Oscilações e Temperatura de Cordas e Barras: Problemas e Soluções

A corda do comprimento l com as extremidades fixas recebe a deformação inicial mostrada na Fig 1 velocidade inicial da corda é nula A tensão da corda é T a densidade linear da corda é ρ Encontrar a função uxt que determina o processo da oscilação da corda 2 A corda de comprimento l com as extremidades fixas sofre uma colisão de um martelinho com superfície plano e duro tal que a corda recebe uma velocidade inicial da forma mostrada na Fig 2 em que x1 L4 δ x2 L4 δ x3 3L4 δ x4 3L4 δ Determinar oscilações da corda uxt supondo que sua deformação inicial for nula A tensão da corda é T a densidade linear da corda é ρ 3 Encontrar temperatura de uma barra fina de comprimento l se temperatura das extremidades da barra é nula e temperatura inicial da barra foi U0 A difusividade térmica na barra é α 4 Temperatura inicial de uma barra homogênea fina de comprimento l é U0 Na uma extremidade da barra é mantida temperatura U1 e na outra U2 Determinar temperatura da barra uxt para t 0 Determinar também temperatura em regime estacionário uex lim t uxt A difusividade térmica na barra é α 6 Determine os polinômios de Legendre para n 0 1 2 3 4 5 pela fórmula de Rodrigues Pnx 12n n dndxnx2 1n e pela relação de recorrência n 1 Pn1x 2n 1x Pnx n Pn1x 0 com P0x 1 P1x x Compare os resultados obtidos pelos dois métodos 7 Representar os monômios 1 x x2 x3 x4 x5 em termos dos polinômios de Legendre 8 Representar a função fx no intervalo 11 em termos dos polinômios de Legendre a fx xx 1 b fx x2x 1 Recomendação pode ser usada a propriedade de ortogonalidade dos polinômios de Legendre 11 Pnx Pmx dx 22n 1 δnm Ou em outra formulação Encontrar a decomposição da função fx em uma série por polinômios de Legendre k0 ck Pkx 9 Determine as integrais Inm 11 x1 x2 Pnx Pmx dx para números inteiros arbitrários m n 0 Pnx são polinômios de Legendre Recomendação escrever a resposta na forma compacta com o uso do símbolo de Kronecker δnm 10 Arfken Exercício 1262 p 598 Provar que Ylm0ϕ 2l 14π12 δm0 11 Arfken Exercício 1263 p 598 Mostrar que Ylmπ2 0 1lm2 2l 14π12l ml m12 para l m par Ylmπ2 0 0 para l m ímpar