am O IOF é de 03 am O valor das prestações atinge PMT sIOF PMT cIOF PV FPVi n 500000 FPV 3 8 7 500000 826 90 6046668 PMTsIOF 1 n x IOF100 82690 82690 17 X 0003 84464 0979 O cálculo do coeficiente de financiamento proces sase da forma seguinte Coeficientes de Financiamento 135 CF sIOF 1 1 on 0038 0038 1 10387 0229773 0165381 CF cIOF CF sIOF 1 n x IOF100 Exemplo 0165381 17 X 0003 0168928 0165381 0979 1 Calcular o valor das prestações e o custo mensal efetivo de um financiamento de 2500000 em 6 prestações mensais iguais e sucessivas à taxa de juros de 35 ao mês A alíquota de IOF é de 03 am Admita que o CDC é realizado a sem carência b com carência Solução a Sem carência PMT sIOF PV FPVi n 2500000 2500000 FPV 3 5 6 5 328553 469170 PMT cIOF 4691 70 4691 70 16 X 0003 477770 0982 Custo Mensal Efetivo PV PMT cIOF x FPV i n 2500000 477770 x FPV i 6 i 406 am O IOF embutido nas prestações elevou a taxa efe tiva de juros de 35 para 406 ao mês b Com carência PMT sIOF PV X 1 ic FPV i n 2500000 X 1035 FPV 35 6 136 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto CF sIOF PMT cIOF CF cIOF 25ÜÜÜÜÜ X 1 035 5328553 485591 X 1 iY 1 1 on Ü 035 X 1 035 1 1 0356 0187668 X 1035 0194236 4855 91 494492 1 6 X 003 CFsIOF 1 n x IOF100 o 194236 o 197796 16 X 0003 8 7 Período singular de juros O denominado período singular de juros é identi ficado quando o prazo da primeira prestação de um fluxo de caixa não coincide com os prazos das demais prestações todas iguais e sucessivas Por exemplo o financiamento de um veículo em 10 prestações men sais é oferecido vencendo a primeira prestação em 20 dias e as demais sequencialmente a cada 30 dias O prazo de pagamento da primeira parcela 20 dias é diferente dos demais pagamentos periódicos men sais sendo conhecido por período singular de juros Quando o intervalo de tempo para pagamento da primeira parcela for menor que os demais períodos temse um fluxo definido por antecipado quando for maior será postecipado A EXEMPLO DE UM FLUXO ANTECIPADO Admita um financiamento de 1200000 a ser pago em 6 prestações mensais A primeira parce la vence em 25 dias e as demais de 30 em 30 dias A taxa de juros considerada na operação é de 36 am Determinar o valor da prestação Solução Graficamente o financiamento é ilustrado da ma neira seguinte Financia 1200000 mento t 175 dias 25 55 85 115 145 l l l l l l Pagamentos ç ç ç ç ç ç mensais Ao se aplicar a fórmula do fluxo de caixa padrão os valores das prestações serão atualizados pela taxa mensal de 36 pelo intervalo de 30 dias sendo identificados no momento 5 Logo para se colocar todas as parcelas num mesmo momento data focal 0 o resultado atualizado deve ser corrigido por 5 dias isto é 1200000 PMT x FPV 36 6 x FCC 36 530 12000 00 PMT X 1 103661 X l 0036 X 10365130 1200000 PMT X 5311094 X 1005912 PMT 224614 O financiamento prevê 6 pagamentos mensais de 224614 vencendo o primeiro em 25 dias e os de mais de 3030 dias Quando o período singular for de um fluxo de cai xa antecipado o coeficiente de financiamento se ex pressa da maneira seguinte PV PMT FPVi n x FCCi t at 1 1 PMT PV X X FPVi n FCCi t at Logo 1 PMT PV x FPV i n X FAC i t at Dessa forma o coeficiente de financiamento de um período singular antecipado CFa pode ser apu rado pela expressão sendo to intervalo de tempo padrão do fluxo de cai xa e a o prazo do primeiro pagamento do período singular Desenvolvendo a formulação Substituindo os valores do exemplo ilustrativo acima na expressão do coeficiente de financiamento chegase a CFa 0036 x 1 1 1 0366 1 036C325130 CFa 0188285 X 0994123 CFa 0187178 Efetivamente multiplicandose o coeficiente cal culado pelo valor do financiamento encontrase a prestação mensal conforme indicada no exemplo PMT PV X CFa PMT 1200000 X 0187178 PMT 224614 B EXEMPLO DE FLUXO POSTECIPADO Suponha no exemplo anterior que o primeiro pa gamento deve ocorrer em 40 dias vencendo os de mais sequencialmente a cada intervalo de 30 dias Mantendo as demais informações do financiamento calcular o valor da prestação Solução Graficamente temse 1200000 lo 11o 40 70 100 130 160 190 dias I I I I I I I PMT PMT PMT PMT PMT PMTI Nesse caso o valor atualizado das prestações é definido pelo modelopadrão no 10Q dia deven do este resultado ser expresso no momento O Ou seja 1200000 PMT x FPV 36 6 x FAC 36 1030 12000 00 PMT x 1 1036 6 X l 0036 X 10361030 1200000 PMT X 5311094 X 0988280 PMT 228622 Coeficientes de Financiamento 13 7 A expressão de cálculo do coeficiente de financia mento de um período singular com fluxo posteci pado CFP é apurada sendo p o período singular de juros de um fluxo postecipado intervalo de tempo do primeiro pa gamento Substituindose os dados do exemplo ilustrativo acima na formulação do coeficiente de financia mento temse CF 0036 X 1036C403030 p 1 10366 CFP 0188285 X 1011859 CFP 0190518 Multiplicandose o valor do financiamento pelo coeficiente apurase o montante dos pagamentos periódicos vencendo o primeiro em 40 dias e os demais sucessivamente a cada 30 dias Isto é PMT PV X CFP PMP 1200000 x 0190518 PMP 228622 Exercícios propostos 1 Construir os coeficientes de financiamento men sais e uniformes a partir das seguintes taxas de juros e prazos 2 Taxa de Juros a i 25 am b i 21 am c i 17 am Prazo n 6 meses n 12 meses n 20 meses A partir dos coeficientes de financiamento para séries mensais iguais e sucessivas e prazos res pectivos apresentados a seguir determinar o custo efetivo considerado em cada coeficiente Coeficiente de Financiamento Prazo a 0278744 n 4 meses b 0081954 n 18 meses c 0069817 n 36 meses 3 Apurar os coeficientes de financiamento para pagamentos iguais porém ocorrendo em dife 138 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto rentes momentos conforme discriminados a se guir Admita uma taxa de juros de 3 am a 05 pagamentos previstos para serem efetua dos ao final dos meses 1 5 7 13 e 20 b 06 pagamentos previstos para serem efe tuados ao final dos meses 3 6 10 15 21 e 27 4 Um financiamento é concedido para pagamen to em 18 prestações mensais iguais e sucessivas com carência de 3 meses Para uma taxa de juros de 4 am determinar a coeficiente de financiamento b valor de cada prestação para um financia mento de 1800000 5 Com base nos valores discriminados abaixo cal cular o custo efetivo mensal de cada opção de financiamento 6 O coeficiente de financiamento para um plano de pagamento de 24 prestações mensais e iguais com 6 meses de carência atinge 0079604 De terminar a custo efetivo do financiamento b custo efetivo mensal admitindose que o período de carência se reduza para 4 me ses 7 Uma empresa está contratando um financiamen to junto a um banco para pagamento em 4 pres tações iguais vencendo a primeira de hoje a 3 meses a segunda de hoje a 5 meses a terceira de hoje a 9 meses e a última de hoje a 15 me ses Determinar o coeficiente de financiamento sabendose que a taxa de juros cobrada na ope ração atinge 22 am 8 Um bem é financiado em 24 prestações mensais com um mês de carência A taxa de juros prefi xada é de 314 am Determinar o coeficiente de financiamento 9 Um financiamento é concedido para pagamento em 18 prestações mensais iguais e sucessivas Para uma taxa de juros de 256 am determi nar o coeficiente de financiamento sendo a a primeira prestação é paga ao final do mês b a primeira prestação é paga no ato entra da c a primeira prestação é paga com carência de um mês 10 Um financiamento está sendo contratado para ser pago em 3 prestações vencendo a primeira em 28 dias a segunda em 42 dias e a terceira em 56 dias Determinar o coeficiente de finan ciamento desta operação sabendose que a taxa de juros cobrada é de 23 am 11 Admita um financiamento para pagamento em 7 prestações mensais sendo a primeira vencível em 20 dias e as demais de 30 em 30 dias Os juros cobrados na operação atingem 37 am Determinar o coeficiente de financiamento 12 O coeficiente de financiamento publicado por um banco é de 0158933 para 8 prestações men sais sendo a primeira vencível em 40 dias e as demais de 3030 dias cada uma Apurar o custo efetivo mensal deste financiamento 13 Uma instituição financeira revela que seu coe ficiente de financiamento para séries uniformes de 10 prestações iguais é de 0113269 Se além disso ainda cobrar 2 sobre o valor do finan ciamento no ato da liberação dos recursos a pre texto de cobrir despesas de abertura de crédito determinar a taxa de juros mensal efetivamente cobrada 14 Um computador está sendo vendido por 500000 a vista O vendedor oferece as seguin tes condições para venda a prazo a entrada 30 b saldo em 5 prestações mensais iguais e su cessivas vencendo a primeira de hoje a 60 dias Determinar o valor de cada prestação admitin do uma taxa de juros de 3 am 15 Calcular os termos dos fluxos de caixa apresen tados a seguir admitindose uma taxa mensal de juros de 3 l I Coeficientes de Financiamento 139 a PV 400000 PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT 4rr o 2 3 4 5 6 24 meses b PV 250000 PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT I I I I I I I I I I I o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 O meses c PV 600000 PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT I I I I I I I I I I I I I o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 meses d PV 900000 PMT PMT PMT PMT PMT o 3 7 15 21 36 meses e PV 1000000 PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT o 2 3 4 5 6 00 meses f PV 700000 X X 2X 3X o 2 3 4 meses g PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT o 2 3 4 5 6 7 h PMT PMT PMT PMT PMT o 2 4 6 8 10 16 Uma instituição financeira publica que seu coe ficiente de financiamento a ser aplicado sobre o custo do bem a recuperar nas contraprestações é de 0054732 Admitindose um contrato de ar rendamento de 36 pagamentos mensais e um va lor residual garantido igual a 6 do valor global do bem arrendado que atinge 350000000 determinar o valor das contraprestações mensais e o custo efetivo do arrendamento 17 Dois pagamentos no valor de 1500000 e 2500000 vencíveis respectivamente ao final FV 1200000 PMT PMT PMT 8 9 1 O meses FV 2400000 PMT 12 PMT 14 meses dos 3º e 4º meses serão substituídos por quatro pagamentos no final do 5º 6º 7º e 8º meses À taxa de juros negociada é de 1 7 am a se os valores dos quatro pagamentos forem iguais determinar o valor de cada parcela a ser paga b se os valores das duas primeiras parcelas fo rem iguais e o valor da 3ª e da 4ª for igual ao dobro de cada uma das outras parcelas de terminar o valor de cada pagamento 140 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 18 Uma empresa apresenta os seguintes compro S a 1795 am missos de dívidas com um banco b 205 am pagar 2334000 em um mês c 381 am pagar 4296000 em dois meses 6 a 374 am pagar 9918000 em quatro meses b 426 am pagar 25340000 em seis meses 7 0296091 As dívidas foram originariamente contratadas à 8 0061824 taxa de juros de 18 am 9 a 0070031 Prevendo dificuldades de caixa para honrar com b 0068283 os compromissos nas datas acertadas a empresa propõe ao banco credor substituir a dívida por c 0071824 4 pagamentos trimestrais iguais e sucessivos O 10 0344103 banco aceita a proposta porém define em 24 11 0162784 am a taxa de juros a ser cobrada na recomposi ção da dívida 12 524 am Pedese calcular o valor de cada parcela trimes 13 272 am tral 14 78717 19 Admita que um investidor tenha aplicado 15 a 23619 4000000 em um título com vencimento para b 26232 10 meses A taxa líquida de juro prometida pela aplicação é de 085 am Pedese c 84206 a valor do título na data de resgate d 276695 b o investidor vendeu o título 4 meses após a e 30000 aplicação O negócio foi realizado pela taxa f X 109218 de 06 am Calcular o valor pago ao inves g 104677 tidor pela venda do título c determinar a rentabilidade efetiva auferi h 285140 da pelo investidor pela negociação do título 16 Contraprestações venda do título 4 meses após ter aplicado Mês 1 a 35 18899328 seus recursos adquirido o título Mês 36 39899328 Respostas Custo efetivo i 425 am 1 a 0181550 ou 648 aa b 0095141 17 a 1049506 c 0059401 b PMT5 703624 2 a 45am PMT6 703624 b 446 am PMT7 1407249 c 617 am PMT8 1407249 3 a 0257652 18 PMT 11616681 b 0242347 19 a 4353304 4 a 0088857 b 4199824 b 159943 c 08158 am 9 Matemática Financeira e Estratégias Comerciais de Compra e Venda E cada vez mais demandado o uso do cálculo fi nanceiro na definição de estratégias comerciais de compra e venda analisando a atratividade dos vários planos financeiros propostos Para as várias decisões econômicas a serem tomadas por uma empresa é in dispensável o conhecimento da taxa efetiva de juros embutida nas operações a prazo e o seu confronto com o desconto concedido em operações a vista A aplicação da Matemática Financeira nas opera ções comerciais objetiva determinar a a efetiva redução do preço da mercadoriapro duto causada pelas condições de pagamento concedidas para determinada taxa de inflação ou custo de oportunidade b o percentual de desconto nas operações a vis ta que seria equivalente à concessão do prazo respectivo c para determinado nível de inflação quais os planos de venda a prazo considerados econo micamente mais interessantes Todas as estratégias comerciais são avaliadas nes te capítulo com base na taxa de inflação da econo mia ou custo de oportunidade do dinheiro 91 Estratégias de vendas O objetivo da avaliação dessas estratégias é com parar as várias alternativas de venda expressas em moeda constante ou seja com poder de compra de mesma data Evidentemente o fluxo de valores das vendas poderia também ser descontado por um cus to de oportunidade de mercado como a taxa de des conto bancário de duplicatas sem que isso alterasse a essência do raciocínio apresentado Por outro lado o enfoque das estratégias de ven das a ser adotado neste item é preferencialmente vol tado para o lado do vendedor apurandose assim a perda da venda De forma oposta esta perda trans formase em benefício para quem compra 911 Custo da venda a prazo Foram amplamente discutidos no Capítulo 4 os desequilíbrios que a inflação exerce sobre o dinheiro fazendo com que a moeda apresente diferentes valo res no tempo Nessa condição é essencial que se tra balhe com o conceito de valor presente ou seja em moeda representativa de uma única data 142 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Por exemplo suponha que uma empresa tenha vendido 3400000 para recebimento em 50 dias Está claro que o valor do dinheiro varia no tempo motivado pela inflação e também pelos juros incor ridos no financiamento desta venda Logo receber 3400000 hoje ou daqui a 50 dias não é evidente mente a mesma coisa em termos do efetivo valor do dinheiro São dois momentos diferentes promovendo alterações no poder aquisitivo Para uma inflação por exemplo de 3 no perío do o valor presente dessa renda atinge 971 oo de seu valor daqui a 50 dias isto é 3400000 PV 103 3300970 o 3400000 50 dias indicando ser indiferente receber 3300970 hoje ou 3400000 dentro de 50 dias A venda a prazo nestas condições equivale a conceder um desconto comercial em torno de 2 9 para pagamento a vis ta O raciocínio pode também ser desenvolvido uti lizandose além da inflação os juros reais do finan ciamento elevando as perdas da venda a prazo Por exemplo admitindose uma taxa de desconto bancá rio desta venda de 6 para todo o período o custo nominal do crédito concedido passa a Custo da Venda P 6oo X 3400000 204000 a razo indicando que o recebimento de 3400000 em 50 dias equivale a 3196000 hoje Dessa maneira para uma correta avaliação dos resultados de uma operação de venda a prazo o es sencial é a aplicação do conceito do valor presente A partir deste raciocínio têmse ao mesmo tempo a perda determinada pela operação o montante de desconto a vista que seria equivalente a uma transa ção a prazo e informações corretas para avaliar as melhores estratégias de vendas Exemplos 1 Admita uma venda de 600000 realizada para recebimento em 5 prestações iguais 1 4 Para uma taxa de inflação de 13 ao mês de terminar a perda de capacidade aquisitiva desta venda a prazo Solução PV 1200 OO 1200 00 1200 00 1013 10132 1200 00 1200 00 1 0133 1 0134 PV 584800 O PV calculado demonstra que a venda a prazo nas condições assinaladas reduz o preço a vista da mercadoria para 975 de seu valor Ou seja verificase uma perda aproximada de 25 deter minada pelo prazo concedido Este percentual de 25 é também a taxa de des conto para pagamento a vista que torna o recebi mento da venda equivalente em termos de poder de compra ao plano de cinco prestações mensais 1 4 É indiferente à empresa mantendose em 13 ao mês a taxa inflacionária vender a vis ta com desconto de 25 ou receber o produto da venda em 5 vezes sendo o primeiro pagamento no ato 2 Para um custo de oportunidade de 38 ao mês taxa efetiva qual alternativa proporciona a me nor perda para o vendedor a vender a vista com desconto de 6 ou b vender para recebimento em 30 dias sem acréscimo Solução Pelo cálculo do valor presente das propostas podese avaliar o custo de cada uma Tomandose a venda com base 100 temse a PV 100 6 x 100 94 desconto comercial b PV 100 963 1038 A venda em 30 dias proporciona maior valor pre sente sendo portanto a alternativa de maior atra tividade para o vendedor 3 Determinar a alternativa de venda de mais baixo custo dentre as relacionadas a seguir admitindo um custo de oportunidade de 4 am a venda a vista com desconto de 7 b venda em 3 pagamentos 1 2 sendo 40 de entrada e o restante em duas prestações mensais iguais e sucessivas c vender no cartão de crédito Neste caso sabe se que o pagamento é efetuado em 30 dias além de ser cobrado 5 de comissão sobre o valor da compra Solução a PV 100 7 X 100 93 b Tomandose a venda com base 100 temse 40 30 30 o 2 meses PV 40 30 966 1 04 1 04 2 100 5 95 c O 1 mês PV 913 104 Do ponto de vista de quem vende a opção mais onerosa é vender por meio de cartão de crédito A venda a prazo 1 2 proporciona o maior va lor presente a menor perda constituindose na alternativa de venda economicamente mais inte ressante 4 A atual posição da carteira de valores a receber de uma empresa revela um elevado índice de atrasos A direção está avaliando alternativas para reduzir esse índice mediante incentivos descontos para quem pagar suas prestações pontualmente Para tanto foram preparadas duas propostas confor me ilustradas a seguir Proposta 1 Pague metade agora e metade em 30 dias sem acréscimo A empresa concede um desconto de 20 na prestação para o cliente que pagar pontualmente Proposta 11 Entrada de 10 e o restante em 30 dias sem acréscimo A empresa se compromete a devol ver a entrada quando do pagamento da prestação se realizada até a data de vencimento Desenvolva uma avaliação dessas duas alternati vas de crédito supondo um custo do dinheiro de 37am Matemática Financeira e Estratégias Comerciais de Compra e Venda 143 Solução I 50 o PV 50 40 886 1037 Custo 100886 114 II 10 o PV 10 80 871 1037 Custo 129 50 20 40 30 dias 90 10 80 30 dias Por apresentar menor valor presente PV a pro posta II é a que apresenta o maior custo A ven da nestas condições indica que a empresa recebe em moeda atual o equivalente a 871 do valor da venda registrando uma perda de 129 Esta perda se reduz para 114 na proposta I 5 Como resultado de acirrada concorrência de mer cado uma empresa vem promovendo a venda de seus produtos por meio de uma política de des conto para pagamento a vista e prazos de paga mento As atuais condições de crédito praticadas pela em presa são Vendas a vista desconto de 25 Vendas a Prazo I clientes comuns é dado um desconto de 15 no preço de venda sendo o valor líquido pago da forma seguinte Entrada 30 Restante em 30 dias sem acréscimo Vendas a Prazo II clientes especiais é tam bém concedido um desconto de 15 sendo o valor líquido integralmente pago em 30 dias sem acréscimo A empresa está atualmente interessada em conhe cer o custo dessas alternativas de crédito simu lando taxas mensais de custo de oportunidade do dinheiro de 0 3 5 7 e 10 Pedese colaborar com a empresa calculando per centualmente as perdas determinadas por esta política de crédito 144 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Solução O cálculo desses custos é mais facilmente apurado tomandose uma base 100 Assim para um cus to de oportunidade de 10 am temse Venda a Prazo I Valor Líquido 100 15 85 Entrada 85 x 30 255 Em 30 dias 85255 595 255 o PV 25 5 59 5 79 6 110 595 1 mês Ou seja o PV desse crédito representa 796 do valor integral da venda resultando numa perda de 204 Venda a Prazo II 85 o mês Pv 85 3 1 110 77 que eqmva e a um custo de 22 7 e assim por diante 92 Estratégias de compras Em ambiente com inflação ou que apresente um custo de oportunidade do dinheiro em nível relevan te tornase bastante pertinente a discussão sobre as decisões de compras de estoques empresariais Esta preocupação justificase basicamente diante da ex pectativa que se forma de obtenção de ganhos espe culativos nos estoques desde que os valores sejam reajustados em percentuais superiores aos da infla ção geral da economia ou também como maneira de se preservar a capacidade de compra do material Por exemplo uma empresa prevendo um au mento de 12 no preço de determinada mercadoria está avaliando a alternativa de antecipar esta compra de forma a não pagar o reajuste esperado Suponha que esta mercadoria permaneça 4 meses estocada antes de ser vendida Admitindo uma taxa prefixada de juros de 35 am o percentual de aumento evitado pela antecipa ção das compras será integralmente diluído em pou co mais de três meses ou seja 1035n 112 n x log 1035 log 112 log 112 0049218 n 329 meses log 1035 0014940 Dessa forma o volume de compras não pode de morar mais de três meses 329 meses para que seja vendido Ao ultrapassar este prazo o custo do di nheiro acumulado no período de venda superará a valorização registrada nos estoques Se o prazo de venda dessas mercadorias for inferior a três meses a empresa terá realizado um bom negócio Evidentemente situações mais complexas podem surgir na prática exigindo maior cuidado na avalia ção da decisão de antecipar compras de estoques co merciais Por exemplo venda a prazo da mercadoria compra a prazo incidência de impostos sobre a ven da etc devem ser levados em consideração na formu lação de estratégias de compras Os exemplos ilustrativos desenvolvidos a seguir visam retratar cada uma dessas situações apresen tando um detalhamento de suas principais caracterís ticas relevantes para a Matemática Financeira 921 Exemplo 1 compra e venda a vista Determinada mercadoria vendida atualmente por 175000 a unidade tem seu custo total de compra definido em 135000 Tanto a compra como a ven da desta mercadoria ocorrem a vista Sabese que sobre essa operação incidem impos tos sobre vendas os quais totalizam o percentual lí quido de 20 calculado sobre o preço de negociação Estes impostos são pagos 30 dias após a venda da mercadoria CompraPagamento 135000 o Observe que os valores constantes do fluxo finan ceiro acima são considerados nos momentos em que são transformados em dinheiro Assim os im postos são desembolsados ao final do quarto mês um mês após a venda e as vendas realizadas e recebidas no terceiro mês A avaliação da atratividade de compra dessa mer cadoria é processada a partir do cálculo do valor presente dos fluxos de entrada de caixa recebi mento da venda e saídas de caixa pagamento de impostos e da mercadoria vendida conforme ilustrado no gráfico acima Assim vender uma mercadoria hoje para recebi mento em 90 dias equivale para um custo finan ceiro de 3 ao mês a PV 175000 1601 50 1033 O custo de compra da mercadoria pago a vista soma 135000 Os impostos calculados sobre o preço de venda por oferecerem um prazo de estocagem de 30 dias têm o seguinte valor atua lizado PV 20 X 175000 311 00 1034 Logo em valor presente Receita de Venda Custo de Compra Impostos sVendas Resultado a Valor Presente 160150 135000 31100 5950 Matemática Financeira e Estratégias Comerciais de Compra e Venda 145 2 A empresa tarda geralmente 3 meses para vender essa mercadoria ou seja o período de estocagem é de 3 meses Sendo de 3 ao mês o custo nominal do dinhei ro desejase saber se é interessante a aquisição dessa mercadoria nas condições estabelecidas Solução Graficamente o problema pode ser representado da seguinte forma VendaRecebimento 175000 Impostos s Vendas 20 X 175000 35000 3 4 meses Em termos de valor líquido atualizado a opera ção apresenta prejuízo Nestas condições a an tecipação das compras deve ser suficiente para atender a no máximo um mês e meio das vendas 1476 isto é 1 75000 1350 00 103PE Custo de compra Valor de Venda 20 X 175000 O 103lEl Impostos Pagos um mês após as vendas Definindo o prazo de estocagem por PE e dividin dose cada membro da expressão por 103 PE temse 175000 103lE 103lE 135000 103PE 20 X 1 75000 103lEl o 103PE 1 75000 1 1350 00 1 03lE X 1 03PE 1 03PE 35000 X 1 O 103lEl 103PE 175000 1030 135000 103PE 1 750 00 35000 103 35000 o 1 03PElPE 135000 103PE 141020 135000 X 103PE 1Q3PE 1044588 146 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Aplicandose logaritmo conforme demonstrado no apêndice C PE log 1044588 0018945 log 1 03 O 012837 1476 mês 922 Exemplo 2 compra a vista e venda a prazo Certo produto adquirido a vista em 2003 por 19000 foi vendido 21 dias após por 31000 A em presa ainda concedeu um prazo de pagamento de 15 dias ao cliente Sabese que em 0705 deve a empre sa recolher 2160 de ICMS e no dia 1505 deve também recolher impostos sobre vendas no valor de 820 Para uma taxa de juros efetiva de 26 ao mês pedese avaliar o resultado desta operação Solução Graficamente esta situação é representada da forma seguinte Compra 19000 Venda VendaReceb 31000 ICMS 2160 Impostos s vendas 820 21 dias 2003 1004 15 dias 2504 12 dias 0705 8 dias 1505 Taxa efetiva de juros 26 am equivalendo a 10261130 1 00856 ao dia O cálculo do resultado dessa operação pelo méto do do valor presente envolve a definição de uma data focal data de comparação A decisão do ne gócio não se altera evidentemente qualquer que seja a data escolhida Para ilustrar são definidas duas datas na solução do problema 2003 compra da mercadoria e 2504 recebimento da venda Custo de Compra ICMS 2160 1 000856211512 2160 1 00085648 d 820 Outros impostos sven as 1 000856488 Data Focal 2003 A receita de venda benefício de caixa que ocorre efetivamente 36 dias após a data da compra da mercadoria equivale na data focal de 2003 a PV 31000 1 0008562115 31000 1 00085636 30060 Os custos da operação desembolsos de caixa são também expressos em valores da data fo cal isto é 19000 2073 782 Logo o resultado líquido atualizado da operação atinge Resultado 30060 190002073782 Resultado 8205 indicando a atratividade econômica da venda Data Focal 2504 21 60 8 20 Resultado 31000 19000 10008562115 12 8 12 1 000856 1 000856 i I I J Resultado 31000 19594 2138 806 Resultado 8462 Esse resultado atualizado equivale para a taxa de juros considerada ao valor presente calculado na data focal de 2003 isto é 8462 82 os 1 00085636 923 Exemplo 3 compra a prazo e venda a vista Um Magazine recebe de um fornecedor oferta de uma mercadoria por 70000 para pagamento em 30 dias ou 73150 para pagamento em 60 dias O Magazine trabalha com um prazo de venda des ta mercadoria de três meses Qual o custo financeiro que torna essas propostas equivalentes para o Maga zine Solução Graficamente temse Compra o Compra pagto 70000 Compra pagto 73150 2 Venda 3 meses A mercadoria assume um custo financeiro duran te o período em que permaneceu estocada à es pera de ser vendida Esse custo é reduzido pelo prazo de pagamento concedido pelo fornecedor Assim em termos líquidos a primeira proposta de pagamento em 30 dias envolve custo financei ro de 2 meses 3 1 e o pagamento em 60 dias reduz esse custo para um mês 3 2 Pelas informações apresentadas e supondose a inexistência de outros encargos sobre as vendas concluise que é indiferente ao magazine adquirir a mercadoria em qualquer prazo oferecido desde que o seu custo financeiro custo de financiar o estoque seja igual a 45 ao mês A esse percen tual os custos de compra são idênticos nas duas Matemática Financeira e Estratégias Comerciais de Compra e Venda 147 condições de pagamento oferecidas proporcio nando o mesmo resultado atualizado Em valores do momento da venda temse 70000 X 1 i3 l 73150 X 1 i32 73150 70000 1 i 1045 i 45 am Assim 45 é a taxa de juro mensal que torna equivalente as duas propostas de compra Quan do o custo de financiar o estoque superar a taxa de 45 tornase mais interessante a compra em 60 dias A opção para compra em 30 dias é recomendada quando os juros cobrados pelos fornecedores do Magazine ficarem abaixo dos 45 ao mês 924 Exemplo 4 compra e venda a prazo Admita que uma empresa esteja avaliando a ven da de um lote de mercadorias por 3200000 A expectativa é que esse lote demore 30 dias para ser vendido Tipicamente esse segmento de comércio trabalha com vendas a crédito sendo o prazo de re cebimento esperado de 90 dias O fornecedor da mercadoria fixou o seu preço em 2450000 para pagamento em 60 dias Concede no entanto um desconto de 15 se o pagamento for efetuado em 30 dias e de 25 para pagamento a vista Sendo de 4 ao mês o custo financeiro da em presa pedese avaliar os resultados dessas opções de compra Solução Expressandose os valores dos fluxos de caixa para o momento do recebimento da venda tem se para cada proposta de compra 148 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Compra da mercadoria a vista Compra pagamento Venda 2450000 25 1837500 o 30 Prazo de estocagem 1 da mercadoria I 60 90 Prazo de recebimento da venda Resultado a valor presente data de recebimento da venda PV 3200000 1837500 X 10413 PV 3200000 1837500 X 1044 PV 32000002149620 PV 1050380 Compra da mercadoria para pagamento em 30 dias Venda Compra Compra pagamento o 2450000 15 2082500 30 Prazo de estocagem da mercadoria 1 60 90 Prazo de pagamento da mercadoria Prazo de recebimento da venda Resultado a valor presente data de recebimento da venda PV 3200000 2082500 104 1 3 1 PV 3200000 2342530 PV 857470 Compra da mercadoria para pagamento em 60 dias Compra Venda o 30 Prazo de estocagem I da mercadoria I Compra pagamento 2450000 60 90 Prazo de recebimento da venda Prazo de pagamento da mercadoria Venda recebimento 3200000 120 dias Venda recebimento 3200000 120 dias Venda recebimento 3200000 120 dias Resultado a valor presente data da venda PV 32000002450000 1041 32 PV 3200000 2450000 1042 Pl 32000002649920 PV 550080 Pelos resultados calculados a atratividade maior para a empresa é adquirir a mercadoria a vista pois é a alternativa que oferece o maior resulta do a valor presente Mesmo a concessão de um crédito pelo fornecedor por 60 dias não tornou a compra a prazo mais vantajosa Em verdade para a empresa seria interessante a compra por 60 dias somente se o preço da mercadoria fosse fixado pelo fornecedor em menos de 1987440 isto é 1050380 3200000 Custo x 1041 32 Custo x 1042 2149620 C usto 2149620 1042 Custo 1987440 Em outras palavras o incremento no preço por compra a prazo deve ser inferior ao custo finan ceiro da empresa Assim capitalizandose 4 ao mês ao preço a vista de 1837500 temse o pre ço máximo para pagamento em 60 dias isto é 1837500 X 1042 1987440 Exemplo 1 Uma mercadoria tem seu preço de venda fixado em 36800 a vista ou 38200 para pagamento em 30 dias da data da compra Pela compra a em presa tem uma compensação de ICMS crédito de 18 sendo seu prazo de recuperação de 14 dias Este percentual incide sobre o valor nomi nal da compra Para uma taxa efetiva de juro de 34 am indicar se interessa à empresa adquirir a mercadoria a vista ou a prazo Solução a Compra a Vista Custo Líquido a Valor Pre sente CompraPagamento 36800 o ICMS 18 X 36800 6624 14 dias Matemática Financeira e Estratégias Comerciais de Compra e Venda 149 PV 368 00 6624 10341430 PV 30280 b Compra a Prazo Custo Líquido a Valor Pre sente Compra ICMS 18 X 38200 6876 o 14 PV 38200 6876 1 034 1 034 1430 PV 30170 Pagto Compra 38200 30 dias A compra a prazo por oferecer o menor custo lí quido atualizado é mais interessante que a opção a vista Observe que o incremento do preço a prazo é de 38 superior a taxa de desconto considerada de 34 A compensação do imposto decidiu pela compra a prazo 93 Formação do preço de venda a valor presente Um componente fundamental na formação do preço de venda é a aplicação dos conceitos de Ma temática Financeira na definição de seu valor Um preço de venda representa efetivamente o valor pre sente de um fluxo futuro de entradas recebimentos e saídas desembolsos de despesas de caixa espera dos em determinado intervalo de tempo Estes fluxos financeiros são descontados a uma taxa de juros que exprime preferencialmente o custo de oportunidade dos valores A metodologia de cálculo do valor presente en volve os prazos operacionais de pagamentos estoca gem venda e cobrança O principal pressuposto da formação do preço de venda é que os valores do fluxo operacional não ocorrem num mesmo momento Ou seja a empre sa adquire um produto em certo momento cujo pa gamento pode darse em outro e investe ainda até a sua venda período de estocagem podendo o re cebimento ocorrer posteriormente Estes valores fu turos do ciclo financeiro devem ser atualizados a determinada taxa a valores de hoje de maneira a expressar o preço de venda Ilustrativamente admita uma empresa interessa da em avaliar o preço de venda a vista de determina do produto As despesas da empresa são as seguintes 150 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto impostos svendas 20 prazo para recolhi mento de 20 dias comissões svendas 3 pagamento é efetua do no momento do recebimento da venda custo de compra líquido 8320 O fornece dor concede 40 dias para pagamento a empresa deseja apurar uma margem de lu cro de 25 sobre o preço de venda de forma a cobrir suas despesas fixas e obter um lucro final a empresa trabalha com uma taxa de juro de 010 ao dia A partir desses dados podese formar o preço a vista como sendo o valor presente dos vários fluxos esperados de caixa Representando o problema no formato de um demonstrativo de resultados a valor presente temse Exprimindo o preço de venda por meio de uma formulação matemática apurase p 79940196 p 003 p 025 p 0524 p 7994 p 15256 que representa o preço de venda a vista expresso em valor atual que cobre as despesas e promove uma margem equivalente a 25 de seu valor Admitindo que a venda será realizada para recebi mento em 30 dias temse o seguinte preço a prazo p 100130 8320 100140 p 025x 100130 020P 100120 003P 100130 09705 p 79940196 p 00291 p 02426 p 05028 p 7994 p 15900 que representa o preço de venda para recebimento em 30 dias expresso a valor presente No exemplo ilustrativo foi admitido que a mar gem de lucro de 25 incide sobre o preço de ven da a valor presente e não sobre o preço nominal a prazo Ao se considerar a margem de lucro sobre o preço de venda nominal temse 09705 p 79940196 p 00291 p 025 p 04954 p 7994 p 16136 Exemplo 1 Determinado comércio está avaliando o preço de certa mercadoria O preço que o fornecedor ofe rece é de 11980 sendo o pagamento previsto para 20 dias Os impostos incidentes sobre a venda totalizaram 20 de seu valor devendo ser recolhidos em mé dia 18 dias após Outras despesas de responsabi lidade da empresa Comissão svendas Despesas operacionais 5 Pagamento na data do recebimen to da venda 12 svenda Pra zo de desembolso médio de 10 dias após a venda A empresa espera vender a mercadoria num pra zo médio de 16 dias A margem de lucro desejada é de 15 sobre o preço de venda Admitindo uma taxa de juro de 009 ao dia de terminar o preço de venda nas seguintes condi ções a venda a vista b venda a prazo 2 pagamentos sendo o pri meiro no ato da venda e o segundo após 30 dias Solução a Preço a Vista Data da Venda Pela estrutura do demonstrativo de resulta dos temse Preço de Venda a Vista Custo de Compra 11980 X 10009 16 I 1 000920 Impostos sVenda 020 P10009 18 p 11937 01968 p Matemática Financeira e Estratégias Comerciais de Compra e Venda 151 Comissão sVenda Despesas Operacionais 012 P1000910 Margem de Lucro 005P 01189 p 015P Graficamente temse a seguinte representação Compra VendaReceb Comissão s Venda Pagto da Compra o 16 b Preço a Prazo Data da Venda A alteração com relação ao preço a vista ocor re no cálculo do valor presente do preço a pra zo isto é o 5 p 05 p 09867 p 1 000930 Logo 09867 P 01968 P 11937005 X 05 X P oo5 X 0 5 X p 0 1189P o 15P 1 000930 09867 p 01968 p 0025 p 00243 p 01189 p 015 p 04717 p 11937 p 25306 Na ilustração calculouse a margem de lucro so bre o preço nominal O valor de venda pode também ser calculado considerando o percentual desejado de Solução 20 Compra Venda a vista p 1193701968 p 005 p 01189 p 015 p 04843 p 11937 p 24648 Pagto Despesa Operacional 26 Impostos s Venda 34 dias lucro incidindo sobre o preço expresso a valor pre sente Exercícios resolvidos 1 Admita que uma mercadoria seja vendida a vis ta e adquirida com um prazo de pagamento de 4 meses Essa mercadoria permanece ainda 2 meses em estoque antes de ser vendida Sabese que a empresa vem conseguindo aplicar suas disponibi lidades de caixa à taxa de juros de 23 ao mês no mercado financeiro Nessas condições a empresa recebe uma oferta de venda a vista dessa mercadoria por 169300 a unidade No entanto sabese que seu preço de custo compra é de 176000 Pode a empresa aceitar essa oferta Suponha sim plésmente a inexistência de outras despesas sobre vendas 169300 Compra pagamento 176000 o 2 3 4 meses Prazo de pagamento ao fornecedor Prazo de estocagem Expressando os valores do fluxo de caixa na data da venda temse o seguinte valor atualizado PV 1693 00 1760 00 10232 PV 1125 Ou em valores da data de pagamento da compra da mercadoria PV 169300 1023 2 176000 PV 1177 ou 152 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto PV 1125 X 10232 1177 O ganho financeiro apurado pela empresa no pe ríodo compreendido entre a data da venda e o respectivo recebimento e a do pagamento ao for necedor permite que a empresa possa vender sua mercadoria a um preço abaixo de seu custo nomi nal Nestas condições a operação produz um va lor presente positivo indicando sua atratividade econômica 2 Uma empresa vende determinado produto por 63000 O produto foi adquirido a vista tendo permanecido 29 dias em seus estoques antes da venda A venda foi realizada para pagamento em 15 dias sem acréscimo Solução O custo unitário de compra do produto atinge 42000 Outros custos de responsabilidade da em presa são ICMS 1150 pagos 5 dias antes de realizada a venda IPI 1630 pagos quando da compra do pro duto Impostos sobre vendas 320 pagos 10 dias após a realização da venda Sendo de 010 ao dia a taxa de juro conside rada pedese calcular o resultado desta opera ção comercial na data da venda IPI 1630 compra a vista 42000 ICMS 1150 Venda Imposto s vendas 320 Venda recebimento 63000 o 24 29 39 44 dias Resultado a valor presente data da venda PV 63000 420 001 00129 16 301 00129 11 501 0015 3 20 1 00115 1 00110 PV 62063 43235 1678 1156 317 PV 62063 46386 PV 15677 resultado na data da venda 3 Certa loja incorre nos seguintes custos para cada 10000 de compra de uma mercadoria Frete 1 pago a vista ICMS crédito 12 com prazo de recupera ção de 16 dias IPI 15 pagamento a vista no ato da com pra Condições de pagamento da compra 2 paga mentos iguais respectivamente em 30 e 60 dias Calcular o preço total líquido da compra admitin do uma taxa de juros de 22 am Solução Valor da Compra 050 c 050 c 1 022 1 0222 09679 c Frete ICMS Crédito 012 C 1 0221630 IPI Custo Total de Compra a Valor Presente 001 c 01186 C 015 c 10093 c O custo da compra da mercadoria equivale a va lor presente a um preço 093 superior ao seu valor nominal Por exemplo se o preço de uma mercadoria estiver definido em 17000 o seu valor líquido atualizado de compra atinge Custo a Valor Presente 10093 x 17000 17158 4 Uma cadeia de lojas adquire um lote de merca dorias a vista por 3600000 Essas mercadorias permanecem estocadas em média 2 meses antes de serem vendidas O custo financeiro da empresa é de 34 ao mês e a sua taxa de remuneração proveniente das aplicações no mercado financeiro atinge 20 ao mês Pedese a determinar o resultado a valor presente des sa operação sendo o preço de venda a prazo recebimento em 30 dias da mercadoria de 4600000 b se o fornecedor propuser a venda da merca doria para pagamento em 4 meses qual deve ser o valor máximo que a empresa deve pagar para que obtenha um resultado a valor presen te idêntico ao da compra a vista Solução a CompraPagto 3600000 o Venda 2 VendaRecebim 4600000 3 meses Resultado a Valor Presente na Data da Venda b PV 4600000 36000 00 X 1034 X 10342 PV 4448742 3848962 PV 599780 VendaReceb CompraPagto Compra Venda 4600000 3600000 o 2 3 4 Data Focal Data da Venda PV 4600000 3600000 X 1 0342 1034 1024 PV 4448742 3555846 PV 892896 O custo da mercadoria foi atualizado à taxa de 20 am para incorporar o ganho pelo prazo de pagamento e posteriormente corrigido à taxa de 34 am para refletir o custo de estocagem Este é o resultado da venda da mercadoria nas condições de compra para pagamento em 4 meses pelo valor de 3600000 O valor máximo que a empresa deve pagar ao for necedor para apurar um resultado de 599780 Matemática Financeira e Estratégias Comerciais de Compra e Venda 153 idêntico ao da compra a vista questão a é ob tido S 997 80 4600000 Custo x 1 03 2 1034 1024 4 599780 4448742 09877 x Custo 09877 x Custo 3848962 Custo 3896894 Exercícios propostos 1 Demonstre a proposta mais onerosa a vender a vista com desconto de 5 b vender em 3 vezes 1 2 sem acréscimo Entrada de 40 do valor e duas prestações mensais iguais e sucessivas Sabese que o custo do dinheiro está definido em 34 am 2 Determinar as perdas percentuais provocadas em cada uma das alternativas de venda ilustra das a seguir a venda a vista com desconto de 6 b venda a prazo para pagamento integral em 30 dias c venda em 5 pagamentos mensais e iguais sendo o primeiro efetuado no ato O custo do dinheiro é definido em 29 am 3 Uma revendedora está atualmente negociando suas mercadorias mediante desconto de 12 e prazo de pagamento de 30 dias A empresa está avaliando trabalhar exclusiva mente com vendas a vista Determinar o descon to que pode conceder para pagamento a vista de forma que esta proposta seja equivalente em termos de custo às condições originais Admita uma taxa de 25 para o custo do di nheiro 4 Uma empresa com o intuito de dinamizar deter minado segmento de mercadorias está promo vendo dois planos de vendas conforme demons trados a seguir Plano 1 venda para pagamento em 30 dias sem acrés cimo e sem entrada desconto de 15 no preço de venda 154 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Plano 11 venda para pagamento em 30 dias sem acrés cimo e sem entrada a empresa paga ao cliente no ato da compra 10 do valor da nota fiscal em dinheiro Sendo de 32 am a taxa corrente de juros pedese calcular as perdas percentuais determi nadas pelos dois planos 5 Um empréstimo é efetuado para pagamento ao final de dois meses Sendo de 13 a taxa de inflação do primeiro mês e de 16 do segundo mês determinar a redução no poder de compra no momento da amortização da dívida 6 Uma pequena indústria recebe uma oferta de compra de um lote de produtos para pagamento em 90 dias Com problemas de caixa a indústria propõe que a venda seja realizada a vista com desconto Para uma inflação de 12 am cal cular a taxa de desconto que torna equivalente indiferente a venda a vista e a venda parare cebimento em 90 dias 7 O preço a vista de uma mercadoria é de 121000 A prazo pagamento em 60 dias o preço se eleva para 129400 Sendo de 85 o custo do dinheiro no período demonstre se o acréscimo no preço de venda cobriu o juro da venda a prazo 8 Determinada mercadoria é vendida por 80000 para pagamento em 60 dias A loja oferece um desconto de 8 para pagamento a vista Calcu lar a taxa mensal efetiva de juros cobrada nesta venda a prazo 9 Uma empresa está promovendo a venda de seus produtos em 3 pagamentos 1 2 Neste caso o cliente paga somente as duas primeiras presta ções sendo a última quitada automaticamente após o pagamento da segunda As condições de pagamento definidas na propos ta são Entrada 40 1ª prestação 40 2ª prestação 20 Sendo de 34 am o custo do dinheiro deter minar a perda provocada por esta alternativa de crédito 10 Certa empresa comercial tem normalmente con cedido descontos de 20 a seus clientes espe ciais para pagamento em até 30 dias Esta práti ca de venda é direcionada às pequenas e médias empresas revendedoras de suas mercadorias as quais apresentam grande capacidade de com pra Uma avaliação mais pormenorizada da cartei ra de valores a receber revela que os pagamen tos vêm sendo realizados com atrasos de até 25 dias Estatisticamente é demonstrado que so mente 4 7 dos clientes pagam pontualmente suas compras um percentual considerado muito baixo Visando elevar o nível de pontualidade de seus clientes a empresa está estudando lançar um plano de venda aos revendedores com descontos decrescentes em função de inadimplência Após uma avaliação da situação foi adotada a seguin te tabela Nas condições de pagamento propostas não es tão previstas entradas Sendo de 30 am o custo do dinheiro pedese determinar a custo da venda em 30 dias paga pontual mente b custo das condições de venda admitindo que o cliente pague com 3 dias de atraso 4 dias de atraso 6 dias de atraso 7 dias de atraso 10 dias de atraso 11 Considerando uma taxa de juro de 26 am qual a melhor alternativa de compra a prazo a compra para um único pagamento em 45 dias b compra para 04 pagamentos mensais e iguais em 30 60 90 e 120 dias 12 Selecionar a melhor alternativa de compra para uma taxa de juros de 21 oo am I a compra a vista por 320000 b compra para pagamento ao final de um mês por 329500 c compra para pagamento ao final de dois meses por 330000 Considere que no preço encontramse embuti dos o ICMS de 18 crédito e o custo financei ro cobrado pelo fornecedor O prazo de recupe ração do ICMS é de 17 dias 13 Uma concessionária de veículos adquire a vis ta um veículo novo pelo preço unitário de 1050000 O preço de venda ao público desse veículo é de 16 70000 A concessionária realiza essa venda 17 dias após sua entrada em estoque conceden do ao cliente ainda 10 dias de prazo para paga mento Além do custo de compra a concessionária in corre também em outros desembolsos de caixa conforme identificados a seguir Impostos sobre vendas 48200 a serem pagos 30 dias após a venda ICMS 175000 a serem pagos 14 dias após a venda Comissão sobre venda 55000 a serem pa gos 10 dias após o recebimento da venda Pedese calcular o resultado dessa operação a valor presente na data da venda Sabese que o custo financeiro da concessionária é de 016 ao dia e que consegue auferir no mercado finan ceiro 009 ao dia em suas aplicações financei ras 14 Uma loja adquire uma mercadoria por 54000 devendo pagar em três prestações mensais iguais de 18000 cada uma a primeira no ato da compra e as demais sequencialmente A mercadoria permanece em média 12 dias em estoque para venda O lojista concede ao cliente ainda um prazo de 15 dias para pagamento Os impostos incidentes sobre a venda são de 20 com um prazo médio de 25 dias para reco lhimento A loja paga também comissão de 3 sobre o valor nominal da venda no momento de sua realização O comerciante tem como política de venda ob ter uma margem de lucro margem de contribui ção equivalente a 15 do preço de venda Matemática Financeira e Estratégias Comerciais de Compra e Venda 155 Pedese calcular o preço unitário de venda da mercadoria Considerese que os excedentes de caixa podem ser aplicados à taxa de 12 am e que os encargos financeiros de empréstimos es tão fixados em 25 am 15 Uma distribuidora vende determinada linha de produtos com deságio de 12 sobre o preço de fábrica e a gerência está atualmente avalian do os resultados de uma antecipação de com pra destes produtos diante de um aumento dos preços O aumento definido pelo fabricante é de 8 e a distribuidora incorre nas seguintes des pesas variáveis incidentes sobre as vendas Impostos svendas 36 Prazo médio de recolhimento de 15 dias Admita que sejam esses os únicos impostos incidentes sobre as vendas Comissão svendas 3 Prazo médio de pa gamento de 20 dias A empresa trabalha com uma taxa de juro de 011 ad e os fornecedores concedem normal mente um prazo de 30 dias para pagamento da compra As vendas são realizadas a vista Pedese a custo de compra a valor presente para cada 100 de compra antes e após o aumento de 8 do fabricante b se a empresa demorar 20 dias para vender seus produtos determinar a margem de contribuição receitas de vendas despe sas variáveis a valor presente para cada 100 de venda Em seus cálculos admita que a distribuidora não opte pela antecipação da compra compra e vende após a alta dos preços c determinar a margem de contribuição a va lor presente para cada 100 de venda na hipótese da distribuidora adquirir os produ tos antes da alta e vendêlos após pelo preço novo Neste caso prevêse que a distribui dora demora 30 dias para vender o produ to 16 Uma mercadoria é vendida por 36000 a vista sendo seu custo total de 16200 Na emissão da nota fiscal a empresa incorre em impostos so bre vendas de 18 Admitese que esses impos tos são recolhidos em 20 dias e o prazo de paga mento a fornecedores seja de 30 dias 156 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto As demais despesas variáveis incidentes sobre as vendas atingem 20 As despesas fixas equiva lem a 2100 por unidade Essas despesas fixas e variáveis são pagas em média em 15 dias A empresa está atualmente avaliando o preço de venda a prazo desta mercadoria As condições de venda a prazo são de dois pagamentos iguais sendo a metade de entrada e o restante em 30 dias Mantendose em 22 am a taxa efetiva de ju ros para os próximos meses pedese calcular a resultado a valor presente na venda a vista da mercadoria b preço de venda da mercadoria nas condi ções de venda a prazo Considere que a em presa deseja manter inalterado seu resulta do em apurado na venda a vista 17 Um computador está sendo negociado por 180000 a vista ou em três pagamentos 1 2 de 60000 cada um sendo o primeiro no ato da compra entrada e os restantes em 30 e 60 dias A loja afirma que não cobra juros na venda a prazo A taxa de juros de mercado é de 235 am Pe dese calcular a taxa de desconto sobre o preço de venda do computador que a loja poderia con ceder ao cliente 18 Um empréstimo de 3000000 é concedido para ser pago em 3 parcelas iguais A primeira vence em 40 dias a segunda em 75 dias e a últi ma em 110 dias Determinar o valor de cada par cela admitindo uma taxa de juros de 15 am 19 Uma loja vende seus produtos em 4 pagamen tos mensais e iguais 1 3 sendo o primeiro no ato da compra e os demais a cada 30 dias Visando incentivar as vendas a vista a loja vem oferecendo desconto de 55 sobre o valor da compra para o cliente que pagar no ato Calcular a taxa de juros que a loja está cobrando em suas vendas a prazo 20 Um automóvel novo é vendido por 4500000 Um comprador deu como entrada seu carro usa do e financiou a diferença em 6 prestações men sais iguais e sucessivas de 480000 A taxa de juros considerada no financiamento é de 295 am Pedese calcular o valor do carro usado dado como entrada na compra do veículo novo 21 Uma mercadoria é adquirida por uma loja para revenda por 80000 O prazo de pagamento ao fornecedor é de 25 dias e o prazo médio de esto cagem de 20 dias Os impostos comerciais totali zam a 20 do valor da venda pela loja sendo o prazo de recolhimento de 15 dias após a venda A empresa incorre ainda nas seguintes despesas comissões sobre vendas 4 sobre o valor da venda sendo pagas no ato do recebimento outras despesas representam 10 das ven das sendo o pagamento realizado 20 dias após a realização das vendas A empresa deseja apurar uma margem de contri buição Receitas de Vendas menos Despesas Va riáveis igual a 18 do preço de venda A taxa de juros praticada pela empresa é de 27 am taxa efetiva Pedese calcular o preço de venda da mercadoria nas seguintes condições a venda a vista b venda para recebimento em duas parcelas iguais 30 e 60 dias c venda para recebimento de 20 no ato en trada e o restante em duas parcelas iguais a serem liquidadas em 30 e 60 dias Considere a data da venda como a data focal de cálculo do preço de venda da mercadoria 22 Uma mercadoria é vendida por 1000000 para pagamento a vista Um comprador oferece a se guinte proposta entrada 10 pagamento de 250000 em 60 dias restante em quatro prestações mensais iguais e consecutivas sendo liquidadas a par tir do final do 5º mês A taxa de juro utiliza da na operação está fixada em 14 aa taxa efetiva Pedese calcular o valor de cada prestação men sal 23 Uma mercadoria sofreu um reajuste de 40 em seu preço de venda Alguns dias após a loja de cide promover a venda dessa mercadoria con cedendo um desconto de 40 Pedese calcular o desconto efetivamente concedido pelo comer ciante em relação ao preço original da mercado ria 24 Uma mercadoria teve dois reajustes sequenciais em seu preço de venda O primeiro reajuste foi de 30 e o segundo de 15 Qual a taxa de desconto que deve ser concedida para que o pre ço da mercadoria seja igual ao seu valor original 25 Uma mercadoria é vendida em uma loja por 220000 O vendedor recebe uma comissão de venda igual a 7 O lojista por sua vez aufere um lucro de 40 sobre o preço de custo Pede se calcular o preço de custo dessa mercadoria Respostas 1 Vender a vista 2 a PV 94 6 b PV 972 28 c PV 945 55 3 1415 4 PV I 824 1760 PV li 869 131 S 284 6 35 7 Não O reajuste no preço a prazo é de 69 en quanto o custo financeiro atinge 85 8 426 am 9 213 PV 787 10 a PV 7767 2233 b PV 8228 1772 PV 8703 1297 PV 8686 1314 PV 9160 84 PV 9133 867 Matemática Financeira e Estratégias Comerciais de Compra e Venda 157 11 a PV 9622 b PV 9382 Por apresentar o menor valor presente a melhor alternativa é b 12 a PV 263074 b PV 265313 c PV 260250 A melhor alternativa é a compra em 60 dias 13 290839 14 88090 15 a Antes do aumento 85 14 Após o aumento 9196 b 701 c 1300 16 a 4563 b 36392 17 PV 175900 18 1037819 19 i 391 am 20 1895433 21 a v 164419 b v 1 78225 c v 172249 22 175889 23 16 24 3311 25 146143 10 Análise de Investimentos e Reposição de Ativos Basicamente toda operação financeira é represen tada em termos de fluxos de caixa ou seja em fluxos futuros esperados de recebimentos e pagamentos de caixa A avaliação desses fluxos consiste em essên cia na comparação dos valores presentes calculados segundo o regime de juros compostos a partir de uma dada taxa de juros das saídas e entradas de caixa Em consideração ao conceito do valor do dinheiro no tempo raciocínio básico da Matemática Financei ra adotado neste livro colocase como fundamental estudarse somente os métodos que levem em conta o critério do fluxo de caixa descontado Dessa maneira o capítulo desenvolve os métodos da taxa interna de retorno e do valor presente líquido admitidos como os de maior utilização e rigor concei tual nas análises das operações financeiras aplica ções e captações e de projetos de investimento O capítulo dedicase também como uma das mais interessantes aplicações dos métodos de avalia ção de caixa às decisões básicas de reposição de ati vos O intuito principal é o de estabelecer uma linha de raciocínio financeiro nas decisões de substituição de ativos incorporando preocupações associadas ao custo do investimento vida econômica valor de re venda etc 101 Taxa interna de retorno IRR1 A taxa interna de retomo é a taxa de juros des conto que iguala em determinado momento do tempo o valor presente das entradas recebimentos com o das saídas pagamentos previstas de caixa Geralmente adotase a data de início da operação momento zero como a data focal de comparação dos fluxos de caixa Normalmente o fluxo de caixa no momento zero fluxo de caixa inicial é representado pelo valor do investimento ou empréstimo ou financiamento os demais fluxos de caixa indicam os valores das recei tas ou prestações devidas Nessas condições a identidade de cálculo da taxa interna de retomo é identificada da forma seguinte FC1 FC2 FC3 FCn FC 3 o 1 il 1 02 1 i 1 on deduzindose que 1 IRR Internal Rate o f Return Taxa Interna de Retorno onde FC0 valor do fluxo de caixa no momento zero recebimento empréstimo ou pagamento investimento FCj fluxos previstos de entradas ou saídas de caixa em cada período de tempo taxa de desconto que iguala em deter minada data as entradas com as saí das previstas de caixa Em outras pa lavras i representa a taxa interna de retorno Considerando que os valores de caixa ocorrem em diferentes momentos é possível concluir que o méto do da IRR ao levar em conta o valor do dinheiro no tempo expressa na verdade a rentabilidade se for uma aplicação ou custo no caso de um empréstimo ou financiamento do fluxo de caixa A rentabilidade ou custo é indicada em termos de uma taxa de juros equivalente periódica Por exemplo admita um empréstimo de 3000000 a ser liquidado por meio de dois pagamen tos mensais e sucessivos de 1550000 cada Graficamente temse a seguinte representação 3000000 t 11 1550000 21 meses 1550000 O custo desta operação calculado pelo método da taxa interna de retorno atinge 3000000 1550000 1550000 1 i 1 i2 Resolvendo a expressão com o auxílio de uma cal culadora temse o custo efetivo mensal de i 221 oo ao mês O custo obtido de 221 oo am representa dian te das características enunciadas do método da IRR a taxa de juros que iguala em determinada data a entrada de caixa 3000000 recebimento do em préstimo com as saídas de caixa 1550000 va lor de cada prestação desembolsada Conforme foi comentado ainda a data focal para o cálculo da taxa interna de retorno pode ser defini da livremente sem que isso interfira em seu resulta do Por exemplo ao se fixar a data focal ao final do Análise de Investimentos e Reposição de Ativos 159 segundo mês verificase que o custo não se altera permanecendo inalterado em 221 oo ao mês ou seja 3000000 1 i 2 1550000 1 i 1550000 Resolvendo chegase ao mesmo resultado IRR i 221 oo ao mês 1 011 Interpretação da IRR por meio de planilha financeira Uma visão mais ampla da IRR pode ser obtida ao elaborarse a planilha financeira do empréstimo a ser liquidado com duas prestações iguais Observe na planilha apresentada abaixo que a taxa calculada de 221 oo ao mês recai unicamente sobre o saldo devedor líquido da operação As pres tações determinadas por esta taxa além de remune rarem o capital emprestado permitem a liquidação completa da dívida ao final do prazo contratado Planilha Financeira de uma Operação de Empréstimo Juro i 22141 am Outro exemplo ilustrativo permite fixar mais con cretamente o conceito de taxa interna de retorno Admita que um investimento de 7000000 promova expectativas de benefícios de caixa de 2000000 4000000 4500000 e 3000000 respectivamente ao final dos próximos quatro anos da decisão Observandose que o investimento exige um de sembolso inicial e quatro fluxos futuros de ingres sos esperados de caixa temse a seguinte represen tação 2000000 4000000 4500000 3000000 jo I I I I 2 3 4 anos 7000000 A expressão de cálculo é a seguinte 160 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 7000000 2000000 4000000 1 i 1 i2 4500000 3000000 1 i3 1 i4 IRRi 30 aa Por meio do auxílio de uma calculadora financei ra apurase uma taxa interna de retorno de 300 ao ano isto é ao se descontarem os vários fluxos pre vistos de caixa pela IRR calculada o valor atualizado será exatamente igual ao montante do investimento de 7000000 Com isso o resultado apurado de nota a efetiva taxa de rentabilidade anual do inves timento PV 2000000 4000000 130 1302 4500000 3000000 1303 1304 PV 7000000 Deve ser ressaltado ainda que os 300 repre sentam a taxa de retorno equivalente composta anu al A IRR não pode ser considerada como o ganho efetivo em cada período ano mas como a rentabi lidade média ponderada geometricamente consoante o critério de juros compostos A rentabilidade total acumulada do projeto para os quatro anos atinge 1856 ou seja Rentabilidade Total 130 4 1 1856 p os quatro anos De outra forma ao se aplicar os fluxos de entrada de caixa à IRR de 300 ao ano calculase um mon tante ao final do prazo igual a 19992700 FV Este valor representa na verdade a riqueza econô mica ao final do último ano de vida do projeto de terminada pela aplicação de 7000000 PV Relacionandose esta riqueza de 19992700 com o valor do investimento inicial de 7000000 chegase à rentabilidade de 1856 referente aos quatro anos ou seja IRR i 19992700 1 1 856 ou 185 6 7000000 Ao se mensurar a taxa equivalente composta anual da operação apurase IRR i 1 1 856 1 030 ou 300 aa que representa a taxa interna de retorno rentabili dade anual calculada para o investimento 1012 Quando a taxa de reinvestimento não coincide com a IRR A demonstração mencionada no tópico anterior levou em consideração que os fluxos de caixa são re aplicados ao longo do prazo da operação à própria taxa interna de retorno calculada 300 aa Nesta hipótese a IRR do investimento representa efetiva mente sua rentabilidade periódica Esse é um pressuposto implícito no método da IRR Em outras palavras a taxa interna de retorno de uma alternativa financeira somente é verdadeira na suposição de todos os fluxos de caixa que se su cederão sejam reaplicados à taxa de juro calculada pelo método Em caso contrário o resultado efetivo do investimento é outro Admita no exemplo citado que os fluxos de en trada de caixa possam ser reaplicados até o final do prazo do investimento à taxa de 22 aa Ao reduzir a taxa de reaplicação dos resultados de caixa de 30 para 22 aa a rentabilidade anual da alternativa também diminui conforme demonstrado a seguir Montante da Reaplicação das Entradas de Cai xa FV FV 2000000 1223 4000000 122 2 4500000 122 3000000 FV 18075300 Valor do Investimento PV PV 7000000 Rentabilidade Periódica IRRi 18075300 1 7000000 IRRi 15822 p todo o período 4 anos equivalendo a IRRi 25822 114 1 2676 aa Dessa maneira podese concluir que a IRR espe rada de uma decisão de investimento é dependente não somente dos resultados de caixa projetados para a alternativa como também da reaplicação destes fluxos ao longo de todo o prazo A rentabilidade se eleva em condições da taxa de reaplicação superar a IRR calculada do investimento ocorrendo o inverso quando a reaplicação for efetuada a uma taxa infe rior Exemplos 1 Determinar a taxa interna de retorno referente a um empréstimo de 12690000 a ser liquida do em quatro pagamentos mensais e consecuti vos de 2500000 3800000 4500000 e 2700000 Solução O fluxo de caixa é representado graficamente da forma seguinte 12690000 I o 11 21 31 41 meses 2500000 3800000 4500000 2700000 A formulação para a solução do problema apre sentase 12690000 2500000 3800000 1 i 1 i2 4500000 2700000 1 i3 1 i4 A IRR é a taxa de desconto juros que iguala os pagamentos do empréstimo saídas de caixa com o valor do capital emprestado entrada de caixa em determinada data Resolvendose a expressão com o auxílio de uma calculadora financeira chegase à IRR que repre senta o custo equivalente composto periódico da operação IRR i 247 ao mês 2 Uma aplicação financeira envolve uma saída de caixa de 4700000 no momento inicial e os seguintes benefícios esperados de caixa ao fi nal dos três meses imediatamente posteriores 1200000 1500000 e 2300000 Determi nar a rentabilidade IRR mensal efetiva dessa operação Solução 1200000 1500000 2300000 jo I I l 2 3 meses 4700000 Análise de Investimentos e Reposição de Ativos 161 4700000 1200000 1500000 2300000 1 i 1 i2 1 i3 Resolvendose IRR i 284 ao mês que representa a rentabilidade equivalente com posta mensal da aplicação Mediante esse exemplo ilustrativo é possível res saltarse uma vez mais que a IRR de 284 assume implicitamente o pressuposto de que para ser verda deira devem todos os fluxos intermediários de caixa serem reinvestidos à própria taxa interna de retorno calculada para a aplicação Em verdade o método da IRR adota a hipótese de que os vários fluxos de caixa gerados da aplica ção devem ser reaplicados até o final do prazo da operação em alternativas que rendam pelo menos os 284 am obtidos de rentabilidade Na situação de não se conseguir aplicar os valores de caixa a esse percentual a taxa interna de retorno se modificará Ilustrativamente ao se admitir que os dois fluxos iniciais de caixa sejam reinvestidos às taxas mensais de 20 e 15 respectivamente apuramse os se guintes resultados Montante Acumulado ao Final do Período FV3 1200000 X 1022 1500000 X 1015 2300000 FV3 1248480 1522500 2300000 FV3 5070980 Rentabilidade Total do Investimento IRRi 5070980 1 789 para os 4700000 três meses Taxa Equivalente Composta de Rentabilidade Anual IRR 1 0789 1 256 ao mês Observe que mesmo que os fluxos de caixa ocor ram exatamente como o previsto para cada ano a impossibilidade de reinvestilos à IRR calculada de 284 ao mês promove a redução da rentabilidade da aplicação para 256 ao mês Assim para que a taxa de rentabilidade calculada seja verdadeira todos os fluxos de caixa gerados de vem ser reaplicados pela própria IRR da operação até o final do prazo 162 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Muitas alternativas de aplicações financeiras eco nomicamente atraentes em determinado momento poderão ter seus retornos reduzidos em épocas pos teriores Para tanto basta tãosomente ocorrer uma diminuição nos percentuais das taxas de reaplicação dos fluxos de caixa ao longo do tempo Se a decisão de aceitar determinado investimento for tomada ex clusivamente a partir do método da IRR é importan te que se esteja atento com relação ao reinvestimento dos fluxos intermediários de caixa 102 Valor presente líquido NPV2 O método do valor presente líquido para análise dos fluxos de caixa é obtido pela diferença entre o valor presente dos benefícios ou pagamentos pre vistos de caixa e o valor presente do fluxo de caixa inicial valor do investimento do empréstimo ou do financiamento A identidade de cálculo do NPV é expressa da for ma seguinte NPV FC FC1 FC2 FCn 1 i 1 i2 1 on onde FC representa o valor de entrada ou saí da de caixa previsto para cada interva lo de tempo FC0 fluxo de caixa verificado no momento zero momento inicial podendo ser um investimento empréstimo ou finan ciamento Comparativamente ao método da IRR o valor presente líquido exige a definição prévia da taxa de desconto a ser empregada na atualização dos fluxos de caixa Na verdade o NPV não identifica direta mente a taxa de rentabilidade ou custo da opera ção financeira ao descontar todos os fluxos de en tradas e saídas de caixa por uma taxa de desconto mínima aceitável o NPV denota em última análise o resultado econômico da alternativa financeira ex pressa em moeda atualizada 2 NPV Net Present V alue Valor Presente Líquido O NPV é caracteristicamente referenciado ao mo mento inicial data zero Ilustrativamente admita que uma empresa esteja avaliando um investimento no valor de 75000000 do qual esperamse benefícios anuais de caixa de 25000000 no primeiro ano 32000000 no segun do ano 38000000 no terceiro ano e 28000000 no quarto ano Admitindose que a empresa tenha definido em 20 ao ano a taxa de desconto a ser aplicada aos fluxos de caixa do investimento temse a seguinte representação e cálculo do NPV 25000000 32000000 38000000 28000000 jo I I I I 2 3 4 anos 75000000 NPV 25000000 32000000 38000000 120 1202 120i 28000000 75000000 1204 NPV 20833333 22222222 21990741 13503086 75000000 NPV 78549382 75000000 NPV 3549382 Observe que mesmo descontando os fluxos de caixa pela taxa de 20 ao ano conforme definida previamente o NPV é superior a zero indicando que a alternativa de investimento oferece uma taxa de rentabilidade anual superior aos 20 Nesta situa ção evidentemente o investimento apresentase atraente indicando sua aceitação econômica Ao se elevar a taxa de desconto para 30 ao ano por exemplo o valor presente líquido apresentase negativo indicando que a rentabilidade implícita do investimento é inferior à taxa de desconto mínima exigida Ou seja NPV 25000000 32000000 38000000 1 30 1 302 1 303 28000000 75000000 1304 NPV 19230769 18934911 17296313 9803578 75000000 NPV 6526557175000000 NPV 9734429 A Figura 101 a seguir ilustra graficamente o com portamento do valor presente líquido NPV do in vestimento admitindo diferentes taxas de desconto Figura 101 NPV para diferentes taxas de descontos Observe na figura que o NPV decresce à medida que se eleva a taxa de desconto dos fluxos de caixa do investimento Admitindo uma taxa de desconto de 0 o NPV é determinado pela simples diferença en tre os benefícios anuais totais de caixa e o montante do investimento inicial isto é NPV i 0 25000000 32000000 38000000 28000000 75000000 NPV i 0 123000000 75000000 48000000 À medida que a taxa de desconto vai se distan ciando de 0 o valor presente dos fluxos de cai xa decresce proporcionando em consequência um NPV cada vez menor Figura 102 Extensões dos métodos do NPV e IRR Análise de Investimentos e Reposição de Ativos 163 Até a taxa de 224 ao ano verificase que o NPV é positivo indicando atratividade do investimento A partir desta taxa o valor presente líquido passa a ser negativo demonstrando que o projeto é incapaz de produzir uma riqueza econômica positiva para uma taxa de desconto superior aos 224 ao ano A taxa de desconto de 224 que produz um NPV igual a zero o valor presente das entradas de caixa igualase ao das saídas no momento zero represen ta a taxa interna de retorno do investimento con forme demonstrado no item anterior Dessa maneira o interesse econômico pela alternativa existe desde que a taxa de desconto definida como mínima acei tável seja inferior ou igual a 224 ao ano Se a taxa exceder esse percentual a alternativa é consi derada sem atratividade econômica o resultado do NPV é negativo sugerindo que a taxa de rentabilida de IRR oferecida pela decisão é inferior àquela de finida como mínima aceitável Dessa maneira podese generalizar o critério de decisão do método do NPV pela seguinte regra toda vez em que o NPV for igual ou superior a zero o in vestimento pode ser aceito caso contrário existe in dicação de rejeição 1021 Comparações entre NPVe IRR Com o intuito de melhor compreender a relação entre o NPV e a IRR é interessante descrever no grá fico os resultados dos fluxos de caixa da operação financeira descrita e interpretada sob dois ângulos aplicação de capital e empréstimo de capital 164 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto O gráfico A conforme demonstrado na Figura 101 é representativo de um aplicador de capital que apura uma taxa de retorno de 224 ao ano O gráfi co B por outro lado reflete a posição de um tomador de capital que obtém emprestado recursos a um cus to de 224 ao ano A taxa interna de retorno definida como a taxa de juros que iguala o NPV a zero é representada gra ficamente pelo ponto em que a linha do valor presen te líquido corta o eixo horizontal Nas duas ilustra ções gráficas a IRR é igual a 224 No gráfico A o NPV decresce à medida que a taxa de desconto se eleva representando valores positivos até 224 Para uma taxa de desconto igual a 224 o NPV anulase indicando a IRR do fluxo de caixa Apesar de o gráfico B ter sido elaborado com base no mesmo exemplo os valores de caixa apresentam sinais invertidos resultando em curva também inver Solução sa em comparação ao gráfico A Essa taxa periódica de 224 para quem toma capital emprestado é a taxa mínima que deve ser auferida na aplicação desses re cursos Taxas de desconto menores que 224 ao ano produzem NPV negativo e maiores que 224 ao ano NPV positivo Em conclusão a IRR de 224 é a me nor taxa de desconto que produz um valor presente líquido positivo do tomador do empréstimo Exemplo 1 Uma empresa está avaliando um investimento em uma nova unidade de negócios O valor a ser in vestido no momento zero atinge 100000000 prevendose os seguintes fluxos de caixa ao final dos próximos 4 anos 15000000 20000000 90000000 e 110000000 Admitindo que a empresa tenha definido em 20 ao ano a taxa de desconto dos fluxos esperados de caixa determinar o valor presente líquido 15000000 20000000 90000000 110000000 f o 1 1 1 1 2 4 anos 3 100000000 NPV 15000000 20000000 90000000 1100000 00 lOOOOOO OO 1 20 1 202 1 203 1 204 NPV 12500000 13888889 52083333 53047840 100000000 NPV 31520062 O NPV é positivo indicando a atratividade econô mica do projeto Sendo o NPV O podese concluir que a rentabilidade do investimento medida pela IRR é superior à taxa de desconto exigida de 20 ao ano Mais especificamente a IRR do investimento alcança 100000000 15000000 20000000 1 i 1 i2 90000000 110000000 1 i3 1 i4 Resolvendose com o auxílio de uma calculadora financeira IRR i 312 ao ano Dessa forma os dois métodos de análise dos flu xos de caixa indicam a aceitação do investimento O NPV oferece resultados atualizados maiores que zero significando que o ganho oferecido pela proposta ex cede ao mínimo desejado pela empresa O método da IRR indica que o investimento produz uma taxa de rentabilidade periódica superior à taxa de desconto mínima aceitável Deve ser ressaltado ainda que o método do NPV identicamente ao da IRR pressupõe implicitamente que os fluxos intermediários de caixa da alternativa devem ser reinvestidos à taxa de desconto utilizada No entanto por trabalhar com uma taxa de juros de finida pelo próprio investidor o método nesse aspec to é mais seguro que o anterior em que a taxa de l reinvestimento é a própria IRR do projeto e não a taxa de desconto mínima aceitável estabelecida para o investimento 103 Índice de lucratividade IL e taxa de rentabilidade TR Esses métodos de análise de investimentos consi deram também a metodologia do fluxo de caixa des contado O índice de lucratividade IL é medido pela relação entre o valor presente dos fluxos de en trada de caixa e os de saída de caixa No exemplo ilustrativo dado podese calcular o valor presente dos benefícios de caixa do investimen to para a taxa de atratividade de 20 aa da forma seguinte PV Entradas 15000000 20000000 1 20 1 202 90000000 110000000 1 203 1 204 PV Entradas 131520062 Sendo de 100000000 o desembolso previsto para o investimento apurase o índice de lucrativida de de 1315 ou seja IL 131520062 1 315 100000000 Esse resultado indica para cada 1 aplicado na alternativa quanto o projeto produziu de retorno expressos todos os resultados de caixa em valores atualizados pela taxa mínima de atratividade Quando o índice de lucratividade apresenta um valor maior que 10 indica a atratividade econômi ca do investimento O valor presente das entradas de caixa é superior ao dos desembolsos movendo um NPV positivo Ao contrário ao assumir um valor me nor que 10 o IL revela o desinteresse econômico pela alternativa de investimentos a qual produz um valor presente líquido negativo A taxa de rentabilidade TR por outro lado con siste na relação entre o NPV determinado a partir da taxa de atratividade e o valor presente dos desem bolsos de capital No exemplo ilustrativo em consideração a taxa de rentabilidade do investimento atinge a 3152 ou seja Análise de Investimentos e Reposição de Ativos 165 31520062 100000000 31 52 Os dois métodos são bastante próximos promo vendo as mesmas decisões com relação à atratividade de uma alternativa de investimento 104 Comparação entre os métodos de análise de investimentos projetos independentes Uma alternativa de investimento de capital quan do tratada individualmente é considerada como eco nomicamente atraente ao apresentar um NPV positi vo ou uma IRR superior no mínimo igual à taxa mínima de retorno requerida ou um IL maior ou igual a 10 ou ainda uma TR positiva Para um único projeto de investimento ou para projetos classificados como independentes que po dem ser implementados ao mesmo tempo os mé todos de análise que levam em conta os fluxos de caixa descontados convergem sempre para a mesma decisão Ilustrativamente admita o seguinte investimen to 20000 40000 40000 60000 60000 I I I I I Jo 2 3 4 5 anos 120000 Sendo de 16 ao ano a taxa de atratividade de finida para o investimento são obtidos os seguintes resultados dos métodos de avaliação NPV 20000 400 00 40000 116 1162 1163 60000 60000 1200 00 1 164 1 165 NPV 134300 120000 NPV 14300 166 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 120000 20000 40000 40000 1 i 1 i2 1 i3 60000 60000 1 i4 1 i5 IRRi 202 IL 134300 120000 1119 TR 14300 119 120000 Pelos resultados dos métodos de avaliação econô mica o investimento proposto é considerado atraen te por todos Apresenta um NPV positivo indicando um retorno em excesso em relação ao ganho mínimo exigido A IRR supera a taxa de atratividade definida As alternativas de investimento são independen tes isto é não há restrições de serem aceitas ao mes mo tempo desde que haja atratividade econômica A Solução 105 Comparação entre os métodos de análise de investimentos projetos mutuamente excludentes Ao se considerar a comparação com alternativas de investimentos não independentes podem ocorrer situa ções conflitantes não revelando os métodos de análise a mesma indicação econômica As razões que explicam essa divergência dos métodos são disparidade de ta manho dos investimentos e diferenças com relação à evolução dos fluxos de caixa ao longo do tempo Na situação de conflito o método do valor pre sente líquido é aceito como o que produz as melhores para a alternativa revelando uma rentabilidade es perada acima da mínima desejada O IL é maior que 10 que representa o ponto de corte entre aceitação rejeição deste método Um IL maior que 10 confir ma conforme foi comentado os resultados positivos demonstrados pelo NPV e IRR Em consequência a TR é também positiva atingindo a 11 9 Dessa maneira trabalhandose com um único projeto de investimento a aplicação dos métodos de avaliação é processada de maneira bastante simples tendo como característica principal a total coincidên cia em termos de decisão aceitarrejeitar Exemplo Admita três projetos de investimento com as se guintes estimativas de fluxos de caixa taxa de retorno requerida é de 18 aa Determinar os resultados pelos métodos de análise de investi mento NPV IRR IL e TR recomendações A utilização da taxa interna de retor no identifica algumas limitações em relação à sele ção das alternativas não indicando necessariamente a melhor alternativa 1051 Investimentos com diferentes tamanhos Para ilustrar as características dessa situação ad mita as duas alternativas de investimento identifica das a seguir A taxa de retorno requerida para esses investimentos é de 20 ao ano Ao considerar as duas alternativas como indepen dentes a decisão com relação a um investimento não afeta o outro não há nenhum conflito nos resulta dos apurados Todos os métodos NPV e IRR conver gem para a atratividade econômica dos dois inves timentos por meio do NPV positivo e da IRR maior que a taxa de retorno exigida Não se verificando restrições de natureza técni ca ou orçamentária os dois investimentos podem ser aceitos implementados simultaneamente como de corrência dos resultados positivos computados pelos métodos de avaliação Por outro lado se os investimentos forem classi ficados como mutuamente excludentes sabese que a escolha de uma alternativa elimina a possibilidade de se implementar a outra mesmo que todas demons trem atratividade econômica Avaliandose os resultados calculados dos inves timentos evidenciase uma situação decisorial de conflito Pelo método do NPV a alternativa B apre sentase como a mais atraente diante de seu maior montante esperado de riqueza O método da IRR de maneira inversa seleciona o investimento A como o mais atraente proporcionando a melhor taxa percen tual de retorno Essa dualidade de interpretação na seleção da melhor alternativa decorre em razão principalmente de o método da IRR ser expresso em termos relativos taxa percentual e não em valores absolutos como é característica do valor presente líquido Observe que o desembolso de capital de B é o do bro de A e a IRR por se apresentar referenciada em porcentagem não leva em conta essa disparidade de tamanho Em termos de riqueza absoluta inerente ao método do NPV é mais atraente apurarse um re sultado de 256 sobre 900 do que de 325 so bre 450 Outra maneira bastante esclarecedora de enfocar esse problema é efetuar uma análise incrementai dos investimentos A diferença entre os projetos é que B exige um investimento de 450 maior prometendo em consequência fluxos de caixa adicionais de 40 20 e 720 respectivamente ao final dos próximos três anos isto é Análise de Investimentos e Reposição de Ativos 167 Valores Incremen tais B A 450 40 20 720 Apurandose o valor presente líquido e a taxa in terna de retorno do investimento incrementai chega se aos seguintes resultados positivos em termos de atratividade dos investimentos il NPV 138 valor presente líquido incre mentai il IRR 213 aa taxa interna de retorno incrementai O NPV incrementai define a riqueza adicional acrescida pelo investimento B de maior escala Em outras palavras é o custo máximo a que o investi mento B pode elevarse para que mantenha sua pre ferência em relação a A A IRR incrementai representa a taxa de juros que torna os dois investimentos equivalentes em termos de atratividade econômica produzindo o mesmo va lor presente líquido Essa taxa é conhecida como in tersecção de Fischer e para a ilustração em desenvol vimento têmse NPV 320 230 A 1213 12132 180 12133 450 71 00 NPV 360 250 A 1213 12132 900 12133 900 71 00 Para uma taxa de desconto de até 213 aa o investimento B é preferível a A apresentando maior riqueza líquida A partir de 213 aa no entanto o investimento A passa a ser o mais atraente Em termos gráficos temse o seguinte comporta mento dos investimentos A e B 168 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Figura 1 03 Intersecção de Fischer projetos mutuamente ex cludentes Como a taxa mínima de retorno exigida para os investimentos é de 20 aa a alternativa B é a que promove para esta taxa de desconto o maior valor presente líquido sendo portanto a melhor opção econômica de investimento Na situação descrita de conflito decisorial com disparidade de tamanho o método do NPV é aceito Pelo método do NPV os dois investimentos são atraentes e economicamente equivalentes pois pro duzem o mesmo resultado líquido no momento pre sente A comparação envolve dois investimentos com di ferentes tamanhos o investimento D exige um de sembolso de capital duas vezes maior que C que pro duzem o mesmo valor presente líquido Em condições de restrição de capital é necessário levar em conta a relação do valor presente líquido com o volume de recursos demandado pelo investi mento de forma a apurarse o retorno ofereCido por unidade de capital aplicado como o que produz as melhores recomendações A aplicação da IRR identifica algumas dificuldades em relação à seleção das alternativas pois o método não leva em conta a escala do investimento 1 052 NPV e restrições de capital Quando há disparidade de tamanho a melhor decisão é tomada selecionandose a alternativa com maior valor presente líquido Na ilustração anterior demonstrouse que o método do NPV leva em consi deração a escala do investimento destacandose dos demais critérios de avaliação econômica Por outro lado em situações que envolvem inves timentos com disparidade mas que produzem o mes mo valor presente líquido a orientação de superiori dade do método do NPV pode ser questionada Para ilustrar essa situação são apresentados a se guir os investimentos C e D para os quais está de finida uma taxa mínima de atratividade de 20 ao período 1 053 Investimentos de mesma escala Em algumas situações de seleção de investimen tos podese deparar com alternativas que apresen tam diferentes e conflitantes resultados econômicos mas demandam o mesmo valor de desembolso ini cial Nesses casos não há investimento incrementai conforme foi discutido ao se tratar de projetos com disparidade de tamanho A análise é efetuada sobre o comportamento dos fluxos de caixa ao longo do tempo Considere por exemplo os investimentos E e F descritos a seguir A taxa mínima de retorno é fixada em 20 ao ano Admitindo inicialmente que os investimentos se jam independentes isto é podem ser implementados ao mesmo tempo a orientação dos métodos de aná lise diante dos resultados é de aceitação das duas propostas As alternativas E e F apresentam NPV po sitivos e a IRR de cada investimento supera a taxa mínima requerida de retorno No entanto ao se considerar os investimentos como mutuamente excludentes surge uma divergên cia técnica de decisão O método do NPV seleciona o investimento F como o mais atraente maior riqueza absoluta e o método da IRR indica E como o mais desejável maior taxa percentual de retorno Os investimentos apresentam algumas caracte rísticas que os diferenciam da situação anterior com distintas escalas Os dois projetos demandam o mes mo volume de desembolso inicial 500 mas apre sentam nítidas diferenças no perfil de formação de seus benefícios de caixa ao longo do tempo No projeto E os fluxos de caixa comportamse de maneira decrescente no tempo e no projeto F de for ma oposta os fluxos de caixa são crescentes Essa dualidade de comportamento explica a na tureza do conflito proporcionada pelos métodos de análise no tocante à seleção da melhor alternativa de investimento Os métodos quantitativos trazem implícito o pressuposto de reinvestimento dos fluxos de caixa pela taxa de desconto utilizada método do NPV ou pela própria taxa de retorno calculada mé todo da IRR Nessas condições de reinvestimento automático o método que apresentar fluxos de caixa decrescen tes valores maiores no início é levado a determinar a maior IRR Em verdade quanto mais elevados se apresentarem os fluxos de caixa nos momentos ini ciais do investimento maior é a IRR calculada uma vez que se assume que os valores de caixa são rein vestidos a esta taxa de juros O mesmo não se verifica com o método do NPV O método admite reinvestimento à taxa de desconto utilizada geralmente inferior à IRR calculada Fluxos de caixa mais elevados em períodos mais distantes promovem maior valor presente quando desconta dos pela taxa mínima de atratividade do que quando adotada a taxa interna de retorno Pela intersecção de Fischer identificada pela taxa interna de retorno incrementai F E chegase à taxa de juros de indiferença de 263 ao ano ou seja Análise de Investimentos e Reposição de Ativos 169 Graficamente temse a seguinte representação Figura 1 04 Decisões conflitantes Até a taxa de investimento de 263 ponto de in diferença o projeto F é o mais desejável apurando maior valor presente líquido A partir dessa taxa até 439 o investimento E passa a ser o mais atraente Se for de 20 ao ano a taxa de atratividade para as propostas o projeto F de maior NPV se destaca rá como o mais desejável No raciocínio da decisão admitese como mais provável o reinvestimento dos fluxos de caixa à taxa de retorno requerida do que à IRR calculada Observe que uma vez mais a análise se desenvolve com base na taxa de reinvestimento dos fluxos de caixa 106 Custo equivalente anual O uso do método do custo equivalente anual é amplamente adotado nas decisões financeiras citan dose principalmente aquelas envolvendo comprar ou arrendar alternativas com diferentes vidas úteis reposição de ativos entre outras Considere ilustrativamente um investimento de 50000000 com uma vida útil esperada de 6 anos Os fluxos de custos anuais que apresentam um va lor presente de 50000000 são identificados como equivalentes anuais do investimento Para uma taxa de 14 aa temse 170 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto PV PMT X FPV i n 50000000 PMT X FPV 14 6 1 1146 50000000 PMT X 014 00 O 014 PMT 5 0000 X 1 C114r6 PMT 50000000 X 0257157 PMT 12857875 O investimento para as condições estabelecidas tornase indiferente se realizado com um desembolso imediato de 50000000 ou implementado median te seis aplicações anuais de 12857875 que repre sentam o custo equivalente anual da alternativa Considere outro exemplo para tornar mais cla ras as aplicações do método do custo equivalente anual Admita que uma empresa tenha adquirido um caminhão para entrega de suas mercadorias por 6000000 A vida útil estimada desse veículo é de 5 anos apresentando depois um valor residual equiva lente a 20 do valor de compra Os custos operacionais anuais de manuten ção e operação do caminhão estão previstos em 820000ano Pelas informações podese apurar o custo equiva lente anual da decisão de compra do veículo admi tindose uma taxa de juro de 12 a a p 400 300 700 Solução Para o cálculo do fluxo equivalente anual de cai xa é necessário inicialmente apurarse o valor pre sente da série obtendose posteriormente o PMT equivalente PV 200 400 300 700 116 1162 1163 1164 800 500 1200 1165 1166 116f PV 205919 Logo o fluxo equivalente anual atinge Investimento Líquido Valor Bruto do Caminhão 6000000 Valor Residual Atualizado 20 X 60000001125 680910 Investimento Líquido 5319090 Custo Equivalente Anual Custo Anual do Investimento PMT 5319090FPV 12 5 1475570 Custo Operacional Custo Equivalente Anual 820000 2295570 A decisão de compra do caminhão promove pe los resultados apurados um custo equivalente de 2295570ano para a empresa Uma eventual alter nativa de terceirização das atividades de transpor te deve ser avaliada pela comparação destes custos equivalentes e os desembolsos periódicos exigidos pelos serviços contratados Exemplo Determinar os fluxos de caixa constantes equiva lentes a partir da série de valores de caixa não uni formes conforme ilustração a seguir Considere uma taxa de juros de 16 ao ano r 500 800 PMT 205919FPV 16 7 PMT 2059 19 X 016 1 1167 PMT 205919 X 0247613 PMT 50988 107 Substituição de ativos A substituição referese basicamente à troca de ativos atualmente em uso equipamentos máquinas veículos etc considerados de vida finita por outros economicamente mais atraentes A decisão de subs I tituição pode ser justificada por inúmeras razões citandose altos custos de manutenção e operação obsolescência tecnológica perda de eficiência opera cional inadequação etc Como regra geral um ativo deve ser mantido en quanto produzir um valor presente dos benefícios de caixa maior que o valor presente de seus desembol sos operacionais custos O custo total periódico de um ativo é formado pela soma do custo anual do in vestimento e de seus custos de operação e manuten ção Este custo total tende a reduzirse com o pas sar do tempo porém até certo limite A partir deste ponto mínimo é esperado que o custo total do ativo comece a elevarse mantendo normalmente esta ten dência conforme for ficando mais velho Dessa ma neira o uso econômico de um ativo deve estenderse enquanto seu custo total estiver diminuindo de acor do com o ilustrado na Figura 103 Análise de Investimentos e Reposição de Ativos 171 Figura 105 Comportamento esperado dos custos Ilustrativamente admita um veículo utilitário cujo valor novo é de 4200000 O veículo é utilizado na distribuição de produtos de uma indústria alimentí cia e apresenta os seguintes valores esperados para os próximos cinco anos Para uma taxa de 12oo aa é desenvolvida a seguir uma avaliação da vida econômica do veículo 1 Investimento Bruto representa o custo equi valente anual do valor do bem 4200000 É obtido para cada ano considerado pela ex pressão 4200000 PMT x FPV 12 n 2 Valor de Revenda equivalente anual do valor residual do veículo É determinado pela ex pressão do montante FV ou seja FV PMT x FFV i n Valor de Revenda PMT x FFV 12 n 3 Custos Operacionais Q ano 1080000ano 2Q ano PV 1080000 1440000 112 1 122 2112245 PMT 2112245FPV 12 2 1249811 172 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 3º ano PV 1080000 1440000 1960000 112 1 122 1 123 3507334 PMT 3507334FPV 12 3 1460275 e assim por diante A coluna 5 demonstra o custo equivalente anual do veículo o qual atinge seu valor mínimo no segun do ano A decisão de manter o veículo por dois anos é a mais econômica para a empresa revelando a vida econômica ótima do ativo Exemplo Uma empresa está avaliando o melhor momento de venda de uma máquina A máquina foi adquirida há dois anos restando ainda mais três anos de vida física útil Os resultados operacionais anuais projeta dos para a máquina são os seguintes Benefícios de Caixa 7600000 4400000 1800000 Valor Re sidual 54 00 nulo O preço de venda da máquina no mercado é de 11300000 É esperada uma forte depreciação de seu valor pelo uso A taxa de atratividade conside rada para a decisão é de 15 aa Em que momento deve a máquina ser vendida Solução A decisão deve levar em conta os resultados de caixa atualizados da máquina para cada uma das possíveis alternativas de venda a Vender a Máquina Imediatamente PV 11300000 b Manter a Máquina por mais 1 Ano PV 7600000 5400000 115 115 11304350 c Manter a Máquina por mais 2 Anos PV 7600000 4400000 115 1 152 2300000 116748 60 1152 d Manter a Máquina por mais 3 Anos PV 7600000 4400000 115 1152 1800000 111192 60 1153 A opção economicamente mais atraente é a de manter a máquina por mais dois anos e depois ven dêla por 2300000 Essa decisão é a que apresenta o maior valor presente em excesso ao preço de venda imediato 1071 Cálculo do custo de manter um ativo usado Nas decisões de substituição é importante conhe cerse o custo de manter um ativo usado e comparar esse valor com o de adquirir um ativo novo Para ilustrar admita um ativo adquirido há três anos que apresenta um valor residual valor de ven da previsto ao final de sua vida útil de 1400000 Esse ativo tem mais sete anos de vida útil e um custo equivalente anual de operação de 3800000 Seu valor atual está estimado em 2000000 A taxa de desconto utilizada nessas decisões é de 12 aa a Determinar o custo equivalente anual desse ativo Solução Custo Equivalente do Investimento 2000000 PMT x FPV 12 7 PMT 2000000FPV 12 7 PMT 438240ano Valor Residual Equivalente Anual 1400000 PMT X FFV 12 7 PMT 138760ano Custo Total Equivalente 438240 138760 3800000 Custo Total Equivalente 4099480ano 1 I O cálculo do custo total pode também ser obti do pela expressão PMT 2000000FPV 12 7 1400000FFV 12 7 3800000 PMT 438240 138760 3800000 PMT 4099480ano b Admita que um fabricante ofereça à empresa um novo equipamento para substituição pelo valor de 11000000 e vida útil estimada de 10 anos O valor residual desse novo ativo é de 800000 e o custo anual de operação atin ge 2200000 Determinar o seu custo total equivalente Solução PMT 11000000FPV 12 10 800000FFV 12 10 2200000 PMT 1946830 45590 2200000 PMT 4101240ano O custo anual equivalente de substituir o ativo usado é maior que o custo de manter o ativo em ope ração justificandose o desinteresse econômico pela substituição O menor investimento e o maior valor residual do ativo usado compensaram o seu custo de operação mais elevado proporcionando um menor custo equivalente anual É importante destacar que o exemplo ilustrativo não considerou os efeitos fiscais sobre os resultados contábeis de alienação do bem fixo assim como so bre as diferenças de despesas operacionais e depre ciação A demonstração visou preferencialmente des tacar os cálculos de custo equivalente direcionados às decisões de substituição de ativos 1 O 72 Vidas diferentes nas decisões de substituição de ativos Para ilustrar os efeitos de diferentes vidas estima das dos ativos sobre as decisões de substituição ad mita que uma empresa esteja avaliando trocar duas máquinas velhas por uma nova com maior agrega ção tecnológica As informações básicas dos ativos são apresentadas a seguir Análise de Investimentos e Reposição de Ativos 173 Máquinas Usadas Valor Contábil Líquido descontada a depre ciação 9000000 Vida Útil Estimada 3 anos Custos Operacionais 45000000ano Não se prevê valor residual dessas máquinas ao final da vida útil Máquinas Novas Valor Total de Aquisição 58000000 Vida Útil Estimada 5 anos Custos Operacionais 250000ano A empresa adota a depreciação linear para seus ativos fixos A taxa de desconto para esta decisão de substituição é de 12 Pedese calcular a Custo equivalente anual das duas máquinas usadas Solução PMT 9000000FPV 12 3 45000000 PMT 3747140 45000000 48747140ano b Custo equivalente anual da máquina nova sem os efeitos fiscais Solução PMT 58000000FPV 12 5 5000000FFV 12 5 25000000 PMT 40302710ano c Comparação entre os custos equivalentes PMT PMT Máq Nova PMT Máq Usada PMT 40302710 48747140 8444430 O custo equivalente anual de adquirir uma má quina nova é 8444430 maior que o das duas máquinas usadas A decisão de substituição de duas máquinas an tigas por uma nova envolve no exemplo ilustrativo durações diferentes as máquinas usadas têm vida prevista de 3 anos e a nova de 5 anos Assim o custo de 48747140ano das máquinas usadas equivale a sua utilização por 3 anos e o custo de 40302710 da máquina nova equivale a 5 anos de duração 174 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Um enfoque geralmente usado para essa situação é o de admitir que o custo equivalente anual calcu lado para cada decisão se repita indeterminadamen te mantendose o uso das máquinas por um tempo indefinido Em outras palavras as opções de compra podem ser repetidas ao mesmo custo por um tempo bastante longo Mantida essa hipótese os valores po dem ser comparados e tomada a decisão de escolha da alternativa de mais baixo custo equivalente anual Uma limitação desse enfoque mais simplificado é a possibilidade de surgimento no futuro de um ma quinário mais eficiente bem diferente dos atuais tra zendo relevantes alterações nos fluxos de caixa da empresa Nesse caso de possível substituição futura dos ativos deve a empresa incorporar em seus cálcu los os novos resultados esperados 1073 Análise do momento da substituição Admita que uma empresa esteja avaliando a atra tividade de substituição de uma máquina usada por uma nova Se decidir manter a máquina atual irá gastar anualmente e incorrerá em custos crescentes para sua manutenção e reforma A máquina em uso tem uma vida útil estimada de quatro anos e suas es timativas de resultados e custos estão a seguir O preço efetivo de revenda de mercado da máqui na usada segue o valor residual previsto Considere por simplificação que não há Imposto de Renda A máquina nova é oferecida à empresa por 2550000 com vida útil prevista de oito anos São es perados gastos anuais de manutenção de 300000 durante toda a sua duração O valor residual ao final do 8º ano está estimado em 640000 Para um custo de oportunidade de 12 aa em que momento deve a empresa substituir a máquina usada Solução Custo Equivalente Anual da Máquina Nova Custo Equivalente Máquina PMT 2550000FPV 12 8 51332 Custo Equivalente Manutenção PMT 30000 Valor Residual PMT 640000FFV 12 8 5203 Custo Equivalente Anual 76129 Custo Equivalente da Máquina Usada Venda daqui a 1 ano PV0 1250000 830360 340000 112 810000 112 Custo Final do 1ºAno 830360 x 112 930000 Venda daqui a 2 anos 620000 PV1 810000 112 970710 440000 112 Custo ao Final do 2º Ano 9 70710 x 112 1087200 Venda daqui a 3 anos PV2 440000 890000 112 966790 300000 112 Custo ao Final do 3º Ano 966790 x 112 1082800 Venda daqui a 4 anos PV 3000 00 1300000 1460710 3 112 Custo ao Final do 4º Ano 1460710 x 112 1636000 Os custos de manter a máquina usada são crescen tes e superiores aos da máquina nova durante toda a vida estimada de quatro anos A recomendação é a de substituição imediata da máquina usada Exercícios resolvidos 1 Estão sendo avaliadas quatro propostas de inves timento cujas informações básicas são apresenta das a seguir T I Pedese a determinar a IRR e o NPV de cada projeto ad mitindo uma taxa de desconto mínima aceitá vel de 25 ao ano Indique com base nesse retorno exigido as propostas economicamente aceitáveis b se a taxa de desconto exigida se elevar para 35 quais propostas seriam aceitas Solução As propostas A e C com NPV negativos indi cam uma rentabilidade menor que a taxa mí nima aceitável As propostas B e D são as que apresentam atratividade econômica tanto pelo método da IRR IRR 25 como do NPV NPV O b Elevandose para 35 aa a taxa de desconto a ser aplicada aos fluxos de caixa somente a proposta D mantém a atratividade econômica promovendo uma taxa de rentabilidade IRR maior que a desejada 2 Certa alternativa de investimento requer um dis pêndio integral de capital de 15000000 estie mandose um retorno de 4500000 6000000 7000000 8000000 e 10000000 respec tivamente ao final de cada um dos próximos 5 anos Admitindose que os quatro primeiros fluxos de caixa possam ser reinvestidos até o prazo final de vida da alternativa às taxas de 28 26 24 e 22 respectivamente pedese determinar a IRR Análise de Investimentos e Reposição de Ativos 175 dessa operação considerando as diferentes taxas de reinvestimento Solução O montante acumulado dos fluxos de caixa ao fi nal do 5º ano considerandose as taxas de rein vestimentos desses valores atinge o I FV 54605052 I 4500000 6000000 7000000 8000000 10000000 2 3 4 5 anos FV 4500000 128 4 6000000 126 3 7000000 124 2 8000000 122 10000000 FV 12079596 12002256 10763200 9760000 10000000 FV 54605052 Logo a alternativa assume a seguinte configura ção 54605052 f o 15000000 54605052 15000000 X 1 Os 1 os 54605052 15000000 1 os 3640337 1 os 3640337 1 i 1295 i 0295 ou 295 ao ano r 5 Essa taxa de rentabilidade representa a taxa in terna de retorno da alternativa de investimento ajustada à remuneração prevista no reinvestimen to dos fluxos intermediários de caixa 176 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 3 Determinada empresa transportadora está ava liando a compra de um caminhão por 6000000 O veículo será usado durante 5 anos após o que prevêse um valor de revenda de 720000 A empresa estima ainda um custo anual de manu tenção combustível etc de 2400000 no pri meiro ano crescendo esse gasto aproximadamen te 10 ao ano Segundo avaliação da empresa são esperados benefícios líquidos de caixa gerados pelo cami nhão de 6000000 5600000 4800000 4000000 e 3600000 respectivamente nos próximos 5 anos 7 PV das Entradas Benefícios de Caixa f o 6000000 1 5600000 1 2 Para uma taxa de desconto de 12 ao ano de monstrar se é economicamente interessante a compra desse caminhão Solução Com base no método do NPV a aquisição do ca minhão nas condições apresentadas é atraente dado o seu resultado líquido atualizado ser po sitivo Em outras palavras a compra do veículo produz uma riqueza econômica ao investidor Ou seja 4800000 I 4000000 3600000 I 1 3 4 5 Pv 6000000 5600000 4800000 4000000 3600000 112 1122 1123 1124 1125 PV 5357143 4464286 3416545 2542072 2042737 PV 17822783 7 PV das Saídas de Caixa 720000 f o 11 21 31 51 6000000 2400000 2640000 2904000 3194400 3513840 PV 60000 OO 2400000 2640000 2904000 3194400 3513840 720000 112 1122 1123 1124 1125 1125 PV 6000000 2142857 2104592 2067010 2030100 1993847 408547 PV 16338406 408547 PV 15929860 A proposta é vantajosa Esta conclusão está implí cita no valor presente líquido positivo ou seja NPV 17822783 15929860 NPV 1892923 A rentabilidade oferecida pelo caminhão excede a taxa de desconto mínima aceitável 4 Uma empresa possui um equipamento em uso avaliado em 3400000 com vida útil estimada de 6 anos Os custos anuais de manutenção desse ativo atingem 390000ano Não há valor resi dual A direção da empresa está avaliando os custos de aquisição de um novo equipamento para substi tuir o usado O preço é de 4000000 e seus cus tos anuais de operação são de 500000 Tam bém não se prevê valor residual para esse novo ativo A vida útil estimada do novo equipamento é de 12 anos A empresa entende que ao adquirir o novo ativo imediatamente somente o fará ao final da vida útil do equipamento em uso Se você admitir que a alternativa de compra pos sa ser repetida indeterminadamente ao mesmo custo indique a decisão economicamente mais atraente manter o ativo atual ou adquirir o novo conforme valores descritos Admita um custo de oportunidade de 12 aa Solução Custo Equivalente de Comprar Novo Ativo PMT 4000000FPV 12 12 500000 1145750 Custo Equivalente do Ativo em Uso PMT 3400000FPV 12 6 390000 1216970 A aquisição do novo equipamento no momento atual é mais econômica apresenta menor custo equi valente anual Em verdade a empresa ao substituir o equipamento existente irá incorrer num custo de 1145750ano indeterminadamente Por outro lado ao protelar a decisão para o 6º ano final da vida útil do equipamento em uso assumirá custos de 1216970ano por 6 anos e a partir do 7º ano 1145750ano indeterminadamente Exercícios propostos 1 Pedese determinar a taxa interna de retorno dos investimentos com os seguintes fluxos de caixa anuais 2 Um imóvel é colocado a venda por 36000000 a vista ou em 7 prestações mensais nos seguin tes valores Análise de Investimentos e Reposição de Ativos 177 as duas primeiras parcelas de 5000000 as duas parcelas seguintes de 7000000 as três últimas parcelas de 8000000 Determinar o custo mensal desta operação ex presso pela taxa interna de retorno 3 Uma empresa contrata um financiamento de 2500000 para ser pago em 6 prestações trimes trais iguais e sucessivas no valor de 860000 cada Sabese que a primeira prestação será li quidada ao final do 9º mês dois trimestres de carência Determinar a IRR dessa operação de financiamento 4 Uma empresa leva quatro duplicatas para descon to junto a um banco nos valores de 2800000 6500000 4700000 e 8800000 vencíveis respectivamente em 17 28 34 e 53 dias O ban co credita a importância líquida de 21872000 na conta do cliente Determinar a taxa efetiva mensal de juros cobrada pelo banco 5 Considere dois projetos de investimento com os seguintes fluxos anuais de caixa a determinar a taxa interna de retorno de cada investimento b sendo de 10 aa a taxa de desconto su gerida calcular o valor presente líquido de cada investimento Indicar a alternativa que deve ser aceita 6 Abaixo são apresentados os NPV de quatro pro postas de investimento admitindose diferentes taxas de desconto 178 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Pedese a se a taxa de desconto mínima aceitável atin gir a 16 indicar as alternativas de investi mento que podem ser aceitas b qual a alternativa que apresenta a maior taxa de rentabilidade periódica c qual a IRR da alternativa D d o projeto C é mais rentável apresenta maior IRR que o projeto D e a IRR do projeto B é maior ou menor que 20 f a IRR do projeto A é menor que 8 7 Suponha os seguintes fluxos anuais de caixa de um investimento Determinar os NPVs dos projetos corresponden tes às taxas de desconto de 0 5 10 15 e 20 aa 8 Admita um ativo que tenha sido adquirido por 14000000 Este ativo tem vida útil estimada de 7 anos e valor residual de 1500000 ao final da vida Os custos operacionais do ativo atingem a 2000000 no 1Q ano crescendo à taxa arit mética constante de 1000000ano Para uma taxa de juro de 12 a a determinar o custo equivalente anual deste ativo 9 Abaixo são apresentados os fluxos de caixa de três projetos de investimentos Diante dessas in formações pedese a determinar a taxa interna de retorno de cada proposta b admitindose uma taxa de retorno requerida de 25 ao ano calcular o valor presente lí quido de cada proposta c se os projetos forem independentes indicar os projetos selecionados d se os projetos são mutuamente excludentes somente um deles pode ser selecionado discuta sobre aquele que você recomendaria 10 Uma empresa está avaliando duas propostas de investimento cujas informações são apresentadas a seguir A taxa de retorno exigida pelos investidores é de 30 aa Pedese a determinar o valor presente líquido e a taxa interna de retorno de cada projeto b admitindo que os projetos possam ser im plementados ao mesmo tempo projetos in dependentes você recomendaria os dois investimentos E na hipótese de serem mu tuamente excludentes qual deles seria eco nomicamente mais atraente c qual a taxa de desconto anual que determina o mesmo valor presente líquido para os dois projetos intersecção de Fischer 1 11 Com base no investimento abaixo pedese de terminar a valor presente líquido NPV b taxa interna de retorno IRR c índice de lucratividade IL d taxa de rentabilidade IR A taxa de retorno exigida do investimento é de 15 aa 12 Adiante são apresentados os fluxos de caixa dos investimentos W e Z Pedese determinar a taxa de desconto que torna os NPV dos investimentos iguais intersecção de Fischer 13 Uma empresa deve a um banco três pagamentos vencíveis em 60 90 e 100 dias respectivamente de 470000 640000 e 810000 A dívida foi contraída com uma taxa de juro mensal de 18 A empresa procura o banco para substituir sua dívida por seis pagamentos mensais e iguais ven cendo o primeiro em 90 dias e os demais sequen cialmente O banco define o valor de cada pres tação em 343220 Determinar o custo efetivo mensal cobrado pelo banco na renegociação da dívida 14 Uma determinada compra é efetuada mediante pagamento de 220000 no ato e mais três pa gamentos no valor de 306000 cada vencíveis em 2 3 e 5 meses O valor da compra a vista é de 1100000 Determinar o custo efetivo mensal considerado no financiamento 15 Uma empresa está avaliando o seguinte projeto de investimento Análise de Investimentos e Reposição de Ativos 179 A empresa avalia como elevar a rentabilidade do investimento para seu padrão de retorno de 15 ao ano Pedese calcular a IRR do investimento admitindo que possa reinvestir os fluxos inter mediários de caixa a a própria IRR apurada no investimento b taxa padrão de retorno da empresa de 15 aa 16 Considere os seguintes fluxos de caixa de dois investimentos Pedese determinar a a IRR de cada investimento b com base no método da IRR a alternativa que se apresenta mais rentável c na avaliação pelo método da IRR a caracte rística ignorada dos investimentos d a IRR incrementai dos investimentos e se a taxa de desconto apropriada para os in vestimentos for de 12 projeto que deve ser escolhido 17 Uma máquina é adquirida por 4500000 e não se prevê valor residual O fabricante dá garantia por um ano A partir do segundo ano o compra dor deve proceder à manutenção da máquina sendo previsto um desembolso de 600000 Estimase que este custo cresce à taxa de 50 ao ano Outros custos de operar a máquina são de 320000 por ano devendo crescer de acor do com uma progressão aritmética de razão 200000 Para uma taxa de juros de 10 aa pedese de monstrar o custo total equivalente anual da má quina admitindose uma vida útil de 8 anos 18 Uma indústria está operando uma máquina há 3 anos restando ainda uma vida útil prevista de 4 anos O custo equivalente anual desta máquina está estimado em 671160 A empresa recebe uma oferta para substituir sua máquina por uma mais moderna O valor da má quina nova é de 2800000 tendo um valor 180 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto residual de 420000 A vida útil estimada é de 10 anos e os custos anuais de manutenção e operação somam 100000 Para uma taxa de retorno mínima de 12 aa pedese determinar se a empresa deve efetuar a substituição da máquina usada 19 Um equipamento industrial tem ainda previsto 5 anos de vida útil Seu valor atual de venda é de 2500000 Os valores residuais e os cus tos operacionais para cada um dos próximos 5 anos são apresentados a seguir Pedese determi nar o custo total equivalente anual recuperação do investimento e operacional para cada ano de sua vida útil restante admitindo uma taxa de desconto de 14 aa 20 Uma empresa está avaliando a aquisição de uma máquina que será utilizada no processo de pro dução A máquina custa 7300000 tem uma vida útil de 10 anos e um valor residual previsto de 1240000 Os custos anuais de manutenção da máquina somam 1100000 Para operar a máquina é necessário somente um empregado com salário de 2400hora A máquina tem ca pacidade de produção de 16 unidades por hora A taxa de desconto utilizada para esta decisão é de 12 aa a desenvolver a formulação do custo equiva lente anual total da máquina b qual o custo equivalente da máquina para uma quantidade de produção de 33200 uni dades 21 Uma empresa está avaliando a aquisição de uma nova máquina por 160000000 A estimativa é que essa máquina eleve os fluxos de caixa da empresa em 42000000 por ano ao final de cada um dos próximos 5 anos A vida útil estima da da máquina é de 5 anos sem previsão de va lor residual A taxa de desconto adequada para o investimento é de 125 aa Sabese ainda que ao final dos anos 2 e 4 serão necessários inves timentos de 50000 na máquina para manu tenção Pedese avaliar a atratividade econômica em se adquirir a nova máquina 22 Considere os seguintes rendimentos de dois títu los Título A negociado no mercado por 7398000 com prazo de 3 anos O título não prevê pa gamento de juros durante sua vida de 3 anos devolvendo somente o seu valor nominal de 100000 ao final do 3º ano Título B negociado no mercado por 9750000 Este título paga juros trimestrais de 962000 durante sua duração de 3 anos Pedese a determinar a taxa de retorno IRR anual de cada título b admita que os fluxos de caixa do título B possam ser reinvestidos pela taxa de juro de 248 at Determinar a nova taxa interna de retorno IRR do título B Respostas 1 IRRA 1065 aa IRR3 890 aa IRRc 1070 aa 2 IRR 708 am 3 IRR 1465 at 4 0111 ad 339 am 5 a IRRA 551 aa IRR3 1391 aa b NPVA 205758 NPV3 474899 indicado 6 a Somente B b B c 12 d Sim C apresenta maior IRR e Maior f Sim 7 NPV 0 300000 NPV 5 122226 NPV 10 26324 NPV 15 151909 NPV 20 259195 T I 8 7470440 9 a IRRA 3078 aa IRR8 3307 aa IRRc 3945 aa b NPVA 623712 NPV8 971232 NPVc 341328 c Todos d Projeto C de maior NPV 10 a NPV1 1277084 NPV11 1508589 IRR1 4559 aa IRR11 4197 aa b Se independentes os dois projetos são reco mendados Se mutuamente excludentes o projeto mais atraente é o de maior valor pre sente líquido projeto II c 3495 aa 11 NPV 180735 IRR 202 aa IL 11506 IR 1506 12 1614 aa 13 225 am 14 128 am 15 a 2239 aa b 1976 aa 16 a IRRx 2886 aa IRRw 1551 aa b Investimento X com a maior IRR c Diferença de escala dos investimentos Análise de Investimentos e Reposição de Ativos 181 d IRR incrementai 1343 e NPVx 492 NPVw 762 17 CUSTOS EQUIVALENTES ANUAIS 18 PMT Máq Velha 671160 PMT Máq Nova 571620 19 A máquina nova tem menor custo equivalente anual 1 25000 x FPV 145 Valor residual X FFV 145 20 a PMT 2321324 15Q b PMT 7301324 21 Não é interessante NPV 17528222 IRR 794 aa 22 a IRRA 1057 aa IRR8 1124 aa b IRR8 1078 aa I 11 Matemática Financeira e Títulos de Renda Fixa Os títulos são denominados de renda fixa quando se conhece a forma de rendimentos oferecidos São assim conhecidos por fixarem os rendimentos des de o momento inicial da operação Esses títulos são emitidos geralmente por instituições financeiras so ciedades por ações e governos e negociados com os poupadores em geral Alguns exemplos de títulos ou papéis de renda fixa bastante negociados no mercado financeiro são Os títulos prefixados caracterizamse pela revela ção antecipada do valor total da remuneração ofe recida ao investidor Ou seja no momento da apli cação o poupador toma conhecimento da taxa total nominal de juro a ser aplicada sobre o capital in vestido os certificados e recibos de depósitos bancários CDB e RDB debêntures e letras de câmbio Esses papéis podem ser negociados de diversas formas principalmente no que conceme à formação das taxas de juros prazos periodicidade dos rendi mentos e tributação Basicamente temse as seguintes modalidades de operação envolvendo títulos de renda fixa as quais são tratadas neste item Títulos pósfixados costumam definir previamente a taxa real de juros e o indexador de correção mone tária a ser aplicado sobre o capital investido O valor do resgate no entanto somente será conhecido no momento da liquidação da operação em função do T i I I l comportamento verificado no índice de correção se lecionado 11 L Certificadosrecibos de depósitos bancários CDBRDB Os certificadosrecibos de depósitos bancários são emitidos por instituições financeiras visando captar recursos para suas operações de empréstimos A diferença básica entre os títulos é que o CDB pode ser negociado no mercado mediante endosso e o RDB é intransferível Sobre os rendimentos desses títulos de renda fixa incide imposto de renda geralmente pago quando de seu resgate Em algumas situações o imposto é pago na fonte isto é no momento da realização do negó cio O critério de tributação temse alterado bastante no decorrer do tempo não permitindo que se defina uma regra assim como uma alíquota geral e perma nente para essas operações De qualquer forma a incidência do imposto de renda nas negociações com títulos de renda fixa de termina a necessidade de conhecer os rendimentos e taxas brutos apurados antes do IR e líquidos esta belecidos após o cálculo do IR A taxa de juros dos papéis de renda fixa é geral mente definida com base na taxa anual efetiva ca pitalizada por juros compostos A atribuição desta taxa para intervalos de tempo menores é processada por meio da taxa equivalente composta conforme es tudada no segundo capítulo 1111 CDBRDB com taxas prefixadas Uma taxa prefixada incorpora uma expectativa de inflação mais os juros reais da operação Existe juro real evidentemente se o indexador escolhido refletir adequadamente a evolução dos índices de preços da economia Em alguns momentos da economia brasi leira verificamse situações em que o indexador da aplicação situase abaixo da taxa efetiva da inflação consumindo o rendimento real da operação Dessa forma a taxa prefixada é uma taxa nomi nal que incorpora a priori a correção monetária e o juro real O imposto de renda incidente nessas operações conforme comentado tem sofrido nos últimos anos Matemática Financeira e Títulos de Renda Fixa 183 diversas alterações em sua metodologia de cálculo e alíquotas prejudicando a definição de uma fórmula de cálculo genérica Para as operações com títulos de renda fixa a tributação será tratada de duas manei ras a IR Antecipado a incidência da alíquota do IR se reflete sobre o total dos rendimentos nomi nais da operação O imposto é retido na fonte e cobrado juntamente com a aplicação finan ceira b IR Final o cálculo do IR se verifica identica mente sobre o rendimento total da operação sendo pago no entanto quando de seu resgate A simbologia a ser adotada nas operações com tí tulos de renda fixa apresenta algumas novidades em relação à que vem sendo adotada em juros compos tos principalmente pela interferência da tributação sobre os resultados O tratamento a ser dispensado a estas operações desde que não haja uma orientação explícita segue o lado do investidor Assim temse 1112 Taxa prefixada com rendimento final Essa modalidade de operação indica que os en cargos são acumulados capitalizados e resgatados somente ao final do prazo de aplicação Graficamente pode ser representada segundo seja a forma de tributação IR antecipado Vr de Aplicação PV IR FV PV X 1 ib IR T X PV X ib FV Vr de Resgate n 184 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto IR final Vr de Aplicação PV FV IR Vr de Resgate n O exemplo a seguir é desenvolvido de maneira a ilustrar detalhadamente o processo de cálculo dos re sultados de uma operação com títulos de renda fixa Exemplo Suponha uma aplicação de 2700000 efetuada em título de renda fixa pelo prazo de um mês A re muneração do papel é calculada à taxa bruta prefixa da de 30 ao ano Com base nessas informações pedese determi nar a rendimentos brutos de aplicação antes do IR b rendimento nominal e real líquido para cada critério de tributação considerado acima Ad mita uma alíquota de 9 a ser aplicada sobre o rendimento nominal antecipado e de 15 sobre o rendimento final A correção monetária inflação do período atinge a 11 Solução a Rendimentos Brutos da Aplicação Rentabilidade Nominal Bruta ib ib 30 aa ib 11 30 1 221 am Valor Bruto do Resgate 2700000 X 10221 2759670 Valor da Aplicação Rendimento Bruto Nominal 2700000 59670 Rentabilidade Real Bruta rb 1 00221 rb 1 1098 am 10011 ou r 27596 70 1 1098 am b 2700000 X 1011 Valor Bruto do Resgate Valor Corrigido da Aplicação 2700000 X 1011 Rendimento Bruto Real b Rendimentos Líquidos da Aplicação IR Antecipado 2759670 2729700 29970 Sendo de 9 a alíquota do IR retido na fonte incidente sobre o rendimento total da aplica ção temse IR T X PV X ib IR 9 X 2700000 X 221 5370 Considerando esse tributo pago no momento da realização do negócio o total aplicado no título se eleva de 2700000 para 27053 70 Logo a taxa de rentabilidade líquida nominal iL totaliza FV iL 1 PV IR 2759670 1 201 am lL 27000005370 Por outro lado a rentabilidade real líquida rL atinge FV r 1 L PV IR X 1 CM r L 2759670 1 2700000 5370 X 10011 O 90 am ou 1 iL 1 1CM 1 O 0201 1 O 90 am 1 0011 IR Final Para uma alíquota de 15 de IR cal culada sobre o rendimento total e pago no res gate temse Valor Bruto de Resgate Valor de Aplicação 2759670 2700000 Rendimento Bruto IR 15 X 59670 Rendimento Líquido 59670 8950 50720 Aplicação Nominal 2700000 Corrigido 2729700 i FV IR 1 2750720 1 188 am L PV nominal 2729700 r FV IR 1 2750720 1 077am L PV corrigido 2729700 ou 1 iL r 1 L 1 CM 1 00188 1 o 77 am 1 0011 1113 Extensões ao cálculo da taxa líquida Muitas vezes é importante determinarse a taxa líquida de um título de renda fixa diretamente de sua taxa bruta divulgada Este cálculo deve ser imediato de forma que se incorpore no processo de decisão de investir nestes papéis Para o caso de incidência do imposto de renda na fonte o qual é calculado antecipadamente sobre o rendimento nominal da operação temse Sabese que Valor de aplicação PV IR Valor de Resgate FV PV x 1 ib IR T X PV X ib IR PV X T X ib Logo Valor de Aplicação PV PV X T X ib Valor de Aplicação PV x 1 T x ib Substituindo esses valores na expressão da taxa líquida nominal iL temse Matemática Financeira e Títulos de Renda Fixa 185 Como o IR é pago por ocasião de resgate tem se o seguinte fluxo de caixa Valor Líquido de Resgate 275967 o 8950 PV1ib 1 PV1 T X ib Utilizandose o exemplo ilustrativo anterior che gase ao mesmo percentual de rentabilidade apurado na hipótese de IR antecipado isto é ib 221 oo am T 9 Substituindo i L 1 00221 1 2 010 loam 1 ÜÜ9 X 00221 Assim pela utilização da expressão direta do iL desenvolvida podese determinar a taxa líquida de retorno de uma aplicação em título de renda fixa a partir da taxa bruta divulgada Evidentemente a fór mula permite também chegarse à taxa bruta sendo conhecida a taxa líquida Em qualquer caso a expressão de cálculo é váli da somente para as operações em que a tributação é realizada na fonte e incidente sobre o valor nominal dos rendimentos conforme definido Para as operações em que o imposto de renda in cidente sobre o rendimento nominal é pago por oca sião do resgate do título a expressão de cálculo da taxa líquida é bastante simplificada apurandose o IR diretamente sobre a taxa bruta isto é Reportandose novamente ao exemplo ilustrativo anterior temse 186 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto iL 221 x 1 O 15 188 am A rentabilidade real líquida do IR por seu lado atinge r 1 00188 1 L 10011 r L O 77 am 1114 Taxa prefixada com rendimento periódico Esse tipo de operação indica que os rendimentos são pagos periodicamente e o principal resgatado ao final do período da aplicação Identicamente ao ren dimento final a taxa de juros considerada em cada período de rendimento é apurada pela equivalente composta Graficamente essa modalidade de operação pode ser apresentada da maneira seguinte sendo J o valor monetário dos rendimentos periódicos 1 IR antecipado 1 1 1 1 Vr de Resgate FV LI LI LI 1 1 2 Vr de aplicação PV IR IR final 1IR 1IR I I 2 Vr de aplicação PV Conforme foi colocado considerando que os juros são geralmente definidos em taxas anuais os rendi mentos são determinados pela taxa equivalente com posta do período assumindo a seguinte expressão básica onde ib taxa nominal prefixada bruta equi q valente de juros a ser aplicada a cada período de rendimentos O imposto de renda na fonte incide sobre o total dos rendimentos Logo onde ib taxa nominal prefixada bruta de ju q ros b e equivalente q ao período de rendimento 3 n 1 n Valor de Resgate PV 1 IR 1IR 1IR I I J 3 n 1 n n número de períodos de rendimento Por outro lado o IR final é pago somente por oca sião do resgate e calculado sobre o rendimento total Assim para cada período temse o valor do IR apura do sobre o ganho do período J ou seja Exemplos 1 Admita uma aplicação de 2500000 num título de renda fixa pelo prazo de um ano com rendi mentos trimestrais equivalentes à taxa prefixada de 18 ao ano Os rendimentos nominais são tri butados à alíquota de 9 e pagos por ocasião da aplicação Determinar o valor total da aplicação o rendimento trimestral e a rentabilidade líquida auferida pelo poupador l Solução ib 18 aa Taxa Bruta Equivalente Trimestral ibq 1 018 1 422 at IR T x PV x ib x n q Matemática Financeira e Títulos de Renda Fixa 187 IR 009 X 2500000 X 00422 X 4 37980 Rendimento Trimestral J PV x ib q J 2500000 X 00422 105500 Graficamente 2500000 o5LJoo o5l5oo o5oo oyoo 2500000 37980 Corretamente a rentabilidade nominal líquida periódica obtida pelo investidor é determinada pela taxa interna de retorno do fluxo financeiro da aplicação 2537980 105500 105500 1 iL 1 iL2 105500 2605500 1 iL3 1 iL4 iL 38 at 161 aa 2 No exemplo anterior admita que o imposto de renda é pago sobre o rendimento nominal no mo mento do resgate de cada parcela Nesta moda lidade a alíquota do IR é de 15 Determinar a rentabilidade nominal líquida desta operação Solução Os juros rendimentos líquidos de cada período atingem Rendimento Nominal Bruto Trimestral 2500000 X 422 IR s rendimento trimestral 105500 X 15oo Rendimento Nominal Líquido 105500 15825 89675 Graficamente pode ser representado o seguinte fluxo de caixa da aplicação 2500000 89675 I 89675 I 89675 89675 I I 2500000 2 3 4 trimestres Mediante a taxa interna de retorno IRR desse fluxo financeiro chegase à taxa de rentabilidade líquida nominal trimestral ou seja 2500000 89675 89675 1 iL 1 iL2 89675 2589675 1 iL3 1 iL4 Resolvendose com o auxílio de uma máquina de calcular programável IRR iL 359 at 1514 aa 1115 CDBRDB com taxas pósfixadas As denominadas taxas pósfixadas são aquelas cuja correção monetária acompanha a evolução de um índice de preços definido para a operação Em consequência a taxa nominal de juros somente é co nhecida a posteriori e não antecipadamente confor me é característica das taxas prefixadas A remuneração pósfixada é composta de um in dexador que expressa a correção monetária ou infla ção apurada segundo uma estimativa para o prazo da aplicação mais uma taxa real de juros a qual incide sobre o valor aplicado corrigido O imposto de renda será considerado sobre os rendimentos reais e pagos por ocasião do resgate A apuração dos resultados de uma operação pós fixada é bastante simples principalmente em razão de identificar dissociadamente a taxa de correção monetária e a taxa real de juros 188 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Por exemplo admita uma aplicação com rendi mento de 18 ao ano mais correção monetária O percentual de 18 por incidir sobre o valor corrigido do investimento representa o ganho real da operação ou seja a taxa real de juros isenta dos efeitos inflacionários Logo rb 18 aa Como a alíquota do IR incide sobre o rendimento real o retorno líquido é obtido Admitindo uma alíquota de IR de 30 aplicada sobre o ganho real temse r L 180fo X 1 030 126 Exemplo 1 Suponha uma aplicação de 1600000 pelo pra zo de 70 dias à taxa real de juros de 16 aa mais correção monetária a ser definida com base no in dexador oficial de inflação A variação nos índices oficiais de preços no período atingiu a 363 A alíquota de imposto de renda é de 315 30 de IR Federal e 5 sobre 30 de imposto estadual e incidente sobre os juros reais Determinar os rendimentos nominais e reais da operação Solução Rendimento Real rb 16 aa equivalendo a rb 116 701360 1 293 p70 dias r L 293 1 0315 201 Ofo p70 dias Rendimento Nominal realiza os rendimentos reais prometidos se a inflação futura não exceder a correção embutida na taxa Se a inflação do período de aplicação ultrapassa o percen tual considerado na taxa nominal os juros reais são consumidos podendo inclusive produzir uma renta bilidade negativa Evidentemente se a inflação fica abaixo do previsto a remuneração real cresce acima do prefixado A taxa pósfixada por seu lado acompanha a evo lução do índice de preços selecionado para corrigir monetariamente o capital aplicado definindo os ju ros integralmente em termos de taxa real Esta mo dalidade desde que o índice de correção selecionado seja representativo da efetiva inflação da economia não oferece risco de gerar uma remuneração negati va em termos reais Assim a decisão entre uma taxa pré e outra pós fixada é dependente do comportamento da inflação Por exemplo a escolha entre aplicar um capital com rendimentos nominais prefixados de 34 ao ano ou a juros reais de 14 ao ano mais correção mone tária pósfixada é definida pela expectativa de infla ção futura Comparativamente aos rendimentos pósfixados a taxa prefixada incorpora em seu percentual uma estimativa de inflação de 175 isto é I Inflação 1 i 1 1r I 1 034 1 134 1 175 1 014 114 Assim se no período de aplicação I 175 interessa aplicar em taxa prefixada pois a correção embutida na taxa é maior que a inflação verificada I 175 é indiferente Ambas modalidades ib 1 00293 X 1 00363 1 oferecem a mesma remuneração 667 p70 dias iL 1 00201 X 1 00363 1 571 Ofo p70 dias 111 6 Confronto entre a taxa prefixada e a taxa pósfixada de juros Conforme foi discutido a taxa prefixada de juros é definida em termos nominais incorporando uma expectativa futura de inflação A operação somente I 175 a melhor alternativa é a operação pósfixada pois os rendimentos acompanham a evolução da infla ção no período 111 7 Desmembramento da taxa prefixada Foi demonstrado ao longo deste capítulo que uma taxa prefixada de juro incorpora duas grandes par tes a Taxa real r b Taxa esperada de inflação I A taxa real por seu lado embute em sua forma ção um juro mínimo praticado na economia deriomi Taxa Nominal Bruta Ub Taxa Nominal Líquida ÍL Ao se admitir que a taxa pura da economia brasi leira seja a remuneração real de 05 ao mês paga pela Caderneta de Poupança é possível desmembrar uma taxa prefixada em todas as suas partes identifi cando os vários rendimentos oferecidos Assim ilustrativamente admita que um investidor esteja avaliando uma aplicação em um título de ren Observe que a aplicação está oferecendo uma re muneração efetiva pelo risco de 061 oo ao mês Em outras palavras a taxa real de 111 oo am excede uma alternativa sem risco em 061 oo am denotando o prêmio pelo risco pago pelo título 111 8 Diferentes variações dos índices de preços Muitas vezes o índice de correção monetária de uma dívida ou mesmo de uma aplicação financeira pode destoar bastante dos índices de preços médios utilizados pelo mercado provocando reflexos sobre o resultado real da operação Matemática Financeira e Títulos de Renda Fixa 189 nado de taxa pura livre de risco e uma remunera ção pelo risco envolvido na operação Desta maneira temse a seguinte composição de uma taxa prefixada Taxa Real r Taxa de Inflação Taxa Pura Isenta de Risco Taxa Pura Isenta de Risco da fixa que remunera à taxa prefixada de 345 ao ano O prazo da aplicação é de um mês A taxa de inflação projetada pelo mercado para os próximos 30 dias é de 10 e a alíquota vigente de imposto de renda é de 15 incidente sobre o rendi mento total da aplicação Com base nessas informações podese decompor a taxa prefixada da forma seguinte Isso é mais comum principalmente em financia mentos atrelados a uma moeda estrangeira cujos percentuais de variação cambial vêm sempre acom panhar os índices de preços da economia Ilustrativamente admita um financiamento em dólar US cobrando uma taxa de juro real de 15 ao ano mais variação cambial Se o percentual de variação cambial no período acompanhar exatamente a inflação da economia é correto concluir que a operação apresenta um custo real de 15 ao ano conforme a taxa de juro cobra da No entanto se a variação cambial for diferente dos índices gerais de preços da economia o resultado 190 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto desta diferença deve ser incorporado no cômputo do juro real da operação Por exemplo se a taxa da inflação atingir 20 e a variação cambial 17 no período da operação o custo real do financiamento reduzse por esta sobre avaliação da moeda nacional sendo calculado pela expressão Custo Nominal i 1 O 15 x 1 O 17 1 3455 aa Custo Real r com base na inflação 1 o 3455 1 12 130 lO aa 1 020 inferior à taxa de 15 cobrada acima da variação do dólar Ao contrário se a inflação da economia for de so mente 12 no período e mantendose em 17 a va riação cambial o custo real se eleva para Custo Real r com base na inflação 1 03455 1 20 130 lO aa 1 012 pela incorporação de uma maior desvalorização da moeda nacional Exemplos 1 Suponha uma aplicação em título de renda fixa CDB que paga uma taxa nominal de 165 am 2 Uma aplicação de 3700000 é efetuada num tí tulo de renda fixa emitido pelo prazo de 35 dias à taxa bruta efetiva de 375 ao ano Determinar os rendimentos e a taxa de retorno nominais des ta aplicação Admita que a alíquota de IR seja de 20 incidente sobre o total dos rendimentos e paga no resgate Solução Taxa Bruta de retorno A alíquota de IR incidente sobre os rendimentos prefixados é de 20 Admitindo que a inflação no período tenha atingido a 06 pedese determi nar a taxas nominal e real brutas antes do IR b taxa real líquida do IR c considerando que seja de 05 am a taxa li vre de risco da economia apurar a taxa de ris co embutida na remuneração do CDB Solução a taxa nominal e real brutas taxa nominal ib 165 am taxa real rb 10165 1 1044 am 1006 b taxa real líquida do IR taxa nominal líquida do IR iL 165 1 020 132 am taxa real líquida do IR rL 1 0132 1 1006 0716 am c taxa de risco taxa de risco 1 00716 1 0215 am 1005 Dessa forma a taxa bruta de 165 am do CDB considerada no exemplo pode ser decomposta ib 375 aa equivalendo a ib 1375351360 1 314 p35 dias Taxa Líquida de retorno iL 314 x 1 020 251 p35 dias Demonstração dos Rendimentos Valor Bruto de Resgate 3700000 X 10314 Capital Aplicado 3816180 3700000 Rendimentos Brutos Imposto de Renda 20 X 116180 Rendimentos Líquidos Valor Líquido de Resgate 3816180 23236 Graficamente 3700000 Aplicação 251 p35 dias 2 15 am 116180 23236 92944 3792944 Resgate 3792944 J 35 dias 3 Uma pessoa aplicou 1600000 num título de renda fixa com rendimentos pósfixados para ser resgatado ao final de 69 dias A remuneração do título é calculada com base numa taxa de juros de 16 ao ano mais correção monetária O índi ce de preços adotado como indexador da opera ção variou de 1951 para 2073 no período Sendo de 315 a alíquota de IR incidente sobre os ren dimentos reais e paga no resgate determinar os rendimentos e as taxas reais mensais de retorno bruta e líquida Solução a Rentabilidade Real Bruta rb 16 aa equivalendo a rb 116 691360 1 289 p69 dias 124 am b Rentabilidade Real Líquida rL 289 x 1 0315 198 p69 dias c Rendimentos Reais Brutos Valor de Resgate 16000 00 X 207 3 X 1951 X 10289 Capital Aplicado Corrigido 16000 00 X 207 3 1951 Rendimentos Reais Brutos d Rendimentos Reais Líquidos Rendimentos Brutos IR 315 1749183 1700051 49132 49132 15477 Matemática Financeira e Títulos de Renda Fixa 191 Rendimentos Reais Líquidos 33655 4 Admita que um banco esteja pagando 165 aa de juros na colocação de um título de renda fixa de sua emissão Apurar a taxa efetiva equivalen te bruta e líquida antes e após o IR para os pra zos seguintes Considere uma alíquota de IR de 15 incidente sobre os rendimentos nominais e descontada ao final do prazo da operação a 1 mês b 7 meses c 37 dias d 100 dias Solução a rb 11651112 1 128 am rL 128 x 1 015 1088 am b rb 1165 7112 1 932 p7 meses rL 932 x 1 015 792 p7 meses c rb 1165371360 1 158 p37 dias rL 158 x 1 015 134 p37 dias d rb 1165 1001360 433 p100 dias rL 433 x 1 015 368 p100 dias 111 9 Custo de captação com recolhimento compulsório Admita que uma instituição financeira tenha co locado no mercado um CDB de sua emissão pagando a taxa efetiva de 153 aa O prazo de colocação do título é de 63 dias O Banco Central para formação de um depósito compulsório recolhe 8 do princi pal captado pela instituição financeira pelo prazo de emissão do título liberando o valor retido somente quando de sua liquidação Durante todo o período da operação o Banco Central não paga qualquer remu neração sobre o valor retido Pedese determinar a Rentabilidade mensal efetiva e líquida do IR do aplicador do título Considere uma alíquota de 20 incidindo sobre a remuneração Solução Rentabilidade Bruta ib 153 aa ib 1153 631360 1 252 p 63 dias ib 1153 301360 1 119 am 192 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Rentabilidade Líquida iL 119 x 1 020 095 am b Valor líquido de resgate do aplicador admitindo que tenha investido 20000000 Solução Valor Bruto 20000000 x 10252 Principal Aplicado Remuneração Bruta IR s Rendimentos 20 Remuneração Líquida Valor do Resgate 20000000 403200 20504000 20000000 504000 100800 403200 20403200 c Custo Efetivo do CDB para a Instituição Financeira emitente Solução C E C 20504000 8 X 20000000 1 2 740 I 63 d usto 1et1vo l 10 p 1as 20000000 8oo X 20000000 i 10274 30163 1 129 am d Suponha que existam 42 dias úteis no pra zo de emissão do título de 63 dias corridos Transformar o custo efetivo de captação da instituição financeira em taxa over mensal Solução Taxa Efetiva i 274 p 63 dias Taxa over 102741142 1 006438 adu Dias corridos do mês Taxa over mensal x 30 dias 193 amo A taxa efetiva de 274 para 63 dias corridos ou 193 amo é o custo mínimo pelo qual a institui ção financeira pode emprestar os recursos captados considerando o compulsório de 8 logo pode em prestar somente 92 para que iguale suas receitas com despesas Sobre esse custo é incluído um spread representando a margem de ganho exigida na ope ração 112 Debêntures As debêntures são títulos de longo prazo emitidos por companhias de capital aberto visando financiar investimentos de maior maturidade em ativos fixos e capital de giro Os rendimentos das debêntures são especificados em cada série lançada assim como as demais condi ções garantias prazo de vencimento prêmios etc Uma debênture é denominada simples quando res gatada exclusivamente em dinheiro no vencimento Quando o investidor puder optar por receber seu res gate em dinheiro ou em ações da empresa os títulos são classificados como conversíveis em ações Além dos juros normalmente pagos duas vezes por ano as debêntures podem remunerar os inves tidores com prêmios expressos em juros adicionais visando tornar o papel competitivo com as taxas vi gentes no mercado As debêntures podem ainda conter certas cláu sulas especiais como resgate antecipado dos títulos atualização monetária com base em índice geral de preços etc Em termos de garantia as debêntures são geral mente subordinadas indicando que o credor tem preferência no recebimento sobre os acionistas da empresa Exemplos 1 Admita que uma empresa tenha colocado 5000 debêntures no mercado no valor de 1000 cada uma O prazo de colocação desses títulos é de dois anos A remuneração prometida aos investidores é de juros nominais de 30 ao ano com pagamen to semestral O principal é pago por ocasião do resgate Sabese ainda que a colocação das debêntures so mente foi possível mediante um deságio de 8oo sobre o valor de emissão Pedese calcular o fluxo de caixa da operação e a taxa efetiva anual de juros Solução Valor Bruto da captação 5000 deb x 1000 Deságio 8 Valor Líquido Valor do resgate 5000000 Encargos semestrais 15oo X 5000000 750000 5000000 400000 4600000 Fluxo de caixa da empresa emitente tomado ra dos recursos 4600 000 t 2 3 I I 750 750 750 Taxa efetiva de juros 4600 750 1 i 1 i2 750 5750 1 i3 1 i4 Taxa efetiva i 1797 as ou 11797 2 1 3917 aa 4 semestres 1 750 5000 2 Admita que uma debênture com valor de resgate de 1000 esteja sendo negociada no mercado por 97230 O título paga ainda juros de 85 as e tem um prazo de resgate de dois anos De terminar a rentabilidade efetiva desse título Solução 100000 8500 8500 8500 8500 I I I I 2 3 4 semestres 97230 Matemática Financeira e Títulos de Renda Fixa 193 972 30 8500 8500 1 i 1 i2 8500 1085 00 1 i3 1 04 Resolvendose Rentabilidade efetiva i 936 as ou 10936 2 1 196 aa A rentabilidade efetiva deve refletir o deságio do título ganho de 100000 97230 2770 mais os pagamentos semestrais de juros de 8500 A medida da taxa interna de retorno calculada re presenta a taxa efetiva de juros oferecida pelo tí tulo até o vencimento 3 Suponha que no dia 1 º4X1 uma empresa tenha emitido e colocado 500000 debêntures no mer cado ao valor nominal de 100 UMC1 cada O pra zo de colocação desses títulos é de 2 anos ven cendo em 1 º4X3 A remuneração definida para essa captação é de juros de 20 ao ano sendo a correção monetá ria definida pela variação da UMC Os juros são pagos trimestralmente e calculados sobre o saldo devedor corrigido A correção monetária é acu mulada e paga por ocasião do resgate Sabese ainda que a colocação somente foi possível me diante um deságio de 8oo sobre o valor de emissão das debêntures Com base nessas informações pedese determi nar a valor líquido recebido pela empresa pela colo cação das debêntures b valor de resgate das debêntures em dinheiro c valor dos juros pagos trimestralmente d custo real efetivo dessa operação Solução a Valor Líquido Recebido na Colocação O valor líquido recebido pela empresa admitin dose a inexistência de outras despesas que geral mente ocorrem custos de lançamento comissões etc atinge 1 UMC unidade monetária de capital de poder aquisi tivo constante 194 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Valor Bruto da Captação 500000 deb x 100 UMC C Deságio 50000000 UMC X 8 Valor Líquido Recebido b Valor de Resgate 50000000 UMC c 4000000 46000000 UMC O valor de resgate é de 50000000 UMC sendo convertido em unidades monetárias de acordo com o valor da UMC na data d Custo Real Entrada de 46000000 recursos em UMC I o 11 21 31 N N Saída de w w w w w w recursos em UMC Vl Vl Vl o o o 46000000 2331750 2331750 1 i 1 i2 2331750 52331750 1 i3 1 os Resolvendo a expressão com auxílio de uma cal culadora apurase o custo efetivo real de 595 at equivalendo a 260 aa 4 Admita uma debênture que prevê pagamentos se mestrais de juros equivalente de 125 a a mais correção pelo IGPM O valor nominal do título é de 100000 sendo negociado no mercado a 96600 O prazo de emissão da debênture é de 18 meses e a variação do IGPM atinge respectiva mente a 24 20 e 19 em cada semestre Pedese determinar a rendimentos Uuros semestrais oferecidos pelo título b valor de resgate da debênture c taxa de rentabilidade semestral e anual do in vestidor Solução a Rendimentos Ouros semestrais juros 1 º sem 100000 X 1024 X 1125112 1 Principal corrigido Juros semestrais 41 N w w Vl o c Juros Trimestrais Os juros a serem pagos trimestralmente aos de benturistas são mensurados pela taxa equivalente trimestral de 20 ao ano ou seja Juros 50000000 UMC x 120 1 50000000 UMC X 0046635 2331 750 UMC 51 61 71 81 trimestres N N N Vl w w N w w w w w w Vl Vl Vl o o o Vl o Juros 1º sem 6212 Juros 2º sem 100000 x 1024 x 102 X 1125 112 1 Juros 2º sem 6336 Juros 3º sem 100000 x 1024 x 102 X 1019 X 1125 112 1 Juros 3º sem 6456 b Valor de resgate resgate 100000 x 1024 x 102 x 1019 resgate 106433 c Taxa de retorno 66 00 6212 6336 9 1 i 1 i2 6456 106433 1 i3 1 i3 IRRi 964 as equivale a 10964 2 1 2020 aa 113 Obrigações bônus As obrigações bônus são também títulos de ren da fixa de longo prazo emitidos por órgãos gover T I namentais ou empresas privadas visando financiar seus investimentos Os títulos conhecidos por zero coupon bond título de cupom zero não emitem cupons de juros sendo lançados no mercado com desconto Outros títulos costumam prever juros pagos aos investidores a cada semestre ocorrendo a amortização do principal no momento do resgate Outras formas de pagamentos de juro e principal podem também ocorrer porém com menor freqüência Os juros dos títulos que prevêem pagamentos pe riódicos são representados por cupons cujos percen tuais vigoram até o vencimento Os rendimentos são padronizados pelo mercado em taxas nominais ge ralmente expressos em taxa anual com capitalização semestral Assim para se obter a taxa de juro semes tral do título basta dividir a taxa anual por dois O título é adquirido no mercado pelo seu valor de face geralmente fixado em 100000 Este valor pode no entanto sofrer alterações determinadas pe las condições de mercado e saúde financeira da em presa emitente do título Nestas condições o título é negociado no mercado com ágio ou deságio em re lação a seu valor previsto no vencimento valor de face 1131 Zero Coupon Bond O zero coupon bond ou título de cupom zero é um título normalmente emitido sem cupom sendo negociado no mercado com desconto O zero coupon não prevê pagamento de juros oferecendo ao inves tidor somente o ganho pelo deságio valor de resga te valor pago pelo título Seu preço de negociação equivale ao valor presente de seu valor de face des contado a uma taxa de juro que reflete a expectativa de remuneração dos investidores Graficamente temse a seguinte representação de um título de cupom zero onde Matemática Financeira e Títulos de Renda Fixa 195 Cn Valor de resgate do título no vencimento também denominado de valor nominal ou valor de face P 0 Valor de negociação do título sendo obtido por K equivale a taxa de retorno exigida na aplica ção Por exemplo admita um título com vencimento para um ano e valor de face de 100000 A taxa de desconto do título é fixada em 9 aa O preço de negociação do título no mercado atin ge a 91743 ou seja Po Po Exemplo 10001 09 91743 Resgate 1000 J ano Admita que um governo tenha emitido um título de cupom zero pagando taxa de 11 a a O valor de face do título é fixado em 100000 a ser resgata do no momento do vencimento O prazo do título é de 3 anos Pedese determinar o fluxo de caixa do título Solução Para o investidor o fluxo de caixa apresentase da forma seguinte Investimento 100000 73119 1 11 3 Resgate 100000 3 anos A rentabilidade efetiva da operação atinge evi dentemente a taxa de 11 aa 196 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Se as taxas de mercado forem diferentes maio res ou menores da taxa de emissão do título seu valor de mercado alterase em relação ao preço de 73119 calculado com base no cupom de 11 a a taxa de emissão 1132 Relação entre prazo de emissão e taxa de desconto com o valor do título O valor de um título de cupom zero aproximase de seu valor de face à medida que se aproxima seu vencimento Para ilustrar admita um título com ma turidade de 10 anos e taxa de emissão de 8 O valor do título no vencimento é de 100000 O valor do título modificase aproximase de seu valor de face quanto mais próxima a data de venci mento Os cálculos a seguir demonstram este com portamento do valor do título em relação ao prazo de vencimento Apesar da tendência demonstrada os valores apu rados podem ser diferentes em função das alterações das taxas de juros de mercado A taxa de juro usado para descontar o fluxo de caixa e o valor do título apresentam uma relação proporcionalmente inversa Quando os juros sobem o valor do título cai ao contrário ocorrendo uma re dução na taxa de desconto verificase uma valoriza ção no preço do título A tabela a seguir ilustra o valor de um título com maturidade de 10 anos e valor de face de 100000 admitindo diferentes taxas de desconto O valor do título diminui à medida que se eleva a taxa de desconto Quanto maior o prazo transcorrido do título seu preço converge ao valor de face 1133 Títulos bônus com cupons Títulos com cupons oferecem geralmente juros periódicos semestrais e devolução do principal aplicado ao final do prazo de emissão Esses títulos são geralmente de longo prazo variando a maturida de de 5 a 30 anos Os juros dos cupons são pagos de acordo com a taxa prometida pelo título garantindo um determi nado fluxo de rendimentos ao aplicador Se o investidor aceitar os juros oferecidos pelo cupom o título é negociado por seu valor de face ou seja ao par Ocorrendo alterações nas taxas de juros o valor do título também sofre modificações sendo cotado com ágio ou deságio em relação a seu valor de face Um título é negociado com ágio quando o retorno oferecido cupom superar a remuneração exigida pelo investidor K O deságio ocorre uando o ives tidor exigir uma taxa de retorno ma1or que os JUros oferecidos pelo título Quando a remuneração reque rida pelo investidor for igual ao cupom dizse que o título é negociado ao par Em resumo temse ÁGIO Valor de negociação K cupom Valor de resgate AO PAR Valor de negociação K cupom Valor de resgate DESÁGIO Valor de negociação K cupom Valor de resgate 1134 Preço de mercado O preço de negociação do bônus no mercado é obtido pelo valor presente dos fluxos esperados de rendimentos descontados a uma taxa de atratividade requerida pelos investidores ou seja onde P 0 preço de mercado do título K taxa de retorno requerida pelo investidor do título Para ilustrar admita um título com maturidade de f2 anos valor de face de 100000 e cupom de 9 ao ano com pagamento semestral dos juros Se Matemática Financeira e Títulos de Renda Fixa 197 o investidor aceitar descontar este título à taxa do cupom de 9 seu preço de negociação será igual ao valor de face de 100000 Dizse nesse caso que o título é negociado ao par O fluxo de caixa do aplicador do título apresenta se 1 0000 valor de face 450 450 450 450 cupons f l f j 2 Po p 450 450 450 1045 o 1 045 1 0452 1 0453 1 04524 P0 10000 Se a taxa de desconto elevarse para 11 ao ano 55 as o título é negociado com deságio de 1315 em relação a seu valor de face p 450 450 450 10450 o 1 055 1 0552 1 0553 1 05524 P0 8685 Se a taxa de desconto reduzirse para 7 ao ano 35 as o preço de negociação do título será superior a seu valor de face oferecendo um ágio de 1606 ou seja p 450 450 450 10450 o 1 035 1 0352 1 0353 1 03524 P0 11606 Exemplo Admita uma obrigação com valor de face de 1000 com maturidade de seis anos A remuneração prometida são juros semestrais de 4 Se os investi dores aceitarem descontar esse título somente à taxa de 10 ao ano calcular seu preço de mercado Calcular também o preço de mercado do título se a taxa de desconto se elevar para 13 ao ano Solução Taxa de desconto 10 ao ano 3 24 semestres p 4000 4000 4000 104000 o 1 os 1 052 1 053 1 0512 P0 9114 Taxa de desconto 13 ao ano p 4000 4000 4000 104000 o 1 065 1 0652 1 0653 1 06512 P0 79603 1135 Yield to Maturity YTM A yield to maturity YTM reflete o rendimento yield do título de renda fixa até seu vencimento maturity Essa medida de retorno admite o pres suposto de reinvestimento dos fluxos intermediários de caixa O cálculo da YTM leva em conta o valor de nego ciação do título no mercado preço de compra seu valor de resgate o prazo e os rendimentos juros dos cupons A formulação básica é onde P 0 preço corrente de negociação do título Cl C2 Cn juros periódicos representados pe los cupons previstos para cada pe ríodo Pn valor de resgate valor de face do título 198 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto YTM yield to maturity Rentabilidade da obriga ção de longo prazo se retida até sua data de vencimento Representa em outras pa lavras a taxa de desconto que iguala os benefícios de caixa Uuros e resgate com o preço de negociação da obrigação Exemplo Considere uma obrigação com maturidade de quatro anos que paga juros semestrais proporcio nais à taxa de 10 ao ano Seu valor de face é de 100000 e o preço de negociação de mercado é de 96875 Determinar a rentabilidade efetiva YTM dessa obrigação Solução Os fluxos de caixa dessa obrigação são represen tados PN 100000 valor de face C1 5000 C2 5000 C3 5000 Cs 500 O cupons r 1 ll j 2 96875 Os rendimentos dos cupons são de 5 ao semes tre equivalendo a 5 x 100000 5000semestre A YTM é a taxa de juros que iguala numa mesma data entradas com saídas de caixa taxa interna de retorno ou seja 968 75 5000 5000 1 YTM 1 YTM2 5000 1050 00 1 YTM3 1 YTM 8 YTM 549 as 549 x 2 1098 aa 1136 YTM e IRR A YTM é geralmente expressa como uma taxa no minal anual Por exemplo ao se definir em 90 aa a YTM de um título admitese que a taxa de retorno equivale a 45 as 90 2 sem A taxa interna de retorno IRR por outro lado é normalmente definida como uma taxa efetiva de juros Por exemplo uma YTM de 10 reflete uma taxa nominal de 5 as Ao se transformar a YTM em IRR temse IRR 1 005 2 1 1025 aa Exercícios 1 Transformar as YTMs a seguir em taxa interna de retorno IRR anual 3 8 semestres a YTM 70 aa b YTM 90 aa Solução a IRR 1 0035 2 1 712 aa b IRR 1 0045 2 1 920 aa 2 Um título público federal tem sua rentabilidade efetiva anual expressa na IRR de 118 Expres sar esta taxa em YTM Solução IRR 118 aa 1118112 1 5736 as YTM 5736 x 2 1147 aa 1137 Relação entre valor do título e taxa de desconto Os títulos de renda fixa assim como os de renda variável ações depois de lançados primariamente são negociados pelos investidores no mercado secun dário Os preços dos títulos de renda fixa são defini dos como conseqüência das forças de oferta e pro cura sofrendo alterações de forma inversa à taxa de juros de mercado Desta forma quanto maior o ren dimento exigido da aplicação ou seja mais elevada se apresentar as taxas de juros de mercado menor o preço de negociação do título ao contrário reduzin dose os juros verificase uma valorização do preço do título Como o principal e os rendimentos Guros pro metidos pelo título são previamente estabelecidos o preço de negociação define a sua taxa de rendimento efetiva A Figura abaixo ilustra a relação preçoretor no de um título de renda fixa Preço Taxa de Juro Em decorrência do aumento dos juros os pre ços dos títulos sofreram desvalorização no mercado Conforme aumenta a taxa de juro o preço do título diminui qualquer que seja a maturidade A variação mais significativa no valor do título ocorre no entan to em títulos de maior maturidade Observe na co luna de variação que para um título de um ano de prazo a queda no seu preço de mercado diante de aumentos nas taxas de juros é bem mais discreta se comparada com a de 5 ou 10 anos Se os juros subi rem de 8 para 14 aa por exemplo o preço do título de prazo de um ano cai de 100000 para 94737 o título de 5 anos reduzse para 79402 e o de 10 anos produz queda ainda maior atingindo o preço de 68703 114 Tributação vigente das aplicações de renda fixa A atual legislação tributária brasileira prevê es sencialmente dois tipos de impostos incidentes sobre Matemática Financeira e Títulos de Renda Fixa 199 Observe que o comportamento desta relação não segue uma tendência linear ou seja não é uma linha reta assumindo na prática uma forma convexa É im portante verificar ainda que a variação nos preços do título em decorrência de modificações nas taxas de juros ocorre a taxas decrescentes Por exemplo diante de uma elevação nos juros de mercado os tí tulos de renda fixa apresentam valores cada vez me nores assumindo porém um comportamento decres cente Os títulos de renda fixa de longo prazo apresen tam maior volatilidade diante de variações nas ta xas de juros oferecendo maior risco aos investido res Para ilustrar são apresentados a seguir os preços de mercado de três títulos com diferentes prazos de vencimento Cada título possui valor nominal de 100000 e paga anualmente juros de 8 os rendimentos auferidos nas aplicações com títulos de renda fixa Imposto de Renda Imposto sobre Operações Financeiras IOF 1141 Imposto de Renda IR O fato gerador do Imposto de Renda é o valor de resgate montante do título O imposto tem como base de cálculo a diferença positiva entre o valor do capital aplicado e o valor do resgate subtraindose quando se verificar a incidência o valor do IOE O Imposto de Renda é cobrado do aplicador na fonte e o seu recolhimento é de responsabilidade da institui ção financeira As atuais alíquotas de IR reduzem conforme se eleva o prazo da aplicação indo desde 225 para aplicações de curto prazo até 180 dias até 150 para prazos acima de 720 dias A tabela a seguir apresenta as alíquotas vigentes de Imposto de Renda 200 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto de 181 a 360 dias 2000 acima de 720 dias 1500 1142 Imposto sobre Operações Financeiras IOF A alíquota de IR para títulos de renda fixa é de 20 sobre os rendimentos totais 2 A taxa bruta de um CDB está fixada em 17 ao mês A alíquota de IR incidente sobre os rendi mentos nominais atinge 20 Capitalizar a taxa líquida desse CDB para um ano 3 Em 82 dias um CDB rendeu 612 antes do IR A alíquota do IR é de 20 Apurar a taxa líquida mensal e anual equivalentes 4 A taxa efetiva paga por um CDB é de 19 am o IOF incide também sobre 0 valor do rendimen Para um mês de 30 dias transformar essa taxa to auferido na aplicação financeira A principal di ferença é que o imposto somente é devido quando o resgate é feito antes que a aplicação complete 30 dias A seguir é apresentada a tabela vigente do IOE Exercícios propostos 1 Admita que um banco esteja pagando 178 ao ano de juros efetivos na colocação de CDB de sua emissão Apurar a taxa efetiva equivalen te composta bruta e líquida antes e após o IR para a 1 mês b 5 meses c 39 dias d 103 dias em linear 5 Um título é emitido pelo valor de 10000 e res gatado por 11200 ao final de um semestre Determinar a taxa de rentabilidade mensal líqui da desse título admitindo a alíquota de 20 de IR pago por ocasião do resgate b alíquota de 9 de IR na fonte pago no mo mento da aplicação 6 Um título prefixado é emitido pelo prazo de seis meses pagando juros nominais de 95 as Para um investidor que deseja obter um ganho real de 10 am qual deve ser o valor máximo de inflação no semestre 7 Um título de renda fixa está sendo negociado à taxa prefixada bruta de 21 am o IR é de 20 calculado sobre os rendimentos nominais e pagos no resgate e é de 09 am a inflação es timada do período Determinar a rentabilidade nominal líquida do IR b rentabilidade real líquida do IR c remuneração pelo risco embutida na taxa real admitindo uma taxa pura livre de ris co de 05 am 8 Admita uma carteira constituída de três títulos de renda fixa conforme demonstrados abaixo Pedese determinar o valor presente dessa car teira 9 Admita um título com valor de face de 1000 que paga cupom de juros semestrais proporcio nais a 10 aa A taxa de retorno exigida pelos investidores é de 12 aa Determinar o valor de negociação do título que apresenta um prazo de resgate de quatro anos 10 Uma obrigação de longo prazo paga cupom de 12 aa com rendimentos proporcionais semes trais A maturidade do título é de 10 anos O preço de negociação do título no mercado é de 101520 e seu valor de face é de 1000 Deter minar a rentabilidade efetiva YTM desse título 11 Considere um título de valor de resgate de 1000 e maturidade de oito anos O título paga juros de 75 as Calcular o valor de negocia ção preço de mercado do título admitindo as seguintes taxas de retorno exigidas pelos inves tidores a 6 as b 9 as 12 Uma debênture no valor de 10000 UMC com 3 anos de prazo é emitida e negociada em deter minada data com deságio de 6 Os juros são pagos semestralmente pela taxa equivalente a 18 ao ano e o principal corrigido é devolvido integralmente ao final do período Sabese ainda que as várias despesas de emissão e lançamento dos títulos atingem 12 de seu valor nominal Elabore uma planilha demonstrando os vários fluxos de pagamentos desta operação e calcu le a rentabilidade real efetiva quadrimestral e anual 13 Em determinada data uma empresa emi te 35000 debêntures de valor nominal de 100000 cada O prazo de emissão é de um ano sendo os títulos não conversíveis em ações As debêntures foram subscritas 60 dias após a sua emissão sendo o seu valor nominal atuali zado mensalmente pela variação nos valores da UMC O preço a ser pago na subscrição é defini do pelo valor nominal do título corrigido mone tariamente até o momento da subscrição A taxa de juros estabelecida para a operação é de 20 ao ano sendo calculada sobre o valor nominal corrigido Os juros são pagos mensal mente aos debenturistas e a correção monetária acumulada e resgatada ao final As variações mensais nas UMC são as seguintes Matemática Financeira e Títulos de Renda Fixa 201 Mês 123 Mês 509 Mês 920 Mês 2 18 Mês 6 12 Mês 1024 Mês 3 21 Mês 7 13 Mês 11 13 Mês 4 17 Mês 8 16 Mês 12 11 As variações dos dois primeiros meses foram efe tivamente ocorridas Para os demais meses são estimativas Pedese calcular a valor de subscrição b valor mensal dos juros para o primeiro se mestre c valor de resgate d custo real do período 14 A taxa efetiva prefixada de um CDB é de 234 am A alíquota de IR na fonte incidente sobre os rendimentos atinge a 20 e a inflação do pe ríodo está prevista em O 78 Para uma taxa li vre de risco taxa pura de juros de OSoo am determinar a taxa de risco embutida na remune ração do CDB 15 Um título público está sendo negociado com um deságio de 34 em relação ao seu valor de face O título foi emitido pagando juros semestrais de Soo e tem ainda uma duração de três anos até o seu vencimento Calcular a rentabilidade efetiva oferecida ao investidor deste título 16 Determinar o preço de negociação de um título com valor de face de 1000 e maturidade de 4 anos O título paga cupom semestral de 6 Ad mita que a taxa de juro de mercado seja de a 15 aa 75 as b 10 aa 50 as 17 Admita um título com valor de face de 1000 maturidade de 2 anos e cupom igual a 13 aa com pagamento semestral de juros Este título está negociado no mercado atualmente por 101927 Determinar o retorno auferido pelo investidor 18 Um banco capta recursos por 50 dias através da colocação de um CDB pagando uma taxa de juro efetiva de 274 aa Sobre o principal devere colher 10 a título de depósito compulsório no Banco Central pelo prazo da operação Não está previsto nenhum rendimento sobre este compul sório Calcular o custo efetivo mensal e anual de capta ção do banco 202 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 19 Um banco coloca um CDB de 100000 de sua emissão no mercado por 61 dias pagando a taxa efetiva de 318 aa O Banco Central retém 10oo do valor principal captado a título de de pósito compulsório sem remuneração Estes re cursos permanecem retidos pelo prazo da emis são do CDB retornando à instituição financeira quando da liquidação da operação Pedese a determinar a rentabilidade mensal efetiva do aplicador considerando a incidência de IR de 20oo sobre toda a remuneração b apurar o valor de resgate do aplicador c calcular o custo efetivo anual do CDB para o banco d existindo 40 dias úteis no prazo do CDB de 61 dias corridos transformar a taxa efetiva do custo de captação do banco em taxa over mensal 20 Uma pessoa aplicou 20000000 em um título de renda fixa com resgate para 120 dias A taxa de juros da aplicação foi de 22 am Após 50 dias da aplicação o investidor necessitando de dinheiro decidiu negociar o título no mercado sendo a taxa de juros vigente de 16 am Pede se determinar a valor de resgate do título se o investidor manter sua posição até seu vencimento 120 dias b valor recebido pelo investidor ao negociar o título após 50 dias da aplicação c a taxa de juros mensal efetivamente ganha pelo investidor na operação 21 Um investidor aplicou recursos em um título pósfixado à taxa over de 26 am com capi talização diária e correção pelo IGPX índice ge ral de preços selecionado para a operação O aplicador paga no resgate do título imposto de renda de 20 calculado sobre o ganho nominal obtido na aplicação No momento da aplicação deve ser pago um imposto sobre movimentação financeira de 04 incidente sobre o valor apli cado Sabese que o prazo da operação foi de três me ses e neste período são computados 63 dias úteis O índice de preços considerado como adequado para melhor mensurar a inflação da economia é o IGPM Os valores dos índices de preços nas datas de aplicação e resgate são apresentados a seguir Determinar a rentabilidade real e líquida do Im posto de Renda em percentual ao mês obtida pelo investidor 22 Um título com valor nominal de 1000000 tem um prazo de vencimento de 4 anos e paga cupom semestral proporcional a 11 oo a a O títu lo é resgatado ao final do prazo por seu valor ao par Pedese determinar o preço de compra do título sabendo que a taxa de juros de mercado é de 13oo aa 65 as 23 Um título de valor nominal de 100000 e res gatável daqui a três anos paga cupons semestrais de 4oo Calcular o valor de compra do título ad mitindo um rendimento desejado de 12oo aa 6 as 24 Um título com valor nominal de 100000 está sendo negociado no mercado secundário de ren da fixa por 96530 O título tem um prazo de vencimento de dois anos e paga cupons semes trais proporcionais a 10oo aa Determinar a ren tabilidade nominal e efetiva anual desse título 25 Um investidor avalia a compra de um título de valor nominal de 5000000 que paga cupons semestrais proporcionais a 9oo aa O prazo de resgate do título é de 6 anos a se o investidor desejar um rendimento no minal de 12oo aa capitalização semes tral qual o preço máximo que deve pagar pelo título b se o investidor vender este título após 2 anos a uma pessoa que deseja ganhar 11 oo aa 55 as determinar o preço pago 26 Uma debênture com prazo de emissão de 2 anos é negociada por 97280 O seu valor nominal está fixado em 100000 O título paga corre ção pelo IGPM e juros semestrais equivalentes a 134 aa A variação do IGPM para cada um dos semestres de emissão da debênture é a se guinte 1 ºsemestre 24 2º semestre 3º semestre 4º semestre Pedese determinar 22 22 20 a taxa de juros equivalente semestral b rendimentos juros semestrais c valor de resgate do título d taxa de rentabilidade semestral e anual 27 Um investidor adquire uma debênture de 12 me ses com deságio de 45 sobre o valor nominal de 100000 O título paga juros de 130 aa mais variação do IGPM Sendo de 26 e 23 respectivamente a variação monetária de cada semestre pedese determinar a taxa de retorno semestral e anual obtida pelo investidor 28 Uma debênture com prazo de 6 meses é nego ciada por 99280 sendo o valor nominal de 100000 O título paga juro de 122 a a mais variação do IGPM Sendo de 215 a correção monetária do período pedese determinar a taxa de rentabilidade mensal e semestral do in vestidor Respostas 1 a 137 am 110 am b 706 p 5 meses 565 p 5 meses c 179 p 39 dias 143 p 39 dias 13 Solução a Valor de Subscrição Matemática Financeira e Títulos de Renda Fixa 203 d 480 p 103 dias 384 p 103 dias 2 176 aa 3 176 am 233 aa 4 188 am 5 a 154 am b 172 am 6 315 as 7 a 168 am b 077 am c 027 am 8 5076052 9 93790 10 587 as 11 a 115159 b 87531 12 Valor Líquido Recebido pelo Emitente Valor Bruto da Emissão Deságio 6 C Despesas de Emissão e Lançamento 10000 UMC 600 120 9280 UMC Valor de Resgate 10000 UMC Juros Semestrais 86278 UMC Custo Real Efetivo 103 as ou 216 aa Valor de subscrição 35000 deb x 100000 x 1023 x 1018 3644949000 Considerando os 60 dias entre o momento da emissão dos títulos e o da subscrição o valor nominal é cor rigido pela variação da UMC verificada no período b Valor Mensal dos Juros c Valor de Resgate O resgate é fixado pelo valor nominal corrigido da debênture isto é 204 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Variação da UMC 1023 X 1018 X 1021 X 1017 X 1009 X 1012 X 1013 X 1016 X 102 X 1024 x 1014 x 1011 12156 ou 2156 Valor de Resgate 35000 deb x 100000 x 12156 4254600000 d Não se verificando outras despesas de emissão e colocação deságios prêmios etc o custo efetivo real é a própria taxa de juros considerada na operação ou seja 20 ao ano Risco 058 24 Rentabilidade Nominal 12 aa 1366 as 2919 aa Rentabilidade Efetiva 1236 aa a 91214 25 a 4371212 b 106463 b 4683272 YTM 594 as 1224 aa 26 a 649 as i 226 am b 1 ºsemestre 6645 i 308 aa 2º semestre 6791 a i1 186 am 3º semestre 6941 b Valor de resgate 1038318 4º semestre 7080 c i 3578 aa i 258 am c resgate 109094 d Over 389 am d i 967 as a FV120 dias 21818937 i 2027 aa b FV50 dias 21025594 27 i 1153 as c i 3046 am i 2438 aa i 218 am 28 i 899 as Preço de Compra 939112 i 144 am Preço de Compra 90165 I 12 Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 1 Os sistemas de amortização são desenvolvidos ba sicamente para operações de empréstimos e financia mentos de longo prazo envolvendo desembolsos pe riódicos do principal e encargos financeiros Existem diversas maneiras de se amortizar uma dívida devendo as condições de cada operação esta rem estabelecidas em contrato firmado entre o cre dor mutuante e o devedor mutuário Uma característica fundamental dos sistemas de amortização a serem estudados neste capítulo é a uti lização exclusiva do critério de juros compostos in cidindo os juros exclusivamente sobre o saldo deve dor montante apurado em período imediatamente anterior Para cada sistema de amortização é construída uma planilha financeira a qual relaciona dentro de certa padronização os diversos fluxos de pagamen tos e recebimentos São consideradas também modalidades de paga mento com e sem carência conforme estudadas em 1 O capítulo é em grande parte uma condensação do tra balho Sistemas de Amortizações de Empréstimos e Finan ciamentos elaborado pelo autor e publicado no Boletim de Temática Contábil do IOB n 12 abr 1984 capítulos anteriores Na carência não há pagamen to do principal sendo pagos somente os juros Even tualmente os juros podem ser capitalizados durante o prazo de carência O capítulo trata dos seguintes sistemas de amor tização a Sistema de Amortização Constante SAC b Sistema de Prestação Constante SPC tam bém conhecido por Sistema de Amortização Francês SAF c Sistema de Amortização Misto SAM d Sistema de Amortização Americano SAA e Sistema de Amortizações Variáveis Parcelas intermediárias 121 Definições básicas Os sistemas de amortização de empréstimos e fi nanciamentos tratam basicamente da forma pela qual o principal e os encargos financeiros são resti tuídos ao credor do capital Antes do estudo desses vários sistemas é impor tante que sejam definidos os principais termos em 206 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto pregados nas operações de empréstimos e financia mentos Encargos Despesas Financeiros Repre sentam os juros da operação caracterizandose como custo para o devedor e retorno para o credor Os encargos financeiros podem ser prefixados ou pósfixados O que distingue essas duas modalida des é a correção indexação da dívida em função de uma expectativa prefixação ou verificação pos terior pósfixação do comportamento de determi nado indexador Em outras palavras nas operações pósfixadas há um desmembramento dos encargos financeiros em juros e correção monetária ou variação cambial no caso da dívida ser expressa em moeda estrangeira que vier a se verificar no futuro e nas prefixadas es tipulase uma taxa única a qual incorpora eviden temente uma expectativa inflacionária para todo o horizonte de tempo Assim para uma operação pósfixada a taxa de juros contratada é a taxa definida como real isto é aquela situada acima do índice de inflação verificado no período Além do encargo real da taxa de juros as opera ções pósfixadas preveem também a correção mone tária ou variação cambial do saldo devedor da dívi da o que representa normalmente a recuperação da perda de poder aquisitivo desvalorização perante a inflação da parte do capital emprestado e ainda não restituído Nas operações prefixadas os encargos financeiros são medidos por uma única taxa a qual engloba os juros exigidos pelo emprestador e a expectativa in flacionária correção monetária para o período de vigência Amortização A amortização referese exclu sivamente ao pagamento do principal capital em prestado o qual é efetuado geralmente mediante parcelas periódicas mensais trimestrais etc Al guns poucos tipos de empréstimos permitem que o capital emprestado seja amortizado por meio de um único pagamento ao final do período Essa situação é descrita no denominado Sistema de Amortização Americano a ser estudado mais adiante neste capí tulo Saldo Devedor Representa o valor do prin cipal da dívida em determinado momento após a dedução do valor já pago ao credor a título de amor tização Prestação É composto do valor da amortiza ção mais os encargos financeiros devidos em deter minado período de tempo Assim Prestação Amortização Encargos Financeiros Carência Muitas operações de empréstimos e financiamentos preveem um diferimento na data convencional do início dos pagamentos Por exem plo ao se tomar um empréstimo por 4 anos a ser restituído em prestações trimestrais o primeiro pa gamento ocorrerá normalmente três meses um tri mestre após a liberação dos recursos vencendose as demais ao final de cada um dos trimestres subse quentes Pode no entanto ocorrer um diferimento carência no pagamento da primeira prestação ini ciandose por exemplo 9 meses após o recebimen to do capital emprestado Neste caso dizse que a carência corresponde a dois trimestres ou seja ela equivale ao prazo verificado entre a data convencio nal de início de pagamento final do primeiro trimes tre e a do final do 9º mês É importante acrescentar ainda que a carência significa a postergação só do principal não sendo in cluídos necessariamente os juros Os encargos finan ceiros podem dependendo das condições contratuais estabelecidas serem pagos ou não durante a carên cia É mais comum o pagamento dos juros durante o período de carência Na hipótese de se decidir pela carência de juros os mesmos são capitalizados e pa gos junto com a primeira parcela de amortização do principal ou distribuídos para as várias datas pactua das de pagamento Exemplo Ilustrativo Geral Visando ilustrar os principais sistemas de amortização normalmen te adotados no mercado financeiro admita de uma maneira geral um empréstimo com as seguintes con dições básicas Valor do Empréstimo 10000000 Prazo da Operação 5 anos Taxa de Juros 30 ao ano efetiva 122 Sistema de amortização constante O Sistema de Amortização Constante SAC como o próprio nome indica tem como característi ca básica serem as amortizações do principal sempre iguais ou constantes em todo o prazo da operação O valor da amortização é facilmente obtido median te a divisão do capital emprestado pelo número de prestações Os juros por incidirem sobre o saldo devedor cujo montante decresce após o pagamento de cada amortização assumem valores decrescentes nos pe ríodos Em consequência do comportamento da amorti zação e dos juros as prestações periódicas e sucessi vas do SAC são decrescentes em progressão aritmé tica Admita que o empréstimo de 10000000 des crito no Exemplo Geral deva ser pago dentro de um prazo de 5 anos em 10 prestações semestrais Des considerando inicialmente a existência de um prazo de carência podese elaborar a seguinte planilha fi nanceira para a operação de empréstimo Quadro 121 SAC sem carência Conforme foi comentado o SAC determina que a restituição do principal capital emprestado seja efetuada em parcelas iguais Assim o valor de cada amortização constante devida semestralmente é calculado pela simples divisão entre o principal 10000000 e o número fixado de prestações 10 se mestres ou seja Valor do Empréstimo Amortização NQ de Prestações 10000000 10 1000000semestre Os pagamentos desses valores determinam como é natural decréscimos iguais e constantes no saldo devedor em cada um dos períodos ocasionando ain Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 207 da reduções nos valores semestrais dos juros e das prestações Para o cálculo dos juros trabalhouse como é mais comum nessas operações de crédito de médio e longo prazos com a taxa equivalente composta As sim para uma taxa nominal de 30 ao ano confor me considerada no Exemplo Ilustrativo Geral a taxa equivalente semestral atinge Taxa Equivalente Semestral de 30 aa 130 1 140175 as Os juros por incidirem sobre o saldo devedor imediatamente anterior apresentam valores aritme ticamente decrescentes conforme são apurados na penúltima coluna do Quadro 121 Para o final do primeiro semestre os encargos financeiros somam 140175 x 10000000 1401750 para o fi nal do segundo semestre 140175 x 9000000 1261580 para o final do terceiro semestre 140175 x 8000000 1121400 e assim por diante Somandose para cada período o valor da amorti zação do principal com os respectivos encargos finan ceiros temse o valor da prestação semestral do finan ciamento Assim para o primeiro semestre a prestação atinge 1000000 1401750 2401750 para o segundo semestre 1000000 1261580 2261580 e assim sucessivamente Pode ser observado uma vez mais que a diminui ção de 140170 no valor dos juros em cada perío do é explicada pelo fato de as amortizações fixas reduzirem o saldo devedor da dívida base de cálcu lo dos juros semestralmente em 1000000 Esta diminuição provoca em consequência uma redução nos juros equivalente 14017 x 1000000 140170 1221 Expressões de cálculo do SAC São desenvolvidas a seguir expressões genéricas de cálculo de cada parcela da planilha do sistema de amortização constante Amortização AMORT os valores são sempre iguais e obtidos por 208 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto onde PV principal valor do financiamento n número de prestações Logo PV Amort1 Amort2 Amort3 n Amortn PV Amort1 Amort2 Amort3 Amortn Saldo Devedor SD é decrescente em PA progressão aritmética pelo valor constante da amortização Logo a redução periódica do SD é PVn Juros J pela redução constante do saldo de vedor os juros diminuem linearmente ao longo do tempo comportandose como uma PA decrescente O valor periódico da redução é Pn x i sendo i a taxa de juros As expressões de cálculo dos juros para cada pe ríodo são Jl PV X i J2 PV pJ x i J PVn 1 2 X L n J 2 PV x n 1 x i n PV PV J PV XL 3 n n J3 PV 2 v x i J3 PVxn2PV X i n J3 PVn 2 X i n J 3 PV x n 2 x i n e assim por diante Para um período qualquer t temse Jt Pv PV PV PV x i n n n J pv t1xPV X L t n l PV x n t 1 x PV Jt X L n Por exemplo na ilustração geral calcular o valor dos juros para o período t 7 j 7 10000000 X 10 7 1 X 0140175 10 J7 1000000 X 4 X 0140175 J7 560700 Prestação PMT é a soma da amortização com os juros isto é PMT Amort J PV PV PMT x n t 1 x L PMT PV x I n t I x i n Por exemplo calcular no exemplo ilustrativo geral o valor da prestação no 5º semestre PMT IOOOOOOO X I 10 5 1 X 5 10 X 0140175 PMT5 1000000 X 1 6 X OI40I75 PMT5 I000000 X I84I05 I841050 1222 SAC com carência Conforme foi comentado a ilustração desenvolvi da não previu a existência de prazo de carência para a amortização do empréstimo Ao se supor uma ca rência de 2 anos contada a partir do final do pri meiro semestre por exemplo três situações podem ocorrer a os juros são pagos durante a carência b os juros são capitalizados e pagos totalmente quando do vencimento da primeira amortiza ção I c os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor gerando um fluxo de amortizações de maior valor Os Quadros 122 123 e 124 apresentados a se guir ilustram essas situações O Quadro 122 demonstra uma situação em que os juros são pagos durante a carência estipulada As sim ao final dos quatro primeiros semestres a pres Quadro 122 SAC com Carência 2 anos e Pagamento dos Juros Quadro 123 SAC com Carência 2 anos e Capitalização dos Juros Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 209 tação constituída unicamente dos encargos finan ceiros atinge 1401750 ou seja 140175 x 10000000 A partir do quinto semestre tendo sido encerrada a carência de 2 anos C 4 semestres inicia se a amortização devolução do principal empres tado sendo o fluxo de prestações deste momento em diante idêntico ao desenvolvido anteriormente no Quadro 121 210 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Quadro 124 SAC com Carência 2 anos com Juros Capitalizados e Acrescidos ao Saldo Devedor O Quadro 123 ilustra o plano de amortização da dívida na hipótese dos juros não serem pagos duran te a carência Neste caso os encargos são capitaliza dos segundo o critério de juros compostos e devidos integralmente quando do vencimento da primeira parcela de amortização Assim ao final do primeiro semestre o saldo devedor acrescido dos juros de 140175 atinge 11401750 isto é 10000000 x 1140175 Ao final do segundo semestre de forma idênti ca são calculados os juros de 140175 sobre o sal do devedor anterior de 11401750 e acrescidos ao mesmo gerando um novo saldo devedor atualizado de 12999990 11401750 x 1140175 Seguindo o mesmo raciocínio no terceiro semestre o saldo devedor atinge 14822260 12999990 x 1140175 e no quarto período 16900000 14822260 X 1140175 No quinto semestre o saldo devedor é novamente corrigido por 140175 atingindo o montante de 19268920 No entanto de acordo com as condições estabelecidas para o financiamento neste semestre iniciase o pagamento das amortizações periódicas 1000000semestre sendo liquidado também o montante capitalizado dos juros o qual atinge 9268920 ou seja Saldo Devedor Capitalizado pelos juros durante a carência 5Qsemestre 19268920 Valor do Financiamento 10000000 Juros 9268920 A partir desse semestre o esquema de cálculos da planilha financeira é idêntico ao apresentado ante riormente no Quadro 121 O Quadro 124 por outro lado prevê uma situa ção em que os juros não pagos durante a carência são capitalizados e distribuídos uniformemente no fluxo de amortização do financiamento a partir do quin to semestre De maneira contrária à situação descri ta no Quadro 123 os encargos financeiros totais da carência Guros semestrais capitalizados durante a carência não são pagos quando do vencimento da primeira parcela de amortização Estes valores são capitalizados e acrescidos ao principal produzindo novas parcelas semestrais de amortização Dessa forma no quinto semestre quando do término da carência o saldo devedor somado ao montante capitalizado de juros atinge conforme está demonstrado acima 16900000 As parce las semestrais de amortização totalizam portanto 1690000 1690000010 Os valores dos juros e das prestações referentes aos demais semestres são apurados seguindo a metodologia de cálculo apre sentada para o SAC É interessante notar ainda que nas três hipóteses de carência consideradas o valor total dos pagamen tos semestrais prestações difere bastante Na ilus tração contida no Quadro 122 o total das prestações atinge 23316650 no Quadro 123 este valor sobe para 25576830 e no Quadro 124 o total atinge 29929270 Na realidade essas diferenças não estão efetiva mente significando elevações no custo relativo da dí vida O que ocorre é um maior prazo na restituição do capital emprestado o que determina maiores va lores bsolutos de juros Ao se calcular a taxa interna de retorno que mede com maior rigor o custo efeti vo do empréstimo para as três ilustrações sugeridas chegase evidentemente a 140175 as ou 30 aa o que indica que o custo da operação não é al terado apesar de os encargos financeiros assumirem valores monetários diferentes ao longo do tempo 123 Sistema de prestação constante O Sistema de Amortização Francês SAF ou Pres tação Constante SPC amplamente adotado no mer cado financeiro do Brasil estipula ao contrário do SAC que as prestações devem ser iguais periódicas e sucessivas Equivalem em outras palavras ao mo Quadro 125 SPC sem carência As prestações semestrais são determinadas pela aplicação da fórmula de valor presente do modelo padrão conforme desenvolvida no item 711 doCa pítulo 7 ou seja onde PV valor presente PMT valor da prestação periódica igual e sucessiva FPV fator de valor presente sendo Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 211 delopadrão de fluxos de caixa conforme estudado no Capítulo 7 Os juros por incidirem sobre o saldo devedor são decrescentes e as parcelas de amortização assumem valores crescentes Em outras palavras no SPC os juros decrescem e as amortizações crescem ao longo do tempo A soma dessas duas parcelas permanece sempre igual ao va lor da prestação Com o intuito de melhor desenvolver a compreen são do sistema de prestação constante considere o exemplo ilustrativo geral proposto anteriormente O Quadro 125 a seguir identifica a planilha financeira deste sistema a qual é mais bem elaborada partindo se da última coluna para a primeira Isto é calcu lamse inicialmente as prestações e posteriormente para cada período os juros e por diferença as par celas de amortização e o respectivo saldo devedor Substituindo os valores do exemplo ilustrativo na equação temse 100000 00 PMT X 1 1140175lo 0140175 10000000 PMT X 5212555 PMT 10000000 1918440semestre 5212555 212 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Os demais valores da planilha são mensurados de forma sequencial em cada um dos períodos Assim para o primeiro semestre temse Juros calculados sobre o saldo devedor imediatamente anterior 140175 X 10000000 1401750 Amortização obtida pela diferença entre o valor da prestação e o dos juros acumulados para o período 1918440 1401750 516690 Saldo Devedor Saldo Anterior no Momento Zero Parcela de Amortização do Semestre 10000000 516690 9483310 Para o segundo semestre os cálculos são os se guintes Juros 140175 X 9483370 1329320 Amortização 1918440 1329320 589120 Saldo Devedor 9483310 589120 8894190 e assim por diante 1231 Expressões de cálculo do SPC Conforme foi apresentado no sistema de presta ção constante as prestações são constantes os juros são decrescentes e as amortizações são exponencial mente crescentes ao longo do tempo As expressões básicas de cálculo destes valores são desenvolvidas a seguir Amortização AMORT é obtida pela diferen ça entre o valor da prestação PMT e o dos juros J ou seja Amort PMT J A amortização do primeiro período expressase Amort1 PMT Jl o que equivale a Amort1 PMT PV X i Como o seu crescimento é exponencial no tempo o valor da amortização num momento t qualquer é calculado Por exemplo na ilustração geral desenvolvida o valor da amortização no quarto semestre t 4 atinge Amort4 516690 x 1 01401754 1 Amort4 516690 x 11401753 765860 conforme demonstrado na planilha financeira Qua dro 125 Prestação PMT conforme foi demonstrado o valor da prestação é calculado mediante a aplica ção da fórmula do valor presente desenvolvida para o modelopadrão de fluxos de caixa isto é onde FPV i n 1 1 on l Saldo Devedor SD calculado para cada pe ríodo pela diferença entre o valor devido no início do intervalo de tempo e a amortização do período Logo para uma dada taxa de juros o saldo devedor de qualquer período t é apurado da forma seguinte Por exemplo na ilustração geral desenvolvida no capítulo o saldo devedor no 6º semestre do financia mento atinge SD6 1918440 x FPV 140175 10 6 SD6 1918440 X FPV 140175 4 SD6 1918440 X 2912667 5587790 resultado que coincide com o demonstrado na plani lha financeira Quadro 125 Juros J incide sobre o saldo devedor apura do no início de cada período C ou ao final de cada pe ríodo imediatamente anterior A expressão de cálcu lo de juros pode ser ilustrada da maneira seguinte J 1 SD 0 X i PV X i J2 SD1 X i PV Amort1 X i J3 SD2 X i PV Amort1 Amort2 X i J4 SD3 x i PV Amort1 Amort2 Amort3 x i e assim sucessivamente j Para um momento t qualquer Por exemplo determinar os juros devidos no ter ceiro semestre do exemplo ilustrativo geral confor me desenvolvido na planilha financeira do Quadro 125 SDtl PMT x FPV i n t SD3 1 1918440 x FPV 140175 10 2 SD2 8894180 J3 SD3 X i J3 8894180 X 0140175 Quadro 126 SPC com Carência 2 anos e Pagamento dos Juros Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 213 J3 1246740 e assim por diante 1232 SPC com carência Identicamente aos demais sistemas no SPC po dem verificarse períodos de carência nos quais ainda os encargos financeiros podem ser pagos ou capitalizados Os Quadros 126 e 127 ilustram res pectivamente para o exemplo geral considerado si tuações em que os juros são pagos durante a carência e capitalizados para resgate posterior juntamente com as prestações 214 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Quadro 127 SPC com Carência 2 anos e Capitalização dos Juros O sistema francês prestação constante com ca rência e pagamento dos juros no período confor me ilustrado no Quadro 126 segue basicamente o mesmo esquema anterior SPC sem carência dife renciandose unicamente nas prestações dos quatro primeiros semestres carência Nestes períodos es tão previstos somente pagamentos de 1401750 referentes aos juros do principal não amortizado 140175 x 10000000 Para os demais semes tres o raciocínio é idêntico ao formulado anterior mente apurandose prestações com valores constan tes juros decrescentes e amortizações crescentes No Quadro 127 está prevista a capitalização dos juros durante o período de carência de quatro semes tres Somandose este montante ao saldo devedor temse um novo valor ao final do quarto semestre de 16900000 o qual serve de base para o cálculo das prestações com vencimento a partir do quinto semes tre ou seja Saldo Devedor C 4º semestre que serve de base para o cálculo das prestações após o período de carência 5º semestre 10000000 X 11401754 16900000 Prestação PMT semestral a ser paga a partir do 5º semestre PV PMT x 1 1 in i 16900000 PMT X 1 1 14017510 0140175 16900000 PMT X 5212555 PMT 16900000 3242170 5212555 semestre O preenchimento da planilha financeira a partir do final do período de carência é análogo ao propos to anteriormente 124 SPC e taxa nominal de juros Uma alternativa de cálculo do SPC é verificada quando os períodos das prestações normalmente mensais mas não necessariamente se apresentarem menores que o da taxa de juros e tem como caracte rística básica o uso da taxa proporcional linear sim ples em vez da taxa equivalente composta de juros taxa efetiva No exemplo ilustrativo geral proposto utilizou se a taxa equivalente semestral de 140175 para o cálculo dos juros no sistema francês e no SAC tam bém Este percentual conforme estudado no Capí tulo 2 quando capitalizado para um ano é igual à taxa de 30 de acordo com o estabelecido na opera ção de empréstimo 1140175 2 1 30 No en tanto se fosse utilizado o SPC com taxa nominal no plano de amortização da dívida a taxa semestral a ser considerada seria a taxa proporcional simples de 15 302 a qual quando capitalizada para um ano resulta num percentual efetivo superior à taxa contratada ou seja l j Taxa de Juros Contratada Taxa Linear Semestral 30 aa 302 15 as Taxa Efetiva Anual de Juros 1 152 1 3225 aa Deve ficar claro que o SPC com taxa nominal é o próprio sistema francês de amortização introdu zidas as observações comentadas As alterações nos valores do plano de amortização são devidas funda mentalmente ao uso da taxa de juros proporcional simples em substituição à taxa equivalente composta Fica evidente ainda que se o período de amor tização coincidir com o da taxa prestações anuais e taxa de juros definidas também para ano por exem plo a taxa nominal de juros será a própria taxa efe tiva da operação e os valores do plano de amortiza ção para o SPC com taxa nominal coincidirão com aqueles apurados pelo SPC com taxa efetiva 125 Sistema de amortização misto O Sistema de Amortização Misto SAM foi desen volvido originalmente para as operações de financia mento do Sistema Financeiro de Habitação Repre senta basicamente a média aritmética entre o sistema francês SAF ou Sistema de Prestação Constante Quadro 128 SAM sem Carência Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 215 SPC e o sistema de amortização constante SAC daí explicandose a sua denominação Para cada um dos valores de seu plano de pagamentos devese so mar aqueles obtidos pelo SPC com os do SAC e dividir o resultado por dois Os Quadros 121 e 125 apresentados anterior mente ilustram o plano de amortização do exemplo ilustrativo geral por meio do SAC e do SPC respecti vamente Ao se adotar o sistema misto de amortiza ção para o empréstimo contraído temse para o pri meiro período semestre os seguintes valores PMT 2401750 1918440 SAM 2 2160095 J 1401750 1401750 uros5AM 2 1401750 Am 1000000 516690 ortsAM 2 758345 SD 9000000 9483310 SAM 2 924165s Para os demais semestres seguese o mesmo racio cínio A planilha financeira do sistema misto elabo rada por meio do SAC Quadro 121 e SPC Quadro 125 encontrase demonstrada no Quadro 128 216 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 126 Comparações entre SAC SPC e SAM Uma avaliação comparativa dos três sistemas de amortização estudados SAC SPC e SAM é desen volvida a partir do exemplo ilustrativo geral Os va lores correspondentes a cada um dos planos de paga mento estão transcritos conforme foram calculados anteriormente no Quadro 129 A partir das planilhas financeiras expostas no Quadro 129 observase que as prestações do SAC decrescem linearmente à razão de 140170 por semestre Este valor constante representa confor Figura 121 Comportamento das prestações O ponto em que as retas se cruzam indica valo res iguais para as prestações Calculandose anali ticamente este ponto de intersecção conforme de monstrado a seguir verificase que as prestações se igualam por volta da 4ª prestação A partir daí as prestações pelo SPC tornamse maiores que as deter minadas pelos demais sistemas de amortização PONTO DE IGUALDADE DAS PRESTAÇÕES PMTsPc 1918440 constante PMTSAC PV X 1 n t 1 X i n PMTSAC 10000000 X 1 10 t 1 X 10 X 0140175 Igualandose me discutido os juros de 140175 aplicados sobre o valor da amortização semestral 1000000 No SAF as prestações são sempre iguais atingindo a 1918440 em cada período Graficamente o comportamento das prestações para os critérios de amortização considerados é ilus trado na Figura 121 Optandose pelo SAC o mutuário começa a pagar valores prestações maiores que no SPC Este com portamento se mantém até o momento em que as duas retas descritas na Figura 121 se cruzam indi cando o momento da reversão temse 10000000 X 1 10 t 1 X 0140175 10 1918440 1000000 X 1 140175 0140175 X t 0140175 1918440 1000000 1401750140175 X t 140175 1918440 140175 t 623485 t 623485 4 45 140175 Esse resultado pode ser confirmado no Quadro 129 para as prestações calculadas No 4º semestre a prestação PMD pelo SAC de 1981230 é superior ao valor constante de 1918440 determinado pelo SPC situandose ligeiramente abaixo no 5º semestre Logo a intersecção se verifica entre estes dois pe Quadro 129 Planilhas do SAC SPC e SAM o I 10000000 10000000 10000000 9000000 1000000 1401750 2401750 948331 o 516690 1401750 1918440 9241660 758350 1401750 2160100 2 8000000 1000000 1261580 2261580 8894180 589120 1329320 1918440 8447090 794560 1295450 2090010 3 7000000 1000000 1121400 2121400 8222480 671700 1246740 1918440 7611240 835850 1184070 2019920 4 6000000 1000000 981230 1981230 7456620 765860 1152590 1918440 6728310 882930 106691 o 1949840 5 I 5000000 1000000 841050 1841050 658341 o 87321 o 1045230 1918440 5791700 936600 943140 1879740 6 I 4000000 1000000 700880 1700880 5587790 995620 922830 1918440 4793900 997810 811860 1809670 1 s 7 I 3000000 1000000 560700 1560700 4452620 1135180 783270 1918440 3726310 1067590 671990 1739580 e 1 8 I 2000000 1000000 420530 1420530 3158320 1294300 624150 1918440 2579160 1147150 522340 1669490 s 9 I 1000000 1000000 280350 1280350 1682590 1475730 g 442720 1918440 1341300 1237870 361540 159941 o N 10 I 1000000 140180 1140180 1682590 235860 1918440 1341300 188020 1529320 o 1 Total I I 10000000 7709650 17709650 10000000 9184400 19184400 10000000 8447080 18447080 t1 s S1 1 s s 1 j 1 218 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto ríodos verificandose uma igualdade das prestações exatamente no semestre t 445 No que se refere à parcela de amortização os va lores são constantes no SAC e crescentes no SPC No sistema francês a parcela cresce exponencialmente à taxa de juros admitida na operação Observe no Qua dro 129 que o valor da amortização pelo SPC apre senta um crescimento composto de 140175 por semestre taxa que representa os juros cobrados na operação Pelos dados do Quadro 129 ainda observase que os valores da amortização tornamse iguais entre o 6º e o 7º semestre Mais precisamente este ponto é obtido da forma seguinte AmortsAc 1000000 constante AmortSPC Amort1 1 it Igualandose as expressões Amort1 1 ot 1 1000000 516690 X 1140175t1 1000000 t1 1000000 1140175 516690 114017St 1 1935396 Aplicandose log t 1 x log 1140175 log 1935396 log 1 935396 O 286770 t 1 o log 1140175 0056972 t1 5034 t 5034 1 6034 As amortizações igualamse na prestação t 6034 No que se refere aos saldos devedores o decréscimo no SAC é mais acentuado que nos demais sistemas Quando do pagamento da 5ª prestação no SAC por exemplo o saldo devedor corresponde a SOoo da dí vida No SPC ao se liquidar a metade das prestações o saldo devedor totaliza ainda a 658 da dívida so mente atingindo a marca dos 50 quando do paga mento da 7ª prestação aprox Mais precisamente SDt PMT x FPV i n t 5000000 1918440 X FPV 140175 10 t 1 1 14017510t 0140175 5000000 1918440 1 1 140175ClOt 2606284 0140175 1140175 10 t 0634664 1140175 10 t 0634664 114017510 X 114017St 0634664 114017St 2356454 Aplicandose logaritmo t log 2 356454 653 log 1140175 As parcelas de juros apuradas para os três siste mas são definidas evidentemente com base no com portamento dos respectivos saldos devedores O total dos juros calculados no SPC é bastante superior ao do SAC ficando os valores do SAM numa posição in termediária Por se tratar de uma média do SAC e do SPC o sis tema misto dispensa maiores comentários As presta ções doSAM decrescem linearmente PA decrescen te sendo a razão igual à metade darazão do SAC No Quadro 129 verificase que as prestações do SAC apresentam razão igual a 140170 exatamente o dobro da razão apurada no SAM de 70085 A prestação inicial no SAM é menor que a do SAC porém maior que a do SPC O inverso ocorre com a última prestação Este comportamento das pres tações encontrase graficamente ilustrado na Figura 121 É importante ser acrescentado ainda que o SAM diante de suas características de formação é um pla no de amortização financeiramente equivalente ao SAC e ao SPC Ao se descontar as prestações do SAM à taxa de juros i o valor presente encontrado é exa tamente igual ao financiamento principal 127 Sistema de amortização americano O Sistema de Amortização Americano SAA es tipula que a devolução do capital emprestado é efe tuada ao final do período contratado da operação de uma só vez Não se prevê de acordo com esta ca racterística básica do SAA amortizações intermediá rias durante o período de empréstimo Os juros cos tumam ser pagos periodicamente Admita no exemplo ilustrativo geral descrito que os 10000000 captados devam ser amortizados pelo SAA mediante uma única parcela ao final do 3º ano Os juros são pagos semestralmente à taxa efeti va de 140175 O Quadro 1210 a seguir ilustra a planilha financeira desta operação 1lfl Quadro 121 O SAA com Pagamento Periódico dos Juros 12 71 Fundo de amortização Junto com o SAA costuma ser constituído pelo mutuário um Fundo de Amortização no qual vão sen do acumuladas poupanças periódicas durante o pra zo do empréstimo O objetivo deste fundo é que o seu montante ao final do prazo n seja igual ao valor da dívida Estes depósitos são remunerados por meio de uma taxa periódica de juros Pagamento do principal I 11 21 o Depósitos PMT PMT semestrais Conforme estudado no Capítulo 2 sabese que FV PMT x FFV i n 10000000 PMT x FFV 4oo 6 10000000 PMT x 6632975 PMT 10000000 15076 19 6632975 Dessa forma 1507619 é o valor de cada de pósito semestral que irá produzir um montante ao final dos 3 anos igual à amortização da dívida de 10000000 128 Custo efetivo Quando é cobrado unicamente juro nas operações de empréstimos e financiamentos o custo efetivo qualquer que seja o sistema de amortização adotado é a própria taxa de juro considerada O custo efetivo do exemplo ilustrativo geral desenvolvido ao longo 31 Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 219 No exemplo ilustrativo considerado acima admita que o tomador do empréstimo constitua um fundo de amortização no qual deve depositar certa quantia se mestralmente durante todo o prazo do empréstimo Os depósitos periódicos são remunerados pela insti tuição financeira à taxa de 4oo ao semestre O valor de cada depósito deve produzir um mon tante ao final dos 3 anos igual ao valor devido da dí vida ou seja FV 10000000 41 si 61 semestres PMT PMT PMT PMT deste capítulo é de 140175 as ou 30oo aa que representa a taxa contratada para a operação Por outro lado é comum as instituições financei ras cobrarem além do juro declarado outros tipos de encargos tais como IOC Imposto sobre Operações de Crédito comissões taxas administrativas etc Es tas despesas adicionais devem ser consideradas na planilha de desembolsos financeiros onerando o cus to efetivo da operação Nessas condições tornase indispensável a apu ração do custo efetivo de um empréstimo permitin do melhores comparações com outras alternativas O cálculo do custo efetivo é desenvolvido pelo méto do da taxa interna de retorno conforme estudado no Capítulo 2 item 26 1281 Planilha com despesas adicionais Ilustrativamente admita que uma empresa tenha obtido um financiamento de 5000000 para ser 220 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto amortizado em 4 prestações anuais de 1250000 cada O financiamento foi concedido sem carência O custo da operação é constituído de juros de 20 ao ano e IOC de 45 incidente sobre o valor do crédito e pago quando da liberação dos recursos O banco co bra ainda uma taxa de 10 ao final de cada ano in Conforme discutido no Capítulo 2 para se achar a taxa interna de retorno do fluxo de caixa deve ser determinado i de tal forma que Entradas 5000000 01 11 Desembolsos 225000 2300000 4775000 2300000 2037500 1 i 1 i2 1775000 1512500 1 i3 1 i4 Calculandose i 237 a a que representa o custo efetivo do empréstimo levan dose em conta os encargos adicionais cobrados 129 Planilha de financiamento com juros pósfixados pela TJLP Admita um financiamento Finame de 70000000 a ser liquidado em 24 meses O primeiro ano é de ca rência sendo pagos somente os encargos financeiros ao final de cada trimestre cidente sobre o saldo devedor a título de cobrir des pesas administrativas de concessão do crédito Pelos dados apresentados podese elaborar a pla nilha financeira do financiamento levandose em consideração as despesas adicionais de IOC e taxa administrativa 21 31 4 anos 2037500 1775000 1512500 Após a carência o tomador deve efetuar 12 paga mentos mensais pelo sistema francês de amortização vencendo a primeira no 13º mês e as demais sequen cialmente A taxa de juros contratada para essa operação é a efetiva de 5 aa que equivale a 04074 am mais a TJLP A T JLP é uma taxa de juros de longo prazo ins tituída pelo Conselho Monetário Nacional que tem como base de cálculo as médias de juros dos títulos públicos federais das dívidas externas e internas O prazo de vigência dessa taxa é de três meses sendo seu percentual geralmente divulgado pelo Banco Central no primeiro dia útil do período de sua vigência A TJLP foi regulamentada pela Resolução nº 2121 de 301194 do Banco Central do Brasil Admita ilustrativamente que as taxas T JLP para cada um dos trimestres do prazo do financiamento sejam as seguintes 1º Trim 68 2º Trim 62 3º Trim 77 4º Trim 60 5º Trim 48 6º Trim 60 7º Trim 70 Quadro 1211 Planilha Financeira com Juros e TJLP Saldo Devedor permanece constante 70000000 pois os encargos financeiros são pagos ao final de cada trimestre Amortização representa para cada trimestre a TJLP do período aplicada sobre o saldo deve dor de 70000000 ou seja 1º Trim 70000000 x 68 4760000 2º Trim 70000000 x 62 4340000 3º Trim 70000000 x 77 5390000 4º Trim 70000000 x 60 4200000 Juros taxa efetiva de 5 aa equivalendo a 12272 at Esse percentual é aplicado trimestralmente so bre o principal corrigido pela TJLP Assim 1 º Trim 70000000 X 1068 X 12272 917460 Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 221 O Quadro 1211 apresentado a seguir representa a planilha de pagamentos desse financiamento Durante o período de carência os valores da pla nilha são calculados da forma seguinte 2º Trim 70000000 X 1062 X 12272 912300 3º Trim 70000000 X 1077 X 12272 925190 4º Trim 70000000 X 106 X 12272 910580 Ao final da carência o financiamento prevê 12 pagamentos mensais corrigidos trimestralmente pela TJLP Dessa maneira para o 5º trimestre as prestações são calculadas com base na formulação do fluxo de caixa padrão conforme descrito no Capítulo 6 isto é PV PMT x FPV i n 70000000 PMT x FPV 04074 12 Resolvendose PMT 5988960 No início dos próximos três trimestres 16º mês 19º mês e 22º mês as prestações e também os de 222 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto mais valores da planilha financeira são corrigidos pela TJLP publicada para o período conforme consta do Quadro 1211 Por exemplo no 16º mês temse Prestação 5988960 x 1048 6276430 Juros 52818860 x 1048 x 04074 225510 Amortização 6276430 225510 6050920 Saldo Devedor 52818860 x 1048 6050920 49303240 Para os demais trimestres seguese a mesma me todologia de cálculo Exercícios resolvidos2 1 Um empréstimo no valor de 42000000 foi con cedido a uma empresa nas seguintes condições Taxa de juros Amortização 5 at pagamentos trimestrais Prazo de amortização 3 anos Pedese elaborar a planilha financeira para amor tizações pelos sistemas SAC e SPC admitindo que a não haja carência b haja carência de 2 trimestres Solução a Planilha pelo SAC com e sem Carência Amortização 42000000 3500000Trim 12 Trim 2 Programas de cálculo estão disponíveis em ASSAF N Alexandre LIMA E Guasti Investimentos no mercado fi nanceiro usando a calculadora HP 12C 2 ed São Paulo Inside Books Editora 2008 b Planilha pelo SPC com e sem Carência PMT PV x 1 FPVi n 1 PMT PV x FPVS 12 PMT 4738670 2 Um empréstimo de 16000000 é concedido a uma empresa para ser liquidado em 2 anos e meio mediante pagamentos semestrais A taxa de juros Solução Juros 24 a a C J1 24 1 1136 as Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 223 contratada é de 24 ao ano e não há carência Pedese construir a planilha de desembolso deste empréstimo pelo sistema de amortização misto 224 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 3 Uma pessoa está negociando a compra de um imóvel pelo valor de 35000000 As condições de pagamento propostas são as seguintes 1º mês 2º mês 3º mês Solução 7000000 5000000 8000000 4 Um financiamento para capital de giro no valor de 200000000 é concedido a uma empresa pelo prazo de 4 semestres A taxa de juros contra tada é de 10 as Sendo adotado o sistema ame ricano para amortização desta dívida e os juros pagos semestralmente durante a carência calcu lar o valor de cada prestação mensal Solução 4º mês 5º mês 6000000 9000000 Sendo de 25 ao mês a taxa corrente de juros determinar o valor dos desembolsos mensais amortização juros e prestação que devem ser efetuados caso o negócio seja realizado nessas condições Admita ainda que a taxa de aplicação seja de 4 as Calcular os depósitos semestrais que a empre sa deve efetuar neste fundo de maneira que possa acumular ao final do prazo do financiamento C 4 semestres um montante igual ao desembolso de amortização exigido O valor de cada parcela a ser depositada semestral mente no fundo de amortização é de 47098000 isto é PV PMT x FPV i n PV PMT X 1 in 1 PMT PV x 1 on 1 PMT 200000000 X O 0 4 4 104 1 PMT 200000000 X 0235490 47098000 5 Um empréstimo no valor de 8000000 será li quidado pelo sistema de amortização constante em 40 parcelas mensais A taxa de juros contrata da para a operação é de 4 ao mês Determinar a valor de cada amortização mensal b valor dos juros e da prestação referentes ao 22º pagamento c valor da última prestação d valor do saldo devedor imediatamente após o pagamento da 10ª prestação Solução a Amort PV n Amort 8000000 200000 40 PV X nt1 Xl n J22 80 0ÜÜ X 40 22 1 X 004 J22 200000 X 19 X 004 152000 PMT Amort Juros ou PMT 200000 152000 352000 PMT22 PV X 1 n t 1 X i n Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 225 FV 2looooo PMT PMT 8000000 X 1 4022 1 22 40 X 004 PMT22 200000 x 1 076 352000 c PMT 8000000 X 1 40 40 1 40 40 X 004 PMT40 200000 X 1 004 208000 d SD10 8000000 200000 X 10 6000000 6 Um financiamento no valor de 90000000 é amortizado em 30 parcelas mensais pelo sistema francês A taxa de juros contratada é de 28 ao mês Determinar a o valor de cada prestação mensal b o valor da amortização e dos juros referentes ao 19º mês Solução a Prestação Mensal PMT PMT PV x lFPV i n PMT PV x 1 1 on PMT 900000 X O 028 1 1 02830 PMT 900000 X 0049709 4473810 b Amort19 e J19 Amortt Amort1 X 1 it 1 Amort1 PMTPV x i Amort1 4473810 900000 x 0028 1953810 Substituindo Amort19 1953810 x 102819 1 3211870 226 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Jt SDt 1 X i SDt 1 PMT x FPV i n t SD19 1 4473810 X FPV 28 30 18 SD18 4473810 X 10073898 45068700 Substituindo 119 45068700 X 0028 1261920 7 Admita que em determinada data um banco con ceda um financiamento a uma empresa com as seguintes condições Valor dofinanciamento 60000000 Solução Comissão 02 am ou 06 at Mês 3 Mês 6 60000000 X 06 360000 IOC 60000000 X 69 4140000 Juros 18 aa 1118 1 13888 am 118 1 42247 at Prazo de Amortização 12 meses com carên cia de 6 meses Durante a carência o mutuário paga trimestralmente somente os encargos de juros e comissão do banco Taxa de juros 18 ao ano taxa efetiva Sistema de amortização SAC Comissão do banco 02 am calculado so bre o saldo devedor IOC 69 sobre o valor do financiamento principal e descontado quando da liberação dos recursos ao mutuário Pedese elaborar a planilha de desembolsos desse financiamento Exercícios propostos 1 Um banco concede um financiamento de 66000000 para ser liquidado em 8 pagamentos mensais pelo sistema SAC A operação é realiza da com uma carência de 3 meses sendo somente os juros pagos neste período Para uma taxa efetiva de juros de 25 ao mês elaborar a planilha de desembolsos deste finan ciamento i j 2 Um equipamento no valor de 120000000 está sendo financiado por um banco pelo pra zo de 6 anos A taxa de juros contratada é de 15 ao ano e as amortizações anuais são efe tuadas pelo sistema de prestação constante O banco concede ainda uma carência de 2 anos para início dos pagamentos sendo os juros co brados neste intervalo de tempo Elaborar a planilha financeira deste financia mento 3 Um empréstimo no valor de 500000000 foi concedido a uma empresa para ser devolvido no prazo de 24 meses A taxa de juros cobrada tri mestralmente é de 36 e as amortizações são efetuadas pelo sistema americano Elaborar a planilha financeira deste emprésti mo 4 Uma instituição empresta 85000000 a uma empresa para serem devolvidos em prestações quadrimestrais pelo sistema americano em 4 anos A taxa de juros cobrada a cada quadrimes tre é de 85 Pedese a elaborar a planilha financeira do empréstimo pelo SAA b sendo de 40 aq a taxa de aplicação de terminar os depósitos quadrimestrais para constituição de um fundo de amortização S Um banco concede um empréstimo de 48000000 para ser amortizado de acordo com as seguintes condições 1 ºsemestre 3000000 2º semestre 5000000 3º semestre 7000000 4º semestre 9000000 5º semestre 11000000 6º semestre 13000000 O empréstimo é realizado com uma carência de um semestre Sendo de 8 a taxa de juros paga semestralmen te determinar os desembolsos periódicos exigi dos por este empréstimo 6 Um imóvel é colocado a venda por 6000000 de entrada mais seis prestações trimestrais de 2400000 cada Sendo de 25 am a taxa cor rente de juros determinar a base de valor a vista do imóvel Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 227 7 Um financiamento no valor de 24000000 deve ser saldado em 30 prestações mensais pelo sistema SAC A taxa de juros contratada é de 4 ao mês Determinar o saldo devedor os juros e a prestação referentes ao 19º mês 8 Uma empresa levanta um financiamento de 400000000 sem carência para ser amortizado em 6 anos pelo SPC Os pagamentos são efetua dos trimestralmente e a taxa de juros contratada atinge 9 at Pedese determinar a valor de cada prestação trimestral b valor da amortização e dos juros referentes à 15ª prestação c saldo devedor no 7º trimestre logo após o pagamento da prestação 9 Um financiamento no valor de 200000000 é concedido para ser amortizado em 24 pagamen tos mensais pelo SPC com taxa nominal A taxa de juros linear contratada é de 24 ao ano Com base nestas informações pedese determi nar a valor de cada prestação mensal b saldo devedor ao final do 18º mês c os valores de juro e amortização referentes ao 10º mês 10 Um financiamento de 160000000 pode ser amortizado pelo SAC SPC e SAM O prazo é de 32 meses e a taxa de juros de 3 ao mês Deter minar a o valor da 10ª prestação de cada um dos sis temas de amortização b o saldo devedor imediatamente após o paga mento da 20ª prestação pelos três sistemas de amortização c os valores de amortização e juros contidos na 27ª prestação dos três sistemas de amortiza ção d em que momento as prestações do SAC e do SPC tornamse iguais 11 Um imóvel no valor de 50000000 está sendo financiado por um banco em 180 meses A taxa de juros cobrada neste tipo de financiamento é de 1 ao mês e a amortização pode ser efetuada tanto pelo SAC como pelo SPC Determinar em que momento os valores das prestações apura das pelos dois sistemas tornamse iguais 228 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 12 Seja um financiamento com prazo de amortiza ção de 6 anos e juros de 48 ao ano A operação é contratada pelo SPC Pedese determinar o mo mento em que o saldo devedor da dívida esteja reduzido à metade 13 Um banco oferece um financiamento de 18000000 para ser liquidado em 24 pagamen tos mensais podendo na amortização ser usado tanto o SAC como o SPC O financiamento não prevê carência e a taxa de juros é de 6 ao mês O tomador do empréstimo está em dúvida quan to ao sistema de amortização que deve escolher Para tanto necessita de informações adicionais com relação ao comportamento das parcelas de financiamento Pedese determinar a em qual pagamento as parcelas das presta ções se tornam iguais nos dois sistemas b após o 12º pagamento qual o percentual que o saldo devedor corresponde da dívida pelo SACeSPC Respostas 1 11 8250000 Total 660 00 14 Admita que uma empresa tenha captado um fi nanciamento em moeda estrangeira dólar por meio de uma operação de repasse de recursos externos As informações extraídas da operação são apresentadas a seguir Valor do financiamento US 600000 Forma de pagamento o principal é amor tizado em 6 pagamentos trimestrais de US 100000 cada Taxa de juros 20 ao ano Comissão de repasse fixada em 5 e cal culada sobre o valor do repasse A comissão é cobrada no ato da liberação dos recursos Comissão de abertura de crédito fixada em 1 sobre o valor do repasse e cobrada no momento da liberação dos recursos Elaborar a planilha financeira em dólar e deter minar o custo efetivo da operação 206550 8456550 12375300 7837 Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 229 2 3 4 a Planilha Financeira pelo SAA 230 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto b Depósitos quadrimestrais 5656930 S 6 17200350 7 SD19 8800000 19 384000 PMT19 1184000 Amort 800000 8 a PMT 41209020 b Amort15 17407140 15 23801880 c SD7 352074680 9 a PMT 10574220 b SD18 59230760 c 110 2717420 Amort10 7856800 10 a PMT10 SAC 8450000 PMT10 SPC 7847460 PMT10 SAM 8148730 b SD20 SAC 60000000 Custo Efetivo 669 at ou 296 aa SD20 SPC 78113650 SD20 SAM 69056820 li c Amort27 SAC 5000000 127 SAC 900000 Amort27 SPC 6572130 l 127 SPC 1275330 Amort27 SAM 5786060 127 SAM 1087670 d Aproximadamente na 14ª prestação n 14016933 11 Por volta da 65ª prestação n 6496976 12 Entre o 4º e o 5º pagamento n 446 13 a Em torno do 10º pagamento b SAC SOoo SPC 668 14 Planilha em Dólar Taxa e Prazo Médios de Operações Financeiras O estudo de taxa e prazo médios de operações fi nanceiras assume maior importância à medida que se desenvolvem as operações do mercado financeiro e de capitais Estes assuntos são bastante pertinentes a um controle mais eficiente das operações financeiras e de suas carteiras de ativos e passivos cada vez mais complexas e sofisticadas O capítulo dedicase a um estudo mais aprofun dado do tema demonstrando suas formas práticas de cálculo com base sempre no critério de juros com postos 131 Taxa média A taxa média i indica para determinada cartei ra de aplicação ou captação a taxa de juro média e periódica representativa das operações financeiras realizadas Corresponde em outras palavras à taxa interna de retorno conforme estudada no Capítulo 2 que iguala em determinada data todas as entradas e saídas de caixa provenientes das operações de capta ções ou aplicações processadas No caso de uma carteira de aplicações a taxa média indica o retorno médio por período definido em termos percentuais das diversas operações Para uma carteira de captações a taxa média mede o cus to percentual médio que os fornecedores de capital estão sendo remunerados em cada período A expressão básica de cálculo da taxa média apre sentase da forma seguinte onde n L PVj somatório do valor presente de to jl dos os valores aplicados ou capta dos em determinado período PM PMTl PMT2 PMTn são todas as entradas captações ou saídas aplicações de caixa representati vas das operações financeiras em determinado período taxa média de retorno ou custo determinada da carteira de opera ções financeiras no período Re presenta mais efetivamente a própria taxa interna de retorno da carteira de operações 232 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Visando desenvolver uma aplicação prática da metodologia de cálculo da taxa média considere ini cialmente a seguinte ilustração Um investidor efetua em determinado momento as seguintes aplicações de recursos pelo prazo de 5 meses Sendo de 5 meses o prazo de resgate para as três operações têmse os seguintes resultados FVA 2000000 X 1016 5 FVB 9200000 X 1025 5 FVC 11200000 X 1037 5 Graficamente 22400000 2165200 10408960 13431110 26005270 26005270 J 5 meses O cálculo da taxa média í é obtido FV PV x 1 i n FV 1 in PV 26005270 1 T 5 22400000 1 T 5 1160950 1 i 1160950 i 10303 i 303 ao mês Concluise que é equivalente aplicar os três capi tais às taxas de 16 25 e 37 respectivamen te pelo período de 5 meses em relação à aplicação do total destes capitais à taxa média de 303 am por 5 meses Ambas alternativas produzem o mesmo montante ao final do prazo ou seja FV5 22400000 X 10303 5 260052701 A situação desenvolvida acima assume a hipótese simplificadora de todas as operações serem realiza das num mesmo momento assim como os prazos de aplicação estarem definidos igualmente em 5 meses No entanto várias outras situações podem ocor rer envolvendo prazos diferentes para as operações ou inclusive datas desiguais para as aplicações ou captações financeiras Conforme é estudado a seguir a solução desses casos envolve necessariamente expressar alguns dos valores entradas ou saídas de caixa num mesmo momento de tempo 1311 Taxa média de operações com prazos diferentes Admita uma carteira de aplicações todas efetua das num mesmo momento cujos rendimentos são apropriados ao final dos respectivos prazos FVA 26000000 X 1034 15 42932030 FVB 8500000 X 1018 5 9293040 FVC 10000000 X 1026 10 12926280 Graficamente a carteira de aplicações tem a se guinte ilustração 1 Uma vez mais os números não se mostram totalmen te exatos em razão de arredondamentos efetuados nos cálculos da taxa média Ao considerar todas as casas de cimais temse FV5 22400000 x 103029756 5 26005270 9293040 I Jo 5 44500000 Ocorrendo todas as aplicações numa mesma data a taxa média de retorno da carteira é a taxa de des conto composta taxa interna de retorno que igua la o total das aplicações com o valor atualizado dos montantes verificados em diferentes datas ou seja 44500000 9293040 12926280 1 is 1 i1o 42932030 7 1 il5 Resolvendose a expressão chegase a i 313 am que corresponde à taxa média mensal de rentabilida de do fluxo de aplicações financeiras também deno minada por taxa interna de retorno O mesmo esquema de cálculo da taxa média pode também ser aplicado em carteira de operações finan ceiras envolvendo fluxos de caixa periódicos os quais se justapõem ao longo do tempo Taxa e Prazo Médios de Operações Financeiras 233 12926280 42932030 I I 10 15 meses Ilustrativamente admita as seguintes aplicações efetuadas por um investidor em determinado mo mento Prestações mensais iguais e sucessivas PMT Pelos dados apresentados são apurados os se guintes resultados PMTA 800000FPV 17 3 275780 PMTB 4200000FPV 29 5 914470 PMTc 9000000FPV 40 8 1336750 Dessa maneira evidenciamse as seguintes entra das periódicas de caixa provenientes das aplicações financeiras realizadas Mês 1 275780 914470 1336750 Mês 2 275780 914470 1336750 Mês 3 275780 914470 1336750 Mês 4 914470 1336750 2527000 2527000 2527000 2251220 Mês 5 Mês 6 Mês 7 Mês 8 914470 1336750 2251220 1336750 1336750 1336750 1336750 1336750 1336750 A representação gráfica dos fluxos de caixa da carteira de aplicações apresentase da seguinte maneira t t t t t t t t Jo 2 3 4 5 6 7 8 meses 14000000 234 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto De acordo com a definição proposta a taxa mé dia de retomo da carteira de aplicações é aquela taxa que ao descontar os fluxos de caixa apura um valor igual ao desembolso inicial Logo 14000000 2527000 2527000 2527000 2251220 2251220 1 i 1 i 2 1 i 3 1 i 4 1 i 5 1336750 1336750 1336750 1 i6 1 i f 1 i8 Efetuandose os cálculos com o auxílio de uma calculadora financeira chegase à taxa de i 3676 am 1312 Taxa média com diferentes momentos de aplicação Para a ilustração dessa situação admita um inves tidor com uma carteira de aplicações financeiras cujo resgate irá ocorrer daqui a 15 meses As principais in formações da carteira são apresentadas a seguir Os montantes das operações são obtidos FVA 7000000 X 1047 15 13941140 FVB 3000000 X 103 7 3689620 FVC 4500000 X 104 11 6927540 Montante FV 24558300 Representação gráfica do fluxo de caixa 24558300 J 10 41 sr 15 meses 7000000 4500000 3000000 Observe que apesar das aplicações terem sido realizadas em momentos diferentes do tempo estáse admitindo que os seus resgates ocorrerão numa úni ca data 15º mês Ou seja os valores futuros mon tantes encontramse capitalizados para um mesmo momento Conforme comentouse é necessário para a Matemática Financeira que pelo menos um dos valores valor presente ou valor futuro esteja refe renciado a uma mesma data Assim para a ilustração dada elaborase a se guinte expressão de cálculo da taxa interna de retor no média 7000000 X 1 T 15 4500000 X 1 T 11 3000000 X 1 T 7 24558300 Resolvendose a equação com o auxilio de calcula doras financeiras temse que T 437 ao mês Observe que ao se capitalizarem todas as apli cações da carteira para o 15º mês pela taxa média de juros calculada apurase um montante igual a 24558300 demonstrando a equivalência da taxa média de 437 am com as várias taxas considera das na carteira Ou seja FV 7000000 X 10437 15 4500000 X 10437 11 3000000 X 10437 7 FV 13303670 7206420 4048210 FV 245583002 Conforme salientado o exemplo ilustrativo foi desenvolvido admitindose que os términos das ope rações ocorrem no mesmo momento do tempo 15º mês Na prática não se verificando esta identifica ção o cálculo da taxa média é processado propon dose uma única data de resgate para todas as apli cações Em carteiras de captações financeiras ao contrário é mais comum expressar os valores cap 2 Os resultados foram obtidos utilizandose a taxa média de juros com seis casas decimais isto é i 4373818 am tados numa única data permanecendo somente os montantes valores a pagar referenciados em mo mentos distintos 132 Prazo médio O prazo n de uma operação conforme foi am plamente estudado ao longo dos capítulos anterio res reflete o número de períodos que compõem um fluxo de caixa Em outras palavras n indica a quan tidade de períodos que as várias parcelas de caixa remunerarão o capital emprestado ou aplicado da operação Por outro lado o prazo médio Ti pode ser enten dido como o tempo em que um ou mais fluxos de cai xa dada uma taxa de juros e regime de capitalização produz uma única parcela equivalente a todo o fluxo De outra maneira indica o número de períodos que uma única parcela de pagamento ou recebimento se torna equivalente indiferente a todos os fluxos de entradas ou saídas de caixa determinados por uma ou mais operações financeiras A expressão geral de cálculo do prazo médio apre sentase da forma seguinte onde VBF valor bruto final É apurado pela soma de todos os pagamentos ou recebimentos envolvidos em uma ou mais operações financeiras representa o somatório do valor bruto final das t operações consi deradas correspondente ao somatório do valor presente das t operações fi nanceiras consideradas no cálculo do prazo médio isto é o total das entradas ou saídas de caixa refe renciados no momento atual taxa média da operação finan ceira conforme demonstrada no item precedente prazo médio das operações financei ras duração Representa em ver dade a incógnita do problema Taxa e Prazo Médios de Operações Financeiras 235 Uma aplicação prática para melhor entendimento do conceito de prazo médio é desenvolvida a seguir Exemplo 1 Determinar o prazo médio de um financia mento no valor de 1870000 a ser liquidado em 10 prestações mensais de 214770 cada Solução Inicialmente deve ser apurada a taxa custo mé dia deste financiamento ou seja 1870000 I 11 21 31 41 1Õ1 meses 214770 214770 214770 214770 214770 PV PMT x FPV i n 1870000 214770 x FPV i 10 i 260oo am Considerando a existência de uma única opera ção 26oo am é a taxa média e a própria taxa de remuneração da operação Aplicandose a expressão do prazo médio tem se t t L X PV1 iif jl L VBFj 10 X 214770 2147700 jl t LPV 1870000 jl 26oo ao mês Logo 2147700 1870000 X 1026if 2147700 1026if 1870000 1 026if 1148503 Aplicandose logaritmo conforme ilustrado no Apêndice B n log 1026 log 1148503 n log 1148503 0060132 539 meses log 1026 0011147 236 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Esse resultado revela que ao final de 539 meses o recebimento de uma única prestação de 2147700 que representa o valor bruto final do financiamento concedido tornase indiferente equivalente ao re cebimento mensal e sucessivo de 10 prestações no valor de 214770 cada conforme o esquema apre sentado acima Graficamente esta equivalência é ilustrada da se guinte maneira 1870000 t 214770 214770 214770 equivalente a 1870000 t o 40lmeses 214770 214770 5391 meses 2147700 Observe que o valor presente dos dois fluxos de caixa é igual em 18 70000 denotando a equi valência entre ambos ou seja PV 214770 x FPV 26 10 1870000 PV 21477001026 539 1870000 Da mesma maneira se os fluxos de caixa forem aplicados à mesma taxa de juros considerada de 26 am apurase o mesmo montante ao final do prazo de 10 meses isto é FV 214770 x FFV 26 10 FV 2147700 X X 1026 10539 2417220 2417220 1321 Prazo médio duration de Macaulay Uma metodologia mais rigorosa de cálculo do prazo médio duration é apresentada pela formula ção de Macaulay a qual leva em conta os fluxos de caixa juros e amortizações ponderados pelas res pectivas maturidades e trazidos a valor presente pela taxa de atratividade A formulação básica da duration de Macaulay é apresentada onde ct t valores periódicos pagos referentes aos juros e amortizações do principal maturidade de cada fluxo de paga mento YTM Yield to Maturity taxa efetiva de juros da operação financeira conforme es tudada no Capítulo 11 P 0 preço de negociação de mercado do título conforme calculado no Capítu lo 11 Exemplos 1 Determinar o prazo médio duration pela formula ção de Macaulay de um título que oferece rendi mentos de 6 as e maturidade de quatro anos O valor de face do título é de 1000 Solução Como já explicado o duration visa expressar o prazo médio a decorrer de um título de renda fixa até seu vencimento Quando uma obrigação apre senta pagamentos ao longo de sua maturidade o prazo de emissão do título pode não representar de forma mais adequada a duração média do in vestimento demandando uma medida que envol ve outras variáveis Utilizando a expressão de cálculo de Macaulay temse 60 60 X 2 60 X 3 60 X 4 60 X 5 60 X 6 60 X 7 1060 X 8 D 1 06 1 062 1 063 1 064 1 065 1 066 1 06f 1 068 100000 D 658238 100000 658 semestres Taxa e Prazo Médios de Operações Financeiras 237 Pelo modelo de Macaulay o prazo médio a decorrer desse título equivale a 658 semestres Assim o 60 I 60 I 2 60 I 3 60 I 4 FV Duration 601066581 601066582 601066583 601066584 601066585 601066586 601066587 10601066588 FV Duration 14673 equivalendo ao valor do investimento no título capitalizado pelos rendimentos até a duration FV Duration 1000 x 106658 FV Duration 14673 2 Considere a seguinte carteira de títulos de renda fixa Pedese determinar a Duration de Macaulay b Rentabilidade média mensal Solução a PV 1 70000 69322 1 10142130 50000 PVrr 1 0184030 488247 1181468 D 693221 X 21 488247 X 40 uratwn 28 85 dias 118146 8 b A rentabilidade média pode ser calculada pelo fluxo de caixa ou pela duração média 70000 5000000 I J 21 40 dias 1181468 60 I 60 FV0 14673 60 I I I 1060 I 5 6 D 658 7 8 semestres 70000 50000 1181468 2130 4030 1 l 1 l Resolvendose IRR I 163 am Utilizandose a duration temse 12000000 J 2885 dias 1181468 12000000 1181468 1 T288530 IRR 163 am Exercícios resolvidos 1 Calcular a taxa média e o prazo médio da seguin te carteira de aplicações financeiras ilustradas a seguir sabendo que o resgate ocorre ao final do prazo Solução Taxa Média Seguindo o raciocínio desen volvido anteriormente temse FV1 800000 x 1032 FVll 2200000 X 10351 FVIll 4500000 x 10415 FVIV 600000 X 102410 Montante FV 848720 2799010 5501310 760590 9909630 238 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Graficamente temse 9909630 o 13 1s 18 I 10 meses 600000 2200000 4500000 800000 A taxa média de juros da carteira taxa interna de retorno é determinada pela formulação 600000 X 1 T 10 2200000 X 1 T 4500000 X 1 T 5 800000 X 1 T 2 9909630 Resolvendose com o auxílio de calculadora finan ceira T 361 am 36145089 A taxa média de retorno calculada de 361 am promove um montante das operações da carteira igual a 9909630 Prazo Médio Para o cálculo do prazo médio têmse as seguintes informações t t L VBFj L FVj 9909630 jl jl t L FVj 800000 2200000 4500000 jl 600000 8100000 T 361 am Aplicandose a fórmula de cálculo chegase a t LVBFj jl t L PVj 1 T jl 9909630 8100000 x 10361n 9909630 10361n 8100000 10361n 1223411 log 1223411 0087572 n log 10361 0015402 569 meses O cálculo do prazo médio revela que a aplicação dos quatro capitais dadas as taxas de juros e os momentos considerados é equivalente segundo o modelo mais simplificado desenvolvido no item 132 a aplicarse todo o capital de 8100000 por 569 meses capitalizado pela taxa média de juros de 361 oo am Ambas as alternativas produzem o mesmo mon tante de 9909630 em t 10 FV10 8100000 X 10361 569 9909630 2 Determinar a taxa média de juros e o prazo médio de dois financiamentos com as seguintes caracte rísticas Prestações mensais iguais e sucessivas PMT No cálculo do prazo médio utilize a formulação simplificada apresentada no item 132 e a duration de Macaulay Solução Taxa Média PMTA 1600000FPV 6 5 379830 PMTB 2900000FPV 5 8 448690 Os desembolsos mensais de caixa exigidos pelos dois financiamentos são ilustrados a seguir Mês 1 379830 448690 828520 Mês 2 379830 448690 828520 Mês 3 3 79830 4486 90 828520 Mês 4 379830 448690 828520 Mês 5 379830 448690 828520 Mês 6 448690 448690 Mês 7 448690 448690 Mês 8 448690 448690 5488670 Taxa e Prazo Médios de Operações Financeiras 239 Graficamente 4500000 t 11 21 31 41 51 61 71 81 828520 828520 828520 828520 828520 448690 448690 448690 Expressão de cálculo da taxa média de juros 45 000 00 828520 828520 828520 828520 828520 1 i 1 i2 1 i3 1 i4 1 i5 4486 90 4486 90 4486 90 1 i6 1 if 1 i8 Resolvendose a expressão com o auxílio de uma calculadora financeira chegase a i 528 am Prazo Médio item 132 t L VBFj 5 X 828520 3 X 448690 jl 5488670 t L PVj 4500000 jl z 528 am Substituindose os valores na fórmula apurase o seguinte prazo médio 5488670 4500000 X 10528fi 10528fi 5488670 4500000 10528fi 1219704 log 1219704 0086254 n log 1 0528 O 022346 386 meses 3863324 Ilustrando o resultado graficamente temse o se guinte contorno 4500000 t o 3861 meses 5488670 Os fluxos de caixa capitalizados à taxa média de juros de 528 ao mês produzem um montante de 6790580 ao final do mês 8 isto é FV8 828520 X 10528 828520 X 10528 6 828520 X 10528 5 828520 X 10528 4 828520 X 10528 3 448690 X 10528 2 448690 X 10528 448690 FV8 6790580 O montante no mesmo momento do valor bruto final VBF de 5488670 considerado como equivalente no mês 386 atinge também FV8 5488670 X 105288 386 6790580 Comprovandose dessa maneira os resultados Duration de Macaulay D D 1685881 uratwn 450000 375 meses 37464 meses 240 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Conforme foi demonstrado a duration de Ma caulay equivale a capitalizar o valor das aplica ções até o duration ou seja FV Duration 450000 x 10528375 545770 Esse montante é exatamente igual ao valor corri gido dos fluxos das prestações para o mesmo mo mento da duration FV Duration 82852 10528375l 82852 105283752 82852 105283753 82852 105283754 82852 105283755 44869 105283756 44869 105283757 44869 105283758 FV Duration 545770 Exercícios propostos 1 Calcular a taxa média composta das seguintes car teiras de aplicações financeiras sendo todas com resgate ao final do prazo a Carteira X b Carteira W c Carteira Z 2 Admita que uma Instituição Financeira tenha em diferentes momentos efetuado as seguintes cap tações de recursos Pedese determinar o custo médio taxa média da carteira de captações da Instituição admitindo que o resgate das operações ocorra ao final dos pe ríodos 3 Um título com valor de face de 1000 é lançado prometendo uma remuneração linear de 10 aa Os juros são pagos ao final de cada semestre O prazo do título é de três anos Calcular a duration de Macaulay desse título 4 Considere a seguinte carteira representativa de quatro títulos Calcular a rentabilidade média da carteira e a du ration de Macaulay S Uma sociedade efetua em determinado momen to as seguintes captações de recursos no merca do Sabese que os recursos captados são pagos de acordo com os prazos e taxas de juros considera dos em prestações mensais iguais e sucessivas Determinar a taxa média de juros desta carteira de captações 6 Calcular o prazo médio duration de Macaulay de uma operação de crédito direto ao consumi dor no valor de 1450000 a ser liquidada em 12 prestações mensais iguais e sucessivas de 148290 cada uma 7 Determinar a taxa média das seguintes cap tações financeiras realizadas em determinada data a Valor Líquido Captado 30000000 Juros 6 ao mês Prazo 4 meses Forma de Pagamento 4 prestações men sais iguais e sucessivas b Valor Líquido Captado 54000000 Juros 8 ao mês Prazo 7 meses Forma de Pagamento Resgate ao final do prazo 8 Determinar a taxa média mensal de juros de uma carteira de empréstimos com as operações seguintes empréstimo 70000 a ser liquidado em quatro prestações semestrais iguais e sucessivas de 25000 cada uma empréstimo 200000 a ser pago em sete parcelas semestrais e sucessivas de 40000 cada uma 9 Admita um empréstimo de 40000000 por 4 semestres à taxa de juros de 112 aa taxa efetiva São negociadas duas opções de pagar a pagamento do principal ao final de dois anos e os juros ao final de cada semestre b pagar o financiamento em quatro presta ções semestrais iguais e sucessivas Pedese calcular a duration de cada alternativa 10 Uma Instituição Financeira apresenta a seguinte carteira de ativos Taxa e Prazo Médios de Operações Financeiras 241 Títulos Públicos 070 ano 450 Títulos Privados 090 ano 111 O Empréstimos 060 ano 6000 Determinar a duration média dos ativos 11 Calcular a duration de um título de 3 anos com cupom anual de 9 aa C 45 as Os inves tidores exigem uma taxa mínima de retorno de 11 a a 55 as do título O valor nominal do título é de 100000 12 Determinar a duration de um título com pra zo de 4 anos que paga cupom de 10 aa se mestralmente O título está sendo negociado no mercado c deságio 7 s o seu valor de face valor nominal Respostas 1 a b c 2 i 435 am 724 am 66am 256 am 3 D 5329 semestres 4 i 1477 am D 91365 dias 5 i 329 am 6 D 611 meses 7 768 am 8 105 ao semestre 9 a D 370 semestres b D 243 semestres 10 D 0564 ano 11 D 537 sem 12 D 673 sem 14 Matemática Financeira e Avaliação de Ações Os valores mobiliários representados por ações e debêntures são emitidos pelas Sociedades Anônimas de acordo com aprovação prévia da CVM Comissão de Valores Mobiliários Cabe à CVM o disciplinamen to da emissão e a fiscalização do mercado de nego ciações de ações e debêntures A ação representa uma fração do capital social de uma Sociedade Anônima sendo caracteristicamente definida como ativo de risco A debênture por seu lado representa um título de crédito cujos rendimen tos são calculados de maneira semelhante aos títulos de renda fixa conforme estudados no Capítulo 11 Todas as aplicações em valores mobiliários equi valem ao longo do tempo a um problema de Mate mática Financeira isto é produzem fluxos de caixa mediante os quais é possível medir a rentabilidade da operação 141 Avaliação de ações Identicamente às demais operações financeiras na avaliação de ações é necessário construirse os flu xos de caixa isto é os fluxos dos benefícios econômi cos de caixa esperados Fundamentalmente os benefícios de caixa das ações são representados pelos dividendos parcela do lucro líquido que as empresas distribuem aos seus proprietários periodicamente e valorização de sua cotação ou seja ganhos de capital promovidos pelo aumento dos preços das ações O preço que uma ação está sendo normalmente negociada no mercado é denominado valor de merca do ou cotação O valor presente do fluxo de benefícios esperados de caixa descontados a uma dada taxa de juros taxa de atratividade da aplicação é definido por valor teórico de mercado ou valor intrínseco de uma ação Estes dois valores são iguais caracteristica mente em condições de mercado eficiente As ações são consideradas aplicações de renda va riável pois os seus benefícios de caixa dividendos e valorização não são geralmente estabelecidos no momento da aquisição variando em cada período como resultado de diversos fatores 1411 Aplicações em ações com prazo determinado Para o caso mais simples de uma aplicação fi nanceira em ação por determinado período no qual não está previsto distribuição de dividendos o fluxo de caixa pode ser estabelecido a partir da seguinte representação gráfica Entradas de caixa Benefício Saídas de caixa Aplicação 1 período sendo P0 preço de mercado aquisição da ação em t0 Pode também representar o valor presente PV do fluxo de benefícios es perados de caixa P n preço de mercado esperado no momen to da venda da ação A expressão de cálculo assume a forma seguinte onde K representa a taxa de desconto da operação ou seja a taxa de retorno periódica exigida pelo in vestidor Exemplo 1 Admita uma ação cujo valor de mercado atinja em determinado momento 1500 Sendo de 5 ao mês a taxa de retorno exigida por um investi dor pedese a demonstrar a atratividade da compra dessa ação pelo investidor prevendose que o seu preço de mercado suba para 1600 ao final de um mês b se o investidor estimar que o preço de merca do dessa ação irá alcançar o valor de 1550 ao fim de um mês qual o preço máximo que ele poderia pagar hoje de maneira que apure um retorno mínimo de 5 ao mês Solução a r o P0 1500 P1 1600 I 1 mês 1500 1K K Matemática Financeira e Avaliação de Ações 243 1 K 1600 1 K 1600 1500 667 O rendimento produzido nesta situação esperada atinge 667 no período marca superior à taxa de retorno exigida pelo investidor de 5 Logo a alternativa de aplicação considerando os benefí cios esperados de caixa é economicamente atra ente b P1 1550 r Po 1 K P 15 50 1476ação o 1 005 O preço máximo que o investidor poderia pagar pela ação de forma a obter a rentabilidade míni ma desejada de 5 ao mês é de 1476 Logo diante das expectativas de valorização da ação o preço atual de mercado de 1500 é alto para o investidor não sendo atraente a sua compra Para a alternativa de aplicação financeira em ação por determinado período n no qual são previs tos pagamentos de dividendos temse a seguinte re presentação gráfica Pn Dn r2 orl3 j 1 2 3 n sendo D1 D2 D3 Dn os dividendos previstos de serem recebidos ao longo do período de apli cação A identidade básica de avaliação dessa situação adotandose sempre o conceito de fluxo de caixa des contado apresentase da forma seguinte 244 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Genericamente temse Exemplo 1 Admita que um investidor tenha projetado em 070 e 100 os dividendos por ação a serem pagos respectivamente ao final de cada um dos próximos dois semestres Tendo sido estimado ainda em 2000 o valor de venda ao final do segundo semestre e definida em 10 as a taxa de retorno exigida pelo investidor para esta apli cação pedese a determinar o valor máximo a ser pago hoje por essa ação de forma que o investidor apure um retorno equivalente a 10 ao semestre b estando a cotação da ação atualmente fixada em 1950 calcular a rentabilidade que se ob teria na aquisição dessa ação respeitandose as demais condições estabelecidas no exemplo Solução a o 070 I Po p2 2000 02 100 I 2 semestres p 070 100 2000 o 1 01 1 o 12 1 012 p 070 2100 17 99 o 11 112 Para que se obtenha uma rentabilidade de 10 ao semestre e considerando as previsões de dividen dos semestrais e preço de venda ao final do ano o preço máximo a ser pago por esta ação atinge 1799 b o 070 I p2 2000 02 100 r lo 2 semestres P0 1950 Pelo conceito de fluxo de caixa descontado tem se O 70 1 00 20 00 1950 1 K 1 K 2 1 K2 19 50 070 2100 1 K 1 K 2 Resolvendose K 559 as ou 1148 aa A rentabilidade que se obteria de 559 as é in ferior à taxa mínima exigida pelo investidor de 10 as tornando desinteressante a aquisição da ação pela sua cotação de 1950 Dessa forma para qualquer prazo definido da aplicação e quaisquer que sejam os valores e os cri térios de recebimento dos benefícios o modelo do fluxo de caixa descontado conforme é apresentado permite que se calcule o valor teórico de compra P 0 e de venda P n da ação assim como o retorno espe rado K do investimento 1412 Aplicações em ações com prazo indeterminado Existem situações em que o prazo do investimen to em ações apresentase indefinido não se preven do o momento da venda Nestes casos por se tratar de prazo indeterminado perpétuo os únicos bene fícios a serem considerados nos fluxos de caixa são os dividendos esperados podendo ser representados graficamente da seguinte forma o 02 03 04 I I I I 00 Jo 2 3 4 Po A tarefa de se prever os dividendos futuros nesses casos é complexa envolvendo prazos dilatados A ex pressão de cálculo apresentase D D D P 1 2 3 0 1 K 1 K2 1 K3 D4 Doo 1 K4 1 Kr ou genericamente De acordo com o que foi desenvolvido no Capí tulo 7 item 733 um fluxo de caixa com duração indefinida é identificado pela relação entre o fluxo periódico de caixa e a taxa de desconto considerada ou seja Assim a taxa de retorno esperada e o preço de compra são obtidos determinandose respectiva mente os valores de K e P 0 na equação Essa identidade ainda assume que os valores dos dividendos periódicos D se mantenham constantes ao longo do tempo Exemplo 1 Uma pessoa adquire um lote de ações com o in tuito de formar um pecúlio para sua aposentado ria Não pretendendo se desfazer destas ações em tempo previsível admitese que a aplicação é rea lizada por prazo indeterminado As ações foram adquiridas pelo preço de 2750 cada O investi dor define ainda em 12 ao ano sua taxa mínima exigida de retorno Pedese demonstrar se o preço pela ação foi economicamente adequado preven dose um fluxo anual de dividendos no valor de 330 por ação Solução Descontandose o fluxo de dividendos de 330 à taxa de atratividade de 12 ao ano conforme de finida pelo investidor chegase a um valor presen te de 2750 igual ao valor pago pela ação Logo o investidor está ganhando exatamente a taxa de retorno desejada sendo o preço pago o valor má ximo permitido de compra Isto é p D o K Matemática Financeira e Avaliação de Ações 245 p 3 30 27 50 o 012 ou 2750 330 K K 330 12 2750 Conforme foi comentado o modelo de fluxos de caixa com duração indeterminada pressupõe que o valor dos dividendos permaneça inalterado ao lon go dos anos No entanto podem ser previstos em di versas situações crescimentos periódicos nesses valo res e nesses casos é utilizado o denominado modelo de Gordon para a determinação do valor da ação Definindose por g a taxa periódica e constante de crescimento dos dividendos temse para um fluxo de caixa indeterminado D0 1 g D01 g2 D01 g3 po 1 K 1 Ki 1 ki D0 1 gr 1 K 00 Ao se admitir que a taxa constante de crescimen to g seja inferior à taxa de desconto K hipótese implícita no modelo a extensa fórmula anterior é de duzida matematicamente para ou Exemplo 1 O dividendo de determinada ação está fixado em 085 para o próximo ano Está previsto também que estes dividendos irão crescer a uma taxa cons tante de 4 ao ano indefinidamente Admitindose que os acionistas dessa empresa de sejam obter uma rentabilidade mínima de 15 aa determinar o valor teórico de compra desta ação 246 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Solução Por se tratar de um fluxo de caixa indefinido com os dividendos crescendo anualmente a uma taxa constante é utilizado o modelo de Gordon para o cálculo do valor intrínseco da ação ou seja D p 1 o K g p o 085 085 773ação 015 004 011 Este é o preço máximo teórico que se pagaria por essa ação de forma a satisfazer o retorno mí nimo desejado de 15 Exercícios resolvidos 1 Determinar a rentabilidade produzida por uma ação adquirida no início de certo trimestre por 6000 e vendida por 6230 ao final desse mesmo período após o investidor ter recebido O 90 sob a forma de dividendos Solução lo P0 6000 p D Po n 1 K 1 K 6000 6230 1 K 090 1 K 6000 6320 1 K 1K 6320 6000 K 533 at 1747 am P1 6230 D 090 J 1 mês 2 O preço atual de mercado de uma ação atinge 400 Estimamse os seguintes dividendos por ação a serem distribuídos respectivamente ao fi nal dos próximos 4 trimestres 011 018 025 e 033 Para um investidor que deseja obter uma taxa de rentabilidade anual efetiva de 20 nessa aplica ção determinar o preço que a ação deveria ser vendida ao final de um ano Solução P0 4000 K K 400 400 p4 o 011 02 018 03 025 I I I 04 033 I 1 2 3 4 trimestres 20 aa 120 1 466 at 011 018 025 1 0466 1 04662 1 04663 033 p4 1 20 1 20 01051 01643 02181 0275 p 120 p 120 32375 P0 3885ação 3 Uma empresa não pretende pagar dividendos nos próximos dois anos Do 3º ao 7º ano prevê uma distribuição de 150 por ação Do 8º ao 12º ano estes dividendos anuais se elevam para 210 por ação A partir do 13º ano esperase que os divi dendos se elevem indefinidamente a uma taxa constante de 25 ao ano Para uma taxa de retorno exigida de 10 ao ano determinar o preço teórico de mercado dessa ação j Matemática Financeira e Avaliação de Ações 247 Solução t P0 150 x 1 110 5 x 1102 210 x 1 110 5 x 1107 o 1 o v o 1 o v carência de carência de 5 fluxos anuais 2 anos 5 fluxos anuais 7 anos iguais e consecutivos iguais e consecutivos 210 X 1025 X 11012 0100025 carencm de fluxo indefinido com 12 anos crescimento a taxa g P0 56862 X 1102 796 X 1107 2870 X 11012 P0 46993 4085 91447 P0 1793ação 4 Determinada ação é adquirida em Bolsa de Valo res por 420 Ao final de 4 meses o acionista re cebe 022 de dividendos e vende sua ação por 592 Admitindose que a taxa de inflação tenha atingido 725 no período determinar a rentabi lidade real mensal auferida pelo investidor nesta aplicação Solução Jo P0 420 Po 420 1 K4 1 K4 1 K4 1K K pn 1 Kn 592 022 1 K4 614 420 14619 14619 10996 D4 022 p4 592 J 4 meses 996 ao mês ou 4619 ao quadrimestre Taxa de Inflação I 725 ao quadrimestre ou I 177 ao mês Rentabilidade Real r 1 0 0996 1 1 00177 r 1 0996 1 80 ao 10177 mês 5 A atual política de dividendos de uma empresa prevê uma distribuição anual de 240 por ação indeterminadamente atingindo 5 ao ano a taxa de crescimento desses valores Essa prática no entanto está em via de alteração pela empresa a qual pretende estabelecer as se guintes condições não haverá distribuição de dividendos para os próximos dois anos a partir do 3º ano os dividendos serão da or dem de 286 por ação crescendo indefinida mente também em 5 ao ano Pedese determinar o impacto da implementação dessa nova política sobre o patrimônio riqueza dos atuais acionistas da empresa Sabese ainda que os acionistas desejam um retomo de 20 ao ano sobre seus investimentos 248 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Solução Política Atual ÇJY 1 1 1 1 1 1 ftL1 Dl Kg P 24 16 00a ão o o 20 o os ç Proposta de Alteração 2 3 4 00 o 286 02 286 1 05 03 286 1 052 I o 3 4 5 00 2 86 x 1202 1324ação 020 OOS O valor teórico intrínseco da ação que denota corrente de mercado seja de 10SO qual a taxa a riqueza de seu proprietário é reduzido diante das de capitalização taxa de retorno anual defini alterações propostas na política de dividendos da pelo mercado 4 Os investidores de uma empresa definem em 18 ao ano a taxa mínima de retorno exigida Exercícios propostos Calcular o preço corrente da ação admitindo que os dividendos anuais atualmente definidos 1 Suponha que a ação de uma empresa esteja sen do vendida atualmente por 220 A expectativa dos investidores é a de receber um dividendo de O 14 por ação ao final de um ano Eles esperam também que possam vender a ação por 246 logo após o recebimento do dividendo Pedese determinar o retorno esperado pelos in vestidores 2 Uma empresa promete pagar um dividendo de 022 por ação ao final de um ano Após os di videndos esperase que o preço de mercado da ação atinja 440 Sendo a taxa de rentabilidade esperada de mercado de 12 ao ano calcular o preço corrente da ação 3 Se os dividendos de uma ação estão estimados indefinidamente em 137 ao ano e o seu preço em 100 por ação cresçam indefinidamente a uma taxa constante de 3 ao ano S Estimase que os dividendos de uma empresa cresçam indefinidamente a uma taxa constante de S ao ano Se o dividendo esperado para o próximo ano for de 12S determinar o preço corrente desta ação admitindose uma taxa de desconto K de a 12 aa b 1S aa 6 Em determinado mês o preço de mercado de uma ação atinge 1400 Este preço é baseado em expectativas permanentes de benefícios eco nômicos de caixa dividendos os quais deve rão esperase crescer em 6 ao ano A taxa de atratividade definida pelos investidores de 18 ao ano Um quadrimestre após no entanto os investido res revisaram suas projeções e diante de sinais ele desaceleração da atividade econômica no fu turo reduziram a taxa de crescimento esperada dos dividendos para 4 ao ano Para um fluxo de benefícios de caixa indetermi nado e mantendose inalterada a taxa de retorno exigida em 18 ao ano pedese determinar a valor dos dividendos incorporados no cál culo do preço corrente de mercado da ação de 1400 admitindo a previsão de cresci mento de 6 aa dos dividendos b o novo preço teórico da ação como resul tado da revisão das projeções de benefícios esperados Admita um fluxo corrente de di videndos nesse período de 114 por ação 7 Os dividendos atuais de determinada ação são de 065 sendo de 24 ao ano a taxa de retor no exigida pelos investidores Calcular o preço teórico de mercado da ação admitindose que a estimase um crescimento de 8 ao ano nos dividendos nos três primeiros anos e poste riormente 6 ao ano indefinidamente b esperase que os dividendos cresçam 12 ao ano nos cinco primeiros anos sendo in definidamente nula a taxa de crescimento a partir do 6º ano 8 Admita que o preço corrente de mercado de uma ação atinja 882 Estimamse os seguintes be nefícios econômicos desta aplicação dividendos de 053 a serem pagos ao final de um mês O preço corrente de mercado da ação no momento imediatamente após o pagamento dos dividen dos está previsto em 885 Projetandose uma taxa de inflação para o mês em 17 determi nar o retorno real esperado do investidor para o período 9 Admita que um investidor tenha efetuado em determinado mês as seguintes operações de compra e venda de ações Matemática Financeira e Avaliação de Ações 249 Admitindose que a sua carteira de ações esteja avaliada a preços de mercado em 12100000 ao final do mês determinar a rentabilidade men sal apurada por esse investidor 10 Estão previstos os seguintes fluxos de dividendos anuais de uma ação dividendos fixos de 052 por ação ao final de cada um dos próximos 4 anos a partir do 5º ano os dividendos anuais se elevam para O 76 indefinidamente Pedese a para uma taxa mínima de atratividade de 18 ao ano determinar o preço máximo de compra dessa ação b calcular o valor dos dividendos anuais cons tantes cujo valor presente seja equivalente ao preço teórico de compra determinado na questão anterior 11 Um investidor adquire uma ação por 2300 Ao final dos dois semestres seguintes ao momento da compra são distribuídos dividendos de res pectivamente 140 e 200 por ação Perma necendo com esta ação ainda por mais três me ses após o recebimento do segundo dividendo pedese determinar o valor de venda desta ação de modo que o investidor apure uma rentabili dade mínima de 3 ao mês na aplicação 12 Os dividendos por ação a serem distribuídos por determinada empresa estão previstos em 150 e 180 para o primeiro e segundo semestres de 20X9 respectivamente Admitindose que um investidor tenha adquirido essa ação no início do ano por 1100 qual deverá ser o seu preço de venda ao final de 20X9 após o recebimento do dividendo previsto no 2º semestre de modo que obtenha uma rentabilidade real mínima de sejada de 20 ao ano Estimase em 14 a in flação de 20X9 13 A projeção de distribuição de dividendos de de terminada ação é de 058 para o próximo ano Diante da evolução apresentada pelos lucros da empresa esperase que a taxa de crescimento desses dividendos atinja 3 ao ano acima da in flação O horizonte do investimento é de 4 anos findo o qual a ação será vendida A taxa de retorno exigida pelo investidor na apli cação é de 20 ao ano acima da inflação Está 250 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto prevista ainda uma inflação média de 15 ao ano para os próximos 4 anos Sabese também que o preço de mercado da ação temse valori zado em 75 ao ano acima da inflação Pedese determinar o preço máximo que o inves tidor deveria pagar hoje pela ação 14 Uma empresa está avaliando as seguintes políti cas de distribuição de dividendos 1 dividendos de 150 por ação pagos anual mente 2 nos próximos 3 anos não haverá distribui ção de dividendos A partir do 4º ano in clusive os dividendos serão da ordem de 215 por ação Admitindose que os fluxos de dividendos das duas propostas sejam indeterminados pedese a para um investidor que apresente uma taxa de atratividade de 20 ao ano determinar o preço máximo que ele pagaria pela ação em cada uma das propostas acima 15 Admita as seguintes estimativas de crescimento dos dividendos de uma ação 6 ao ano para os próximos 4 anos 9 ao ano para os 6 anos seguintes 5 ao ano para daí em diante Sabese que o dividendo esperado para o próxi mo ano dessa ação é de 080 Fixandose em 12 ao ano a taxa mínima de retorno requerida determinar o preço máximo que um investidor pagaria por esta ação e demonstrar o valor dos dividendos anuais esperados 16 Um investidor adquire a vista 9000000 de ações na expectativa de um ganho mínimo de 35 ao mês De posse destas ações o compra dor as vende por 9300000 para recebimento em três parcelas iguais e sucessivas vencendo a primeira em 20 dias a segunda em 25 dias e a terceira em 30 dias Determinar a rentabilidade da operação comen tando se o investidor fez um bom negócio Respostas 1 1818 aa ou 14 am 2 4125 3 1305 aa 4 667 S a 1786 b 1250 6 a 168 b 814 7 a 402 b 405 Valor dos Dividendos Anuais Esperados 1 080 2 0848 6 aa 3 0899 4 0953 5 1039 6 1 132 7 1234 9 aa 8 1345 9 1466 10 1598 11 1678 12 1762 5 aa 13 1850 00 8 457 am 9 220 am 10 a 358 b 064 11 3182 12 1149 13 378 14 750 e 622 15 Preço Máximo 1450 16 Sim fez um bom negócio O valor presente dos fluxos de recebimento é maior que o valor pago PV 9037273 denotando uma rentabi lidade superior aos 35 exigidos K 4015 am Matemática Financeira Títulos Públicos e Contratos Futuros A operações envolvendo títulos públicos vêm ga nhando importância cada vez maior nos mercados financeiros de todo o mundo A participação destes papéis nas carteiras de investimentos é relevante promovendo um alto volume de negociações Partindo de uma revisão da formação e cálculo da taxa de juro SELIC desenvolvida anteriormente Cap 6 este capítulo dedicase ao estudo de a principais títulos públicos federais negociados no mercado financeiro nacional b marcação a mercado dos títulos públicos c avaliação dos contratos futuros de taxas de ju ros lastreados em depósitos interfinanceiros denominados de Contratos Futuros Dis Os títulos públicos federais formam a Dívida Pú blica Mobiliária interna do Brasil e são emitidos pela Secretaria do Tesouro Nacional STN responsável pela gestão e controle da Dívida Pública Mobiliária do Governo Federal Importante lembrar que no mercado financeiro brasileiro o prazo das operações é geralmente defi nido para operação das taxas de juros em contagem de dias corridos tendo como padrão um ano de 360 dias e em contagem de dias úteis sendo o anobase definido em 252 dias úteis 151 Taxa SELIC O SELIC Sistema Especial de Liquidação e Cus tódia de acordo com a definição do Banco Central é o depositário central dos títulos da dívida pública federal interna Neste sistema são registradas e con troladas entre outras operações as negociações se cundárias envolvendo títulos públicos sendo realiza das também as respectivas liquidações financeiras O sistema é administrado pelo Banco Central através do DEMAB Departamento de Operações do Merca do Aberto em parceria com a ANDIMA Associação Nacional de Instituições de Mercado Aberto Os títulos negociados no SELIC apresentam nor malmente elevada liquidez e risco bastante reduzido considerando que são emitidos pelo poder público As taxas destes títulos públicos negociados consti tuemse na principal referência do mercado para a formação das taxas de juros A taxa overnight da SE LIC representa a média ponderada das operações de financiamento de um dia lastreadas em títulos públi 252 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto cos federais Em outras palavras é a taxa de juro re presentativa de um dia útil A taxa SELIC é atualmente fixada pelo Banco Cen tral em reuniões periódicas do COPOM Comitê de Política Monetária como resultado de uma política monetária que define uma meta para a taxa de juros Esta taxa é normalmente expressa em taxa anual ou seja taxa over efetiva ao ano base de 252 dias úteis conforme estudada no Capítulo 6 Assim ad mitindose que o COPOM tenha definido uma taxa meta SELIC de 12 aa a taxa equivalente por dia útil é calculada da seguinte forma idu 11211252 1 X 100 00450 adu ao dia útil Por outro lado sendo de 00476 a taxa ao dia útil a taxa efetiva anual over atinge a lanual 1000476252 1 X 100 1274 aao ao ano over A tabela abaixo ilustra as taxas anuais over efe tivas SELIC definidas como meta no último mês dos anos 2002 a 2011 conforme disponibilizadas pelo Banco Central wwwbcbgovbr A última coluna calcula a taxa efetiva por dia útil considerando 252 dias úteis Assim a taxa anual de dez2003 equivale a 11731 11252 1 x 100 00634 adu e as sim por diante 152 Preço unitário PU de um ativo O preço unitário PU ou preço de aquisição equivale ao valor de negociação de um ativo no mer cado É calculado na data da negociação pelo valor total de resgate valor nominal do ativo descontado por uma taxa de juros que reflete o risco do investi mento taxa de atratividade do investidor Por exemplo admita que um título a vencer em 42 dias tenha um valor nominal valor de resgate de 10000000 Sendo de 22 a taxa de juro efetiva para todo o período o preço unitário de negociação do ativo atinge a PU 10000000 97847 36 1022 O valor do PU é uma função inversa da taxa de desconto Quanto maior a taxa de juro menor o PU e viceversa 153 Contratos futuros de juros Com a criação da Bolsa de Mercadorias Futuros BMF foram desenvolvidos os contratos futuros de taxas de juros atualmente baseados nas taxas dos Depósitos Interfinanceiros Dis Por isso esses con tratos são hoje conhecidos por DIFuturo O objeto de negociação desses contratos são as ta xas Dis conforme calculadas pela Central de Custó dia e Liquidação Financeira de Títulos CETIP Os principais padrões de negociação de um con trato DIFuturo definidos pela atual BMFBovespa são os seguintes Valor Nominal valor do contrato no venci mento R 10000000 Taxa de Negociação taxa efetiva anual com base em 252 dias úteis Preço Unitário PU consiste no preço atu al de negociação do título para receber R 10000000 em seu vencimento futuro O títu lo é negociado cotado no mercado pelo seu valor nominal descontado pela taxa de juro de negociação A formulação básica de cálculo do preço de um contrato expressa em PU apresentase onde taxa e juro de negociação correspon dendo ao período de vencimento do contrato n intervalo de tempo em dias úteis desde a data de negociação inclusive até a Exemplo data de vencimento do contrato exclu sive Um contrato futuro com prazo corrido de um mês e que contém 22 dias úteis é negociado à taxa efe tiva anual over de 145 aao ao ano over O va lor nominal do contrato atinge a R 10000000 O PU de negociação deste ativo é calculado da seguinte forma PU R 10000000 98824 86 114522252 O investidor está aplicando R 9882486 hoje para receber após 22 dias úteis na data de venci mento do contrato o valor de R 10000000 que corresponde à uma taxa efetiva anual over de 145 Se um investidor tem a expectativa de a taxa futura de juros situarse abaixo deste percentual irá aufe rir um ganho ao aplicar seus recursos comprar PU Por exemplo se a verdadeira taxa de juros verificada no período for de 132 aao conforme informada pela CETIP o aplicador irá apresentar o seguinte re sultado O vendedor do contrato futuro ao contrário es tava apostando numa taxa de juro anual acima de 145 definida para a operação Como o juro ficou abaixo do mínimo desejado 132 apura um pre juízo de R 9963contrato Exercícios 1 Determinar a taxa anual efetiva de um contra to futuro de DI com 44 dias úteis até o seu ven cimento e cujo PU de negociação atinge a R 9842513 Solução Taxa 25244 l Efetiva i 10000000 1 x 100 9842513 Taxa Efetiva i 952 aao ao ano over Matemática Financeira Títulos Públicos e Contratos Futuros 253 2 O quadro a seguir fornece em determinada data informações sobre dois contratos futuros de ju ros negociados na BME Sabese que o valor de cada contrato no vencimento é fixado em R 10000000 Pedese determinar a taxa efetiva anual de juro base de 252 dias úteis prevista em cada contrato Solução Contrato 1 i 10000000 1 1 70 I 21 du Jan 9832730 p ou i 1000000025221 1 2244 aao Jan 9832730 Contrato 2 Dias Úteis 21 19 40 i c Jan ev 10000000 1 2 78 I 40 du 9729140 p ou 100 00 1 18 890 000 25240 l ro aao Jan ev 9729140 Esta taxa calculada com base no bimestre jan fev é conhecida no mercado como taxa spot mer cado a vista Taxa Anual Referente a Fevereiro 1 ijan feJ 1 ijan X 1 ifeJ 10278 10170 X 1 ifev ifev 1062 p 19 du ifev 101062252119 1 150 aao Esta taxa calculada com base no mês fevereiro é adotada no mercado como taxaforward taxa a ter mo 254 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 154 Títulos públicos Os títulos públicos podem ser emitidos pela União Estados e Municípios Este capítulo dedicase aos tí tulos de responsabilidade do Governo Federal emiti dos pela Secretaria do Tesouro Nacional O objetivo é demonstrar o cálculo financeiro básico dos principais títulos públicos negociados no Brasil1 A emissão de títulos públicos é uma importante alternativa de captação de recursos para o gover no constituindo a denominada Dívida Mobiliária da União Estes papéis apresentamse também como uma interessante oportunidade de investimentos para os aplicadores de mercado em geral constitu ídos por pessoas físicas e jurídicas O investidor não é obrigado a manter o título pú blico até o seu vencimento Se desejar pode negociar os títulos adquiridos a qualquer momento normal mente oferecendo algum deságio O mercado de títu los públicos vem crescendo bastante no Brasil sendo atualmente um dos principais papéis que compõem a carteira de fundos de investimentos Os títulos públicos oferecem remuneração a partir de taxas de juros prefixadas ou pósfixadas poden do o resgate prever atualização por algum índice de mercado ou até mesmo correção cambial Os títulos públicos federais emitidos pela Secreta ria do Tesouro Nacional são considerados os investi mentos mais seguros sendo garantidos pelo Governo sugerindo reduzida possibilidade de inadimplência A negociação primária dos títulos públicos pode se realizar por a oferta pública através de leilão b oferta pública direta sem leilão também conhe cida por Tesouro Direto c emissão e colocação vi sando atender a algum objetivo específico previsto em lei Os principais títulos de responsabilidade do Te souro N acionai são Letras Financeiras do Tesouro LFT Letras do Tesouro Nacional LTN Notas do Tesouro Nacional NTN As características básicas destes títulos são apre sentadas a seguir Principais características dos títulos públicos federais Múltiplo de Deságio sobre o Tesouro Nacional Não há valor nominal LFT Letras Múltiplo de R 100000 Pósfixado taxa Financeiras do Atualizações pela taxa SE LI C Tesouro SELIC desde a database NTNF Notas do Múltiplo de R 100000 Deságio sobre o Tesouro Nacional Não há atualização valor nominal Série F NTNB Notas do Múltiplo de R 100000 Pósfixado Tesouro Nacional Atualizações pelo IPCA Série B desde a database NTNC Notas do Múltiplo de R 100000 Pósfixado Tesouro Nacional Atualizações pelo IGPM Série C desde a database NTND Notas do Múltiplo de R 100000 Pósfixado Tesouro Nacional Atualizações pela variação Série D da cotação do dólar dos EUA 1 As características dos cálculos operacionais dos títulos públicos federais conforme desenvolvidas neste capítulo foram obtidas em sua essência do documento COM CÓ DIGO OPERACIONAL DO MERCADO elaborado pela AN DIMA e disponível em wwwandimacombr Não há Semestral Definida quando da emissão do título Semestral Definida quando da emissão do título Semestral Definida quando da emissão do título Semestral Definida quando da emissão do título 1541 Marcação a Mercado MaM Representa o ajuste do preço de um título ao seu valor cotação de mercado Com aMaM o valor de um título ou de uma carteira de títulos reflete quan to o investidor efetivamente receberia caso os papéis fossem vendidos naquela data A marcação a mercado pelas instituições financei ras tornouse obrigatória no Brasil por Circular do Banco Central oferecendo ao investidor maior trans parência do capital aplicado precificando os títulos de maneira mais próxima da realidade Importante Se o investidor mantiver o título até o seu vencimento receberá exatamente os juros e o valor de face prometidos em sua emissão indepen dentemente de sua marcação a mercado 1542 Principais medidas dos títulos públicos Valor preço de Mercado Valor de negociação do título no mercado Preço que o investidor irá pa gar em caso de adquirir investir o título Valor de Face ou Valor Nominal valor de res gate do título na data de seu vencimento Data de Vencimento momento previsto para resgate do título recebendo o investidor seu valor de face conforme definido em sua emis são Quando o investidor permanece até o ven cimento do título receberá exatamente o seu valor de face Caso negocie o papel an tes da data de vencimento o valor a ser re cebido é o do mercado Cupom para os títulos que pagam juros pe riódicos ao investidor o cupom representa o valor dos juros Os juros são definidos como uma porcentagem calculada sobre o valor no minal do título sendo a taxa prevista em sua emissão O percentual previsto de juro é deno minado de taxa do cupom Valor Nominal Atualizado Ajustado al guns títulos públicos são corrigidos por índices de preços IPCA IGPM como alguns tipos Matemática Financeira Títulos Públicos e Contratos Futuros 255 de Notas do Tesouro Nacional NTN ou pela taxa Selic como a Letra Financeira do Tesouro LFT Esses papéis têm seu valor nominal cor rigido desde a database geralmente a data da emissão do título até a data de sua liquidação no mercado A Secretaria do Tesouro Nacional divulga o Valor Nominal Atualizado VNA de alguns títulos 155 Letras do Tesouro Nacional LTN Principais características Formulações onde N Valor nominal resgate do título PU Preço unitário de compra do título onde du número de dias úteis a decorrer do título definido pelo intervalo de tempo entre a data de liquidação inclusive e a data de vencimento exclusive 252 número de dias úteis do ano conforme definição do Banco Central do Brasil O diagrama de fluxo de caixa de urna LTN é repre sentado da maneira seguinte 256 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Valor nominal N R 100000 I n data de vencimento Preço unitário de negociação PU Taxa Efetiva de Intervalo de tempo expresso Juros no Período em dias úteis du 1551 Exemplos leilão primário de LTN 1 Admita que o Banco Central divulgue os seguintes resultados de um leilão primário de LTN Valor Nominal do Título R 100000 PU Médio R 712396460 Dias Úteis 598 Dias Corridos 880 Pedese calcular a taxa efetiva de juro no período e a taxa efetiva over anual Solução a Taxa Efetiva de Juro no Período 100000 o 370 d Taxa 1 4 70 no peno o 712396460 b Taxa Efetiva Over Anual Taxa lOOO 00 J 598 1 x 100 252 l 712396460 1536 aao aao ao ano over 2 Admita que uma instituição financeira tenha ad quirido um lote de LTN em mercado primário O prazo do título é de 108 dias corridos correspon dendo a 76 dias úteis A instituição define uma taxa over anual de 118 para o negócio Pedese calcular o PU preço unitário que a instituição deve oferecer no leilão Solução Representação gráfica do investimento PU 118 aao N R 100000 I n 1 08 dias corridos n 76 dias úteis O PU é calculado para uma determinada data pelo valor presente dos fluxos de caixa esperados do título ou seja PU lOOOOO R 966920053 l 1 118f6252 Este preço de compra se aceito no leilão dos tí tulos irá propiciar uma taxa de retorno de 342 no período da aplicação ou seja N R 100000 1 Taxa de retorno PU R 966920053 342 ao período 1552 Exemplos mercado secundário de LTN 1 Admita uma LTN negociada no mercado secundá rio em 65 de determinado ano à taxa de 107 aa Da data da negociação até o vencimento são computados 420 dias úteis Pedese determinar o preço unitário de compra PU do título Solução PU R 100000 R 844151957 1 107420252 Na negociação de LTN no mercado secundário é considerado o prazo a decorrer em dias úteis A operação é registrada no SELIC Sistema Espe cial de Liquidação e Custódia em PU Preço Uni tário 2 Um investidor adquire uma Letra do Tesouro Nacional LTN pelo preço unitário PU de R 931314852 O prazo do título é de 127 dias úteis Pedese calcular a taxa efetiva de juro auferida pelo investidor no período da aplicação b taxa over efetiva anual Solução R 100000 1 a EFEi R 931314852 7375 ap no período b iover 1073752521127 1 1516 aao 3 Admita uma LTN negociada no mercado com as seguintes informações Data de vencimento 1º1020x7 Data de compra 25720x5 Data de liquidação 28720x5 Taxa de retomo 124640 aa base 252 du Dias úteis entre a data de liquidação do papel 28720x5 e a data de vencimento 1º10 20x7 529 du Pedese calcular a Preço de negociação PU do título Solução PU lOOOOO 781469590 1 124640529252 b Demonstrar o cálculo da taxa de juro retomo do título Solução Taxa i lOOOOO 1 x 100 781469590 279640 p 529 du Taxa i 1279640 1 x 100 124640 aao 156 Letras Financeiras do Tesouro LFT Principais características Matemática Financeira Títulos Públicos e Contratos Futuros 25 7 1561 Cálculo da cotação da LFT Estando em 120 aa a taxa SELIC por exem plo e desejando um investidor obter uma rentabili dade de 1230 no período pedese calcular a cota ção da LFT que apure esta taxa de retomo requerida Solução 1 x 100 0267857 aa 1 123 1120 Esta é a taxa de juros que juntamente com a atu alização pela taxa SELIC projetada de 120 aa oferece uma rentabilidade efetiva de 1230 aa ao investidor Representa em outras palavras um acrés cimo ao valor de face do título fator de remune ração para que promova a taxa de retomo deseja da de 1230 aa Caso a rentabilidade efetiva aceita pelo investidor seja superior à taxa SELIC temse um fator de desconto sobre o valor nominal No exemplo ilustrativo admitindose ser de 380 dias úteis o prazo da LFT a cotação do título atinge a C N Cotação Cheia 100 O otaçao 1 002678573801252 99597441 Logo Cotação 99597441 De maneira inversa com a cotação da LFT po dese apurar à rentabilidade exigida pelo in vestidor acima da taxa SELIC ou seja Rentabilidade 100 0 380 1 x 100 2 l 99597441 0267857 aao Observe que em razão da remuneração adicional esperada pelo investidor ser geralmente reduzida a cotação da LFT é bastante próxima da taxa SELIC perto de 100 Este percentual calculado reflete a taxa de spread de crédito definida pelo mercado para as LTFs com diferentes vencimentos Esta taxa é geralmente di vulgada ao mercado 258 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 1562 Cálculo do acréscimo ao valor de face daLFT Admita as informações abaixo referentes à cota ção média de uma Letra Financeira do Tesouro con forme divulgada pelo Banco Central Valor de Face Nominal R 100000 Cotação Cheia 1000 do valor nominal Cotação Média 993455 Dias Úteis de Emissão do Título 2442 Pedese apurar o acréscimo sobre o valor de face a taxa de retorno aao e o PU Preço Unitário da LFT Solução Cotação Cheia 1000 Acréscimo Cotação Média 993455 1006588 A partir deste acréscimo é possível apurarse a rentabilidade média em taxa over efetiva anual ou seja Retorno Médio 1006588 25212442 1 x 100 Retorno Médio 0067785 aao ao ano over Desta forma pode ser sugerida a seguinte formu lação de cálculo para a rentabilidade de uma LFT Utilizando a formulação com os dados do exem plo temse 252 l 100 o 2442 Rentab1hdade 1 x 100 993455 0067785 aao O Preço Unitário PU da LFT é calculado pelo produto da cotação do título e o seu valor nomi nal ou seja PU cotação x Valor Nominal Substituindo os valores PU 993455 X R 10000000 PU R 9934550 1563 Cálculo do valor de mercado da LFT mercado secundário Um valor de mercado PU a mercado de uma LFT é desenvolvido pela seguinte formulação onde VNA valor nominal atualizado A correção tem por base a variação da Selic nos dias úteis entre a data de emissão do título data base e a data de avaliação precifica ção O VNA é calculado n O VNA é o produto do preço de emissão PU 100000 corrigido pela taxa acu mulada da Selic Este valor atualizado é divulgado pelo Banco Central número de dias decorridos entre a data de emissão ou database e a data de precificação spread do papel definida pelo mercado Taxa de retorno exigida pelo investidor acima da taxa Selic du número de dias úteis existente da data de precificação do título até a sua data de vencimento PUMaM valor de mercado da LFT Calculado pelo seu valor nominal atualizado VNA atualizado a valor presente aplicando a taxa de spread de crédito do título Exercício Ilustrativo Admita uma LFT com prazo de 532 dias úteis até o seu vencimento A taxa de spread para o título no mercado é de 0273498 aa e a taxa Selic acumu lada no período 532 du atingiu a 21924366 Pedese calcular o valor nominal atualizado VNA e o valor a mercado PUMaM da LFT Solução Valor nominal atualizado VNA VNA 100000 X 121924366 R 1219243660 Valor a mercado da LFT PUMaM PUMaM 1219243660 532 1 00273498252 R 1212233772 A precificação da LFT no mercado incorpora seu valor nominal atualizado VNA pela variação da Se lic acumulada no prazo entre a database emissão e a data de precificação acrescido do spread do papel conforme praticado pelos investidores 157 Notas do Tesouro Nacional Série F NTNF Principais características das NTNs Matemática Financeira Títulos Públicos e Contratos Futuros 259 Formulações onde i taxa de juro anual definida no edital de leilão da NTNE O fluxo de caixa representativo da Nota do Tesou ro Nacional Série F para um prazo de dois anos é apresentado da seguinte maneira N c Cz c3 c4 I I I I 2 3 4 semestres em dias úteis PU onde PU preço unitário N valor nominal do título C1 C4 valor do juro cupom previsto para cada período de acordo com taxa definida no leilão 15 71 Cálculo do PU de uma NTNF O preço unitário de uma NTNF é determinado pelo valor presente dos pagamentos previstos juros e principal descontados pela taxa de retorno reque rida pelo investidor Conforme observado o intervalo entre a data de liquidação e a data de pagamento é definido em dias úteis Para ilustrar esta operação é calculado a seguir o PU de uma NTNF admitindo uma taxa efetiva anual de juros de 122 e cupom de 6 ao ano de acordo com o que ficou definido no edital de leilão do título O número de dias úteis de cada parcela é apresenta do no fluxo de caixa abaixo PU N R 100000 c Cz c3 c4 I I I J 125 252 380 507 dias úteis Valor do Cupom C R 100000 x 106112 1 R 2956 O PU da NTNF é calculado da seguinte forma 260 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Pu 2956 2956 2956 125 2521 380 1122 1252 1122 7252 1122 1252 507 507 2956 100000 j 1122 252 1122 252 PU R 895830265 1572 Operação de leilão primário de NTNF Para o desenvolvimento da operação completa de leilão primário de NTNF admita as seguintes infor mações divulgadas pelo Banco Central 2 O Banco Central divulga o PU com arredonda mento de seis casas decimais e a taxa efetiva anual de juros com três casas decimais Para negociação dos títulos no mercado secundá rio é utilizada a taxa efetiva anual base em 252 dias úteis Os prazos de pagamentos dos juros e do princi pal são também baseados em dias úteis Observe que conforme previsto nos procedimen tos comentados da NTNF a primeira parcela de ju ros é paga contemplando integralmente os juros do semestre independente da data em que o título foi emitido São efetuados a seguir cálculos dos principais re sultados deste leilão 2 Para ilustrar o lançamento utilizouse de informações divulgadas pelo Banco Central e disponíveis em www andimacombr COM Código Operacional de Merca do Valor nominal R 100000 Prazo de emissão 1477 dias corridos corres pondendo a 1013 dias úteis Juros 10 aa equivalendo a 4880885 as Data de emissão 16122005 Data de resgate 112010 Preço unitário do título PU R 881275128 As datas dos pagamentos e respectivos valores previstos neste leilão de NTNF são apresenta dos a seguir conforme divulgados pelo Banco Central Juros Semestrais Os juros previstos em cada semestre são calcula dos seguindo a formulação apresentada Juros semestrais nominal x 1 i112 1 Juros semestrais R 100000 x 110112 1 R 48808850 Taxa Efetiva de Juros Dias Corridos A taxa efetiva anual oferecida por este título é cal culada pela metodologia da taxa interna de retorno IRR ou seja 48808850 48808850 48808850 1048888050 I I I I 2106 3706 2107 4110 881275128 881275128 48808850 48808850 1 i 1 i2 1048 808850 1 i9 Com o auxílio de planilhas financeiras do tipo Ex cel é calculada3 IRRi 6678 as que equivale a 13803 aa taxa composta Esta taxa efetiva de 13803 aa considera pa gamentos em intervalos semestrais de 180 dias cada Ou seja é a taxa efetiva de juros para dias corridos Taxa Efetiva de Juros Dias Úteis Pelas características de negociação da NTNF é necessário que os fluxos de caixa sejam expressos em dias úteis Assim 48808850 48808850 48808850 1 048888050 I I I l 11 135 260 1014 dias úteis 881275128 881 275128 48808850 48808850 1 ill252 1 0135252 1048808850 1 01014252 Calculandose IRRi 16007 aa Foi através desta taxa efetiva de 16007 aa basé em dias úteis que os fluxos de caixa do título foram descontados para se chegar em seu preço uni tário PU médio de R 881275128 conforme divul gado pela autoridade monetária Esta taxa base em dias úteis tornase ainda referência para negocia ções no mercado secundário Os procedimentos de cálculo deste título no mercado secundário são simi lares ao apresentado no leilão primário 3 Para utilização de calculadora financeira nas diversas operações sugerese ASSAF NETO Alexandre LIMA E Guashi Investimentos no mercado financeiro usando a cal culadora HP 12C 2 ed São Paulo Inside Books 2008 Matemática Financeira Títulos Públicos e Contratos Futuros 261 158 Notas do Tesouro Nacional Série B NTNB e Série C NTNC Principais características 1581 Negociação de NTNB no mercado secundário Admita um investidor que esteja avaliando adqui rir uma NTNB no mercado A taxa de juro definida para o título remuneração mínima exigida é de 9 aa base de 252 dias úteis mais atualização mone tária pelo IPCA 262 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto O fator de atualização informado entre a data base e a data de liquidação do título é de 10450 A NTN prevê quatro pagamentos semestrais de juros de 6 aa Os intervalos entre as datas de pagamen tos são 1 ª parcela de juros 125 dias úteis 2ª parcela de juros 252 dias úteis 3ª parcela de juros 380 dias úteis 4ª parcela de juros 507 dias úteis A metodologia de avaliação das NTNs séries B e C são similares à desenvolvida anteriormente para a NTNR Cálculo da cotação Valor dos Juros Semestrais R 100000 x 106112 1 Juros Semestrais R 295630 Valor Presente PV do Título Pv 295630 295630 295630 1 09125252 1 09252252 1 09380252 10295630 1 09507252 PV 947082349 947082349 Cotação 94708235 100000 Cálculo do PU PU Valor Nominal Atualizado VNA x Cota ção Valor Nominal Atualizado VNA R 100000 X 10450 R 104500 PU 104500 X 94708235 R 989701056 1582 Cotação da NTN Admita que em 1572009 seja negociado no mer cado uma NTNB com vencimento para 15122015 O número de dias úteis previsto para o período é de 1589 sendo contados da data de liquidação inclusi ve até a data de venda do título exclusive O valor nominal atualizado VNA do título em 1572009 estava fixado em R 1412790810 e os juros oferecidos pelo título de 732 ao ano Pedese determinar a cotação e o preço do mercado em R do título Cotação do título 100 Cotação 1 du252 100 Cotação c 1 07331589 252 Cotação 64015658 64015658 de seu valor nominal Preço de mercado Preço VNA x cotação Preço R 1412790810 x 64015658 Preço R 904407330 159 Notas do Tesouro Nacional Série D NTND Principais características 1591 Leilão primário de NTND Admita que o Banco Central tenha divulgado as seguintes informações de um leilão de NTND4 Valor nominal R 100000 Cotação média 998555 Juros do título 12 aa taxa nominal Prazo 580 dias corridos Data de emissão 41020x1 Data de liquidação 171020x2 Data da 1ª parcela de juros 71120x2 Data de resgate vencimento 7520x3 Cálculo dos Juros Semestrais 12 Taxa semestral 60 as 2 Juros semestrais 60 x R 100000 R 6000 Representação Gráfica 6000 106000 171002 I I I 711x2 75x3 Resgate 9985550 20ds 180d Taxa Efetiva de Juros 998 5550 6000 1060 00 1 020360 1 0200360 IRRi 2431 oo aa Observe que se os fluxos de caixa forem descon tados à taxa de 2431 oo aa o valor presente será igual a 998555 que representa a cotação do título Taxa Efetiva Expressa em YTM O Banco Central divulga a taxa do NTND seguin do o formato da YTM Desta forma a taxa efetiva calculada deve ser convertida para YTM que é a taxa básica de negociação do título no mercado Assim 4 Informações do leilão disponibilizadas em wwwan bidcom br 5 Ano comercial 360 dias Matemática Financeira Títulos Públicos e Contratos Futuros 263 Taxa efetiva semestral 12431112 1 x 100 114944 X2 YTM 2299 aa Valor Nominal Ajustado Atualizado do Título Admita conforme apurado pelo documento cita do da Andima que a cotação do dólar seja de 38744 na data de liquidação e de 18000 na data de ven da Nestas condições o valor nominal atualizado da NTND atinge Valor Nominal R lOOO 00 x 38744 Atualizado 1 8000 R 215244 PU do Título Fator de Variação Cambial O PU pode ser calculado através da seguinte ex pressão PU cotação x valor nominal atualizado PU 998555 X R 215244 PU R 214933 Exercícios resolvidos 1 Admita uma taxa SELIC meta definida pelo Banco Central de 1050 aa Pedese determinar a taxa efetiva por dia útil Solução Taxa Efetiva por Dia Útil 110511252 1 x 100 Taxa Efetiva por Dia Útil 00396 adu ao dia útil 2 Sendo de 170 a taxa over mensal pedese de terminar a a taxa por dia útil b taxa efetiva mensal admitindo a existência de 21 dias úteis c taxa efetiva over anual Solução a Taxa por Dia Útil 1 70 00567 adu 30 dias b Taxa Efetiva Mensal 100056721 1 x 100 264 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Taxa Efetiva Mensal 11975 c Taxa Efetiva Over Anual 10005672521 X 100 Taxa Efetiva Over Anual 15355 3 Calcular o preço unitário de negociação de um contrato futuro com vencimento em 34 dias úteis A taxa de desconto para avaliação deste contrato é igual à efetiva anual over de 118 Solução PU R 10000000 R 9850634 111834252 4 Um lote de LTN foi colocado em leilão pelo Te souro Nacional pelo PU de R 899136754 O va lor nominal do título é de R 100000 e o prazo de emissão definido pelo Ministério da Fazenda foi de 540 dias corridos contendo 377 dias úteis Pedese determinar a taxa de juro efetiva anual over Solução Taxa 1 x 100 1 000 00 252 1 377 l 899136754 73654 aao 5 A taxa de retorno anual exigida de uma LFT é de 1210 e a SELIC projetada para o ano atinge a 118 Sendo de 480 dias úteis o prazo entre a liquidação do título e o seu resgate pedese de terminar a sua cotação Solução 1121 100268336 que eqmvale a 1118 0268336 Taxa de juro que capitalizada com a SELIC proje tada de 118 ao ano forma a rentabilidade exigida pelo investidor Cotação Cotação Cheia 1000 99490869 1 002683364801252 Cotação 99490869 6 Admita que um investidor adquira uma NTNC na expectativa de auferir rendimentos anuais efeti vos de 11 base de 252 dias úteis mais corre ção calculada pelo IGPM Principais características do título Juros semestrais prometidos pelo título 6 aa taxa efetiva Prazo do título 2 anos Admita que os juros sejam pagos em 127 254 379 e 505 dias úteis Variação do IGPM desde a database até a data de liquidação da NTNC 78 Pedese calcular o PU do título Solução Juros semestrais 106112 1 x 100 29563 as Valor dos juros R 100000 x 29563 R 29563sem 29563 29563 Cotaçao PV 127 252 254252 111 111 29563 29563 111379252 111505252 100000 111505252 Cotação PV R 915198845 R 878950921 Cotaçao R 100000 91519885 Valor nominal atualizado R 100000 x 1078 R 107800 PU R 107800 X 91519885 PU R 986584360 7 Admita que um investidor em NTND deseja au ferir um retorno efetivo de 135 aa além da variação cambial Principais características do tí tulo Remuneração 6 aa taxa nominal com pa gamentos semestrais Prazo do título 2 anos 4 semestres Variação verificada no dólar desde a database do título até sua data de vencimento 85 Pedese calcular a Cotação da NTND b PU do título Solução a Cotação 6 Rendimentos x R 100000 2 R 3000sem 3000 Cotação PV 3000 1135112 1135 3000 1030 00 1 13515 11352 Cotação PV R 878950921 R 878950921 Cotação R 100000 87895092 b PU do título PU Valor Nominal Atualizado x Cotação PU R 100000 X 1085 X 87895092 PU R 953661748 8 Determinar o preço teórico das LTN abaixo descri tas em 1º9x9 Taxa 1075 aao 1150 aao Dias úteis até o vencimento 538 407 Solução PU R lOOOOO R 838778592 11150407252 PU R lOOOOO R 804136260 11075538252 9 Admita que a taxa de juro de mercado de uma LTN seja de 7973045 ao ano base 252 du O prazo até o vencimento é de 188 dias úteis Calcu lar o preço unitário a mercado PUMaM do título Solução Preço unitário a mercado do título PUMaM FUMaM 100000 1 o 079730451881252 R 944377632 Matemática Financeira Títulos Públicos e Contratos Futuros 265 O preço de negociação do título é calculado com deságio de 556 em relação ao seu valor nomi nal 10 Considere as seguintes informações de uma LFT database emissão 1º720x2 data de vencimento 1º620x9 data de precificação 1º1220x6 taxa de variação da Selic verificada entre a data de emissão e a data de precificação do título 45081661 prazo em dias úteis entre a precificação do tí tulo e sua data de vencimento 640 dias úteis du taxa de spread do título 0288955 aa Pedese precificar o título na data Clº1220x6 Solução FUMaM lÜÜÜÜÜ X 145081661 1 002889556401252 R 1440223946 11 Admita que um contrato futuro DI seja negocia do no mercado em 1º8 à taxa de 96 aao O vencimento do contrato está previsto para 39 primeiro dia útil do mês No mês de agosto são calculados 22 dias úteis Pedese determinar a preço unitário PU do contrato b se a taxa média de agosto do CDI divulgada for de 101 aao demonstrar os resultados da operação para o aplicador doador de re cursos e para o vendedor captador de re cursos Solução a PU da operação R 10000000 1 09622252 R 99202924540 b resultado da operação Aplicador no contrato O investidor adquiriu um contrato futuro por R 99202924540 na expectativa de receber R 10000000 após 22 dias úteis Esta operação rende uma taxa de 96 aao 266 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Valor a receber Valor a pagar R 99202924540 X 110122252 Perda por contrato Vendedor do contrato R 10000000 CR 10003974 R 3974 Este investidor vende um contrato futuro por R 99202924540 com o compromisso de pagar R 10000000 no vencimento Na operação está pagan do uma taxa de juros de 96oo aao pelos recursos Valor a receber Valor a pagar Ganho por contrato Exercícios propostos R 10003974 R 10000000 R 3974 1 Sendo fixada pelo Banco Central a taxa SELIC meta em 1125 em certa data determinar a taxa equivalente por dia útil 2 Calcular a taxa over efetiva anual a partir da taxa por dia útil de 00494 3 Sendo de 192oo ataxa over mensal pedese de terminar a taxa por dia útil b taxa efetiva mensal admitindo a existência de 22 dias úteis c taxa efetiva over anual 4 Sendo de 132oo a taxa over mensal determinar a taxa por dia útil b taxa efetiva mensal admitindo a existência de 20 dias úteis c taxa efetiva para um período de 51 dias úteis d taxa efetiva over anual S Sendo de 217oo a taxa efetiva de juro para um período de 50 dias corridos e 34 dias úteis de terminar a taxa efetiva por dia útil b taxa ao mês over c taxa efetiva over anual 6 Calcular o PU preço unitário de negociação de um contrato futuro com valor nominal de R 10000000 para vencer em 26 dias úteis A taxa de juro para desconto é de 1125 a a o 7 Admita que o preço unitário de um contrato fu turo de taxa de juro com 17 dias úteis até o seu vencimento seja de R 9933744 Determinar a taxa anual efetiva da operação 8 Determinar a taxa efetiva anual over de um con trato futuro com prazo de 44 dias úteis e PU de R 9790120 O valor do contrato no ven cimento conforme padrão da bolsa é de R 10000000 9 Admita um contrato futuro negociado na BMF à taxa de 162oo aao O prazo do contrato no mês de referência é de 20 dias úteis e seu valor nominal valor a receber no vencimento é pa dronizado pela bolsa em R 10000000 Deter minar o PU do contrato futuro ou seja o preço que um investidor pagaria hoje para receber R 10000000 em seu vencimento 10 Admita um contrato futuro de juros com um va lor médio unitário de negociação PU médio de R 9881220 O contrato referese ao mês de abrilX7 e apresenta 20 dias úteis Pedese calcu lar a taxa efetiva anual de juro prevista no con trato base de 252 dias úteis 11 Sabese que um contrato futuro de juro é ne gociado na BMF pelo preço unitário de R 9661920 O prazo verificado de hoje até a data de vencimento do contrato é de 63 dias úteis Pe dese determinar a taxa efetiva anual base 252 dias úteis de juro deste contrato 12 São apresentados a seguir em 3004 três con tratos futuros de juros conforme negociados na Bolsa de Mercadorias e Futuros 3 julho R 9642040 21 Pedese calcular a taxa efetiva anual base 252 dias úteis para cada um dos meses 13 A taxa anual efetiva base 252 dias úteis de um título é de 1275 Qual a taxa de rentabilidade oferecida pelo título para um mês com 21 dias úteis 14 Um contrato futuro de taxa de juro DI Futuro com vencimento para daqui a 37 dias úteis está cotado em R 9886097 Determinar a taxa de juro anual efetiva base de 252 dias úteis implí cita do contrato 15 Uma instituição adquiriu um lote de LTN Le tras do Tesouro Nacional pagando um PU de ne gociação de R 911276890 O valor nominal do título é de R 100000 e o prazo de 228 dias úteis Pedese calcular a taxa efetiva de juro no período b taxa efetiva over anual 16 Uma instituição define uma taxa anual de juros de 112 em leilão de LTN realizado O prazo do título é de 119 dias úteis Sendo de R 100000 o valor nominal do título pedese determinar o PU pago pela instituição 17 Determinar o preço unitário de negociação PU de uma LTN com prazo de 68 dias úteis con siderando uma taxa efetiva anual base de 252 dias úteis de 1225 18 Admita uma LTN com as seguintes característi cas Prazo 188 dias úteis Preço Unitário PU R 923178344 Valor Nominal N R 100000 Pedese calcular a taxa de rentabilidade anual efetiva oferecida pela LTN 19 Sendo de 1017 aa a taxa de rentabilidade efetiva de uma LTN de 330 dias úteis base 252 dias úteis pedese calcular seu preço unitário de negociação 20 Sendo de 99823915 a cotação de uma LFT e de R 131245 o seu valor nominal atualizado pela SELIC pedese determinar o preço unitário de negociação deste título 21 Uma LFT com prazo de 282 dias úteis apresen ta uma cotação de 99114318 Calcule a taxa de rentabilidade anual efetiva base de 252 dias úteis do título 22 Sendo o PU de uma LFT igual a R 128714 e seu valor nominal atualizado de R 132000 pedese determinar a cotação do título 23 Admita uma LFT com 681 dias úteis de prazo contados da data de liquidação e a data de ven cimento do título A taxa anual esperada pelos investidores é de 023 Determinar a cotação da LFT Matemática Financeira Títulos Públicos e Contratos Futuros 267 24 O Banco Central divulgou o prazo de leilão pri mário de LFT com prazo de 498 dias úteis A SE LIC projetada anual efetiva para o período é de 1125 Os investidores vêm exigindo um retor no efetivo anual de 118 Pedese determinar a fator de acréscimo sobre o valor nominal do título Ou seja o acréscimo no valor nomi nal do título que forneça a taxa de retorno desejada pelo investido b calcular a cotação da LFT c determinar a rentabilidade média do ano base de 252 dias úteis 25 São definidas as seguintes características de emissão de uma Nota do Tesouro Nacional Série F NTNF Prazo 1 ano Juros definidos em 6 aa cupom Pagamento de juros semestral Resgate do Principal na data de vencimento Valor Nominal do Título R 100000 Os pagamentos dos juros ocorrem em 127 e 254 dias úteis Para uma taxa efetiva anual de 1090 aao determinar o preço unitário de negociação do título 26 Para aplicar em NTNC um investidor exige uma taxa de retorno de 10 aa base 252 dias úteis além de correção pelo índice de inflação O título paga cupom de 6 a a e tem prazo de 2 anos Os dias úteis entre as datas de pagamentos dos juros são as seguintes 1º Pagamento de Juros 125 dias úteis 2º Pagamento de Juros 252 dias úteis 3º Pagamento de Juros 380 dias úteis 4º Pagamento de Juros 502 dias úteis Pedese determinar a cotação do título 27 Admita que um investidor tenha adquirido uma NTND na expectativa de um rendimento nomi nal anual de 10 5 as além da variação cambial Outros dados da operação são os se guintes Juros semestrais prometidos pelo título taxa nominal 6 aa Data de Liquidação Financeira 1º102006 Data de Vencimento 1 º102008 268 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto A variação cambial verificada desde a database do título até o momento de sua liquidação finan ceira atinge a 862 Pedese a taxa efetiva anual de rendimento exigida pelo investidor b cotação do título c valor nominal do título atualizado pela va riação cambial Admita que o título foi emi tido por um valor nominal de R 100000 28 Determinar o preço teórico de uma NTN com 538 dias até o seu vencimento e rendimento de 1075 aao O valor de face do título é igual a 100000 29 Uma LTN com prazo de 512 dias úteis é nego ciada no mercado por R 794184500 Pedese determinar a taxa de rendimento oferecida pelo título 30 Admita uma NTNB com cupom de 60fo ao ano e as seguintes datas previstas para pagamen to dos juros 64 198 310 e 440 dias úteis A taxa praticada no mercado para esse título é de 8124964 ao ano que equivale à IRR taxa in terna de retorno do papel Pedese determinar a cotação desse título 31 Informações de uma NTNB Data de compra e liquidação do título 169 20X4 Data de emissão 25720Xl Data de vencimento 22820X9 Taxa interna de retorno IRR do título 1012 aa Preço de compra R 122764 Valor nominal do título na data da compra R 1381910287 Pedese calcular o valor nominal corrigido do tí tulo a cotação e o preço a mercado do título 32 Suponha uma LTN negociada no mercado por R 854443912 O prazo do título até a data de vencimento atinge 383 dias úteis Determinar a taxa de juro prefixada pelo mercado para o títu lo 33 Informações de uma LFT Data de vencimento do título 17620X9 Data de compra do papel 261020X3 Data de liquidação 271020X3 Database do título 1 º519XS Valor nominal do título na database 100000 Número de dias úteis entre a data de liqui dação 271020X3 e a data de vencimento 17620X9 1441 A taxa de juros do título é negativa 0025 Pedese a calcular a cotação da LFT b calcular o Valor Nominal Atualizado VNA da LFT na data da compra Admita que a va riação acumulada da SELIC no intervalo en tre a database e data de compra tenha sido de 229694124 c calcular o VNA na data de liquidação do tí tulo Para obtenção do VNA o mercado na liquidação do título costuma trabalhar com a taxa meta da SELIC conforme definida pelo COPOMBACEN Admita que a SELIC meta na data da compra seja de 1075 aa d preço previsto para a data de liquidação da LFT Respostas 1 0042314 a du 2 1325 aao 3 a 0064 a du b 1418 am efetiva c 17495 aao 4 a 0044 adu b 08837 am c 2269 para o período de 51 dias úteis d 11723 aao S a 00632 adu b 1895 ao mês over c 1725 aao 6 R 9890609 7 1036 aao 8 1292 aao 9 R 9881546 10 1625 aao 11 1475 aao 12 imaio 1252 aao Matemática Financeira Títulos Públicos e Contratos Futuros 269 i JUn 1836 aao 25 R 955664164 i 1 1657 aao JU 26 93220108 13 1005 27 a 1025 aa 14 811 oo aao b 92908099 15 a 9736131 ao período c R 108620 b 108146 aao 28 R 80414 16 R 951104628 29 120 aao 17 R 96930 30 981928 18 1131 aao 31 VNA R 1381910287 19 R 88088 Cotação 907909 20 R 131014 Preço R 1254648787 21 0798155 32 109 aao 22 97510606 33 a 100143076 23 99381089 b 329694124 24 a 0494382 c 3298277365 b 99030148 d 3302996408 c 0249864 Apêndice A Operações Básicas de Matemática Al REGRAS DE SINAIS NAS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS a Na soma de dois números com o mesmo sinal efetuase a operação e atribuise ao resultado da soma o mesmo sinal Exemplos 18 c 35 18 35 53 60 30 6030 60 30 90 b Na soma de dois números com sinais desiguais subtraise do maior o de menor valor absoluto e atribuise à diferença encontrada o sinal presente no de maior valor absoluto Exemplos 120 70 120 70 50 40 100 40100 60 80 50 80 50 30 c Na subtração de um número negativo o sinal é alterado e os valores somados Exemplos 120 90 120 90 210 150 100 150 100 50 200 c 500 200 500 300 d Na multiplicação ou divisão de dois números va lem as seguintes regras se os dois números tiverem o mesmo sinal atribuise ao resultado da operação sinal po sitivo se os dois números tiverem sinais desiguais atribuise ao resultado da operação o sinal ne gativo Exemplos 140 X 20 2800 140 X 20 2800 140 20 7 140 20 7 140 20 7 Exercícios propostos Efetuar as seguintes operações 1 300 150 800 950 272 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto 2 700 c 300 2000 c 1200 200 3 500 900 600 c 100 400 4 1000 c 300 500 200 o 900 5 18 X 5 X 10 6 12 X 6 X 4 X 5 Respostas 1 300 4 1500 2 3400 5 900 3 1100 6 1440 A2 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES Frações são basicamente símbolos representados por meio de sinais C ou utilizados para indicar operações de divisão que não produzem quocientes inteiros Por exemplo 4 5 45 1 3 13 2 3 23 e assim por diante Existem algumas regras úteis para o cálculo de operações com frações a Nas operações de soma ou subtração as frações devem inicialmente ser reduzidas geralmente pelo mínimo múltiplo comum a um mesmo de nominador Em seguida os numeradores devem ser somados e mantido o denominador comum Exemplo 10 35 9 210 245 44 7 5 21 21 b Nas operações de multiplicação de fração o resul tado final é obtido pela multiplicação dos nume radores e denominadores Exemplo X 10 X 35 3 X 10 X 35 1050 7 5 7 X 3 21 50 c Nas operações de divisão de frações multiplicase a fração do numerador pelo inverso da fração do denominador Exemplo 3 35 3 3 9 X 7 3 7 35 245 3 3 1 3 10 X 7 7 10 70 d O resultado de uma fração não se altera ao mul tiplicar ou dividir o numerador e o denominador por um mesmo número não igual a zero Exemplo 7 14 21 20 40 60 300 100 500 300 3 1 5 3 Exercícios propostos Desenvolver as operações abaixo indicadas 1 2 7 5 3 4 2 2 6 3 2 9 4 3 1 3 7 xx 3 4 8 4 5 1325 47 912 Respostas 1 59 4 21 12 4 2 23 5 28 12 75 3 7 32 A3 EXPRESSÕES NUMÉRICAS E PONTUAÇÃO Com o intuito de se definir uma ordem na qual as operações indicadas numa expressão numérica de vem ser calculadas costumase utilizar certas pon tuações como parênteses colchetes e chaves A forma como a pontuação é colocada na expres são exerce evidentemente influência decisiva sobre o resultado Por exemplo a expressão 97 4 pode ser identificada de duas maneiras com diferen tes resultados 9 7 4 6 ou 9 7 4 2 A solução de uma expressão numérica deve ser efetuada obedecendo sempre a seguinte ordem a operações indicadas entre parênteses C b operações indicadas entre colchetes c operações indicadas entre chaves Por outro lado nas expressões numéricas que não contêm sinais de pontuação ou que apresentam mais de uma operação dentro da mesma pontuação são estabelecidas certas prioridades para a sua solução ou seja a inicialmente são efetuadas as operações de multiplicação e divisão b posteriormente são efetuadas na ordem as operações de adição e subtração Exemplo Calcular os resultados das seguintes expressões numéricas 18 3 X 6 18 18 0 24 10 X 320 24 3020 54 20 34 100 6 X 12 8 6 1 15 X 3 100 6 X 12 8 X 5 45 100 6 X 12 40 45 100 6 X 7 100 42 142 Exercícios propostos 1 300 14 X 5 20 60 72 2 12070 10 X 30 17 7 2 X 9 X 5 5 Apêndice A 273 3 40 90 X 2 8 9 X 3 7 10 X 6 X 4 40 4 140 30 X 12 53 7 2 1 170 50 X 3 X 0 5 165 X 4 22 70 40 60 12 3 X 5 6 800 170 X 2 40 50 X 4 1200 30 60 310 70 X 5 Respostas 1 238 4 790 2 1145 5 5 3 172 6 340 A4 MÉDIAS ARITMÉTICA E GEOMÉTRICA A média é um valor típico medida de tendência central de um conjunto de dados Podem ser defi nidos diversos tipos de médias sendo as mais utili zadas a média aritmética e a média geométrica Os conceitos destas medidas são aplicados respectiva mente no desenvolvimento de juros simples e juros compostos A média aritmética x de um conjunto de nú meros a1 a2 a3 an é obtida pelo somatório das quantidades consideradas dividido por n quantida de de números Por exemplo os juros mensais dos quatro primei ros meses de um ano foram respectivamente 7 8 8 e 13 A taxa média mensal dos juros no período atinge 7 8 8 13 X 4 36 A 9 ao mes 4 Por outro lado a média geométrica XG de um conjunto de números a1 a2 a3 an é a raiz n do produto desses dados ou seja X G a1 x a2 x a3 x an Por exemplo a média geométrica dos números 4 9 e 6 é 274 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto XG 4 X 9 X 6 216 6 AS PROPORÇÕES A proporção é entendida pela igualdade de duas razões isto é a c b d Por exemplo 35 e 610 são duas razões iguais e portanto proporcionais 3 5 6 10 Em toda proporção o produto dos meios b x c é igual ao produto dos extremos a x d ou seja bxcaxd Dessa maneira se um dos termos da proporção for desconhecido é possível calcular o seu valor me diante a propriedade apresentada Exemplo 8 w 9 18 9 X W 8 X 18 W 8 X 18 144 16 9 9 Apêndice B Expoentes e Logaritmos Bl EXPOENTES O produto a x a x a x a pode ser representado por a4 no qual a denominase base e o número 4 é o expoente Um expoente em outras palavras indica o número de vezes em que a base é multiplicada por si mesma De uma maneira geral a potência nésima de um fator a é representada por an a X a X a X a X X a n fatores Exemplos b5 b X b X b X b X b 36 3 X 3 X 3 X 3 X 3 X 3 729 42 X 54 4 X 4 X 5 X 5 X 5 X 5 10000 1 i5 1 i X 1 i X 1 i X 1 i Xli 1 r3 1 r x 1 r x 1 r Bll Propriedades dos Expoentes Se m e n forem números inteiros e positivos e a base diferente de zero temse Exemplo 53 X SZ 53 2 55 3125 am b amn desde quem n an Exemplo 48 48 5 43 64 45 Exemplo 332 33 X 2 36 729 d a X b n an X bn Exemplo 4 X 62 42 X 62 16 X 36 576 276 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Exemplo r 6 8 2 1 5 Exercícios propostos Calcular as expressões abaixo 1 43 X X 32 X 1S 8 2 3 4 5 6 7 8 1 r10 X 1 rB 1 r4 a7 x a6s l a9 a3 x b6 x as x b4 a2 x b4 5 x r 2 3 is 9 53 25 X 34 X 2 122 3 32 44 X 2 16 2 Respostas 1 72 6 a20 2 1000000 7 a6 x b6 3 as 8 125 x r6 is 4 200 9 2574 5 1 r 14 Bl2 Expoentes Zero Negativo e Fracionário Esses expoentes obedecem as seguintes defini ções a b c a0 1 a tO an 2 n inteiro e positivo an amn m e n inteiros e positivos Exemplos 23 3S X 6 8 243 X 1 251 1 1 63 63 216 1 ç 25 s2 4 3 43 X 1 43 X 22 64 X 4 256 22 22 i19 19114 1174 27113 m 3 934 729 280 1 i10 560 1 0 10 2 11 010 1ifi 1 i 1ifi i 21110 1 i 007177 Exercícios propostos Resolver as expressões abaixo 1 1092 2 1073231 3 53 4 s3 5 11951112 1 6 1053 1130 1 7 23314 8 21754S 9 678 X 109213 10 111 782 30 1 Respostas 1 1045 6 2 1177 7 3 125 8 4 0008 9 5 0015 10 00017 07378 18619 64015 01642 B2 LOGARITMOS A solução de uma equação cuja incógnita é o ex poente pode ser apurada por logaritmo Por exemplo 3x 20 revela que o valor do expoente incógnita da expressão situase entre 2 e 3 o qual poderá ser mais facilmente determinado com o uso de logarit mo A expressão básica do logaritmo é a seguinte L logbN ou seja o logaritmo de base b de um valor positivo N é igual a base b elevado ao expoente L Em outras palavras o logaritmo de N na base b é o expoente L que satisfaz a igualdade Exemplos log2 32 5 dado que 25 32 log3 81 4 dado que 34 81 log10 10000 4 dado que 104 10000 log10 1 O dado que 10 1 log10 01 1 dado que 101 1 01 10 Os logaritmos de base 10 são denominados de lo garitmos comuns ou decimais sendo simplesmente identificados por log N x em vez de log10 N x São enunciadas três leis fundamentais dos loga ritmos a O logaritmo da multiplicação de dois ou mais múltiplos positivos é a soma dos logaritmos dos números log A x B log A log B log A x B X C log A log B log C b O logaritmo do quociente de dois números po sitivos é o logaritmo do numerador menos o logaritmo do denominador A log log A log B B Apêndice B 277 c O logaritmo da potência de um número positi vo é o produto do expoente n da potência pelo logaritmo do número log N n x log A Exemplos log 6 x 9 log 6 log 9 0778151 0954243 1732394 log 3 x 52 log 3 log 52 0477121 1397940 1875061 log 5 x I03 log 5 log I03 log 5 3 x log 10 0698970 3 X 1 0698970 3 2301030 log log 5113 x log 5 3 1 X 0698970 0232990 3 Exercícios propostos Resolver as operações abaixo 1 30 X 1125n 270 2 1 3x 201 3 420 X 109n 80 4 200 X 1 i 15 3000 5 148Sn 1 O 0485 6 1 137n 235 037 7 8X 145 X 3X 8 975 x log 9 14 Respostas 1 n 1865 5 n O 2 X 482 6 n 647 3 n 1924 7 X 27264 4 i 01979 8 376895 Apêndice C Noções sobre Progressões Cl PROGRESSÃO ARITMÉTICA Progressão Aritmética PA é uma sucessão de nú meros onde cada termo considerado a partir do se gundo é exatamente igual ao termo anterior somado a um valor constante Ou seja a partir do segundo termo a diferença existente entre cada termo ime diatamente anterior é sempre igual constante Sendo aK um termo qualquer de uma PA pela de finição temse Valor constante aK aK 1 Esse valor constante é definido na PA por razão sendo representado por r O primeiro termo da pro gressão é definido por a1 e o último por an A sucessão apresentada a seguir composta de 7 termos é um exemplo de PA ou seja 3 5 7 9 11 13 15 sendo n 7 Observe ainda que a2 3 2 5 a3 a2 r a1 2r a3 5 2 3 2 x 2 7 a4 a3 r a1 3r a4 7 2 3 3 x 2 9 e assim por diante Pela sequência desse raciocínio podese apurar a expressão do termo genérico de uma PA ou seja ou Por exemplo na ilustração numérica desenvolvi da acima determinar por meio da expressão do ter mo genérico a 4 termo da PA an a1 n 1 X r a4 3 4 1 x 2 a4 3 3 x 2 3 6 9 b Último termo da PA an a1 n 1 X r an 3 7 1 X 2 an 3 6 X 2 3 12 15 ou ananlr an 13 2 15 Cll Soma dos Termos de uma PA A sorna dos termos de urna PA S PA é obtida n pela seguinte identidade No exemplo ilustrativo observase que a sorna da sucessão de números atinge SPA 3 5 7 9 11 13 15 63 Pela fórmula S 3 15 X 7 126 nPA 63 2 2 Exemplo 1 Calcular o último termo de urna progressão arit mética de 18 termos em que a 1 17 e r 6 Solução an a1 n 1 X r an 17 18 1 X 6 an 17 102 119 Exemplo 2 Calcular o décimo termo da PA 7 16 25 34 43 Solução Corno r 9 temse a 10 a1 n 1 x r a10 7 10 1 X 9 a10 7 81 88 ou Apêndice C 279 7 16 25 34 43 52 61 70 79 88 Exemplo 3 Determinar o primeiro termo de urna PA admi tindose que o oitavo termo seja 101 e a razão igual a 14 Solução an a1 n 1 X r a1 an n 1 X r a1 101 8 1 x 14 a1 101 98 3 Exemplo 4 Determinar o primeiro termo de urna PA de 66 termos sendo os três últimos ilustrados a seguir 8030 8019 8008 Solução an 8008 r 80088019 11 c 66 an a1 n 1 x r a1 an n 1 x r a1 8008 66 1 x 11 a1 8008 715 8723 Exemplo 5 Calcular a razão de urna PA de 15 termos sendo o primeiro termo igual a 48 e o último igual a 118 Solução an a1 n 1 x r an a1 n 1 x r an al r n1 11848 70 r 151 5 14 280 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Exemplo 6 Calcular o número de termos de uma PA de razão igual a 22 sendo a1 12 e an 254 Solução an a1 n 1 X r an a1 n 1 X r a a n1 n 1 r a a n 1 1 n r n 254 12 1 242 1 12 22 22 Exemplo 7 Determinar a soma de uma PA representada pelos 50 primeiros números naturais ímpares Solução a1 1 r2 n 50 an a1 n 1 X r an 1 50 1 X 2 an 1 98 99 a1 an x n SnPA 2 s PA 1 99 X 50 2500 n 2 Exemplo 8 Calcular a soma dos 4 7 primeiros termos de uma PA sendo a1 16 e a47 430 Solução SnPA Cal an X n 2 s PA 16 430 X 47 466 X 47 n 2 2 10481 C2 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Progressão Geométrica PG é uma sucessão de números positivos em que a divisão de cada número a partir do segundo pelo termo imediatamente an terior produz sempre um mesmo resultado Em ou tras palavras um termo de uma PG é sempre igual ao precedente multiplicado por um valor constante e positivo Ilustrativamente a seguir é apresentada uma PG de 7 termos com razão igual a 2 5 10204080160320 Em PG a razão é expressa por q Na ilustração q 2 podendo ser apurada pela seguinte expressão de acordo com o enunciado acima Logo aK termo qualquer de uma PG A formulação do termo genérico de uma PG ilus trada pelos dados do exemplo ilustrativo considera do é desenvolvida a seguir a1 5 a2 a1 x q a2 5 x 2 10 a3 a2 x q a1 x q x q a1 x q2 a3 10 X 2 5 X 2 X 2 5 X 22 20 a4 a3 X q a1 X q X q X q a1 X q3 a4 20 X 2 5 X 2 X 2 X 2 5 X 23 40 e assim por diante Nessa sequência o último termo da progressão é expresso da forma seguinte ou Na PG ilustrada anteriormente o último termo é igual a 320 Pela formulação apresentada do valor desse termo é obtido an 160 X 2 320 ou an 5 X 27l 320 Se a razão for menor que 1 q 1 dizse que a PG é decrescente Por exemplo 16384 4096 1024 256 64 16 Sendo 4096 o 25 q aKl 16384 C21 Soma dos Termos de uma PG Para uma PG limitada a soma dos termos é dada pela seguinte expressão PG Crescente PG Decrescente Para o exemplo ilustrativo inicial de uma PG cres cente com razão igual a 2 a soma de seus termos é determinada da seguinte forma ou sn PG 320 X 2 5 635 21 SPG 5 10 20 40 80 160 320 635 A soma dos termos da PG decrescente conforme apresentada é apurada a seguir a 1 16384 an 16 q 025 16384 16 X 025 SnPG 1 025 21840 ou Apêndice C 281 16380 075 SnPG 16384 4096 1024 256 64 16 21840 Exemplo 1 Determinar o último termo de uma PG sabendo se que o primeiro termo é igual a 13 a razão igual a 6 e o número de termos igual a 12 Solução a a xqnl n 1 a 13 x 612 1 n an 4716361728 Exemplo 2 Calcular o décimo termo da PG 27 135 675 Solução a a X qnl n 1 alO 27 X 5101 a10 52734375 Exemplo 3 O primeiro termo de uma PG é 4 a sua razão tam bém é 4 e o último termo é 16777216 Calcular o número de termos desta PG Solução a a xqnl n 1 16777216 4 X 4nl 16777216 41 nl 16777216 4n Por tentativa e erro ou aplicandose o logaritmo chegase a n 12 isto é 4n 16777216 n x log 4 log 16777216 282 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto n log 16777216 12 log 4 Exemplo 4 Determinar a razão de uma PG sabendose que a 1 17 an 11262492 n 18 Solução a a xqn 1 n 1 11262492 17 X q18 1 11262492 17 17 q 66249953 q17 166249953 1lcfi 66249953 1117 q q 22 Exemplo 5 Em uma PG o último termo é igual a 15309 a razão é igual a 3 e o número de termos é igual a 8 Calcular o primeiro termo Solução a a X qn 1 n 1 a a n 1 qn1 a 1 15309 381 15309 7 2187 Exemplo 6 Achar a soma dos 15 primeiros termos da seguin te PG 4 12 36 108 Solução a 1 4 aK 36 q3 aK1 12 a a X qn 1 n 1 a 4 x 315 1 19131876 n s PG 19131876 X 3 4 n 31 28697812 Exemplo 7 57395624 2 Calcular a soma de uma PG cujo primeiro termo é igual a 9 a razão é igual a 5 e o número de termos é igual a 10 Solução an x q a1 SnPG q 1 a1 9 q 5 a a X qn 1 n 1 a 9 x 510 1 17578125 n s PG 17578125 X 59 n 51 21972654 Exemplo 8 87890616 4 Determinar o valor do último termo e da soma dos termos de uma PG com os seguintes dados a1 700 a2 70 n6 Solução a 1 700 q 70 010 PG decrescente 700 a a X qn 1 n 1 a 700 x O 16 1 O 007 n SnPG 700 X 0007 X 010 777777 1 010 Bibliografia ASSAF NETO Alexandre Mercado financeiro 11 ed São Paulo Atlas 2012 LIMA E Guasti Investimentos no mercado finan ceiro usando a calculadora HP 12C 2 ed São Paulo Inside Books 2008 FABOZZI Frank J Mercados análise e estratégias de bônus títulos de renda fixa Rio de Janeiro Quality mark 2000 FARO Clóvis de Princípios e análise de cálculo finan ceiro Rio de Janeiro LTC 1990 GRANT Eugene L et al Principles of engineering eco nomy 7 ed New York John Wiley Sons JUER Nilton Matemática financeira 4 ed Rio de Ja neiro IBMEC 1987 MATHIAS W Franco GOMES J Maria Matemática financeira 2 ed São Paulo Atlas 1998 PUCCINI Abelardo de Lima Matemática financeira 6 ed Rio de Janeiro LTC 1998 SHINODA Carlos Matemática financeira para usuários do Excel São Paulo Atlas 1998 SILVA Armindo Neves da Matemática das finanças Lisboa McGrawHill 1993 v 1 e 2 VIEIRA SOBRINHO J Dutra Matemática financeira 7 ed São Paulo Atlas 2000 Sites wwwinstitutoassafcom br lndice Remissivo A Alíquota do IOF 135 Amort 207 Amortização 206 207 Análise de investimentos 158 Análise incrementai dos investimentos 167 Aplicação de capital 163 Arrendamento mercantil 132 Avaliação de ações 242 c Caderneta de poupança 70 Cálculo da taxa líquida 185 Cálculo do custo efetivo 82 Cálculo do SAC 207 Cálculo do SPC 212 Capital 7 Capitalização contínua 6 31 Capitalização descontínua 6 Capitalização discreta 31 Capitalização dos juros 2 Carência 206 CDB 183 Coeficiente de arrendamento 133 Coeficiente de arrendamento CA 132 Coeficientes de financiamento 126 135 Coeficientes de financiamento com carência 129 Coeficientes de financiamento com entrada 131 Comitê de Política Monetária COPOM 252 Commercial papers 79 Comportamento da inflação 64 Compra a prazo 147 Compra a vista e venda a prazo 146 Compra e venda a vista 145 Contas garantidas 80 Contratos futuros 251 Contratos futuros de juros 252 Convenção exponencial 28 29 Convenção linear 28 Conversão de taxa efetiva em nominal 25 COPOM 252 Cotação 242 Cotação da LFT 257 Crédito direto ao consumidor 135 Crescimento real 65 Cupons 196 Custo anual do investimento 171 Custo da venda a prazo 141 Custo do dinheiro 83 Custo do floating 94 Custo efetivo 82 219 Custo equivalente anual 169 D Debêntures 192 Decisões conflitantes 169 Deflação 61 Depósitos interfinanceiros 252 Desconto 40 Desconto bancário 42 Desconto composto 53 Desconto composto por dentro 55 Desconto composto por fora 53 Desconto para vários títulos 52 Desconto por dentro 42 53 286 Matemática Financeira e suas Aplicações Assaf Neto Desconto por fora 42 43 Desconto racional 40 Desconto racional por dentro 55 Descontos 40 Descontos de duplicatas 76 Desconto simples 40 Desindexações 63 Despesas 83 Despesas adicionais 219 Despesas bancárias 44 Desvalorização da moeda 66 Diagrama do fluxo de caixa 2 Duração 105 114 Duração de um fluxo de caixa 114 Duration 236 E Emissão de títulos públicos 254 Empréstimos para capital de giro 76 Encargos financeiros 206 Equivalência financeira 10 26 110 Estratégias comerciais de compra e venda 141 Estratégias de compras 144 Estratégias de vendas 141 F Factoring 82 83 Fato gerador do Imposto de Renda 199 Fator de factoring 84 Fator de valor futuro 108 Fator de valor presente 106 Fatores de atualização 128 Financiamento 126 Financiamento com juros pósfixados pela T JLP 220 Floating 92 Floating de duplicatas 92 Fluxo antecipado 136 Fluxo de caixa 2 Fluxo de caixa antecipado 112 Fluxo de caixa com carência 113 Fluxo postecipado 137 Fluxos de caixa 105 110 Fluxos de caixa não convencionais 112 Fórmulas de juros compostos 18 Fórmulas de juros simples 6 Fracionamento do prazo 26 Fundo de amortização 219 G Ganho nominal 63 Ganho real 63 H Hot money 95 96 I IL 165 Imposto de renda 199 Impostos 83 Imposto sobre Operações Financeiras 200 Indexaçãoões 63 Índice de lucratividade IL 165 Índices de preços 61 189 Inflação616366 188 Inflação e prazo de pagamento 67 Instante infinitesimal 31 Internai Rate of Return 158 Intersecção de Fischer 169 Investimento bruto 171 Investimentos com diferentes tamanhos 166 Investimentos de mesma escala 168 Investimentos mutuamente excludentes 167 169 IOF 200 IOF Imposto sobre Operações Financeiras 77 IR 199 IR antecipado 183 IR final 183 IRR 158 161 J Juro 1 Juro comercial 10 Juro exato 10 Juros compostos 5 18 26 Juros do VRG nas contraprestações 132 Juros do VRG no coeficiente de arrendamento 133 Juros por dias úteis 94 Juros simples 5 L Leasing 132 Leilão primário 262 Letras do Tesouro Nacional LTN 255 Letras Financeiras do Tesouro LFT 257 LFT 257 LTN 255 M Marcação a mercado 255 Margem de lucro 83 Matemática financeira 76 Mercado secundário 262 Mercado secundário de LTN 256 Método hamburguês 8081 Métodos do NPVe IRR 163 Momento da substituição 174 Montante 7 N Net Present Value 162 Notas do Tesouro Nacional Série B NTNB 261 Notas do Tesouro Nacional Série D NTND 262 Notas do Tesouro Nacional Série F NTNF 259 NPV 162 NTNB 261 NTND 263 NTNs 259 Número constante 31 Número de períodos de capitalização 26 o Operações de arrendamento mercantil 132 Operações de fomento comercial 82 OperaÇões financeiras 231 Operações financeiras com taxa over 95 p Periodicidade 105 113 Período de ocorrência 112 Períodos de capitalização 26 Períodos de ocorrência 105 Período singular de juros 136 PMT 208 Prazo de emissão 196 Prazo do floating 93 Prazo médio 235 Preço de mercado 196 Preço de venda 149 Preço unitário PU 252 Prestação 206 208 Prestações periódicas 128 Processo inflacionário 61 PU 252 R RDB 183 Recibos de depósitos bancários 183 Reciprocidade bancária 90 Regime de capitalização composta 3 Regime de capitalização simples 3 Relação preçoretorno 199 Renda fixa 182 Reposição de ativos 158 Restrições de capital 168 s SAC com carência 208 SAF 205 Saldo devedor 206 208 Saldo médio 90 Saldo médio remunerado 91 SAM 215 SELIC 251 Séries não periódicas 128 Sistema de amortização constante 206 Sistema de Amortização Francês 205 Sistema de Amortização Francês SAF ou Prestação Constante 211 Sistema de prestação constante 211 212 Sistema Especial de Liquidação e Custódia 251 Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos 205 SPC 211 SPC com carência 213 SPC e taxa nominal de juros 214 Spread 95 Substituição de ativos 170 T Taxa administrativa 77 Taxa de abertura de crédito TAC 82 Taxa de desconto 196 Taxa de desconto com base na taxa efetiva 49 Taxa de desconto nominal 76 Taxa de fundeamento 83 Taxa de inflação 64 Taxa de rentabilidade TR 165 Taxa efetiva de juros 47 Taxa e prazo médios de operações financeiras 231 Taxa equivalente 8 Taxa implícita de juros do desconto por fora 44 Taxa instantânea 31 Taxa interna de retorno 30 158 Taxa média 231 Taxa nominal 68 Taxa nominal linear 68 Taxa nominal over 94 Taxa nominal prefixada 68 Taxa over ano 97 Taxa percentual 1 Taxa prefixada 183 188 Taxa prefixada com rendimento final 183 Taxa prefixada com rendimento periódico 186 Taxa proporcional 8 Taxa pura 189 Índice Remissivo 28 7 Taxa real 68 Taxa referencial TR 69 Taxas de aplicações financeiras 97 Taxas de desconto decrescentes 50 Taxas de inflação 61 Taxas de juro 1 Taxas de juros over 97 Taxa SELIC 251 Taxas equivalentes 21 Taxas over 90 Taxas pósfixadas 187 Taxa unitária 2 Títulos bônus com cupons 196 Títulos de renda fixa 182 198 Títulos pósfixados 182 Títulos prefixados 182 Títulos públicos 251 254 Títulos públicos federais 254 TJLP 220 Tomada de capital 163 TR 69 165 v Valor de revenda 171 Valor descontado 40 41 Valores 115 Valores de caixa 115 Valores monetários 63 Valores monetários deflacionados 65 Valor futuro 108 115 Valor nominal 40 Valor presente 106 Valor presente líquido 162 Valor residual garantido VRG 132 Variação cambial 189 Venda a vista 14 7 y Yield to maturity 197 YTM 197 z Zero coupon bond 195 Formato 21 x 28 em Tipoagia Charter 1 013 Papel Alta Alvura 63 gm2 miolo Supremo 250 gm2 capa Número de páginas 304 Préimpressão impressão e acabamento fnGRÁFICA SANTUÁRIO graficaeditorasantuariocombr wwweditorasantuariocombr AparecidaSP Outros livros do autor publicados pela Atlas Estrutura e análise de balanços um enfoque econômicofinanceiro Finanças corporativas e valor Mercado financeiro Coautoria Administração do capital de giro Administração financeira esgotado Aprendendo contabilidade Curso de administração financeira Dividendos Fundamentos de administração financeira Introdução à contabilidade Investimento em ações Investimentos no 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