Matemática Financeira - Livro introdutório sobre finanças

MATEMÁTICA FINANCEIRA Robertson Campelo Panaino 1ª Edição 2021 Reitor e Diretor Campus Engenheiro Coelho Martin Kuhn Vicereitor para a Educação Básica e Diretor Campus Hortolândia Douglas Jefferson Menslin Vicereitor para a Educação Superior e Diretor Campus São Paulo Afonso Cardoso Ligório Vicereitor administrativo Telson Bombassaro Vargas Próreitor de graduação Afonso Cardoso Ligório Próreitor de pesquisa e desenvolvimento institucional Allan Macedo de Novaes Próreitor de educação à distância Fabiano Leichsenring Silva Próreitor de desenvolvimento espiritual e comunitário Henrique Melo Gonçalves Próreitor de Desenvolvimento Estudantil Carlos Alberto Ferri Próreitor de Gestão Integrada Claudio Knoener Educação Adventista a Distância Conselho editorial e artístico Dr Adolfo Suárez Dr Afonso Cardoso Dr Allan Novaes Me Diogo Cavalcanti Dr Douglas Menslin Pr Eber Liesse Me Edilson Valiante Dr Fabiano Leichsenring Dr Fabio Alfieri Pr Gilberto Damasceno Dra Gildene Silva Pr Henrique Gonçalves Pr José Prudêncio Júnior Pr Luis Strumiello Dr Martin Kuhn Dr Reinaldo Siqueira Dr Rodrigo Follis Esp Telson Vargas Editorchefe Rodrigo Follis Gerente administrativo Bruno Sales Ferreira Editor associado Werter Gouveia Responsável editorial pelo EaD Luiza Simões Editora Universitária Adventista Presidente Divisão SulAmericana Stanley Arco Diretor do Departamento de Educação para a Divisão SulAmericana Antônio Marcos Presidente Mantenedora Unasp IAE Maurício Lima EAD 1ª Edição 2021 Editora Universitária Adventista Engenheiro Coelho SP MATEMÁTICA FINANCEIRA Robertson Campelo Panaino Mestre em Engenharia de Produção linha de pesquisa Gestão da Tecnologia e Inovação pela Universidade Federal de São Carlos UFSCar Campagnoni Mariana dos Santos Diego Henrique Moreira Formação da identidade profissional do contador livro eletrônico Mariana Campagnoni 1 ed Engenheiro Coelho SP Unaspress 2020 1 Mb PDF ISBN 9788584631728 1 Carreira profissional 2 Contabilidade 3 Contabilidade como profissão 4 Contabilidade como profissão Leis e legislação 5 Formação profissional 6 Negócios I Título 2033026 CDD370113 Dados Internacionais da Catalogação na Publicação CIP Ficha catalográfica elaborada por Hermenérico Siqueira de Morais Netto CRB 7370 Matemática financeira 1ª edição 2021 ebook pdf OP 00123127 Coordenação editorial Amanda Ferelli Preparador Samara Paradello Projeto gráfico Ana Paula Pirani Capa e Diagramação Felipe Rocha Caixa Postal 88 Reitoria Unasp Engenheiro Coelho SP CEP 13448900 Tel 19 38585171 38585172 wwwunaspresscombr Editora Universitária Adventista Validação editorial científica ad hoc Robinson Panaino Mestre em Educação Matemática pela Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Editora associada Todos os direitos reservados à Unaspress Editora Universitária Adventista Proibida a reprodução por quaisquer meios sem prévia autorização escrita da editora salvo em breves citações com indicação da fonte SUMÁRIO JUROS E TAXAS 11 Introdução 12 Juros e Taxas 14 Juros simples 14 Tempo de aplicação 18 Montante 18 Cálculo de juros 18 Cálculo da taxa 20 Cálculo do capital 21 Cálculo do montante 22 Cálculo do tempo de aplicação 23 Desconto simples 25 VOCÊ ESTÁ AQUI Cálculo do desconto e valor presente 26 Cálculo do valor futuro 27 Juros compostos 28 Desconto composto 35 Taxa nominal e efetiva 38 Taxas equivalentes 45 Considerações finais49 Referências 53 ATIVIDADES MERCANTIS 55 Introdução 56 Séries Uniformes 57 Séries de pagamentos iguais com termos postecipados 59 Séries de pagamentos iguais com termos antecipados 66 Análise de investimentos 75 Valor presente líquido VPL 76 Taxa interna de retorno TIR 81 Sistemas de Amortização 87 Sistema Francês de Amortização Tabela Price89 Sistema de Amortização Constante SAC 95 Considerações finais100 Referências 105 PARA OTIMIZAR A IMPRESSÃO DESTE ARQUIVO CONFIGURE A IMPRESSORA PARA DUAS PÁGINAS POR FOLHA EMENTA Estudo dos fundamentos da matemática financeira aplicada à resolução de problemas típicos das atividades mercantis e financeiras das organizações Introdução à HP12C Conceitos e aplicações de Juros simples juros compostos taxas equivalentes séries de pagamentos uniformes e não uniformes e sistemas de amortização SILENT INPUT HANDLING AND LOW NOISE OPERATION WITH THE ANALOG SWITCHES AND WINDOWED INTEGRATORS THE ADC SOLVES THE PROBLEM OF READING THE WEAKEST OF SIGNALS EXTREMELY QUICKLY WITHOUT THE NECESSITY OF SLOW AND COMPLEX TRACKING LOOPSTHE RESULT IS A RELIABLE CIRCUIT THAT CAN HANDLE SIGNALS AS WEAK AS 1400 dBm AND RELIABLE operation at input signal levels from 140 dBm to 20 dBmTHE TI TSC2016 ADC WITH ITS ON CHIP TRACK AND HOLD AMP AND A LOW NOISE GAUSSIAN FILTER PROVIDES THE LOWEST NOISE FOR THE MAXIMUM SENSITIVITY AND ACCURACY IN THE CCD SIGNAL ACQUISITION SYSTEMADIABATIC CONVERSION TECHNIQUES AND ON CHIP REFERENCE STABILIZATION IMPROVE THE ADC ACCURACY Reconhecer a necessidade da matemática financeira para o bom desenvolvimento econômico da empresa e do país Conhecer e aplicar as ferramentas da matemática financeira na resolução de problemas econômicos e administrativos em seu dia a dia Habituarse aos cálculos financeiros na resolução de problemas Obter conhecimento necessário para aumentar sua competência ao tomar decisões organizacionais Pensar estrategicamente JUROS E TAXAS UNIDADE 1 OBJETIVOS 12 MATEMÁTICA FINANCEIRA INTRODUÇÃO Seja bemvindo ao tópico de matemática financeira Este estudo foi elaborado com a finalidade de fazer você compreender de forma prática e didática os temas abordados Estudar matemática financeira é estudar as diferentes formas da evolução do dinheiro ao longo do tempo bem como responder a algumas questões financeiras tais como juros compras à vista ou a prazo aplicações e investimentos Por isso estudaremos uma série de exemplos e atividades ao longo dessa temática Possuir bons conhecimentos sobre cálculos financeiros e análise de investimentos é de suma importância já que a matemática financeira pode ser aplicada em diversas áreas do nosso cotidiano Por exemplo é importante saber como calcular as prestações do financiamento de um móvel ou imóvel escolhendo pelo pagamento à vista ou parcelado Também é por meio da matemática financeira que se consegue tomar decisões em relação a investimentos ou financiamentos de bens de consumo ou seja entender como funciona o fluxo de capital nas mais diversas situações financeiras Para um melhor aproveitamento do estudo esse assunto foi dividido em duas unidades com o objetivo de desenvolver técnicas e práticas presentes no mercado profissional 13 JUROS E TAxAS Nesta unidade você aprenderá a Calcular os juros e os descontos simples Calcular os juros e os descontos compostos saber diferenciálos dos juros simples e compreender em quais situações se aplicam Compreender os conceitos de taxa nominal e de taxa efetiva Diferenciar e calcular as taxas efetiva e nominal Entender os conceitos de juro capital taxa prazo e montante Compreender juro e desconto no mercado financeiro Esperamos que você aproveite o estudo disciplina pois com ele você poderá ser mais crítico ao analisar operações financeiras possuindo autonomia para a tomada de decisões sobre as opções que o mercado oferece Bom estudo 14 MATEMÁTICA FINANCEIRA JUROS E TAXAS Cotidianamente nos deparamos com algumas situações como por exemplo comprar uma roupa parcelada realizar um empréstimo no banco para comprar uma casa ou depositar certa quantia em uma poupança para render juros ou descontos nas mercadorias compradas à vista O conteúdo que vamos estudar agora é relacionado a essas situações mais especificamente aos juros e descontos simples JUROS SIMPLES Os juros existem porque nem sempre as pessoas possuem recursos financeiros para comprar algo ou pagar suas dívidas Algumas pessoas também podem querer quitar suas dívidas antes do prazo final gerando uma alteração no valor o que chamamos de desconto Antonik 2012 define juro como um aluguel sendo aplicado pelo uso do dinheiro de outra pessoa Assim quando alguém fornece um capital a terceiros o fornecedor deve ser remunerado por isso 15 JUROS E TAxAS Nesse contexto o dono do dinheiro conforme aponta Vieira Sobrinho 2012 p 18 deve considerar alguns aspectos quando estiver disposto a emprestar uma quantia Risco Probabilidade de o tomador do empréstimo não resgatar o dinheiro Despesas Todas as despesas operacionais contratuais e tributárias para a formalização do empréstimo e a efetivação da cobrança Inflação Índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o prazo de empréstimo Ganho ou lucro Fixado em função das demais oportunidades de investimentos justificase pela privatização por parte de seu dono da utilidade do capital Assim os juros devem ser suficientes para cobrir o risco as despesas e a perda do poder aquisitivo do capital emprestado além de proporcionar certo lucro ao seu aplicador VIEIRA SOBRINHO 2012 16 MATEMÁTICA FINANCEIRA Juro simples pode ser caracterizado como um sistema de capitalização linear em que a taxa de juros é aplicada somente sobre o capital inicial CRESPO 2009 Vieira Sobrinho 2012 ressalta que as pessoas que possuem recursos para utilizar na compra de bens de consumo ou imóveis podem emprestálos a terceiros adquirir títulos de renda ou guardálos para um posterior investimento obtendo lucro com essas operações Dessa forma é importante que você entenda que o dinheiro possui um preço pois quem pede emprestado de bancos ou de financiadoras deve devolver a quantia emprestada depois de certo tempo sendo com isso acrescido um valor extra pelo uso do dinheiro de outra pessoa O mesmo acontece com o cheque especial você paga o aluguel temporário por uma quantia que o banco emprestou SAIBA MAIS Você poderá aprofundar esse assunto assistindo ao vídeo do Professor Daniel Ferretto Matemática Básica Aula 28 Juros Simples parte 1 Disponível em httpswww youtubecomwatchvYHFAeGkBHZI Acesso em 06 out 2021 Também poderá pesquisar em outros livros que tra tam desse tema pois existe um farto material disponível 17 JUROS E TAxAS Como você pôde perceber o cálculo dos juros está diretamente ligado ao capital aplicado à taxa de juro ao período de tempo que esse dinheiro foi usado e ao montante Vejamos a seguir o que significa cada um desses termos Capital Em matemática financeira uma quantia em dinheiro que vai ser aplicada emprestada ou investida em algo ANTONIK 2012 Taxas de juro Chamamos de taxa de juro a relação existente entre o juro e o capital qual pode ser representada em termos unitários ou percentuais Logo temos a seguinte fórmula em que J é o juro e C é o capital J C i n Normalmente a taxa é expressa da forma percentual seguida da especificação do período de tempo Portanto um exemplo de taxa seria 15 am Lêse um porcento e meio ao mês Outros tipos de períodos são ao dia ad ao ano aa ao semestre as ao trimestre at entre outros 18 MATEMÁTICA FINANCEIRA TEMPO DE APLICAÇÃO Todas as taxas estão associadas a períodos de tempo n mas quanto maior for esse tempo maiores serão os riscos de o proprietário do capital não o receber e por consequência maior será seu custo ANTONIK 2012 Dessa forma apreendemos que o tempo de aplicação é o período em que o dinheiro ficou aplicado rendendo juros A seguir vamos apresentar o valor que resulta da soma do capital com o juro aplicado em toda a operação de empréstimo MONTANTE O montante M para Antonik 2012 é o resultado da soma entre o capital inicialmente emprestado C e os juros J gerados nesse período de tempo n ou seja M J C CÁLCULO DE JUROS A partir deste momento vamos aprender a calcular os juros e os componentes da capitalização linear É importante lembrar que nesse tipo de capitalização os juros são iguais em todos os 19 JUROS E TAxAS períodos ou seja não têm variação durante o período Assim o juro é calculado da seguinte maneira Exemplo 1 Calcule o valor gerado por um capital de R 5000 emprestado a uma taxa de juros de 3 ao mês durante um ano Note que a taxa de juros é dada em meses e o tempo em anos Portanto precisamos adequar o período para uma mesma unidade Podemos transformar um ano em 12 meses Assim C 5000 n 12 meses Precisamos também transformar a taxa de juros que está em percentual em um índice Essa operação sempre será feita como segue i 3 am 003 am Agora podemos utilizar a fórmula indicada no início do tópico e os dados apresentados Desse modo vamos obter J Cin J 5000 003 12 J 1800 20 MATEMÁTICA FINANCEIRA Logo o juro produzido pelo capital dado em um ano foi de R 1800 CÁLCULO DA TAXA Em algumas ocasiões temos as informações do capital do período em que o capital é aplicado e quanto ele rendeu Porém não sabemos em que taxa essa operação foi aplicada O exemplo a seguir ilustra essa situação Exemplo 2 Um capital de R 25000 aplicado durante cinco meses rende juros de R 2500 Determine a taxa correspondente a essa aplicação a partir dos dados a seguir C 25000 n 5 meses i J 2500 Podemos utilizar a mesma fórmula do tópico anterior para obter o valor desejado sendo que agora a incógnita é a taxa de juros i 2500 25000 i 5 2500 12500 i 21 JUROS E TAxAS i 250012500 Em porcentagem 002 x 100 2 am CÁLCULO DO CAPITAL Para quando não sabemos o capital inicial aplicado Exemplo 3 Qual o valor do capital que aplicado a uma taxa de 25 ao mês rende juros de R 120000 em dois anos Analise os seguintes dados para a resolução J 120000 i 25 0025 n 2 anos 24 meses C Podemos utilizar a mesma fórmula mas com a incógnita sendo capital C Assim temos que 120000 C 0025 24 120000 C 06 C 200000 Portanto o capital aplicado foi de R 200000 22 MATEMÁTICA FINANCEIRA CÁLCULO DO MONTANTE A situação mais comum no cotidiano é conhecermos capital taxa e período de investimento Nesse caso desejamos saber o montante que será obtido ao final do período Exemplo 4 Calcule o montante e os juros referentes a um capital de R 49050 investido a uma taxa de 03 ad durante 15 anos Para este cálculo temos os seguintes dados C 49050 i 03 0003 ad A taxa de juros está ao dia e o tempo em anos Então precisamos deixar esses valores na mesma unidade lembrando que em matemática financeira o ano comercial tem 360 dias Assim temos que n 15 anos x 360 dias 540 dias Para calcularmos os juros usamos a fórmula J C i n J 49050 0003 540 J 79461 23 JUROS E TAxAS Como vimos o montante é encontrado somando o valor do capital inicial com os juros obtidos desse capital Portanto temos M C J M 49050 79461 M 128511 Desse modo o presente capital rendeu R 79461 de juros gerando um montante de R 128511 CÁLCULO DO TEMPO DE APLICAÇÃO Quando sabemos o valor investido a taxa e o montante que desejamos obter calculamos o tempo de aplicação Exemplo 5 Fernanda pretende comprar um carro que custa R 23500 mas possui apenas R 18000 Como ela não quer pagar juros ao comprar o carro decide esperar e aplicar o seu dinheiro em uma instituição financeira que paga uma taxa de juros de 5 am Sabendo disso depois de quanto tempo Fernanda poderá comprar o carro que deseja Para este problema temos a seguinte solução 24 MATEMÁTICA FINANCEIRA C 18000 M 23500 i 5 am 005 am Como o montante é obtido somando o valor do capital inicial com os juros obtidos desse capital logo M C J 23500 18000 J J 5500 Assim sabemos que o juro que Fernanda precisa é de R 5500 Agora vamos utilizar a fórmula do juro para descobrir o período que o dinheiro precisa ficar aplicado J C i n 5500 18000 005 n 5500 900 n n 611 Portanto Fernanda deverá deixar seu dinheiro aplicado durante aproximadamente seis meses para então conseguir comprar o carro que deseja 25 JUROS E TAxAS SAIBA MAIS Convidamos você a pesquisar um pouco mais sobre as aplicações financeiras e os juros assistindo à reportagem da Rede União Aplicações financeiras Disponível em httpwwwyoutubecomwatchvlqXckYv0gE8 Acesso em 06 out 2021 Nesse vídeo você obterá informações sobre alguns investimentos seguros para se guardar dinheiro DESCONTO SIMPLES O desconto simples é similar ao juro simples a diferença é que o desconto como o próprio nome diz é um benefício concedido a uma pessoa ou empresa pelo pagamento antecipado da sua dívida enquanto o juro é dado para estender o prazo de pagamento Para Crespo 2009 desconto D é a quantia a ser abatida do valor nominal ou seja é a diferença entre o valor nominal valor futuro VF e o valor atual valor presente VP Para obter o valor presente basta subtrairmos o desconto do valor futuro VP VF D 26 MATEMÁTICA FINANCEIRA CÁLCULO DO DESCONTO E VALOR PRESENTE Exemplo 6 Qual o valor do desconto simples e do valor presente de um título de R 2000 com vencimento para 120 dias a uma taxa de 25 ao mês Para a resolução do problema acima analise os dados VF 2000 n 120 dias 4 meses i 25 am 0025 am Utilizando a fórmula estudada anteriormente e substituindo com os dados acima temos que D VF i n D 2000 0025 4 D 200 Dando continuidade vamos obter o seguinte valor presente VP VF D VP 2000 200 VP 1800 27 JUROS E TAxAS Portanto o desconto do título hoje seria de R 200 e o valor presente de R 1800 CÁLCULO DO VALOR FUTURO Exemplo 7 Uma duplicata que tem 37 dias até o seu prazo de vencimento se for paga hoje terá o valor de R 30190 Levando em consideração que o banco cobra uma taxa de desconto de 52 ao mês qual seria o valor dessa duplicata em seu prazo final Inicialmente temos que VP 30190 n 37 dias VF ad 000173 ad i 52 am 0052 30 Como nessa equação não temos valores definidos para duas variáveis D e VF é impossível obter a solução desse problema somente por meio da fórmula D VF i n Entretanto como sabemos que VP VF D vamos substituir essa igualdade na equação de desconto conforme segue VF VP VF i n VF VF i n VP VF 1 i n VP VF 3225887 VF VP 1 i n VF 30190 1 000173 37 28 MATEMÁTICA FINANCEIRA VF VP VF i n VF VF i n VP VF 1 i n VP VF 3225887 VF VP 1 i n VF 30190 1 000173 37 Assim temos que VF VP VF i n VF VF i n VP VF 1 i n VP VF 3225887 VF VP 1 i n VF 30190 1 000173 37 Portanto o valor futuro ou o valor da duplicata é de R 3225887 Agora que você já conhece juros e descontos simples e sabe como realizar cálculos com esses conceitos podemos no próximo capítulo estudar outro conceito importante os juros e descontos compostos Vamos compreender as diferenças entre juros simples e compostos descontos simples e compostos além de conhecer a importância desses conceitos no mercado financeiro JUROS COMPOSTOS Você viu no capítulo anterior a importância de saber calcular os juros e descontos simples a definição e o cálculo do montante e as taxas aplicadas aos juros simples Também teve a oportunidade de ver alguns exemplos resolvidos envolvendo esse conteúdo 29 JUROS E TAxAS Dando continuidade ao assunto mostraremos a importância de entender o que é o juro e desconto composto como são calculados e quais as semelhanças e diferenças com o juro e o desconto simples Juro composto ou capitalização composta é diferente do juro simples pois nesse caso a taxa é calculada sobre o capital inicial com o acréscimo do juro acumulado até o período anterior Popularmente falando seria juros sobre juros ANTONIK 2012 Esse tipo de capitalização segundo Vieira Sobrinho 2012 é o mais utilizado nas transações financeiras as quais se baseiam nos seguintes princípios Figura 1 Figura 1 Princípios da capitalização composta FINAL 1º PERÍODO FINAL 2º PERÍODO FINAL 3º PERÍODO Ao final do primeiro período os juros que incidem sobre o capital inicial são a ele incorporados produzindo o primeiro montante Ao final do segundo período os juros incidem sobre o primeiro montante e incorporamse a ele gerando o segundo montante Ao final do terceiro período os juros calculados sobre o segundo montante incorporamse a ele gerando assim o terceiro montante e assim por diante Fonte Adaptada de Vieira Sobrinho 2012 Assim podemos entender que um Capital C aplicado a juros compostos J com uma taxa i durante um período de tempo n gera um montante M Figura 2 30 MATEMÁTICA FINANCEIRA Figura 2 Desenvolvimento da fórmula da capitalização composta FINAL 1º PERÍODO FINAL 2º PERÍODO FINAL 3º PERÍODO M1 C 1i1 M2 C 1i2 M3 C 1i3 Fonte Elaborada pelo autor 2021 Portanto ao final do nésimo período o montante será MnC1in Segundo Vieira Sobrinho 2012 aplicar o capital em juros compostos significa que a taxa é modificada exponencialmente em relação ao período de tempo SAIBA MAIS Você poderá aprofundar esse estudo assistindo ao vídeo do Professor Ferretto Matemática Básica Aula 29 Ju ros Compostos parte 1 Disponível em httpswww youtubecomwatchvZxhZpTcNgX8 Acesso em 06 out 2021 Também poderá consultar os livros indicados nas referências além de poder pesquisar em outros li vros que tratam desse tema Neste capítulo aprendemos sobre juros compostos Portanto agora você pode resolver problemas financeiros que envolvem tanto juro simples como composto 31 JUROS E TAxAS Como você estudou no primeiro capítulo os juros simples também estão presentes nas transações financeiras Em que situações e por que você escolheria o juro composto em vez do juro simples Para entender melhor a diferença entre juros simples e compostos vamos observar quanto um capital aplicado em regimes de capitalização simples e composta rende de juros Exemplo 8 Segundo Crespo 2009 p 117 um capital de R 100 aplicado a 2 ao mês tem a seguinte evolução no regime de juro simples Figura 3 Figura 3 Regime de capitalização simples MÊS JURO MONTANTE 0 10000 1 100 002 1 2 10200 2 100 002 1 2 10400 3 100 002 1 2 10600 Fonte adaptado de Crespo 2009 p 117 Dando continuidade ao exemplo vamos analisar a aplicação do juro composto Figura 4 32 MATEMÁTICA FINANCEIRA Figura 4 Regime de capitalização composta MÊS JURO MONTANTE 0 10000 1 100 002 1 2 10200 2 102 002 1 204 10404 3 10404 002 1 208 10612 Fonte adaptado de Crespo 2009 p 118 Com base nos dados das Figuras 3 e 4 e considerando um investimento de R 100 após o segundo mês é possível perceber que na capitalização composta os juros são um pouco mais altos e crescem gradativamente Figura 5 Figura 5 Comparativo de Juros Simples e Compostos do Exemplo 8 R 120000 R 100000 R 80000 R 60000 R 40000 R 20000 R 000 1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 106 113 120 Juros simples Juros compostos X Y Fonte elaborado pelo autor 2021 Por meio da Figura 5 é possível notar que apesar de inicialmente não haver grandes diferenças nos rendimentos ao longo do tempo a diferença é notável e evidente ao passo 33 JUROS E TAxAS que por exemplo após 10 anos os mesmos R 100 quando investidos a juros simples totalizam um montante de R 340 já o investimento a juros compostos retorna no mesmo período um montante de R 107652 uma diferença considerável A disparidade entre os dois tipos de juros cresce conforme o tempo decorrido visto que o tempo é variável exponencial na fórmula de juros compostos A seguir veremos mais um exemplo de juros compostos Exemplo 9 Calcule a taxa de juros de um capital de R 1000 que em um prazo de 12 meses rendeu R 350 de juros Sabendo que C 1000 n 12 meses Como rendeu R 350 de juros podemos calcular o montante da seguinte maneira M C J M 1000 350 M 1350 34 MATEMÁTICA FINANCEIRA Aplicando a fórmula temos a seguinte resolução M C1i 1350 10001 i12 135 1 i12 10253 1 i 10253 1 i i 00253 i x 100 253 135 1 i 1i12 1350 1000 n 12 n Portanto a taxa de juro dessa transação financeira é de 253 am SAIBA MAIS Agora que você já aprendeu a calcular o valor dos juros simples e compostos resolva os exercícios propostos no vídeo Juros Simples e Juros Compostos EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Disponível em httpswwwyoutube comwatchvCFvH0mdJzhM Acesso em 08 out 2021 Depois desses exemplos você deve ter notado que nos juros compostos outros cálculos como equações logarítmicas e exponenciais servem de suporte Até agora aprendemos a calcular e entender como os juros compostos atuam no mercado financeiro Neste momento vamos aprender um pouco sobre como funciona o desconto composto 35 JUROS E TAxAS DESCONTO COMPOSTO Segundo Crespo 2009 o conceito de desconto composto é o mesmo do desconto simples o abatimento que conseguimos ao quitar uma dívida ou compromisso antes do vencimento Esse tipo de desconto é obtido em função de cálculos exponenciais VIEIRA SOBRINHO 2012 Nesse caso também são conhecidos dois tipos de descontos o desconto composto por fora e o desconto composto por dentro ou racional Segundo Antonik 2012 desconto composto por fora não tem aplicabilidade prática Quanto ao desconto composto por dentro ou desconto real composto nada mais é do que a diferença entre o valor futuro de um título e o seu valor atual ANTONIK 2012 Por isso vamos estudar apenas o desconto por dentro Calculandose com base no regime de capitalização composta podemos definir desconto racional como a diferença entre o valor futuro montante de um título e o seu valor atual Assim temos que D VF 1 i 1 1 i n n 36 MATEMÁTICA FINANCEIRA Exemplo 10 Qual será o valor do desconto composto racional de um título no valor de R 40000 sabendose que o prazo para pagamento é de seis meses e que a taxa de desconto é de 35 ao mês Conforme os dados do problema temos a seguinte solução VF 40000 n 6 meses i 35 0035 ao mês Aplicando a fórmula temos D VF D 746001 1 in 1 1 in D 40000 022926 022925 D 40000 1 0035 1 00356 6 1 Portanto o desconto desse título será de R 746001 Vejamos agora um exemplo para calcular a taxa de desconto 37 JUROS E TAxAS Exemplo 11 Suponha que um produtor de leite tenha efetuado uma venda a uma determinada rede de laticínios no valor de R 90000 cuja quantia deve ser paga quatro meses após a entrega dos produtos Passado um mês da data da entrega o produtor precisando de dinheiro procurou o banco para tentar descontar a duplicata O banco ofereceu em troca do título a quantia de R 86000 Tendo sido aceita a proposta o produtor recebeu do banco a importância de R 86000 e o banco passou a ser o credor da dívida que será saldada pela empresa de laticínios Ou seja na data inicialmente estabelecida a empresa de laticínios fará o pagamento de R 90000 diretamente ao banco e não mais ao produtor de leite Conforme o exemplo dado qual deve ser a taxa de desconto simples que corresponde ao período de antecipação de dois meses DUPLICATA é um título de crédito um documento nominal que é emi tido sempre pelo comerciante com o valor e vencimento da fatura para que o comprador se obrigue a pagar dentro do prazo estipulado Nesse sentido ela regulamenta a compra e venda Disponível em httpswww meusdicionarioscombrduplica ta Acesso em 06 out 2021 38 MATEMÁTICA FINANCEIRA De acordo com o enunciado pôdese observar que o valor da duplicata era de R 90000 e que o banco pagou R 86000 Assim R 4000 correspondem ao valor do desconto Desse modo 3i D VF i n 4000 90000 i 3 00444 3i i 00148 100 i 148 4000 90000 i 00444 3 Portanto antecipando três meses e pagando R 86000 o banco aplicou uma taxa de 148 ao mês TAXA NOMINAL E EFETIVA Você viu nos capítulos anteriores a importância e os conceitos sobre os juros e descontos e suas aplicações no meio financeiro Agora dando continuidade ao tema mostraremos com mais calma as taxas utilizadas nessas operações Também apresentaremos alguns exemplos resolvidos para que você possa entender melhor esse tema e para que seja capaz 39 JUROS E TAxAS de resolver problemas de matemática financeira envolvendo juros e descontos compostos Mas afinal como podemos definir a taxa de juros e como ela é classificada No mercado financeiro brasileiro ocorre muita confusão em relação aos conceitos de taxas de juros principalmente sobre as taxas nominal efetiva e real VIEIRA SOBRINHO 2012 Em consequência desse fato os negócios são afetados pois ocorre um conflito de entendimento entre os negociantes Quando procuramos entender as taxas existentes em matemática financeira percebemos sua grande variedade ocorrendo uma confusão também quando uma mesma taxa é nomeada de maneiras diferentes dependendo do autor ANTONIK 2012 Além das taxas já mencionadas temos ainda a simples ou linear a composta ou exponencial a equivalente a proporcional a aparente a antecipada etc além das taxas de desconto por fora ou comercial ou bancária e por dentro ou racional simples e compostas Neste capítulo aprofundaremos o estudo das taxas de juros efetiva e nominal Isto porque no mercado financeiro é essencial o entendimento do que são as taxas de juros como 40 MATEMÁTICA FINANCEIRA funcionam qual a diferença entre elas e a transformação de um tipo de taxa em outra Com esse conhecimento é possível que os negócios tenham melhores resultados Assim na Figura 5 podemos observar que as taxas de juros podem ser entendidas de duas maneiras Figura 5 Entendimento das taxas de juros Quanto ao valor do capital tomado como base de cálculo Por exemplo qual é a taxa de juros de uma importância em dinheiro com valor de R 100 empregada durante três períodos e que resultou em um montante com valor de R 120 Quanto ao período de capitalização da taxa Por exemplo qual é a taxa de juros equivalente ao mês que produz um ganho acumulado de 12 ao ano Fonte Antonik 2012 p 49 No segundo item a taxa está em função da divisão do seu período de capitalização pois geralmente a capitalização acontece com uma taxa diferente dos períodos Nesses casos é necessário um ajuste desses períodos Dito isso resta examinar cada um dos tipos de taxas e as suas respectivas particularidades e especificidades 41 JUROS E TAxAS Na maioria dos materiais referentes à matemática financeira as taxas são rotuladas como nominais ou efetivas em função da divisão do período em subdivisões de períodos de capitalização VIEIRA SOBRINHO 2012 Dessa forma as taxas efetivas e nominais referemse ao valor do capital inicial tomado como base de cálculo Agora que entendemos um pouco sobre as taxas de juros e que elas estão presentes no mercado financeiro vamos estudar as taxas nominal e efetiva Os conceitos de taxa nominal e efetiva estão presentes em diversos investimentos financeiros negociações imobiliárias empréstimos entre outras operações financeiras Quanto às taxas nominais Crespo 2009 informa que são caracterizadas pelos exemplos a seguir Figura 6 Figura 6 Exemplos de caracterização de taxas nominais TAXA NOMINAL CAPITALIZAÇÃO 48 aa Semestral 36 aa Trimestral 8 am Diária Fonte Adaptado de Crespo 2009 42 MATEMÁTICA FINANCEIRA De acordo com Antonik 2012 na taxa nominal a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de referência do tempo dos períodos de capitalização Nesse contexto quando temos uma taxa nominal precisamos transformála em efetiva veremos a seguir para conseguir saber o quanto realmente pagaremos de taxa Ou seja a taxa nominal seria a referência e a taxa efetiva seria a representação da taxa nominal a cada período de capitalização quando a taxa paga seus juros respectivos Vamos resolver alguns exemplos para entendermos melhor sobre a taxa nominal Um detalhe importante é que na maioria dos materiais sobre o assunto a taxa nominal se refere a uma taxa anual Exemplo 12 Observe este exemplo adaptado de Vieira Sobrinho 2012 qual o montante de um capital de R 5000 no final de dois anos com juros de 24 ao ano capitalizados trimestralmente Para este problema temos a seguinte resolução C 5000 n 2 anos i 24 aa 024 aa 43 JUROS E TAxAS Como a capitalização é trimestral e temos quatro trimestres em um ano obtemos n 2 anos 2 x 4 trimestres 8 trimestres M C 1 i i 06 at 024 3 n n Logo a resolução deve seguir desta maneira M8 5000 1 0068 M8 5000 1593848 M8 796924 Portanto o montante é de R 796924 Temos também a chamada taxa efetiva que se refere ao cálculo do valor efetivamente aplicado ou emprestado ou seja o valor disponibilizado ao interessado na data da aplicação ou do contrato VIEIRA SOBRINHO 2012 Para Antonik 2012 a taxa efetiva implica que o juro incida apenas uma vez em cada período a que a taxa se refere Quando temos juros compostos e o período de 44 MATEMÁTICA FINANCEIRA capitalização não for informado compreendemos que o período coincide com o valor da taxa Se um certo banco tem uma taxa nominal de juros de 60 ao ano e deseja calcular as taxas efetivas com base no regime de capitalização composta temos que Figura 7 Figura 7 Taxas nominal e efetiva PLANO PERIODICIDADE DE PAGAMENTO TAXA DO PERÍO DO TAXA EFETIVA ANUAL A Mensal 5 79585 B Trimestral 15 74900 C Semestral 30 69000 D Anual 60 60000 Fonte Vieira Sobrinho 2012 p 185 Segundo Vieira Sobrinho 2012 a adoção da taxa nominal implica pagamentos de menor tempo com taxas efetivas Para entendermos melhor como funciona a taxa efetiva são apresentados alguns exemplos Exemplo 13 Segundo Crespo 2009 p 134 quando oferecemos 6 ao ano e capitalizamos semestralmente a 3 a 45 JUROS E TAxAS taxa de 6 é como vimos a taxa nominal Logo a taxa efetiva é a taxa anual equivalente a 3 semestrais Calcule a taxa efetiva Considerando if a taxa efetiva temos 1 if 1 in 1 if 1 0032 if 10609 1 if 00609 Assim a taxa efetiva anual equivalente a 3 as é 609 aa TAXAS EQUIVALENTES Taxas equivalentes segundo Vieira Sobrinho 2012 ocorrem quando duas taxas estão relacionadas a períodos diferentes de capitalização mas produzem o mesmo montante depois de um determinado período de tempo pela aplicação de um capital inicial de mesmo valor Para verificarmos a equivalência vamos calcular o montante mensal Mm e o montante anual Ma a partir das taxas efetiva mensal e anual que são equivalentes entre si respectivamente pelo período de um ano Considerando uma taxa de 2 am e outra de 268242 aa temos que 46 MATEMÁTICA FINANCEIRA Mm 5000 1 00212 Mm 5000 1268242 Mm 634121 Para a segunda taxa temos Ma 5000 1 02682421 Ma 5000 1268242 634121 Portanto para calcularmos o valor da taxa equivalente para o caso mais comum que envolve taxa em anos e meses vamos usar a fórmula i 1 i 1 a na nm Em que ia taxa anual na tempo em anos nm tempo em meses Exemplo 14 A taxa efetiva de 32 aa equivale a qual taxa efetiva mensal Os dados que temos são ia 32 aa na 1 ano nm 12 meses 47 JUROS E TAxAS Substituindo na fórmula obtemos i 1 032 1 1 12 i 1023406 1 i 0023406 Portanto i 234 am corresponde a 32 aa Sabemos que duas taxas são ditas equivalentes se forem aplicadas em um mesmo capital em um período equivalente resultando no mesmo montante Na prática essas taxas são muito utilizadas em financiamentos em longo prazo em que geralmente os bancos apenas apresentam as taxas mensais e acabamos nem nos dando conta de que não somos informados sobre a taxa anual ou do período determinado Devemos estar cientes da necessidade de obtermos uma relação que nos permita calcular a taxa equivalente Então vamos para um último exemplo Exemplo 15 determine qual é o valor da taxa mensal equivalente a 150 ao ano Para resolver este problema devemos transformar a taxa anual em taxa mensal em uma aplicação de regime composto Assim temos que 48 MATEMÁTICA FINANCEIRA i 1 i 1 i 25 1 i 1079348 1 i 0079348 a 12 na nm i 1 15 1 1 12 Portanto uma aplicação a uma taxa de 150 aa corresponde a 793 am Neste conteúdo conseguimos entender a ideia de taxas equivalentes que são aquelas que mesmo relacionadas a períodos diferentes geram o mesmo rendimento Neste momento você é capaz de calcular e entender as taxas efetivas presentes no mercado financeiro Para todos os cálculos que aprendemos até aqui pode ser usada a calculadora HP 12 c que é uma calculadora programável que utiliza o método RPN e introduziu o conceito de fluxo de caixa nas calculadoras utilizando sinais distintos para entrada e saída de recursos 49 JUROS E TAxAS SAIBA MAIS Para saber mais sobre como utilizar essa calculadora em seus cálculos acesse esse link do canal O matemático httpsyoutubedk2TjbGWrJE onde ele apresenta de maneira muito simples o funcionamento e as principais funções CONSIDERAÇÕES FINAIS Chegamos ao fim desta unidade Muitos conceitos foram aprendidos aqui Eles possuem suas diferenças mas também são complementares Como todo conhecimento a matemática financeira evolui com o passar dos anos Sendo de suma importância para o desenvolvimento do comércio e também de atividades como juros descontos e aplicações financeiras em geral Atividades essas que por muito tempo atendiam apenas pequenos comerciantes e agricultores mas atualmente também são atribuídas aos grandes empresários Imagine uma situação em que você é levado a fazer o financiamento de um imóvel ou automóvel Devido à necessidade aceita o negócio Porém será que se realizasse o cálculo do juro 50 MATEMÁTICA FINANCEIRA que irá pagar faria o negócio mesmo assim Qual seria o real valor que pagaria pelo carro ou casa Se resolvesse antecipar algumas parcelas qual seria o valor pago pelo bem São muitos questionamentos que devem ser levados em consideração Vimos que existem dois tipos de regimes distintos de capitalização o simples e o composto com características próprias bem definidas e que não devem ser misturadas Definidas essas capitalizações podemos analisar as taxas nominal e efetiva Então a partir desses conhecimentos podemos tomar uma decisão mais precisa em relação ao que fazer na situação acima O conhecimento é fundamental para tomar decisões melhores Por isso siga se aprimorando se aprofunde mais nos assuntos abordados e os domine de fato Isso trará vantagem competitiva para você no mercado além de melhorar as suas escolhas pessoais Você também pode aperfeiçoar seu trabalho testando diferentes soluções para os problemas que aparecerem Faça simulações de financiamentos e investimentos Crie planilhas para visualizar diferentes cenários Altere as variáveis para observar como os resultados se comportam O importante é manter o conhecimento sempre ativo revisitandoo Para isso 51 JUROS E TAxAS procure oportunidades para colocálo à prova Todo conhecimento adquirido te leva para um novo patamar de possibilidades RESUMO Nesta unidade aprendemos que Os juros só existem se houver um capital empregado seja próprio ou de terceiros O cálculo dos juros e dos descontos está diretamente ligado ao capital aplicado à taxa ao período de tempo que esse dinheiro foi usado ou antecipado e ao montante O desconto simples é a antecipação de uma dívida ou seja a redução de um valor futuro que está diretamente relacionado com um período de tempo e uma taxa de juro simples Para calcularmos os juros devemos aplicar um capital ou seja um valor monetário sobre um acréscimo determinado pela taxa estipulada pelo banco ou pela financiadora em determinado período de tempo 52 MATEMÁTICA FINANCEIRA Vimos também que os juros compostos se diferenciam dos juros simples pelo fato de serem acumulativos Assim na capitalização simples os juros são calculados sobre o mesmo capital e na capitalização composta os juros são calculados sobre o montante do período anterior Também estudamos que quando uma pessoa aplica um capital por certo tempo a uma determinada taxa ao final desse período ela tem à sua disposição não só o valor inicial aplicado mas também os juros que lhe são devidos Esse total que é a soma do capital aplicado com os juros obtidos durante um período de tempo é chamado de montante Por fim vimos que podemos ter taxas nominais e efetivas visto que o valor determinante é o capital inicial tomado como base de cálculo Aprendemos ainda sobre as taxas equivalentes que são definidas como aquelas aplicadas a capitais iguais geram juros iguais e consequentemente montantes iguais em períodos de tempo iguais 53 JUROS E TAxAS REFERÊNCIAS ANTONIK L R Matemática Financeira instrumentos financeiros para tomada de decisão em administração economia e contabilidade São Paulo Saraiva 2012 CRESPO A A Matemática Financeira Fácil 14 ed São Paulo Saraiva 2009 DUPLICATA In Meus Dicionários Disponível em https wwwmeusdicionarioscombrduplicata Acesso em 06 out 2021 VIEIRA SOBRINHO J D Matemática Financeira 7 ed São Paulo Atlas 2012