Otimizacao na Producao de Materiais Analise de Areas e Impacto Ambiental

Uma empresa que produz materiais diversos esta desenvolvendo um material para um determinado fim Em uma primeira fase de desenvolvimento a empresa esboçou o projeto desse material que é definido pela área embaixo da curva fxsen xcos 2x2 definida no intervalo011 A próxima etapa seria determinar a composição desse material e como seria seu processo de manufatura Para isso a empresa está decidindo acerca de dois materiais Para elaborar o material na composição k a empresa teria que efetuara compra de chapas com um determinado formato definidos pela área embaixo da função kxsenx104 definida no mesmo intervalo Já para a elaboração do material na composição L a empresa teria que efetuar a compra de chapas com um formato definido pela área embaixo da curva lx 415 Para descartar de maneira reciclável os resíduos excedentes da produção do material a empresa paga uma quantia que varia conforme a quantidade de descartes Portanto a empresa preocupase em produzir a menor quantidade de resíduos possíveis e isso é um fator predominante para a escolha da composição do material sendo que para fins práticos a composição não interfere em sua funcionalidade Outro fato é que para a empresa ganhar visibilidade positiva no mercado ela deve conseguir fazer com que seus produtos tenham menor impacto ambiental ao terem seus resíduos descartados na sua produção ou seja devem e decompor mais rápido Sabendo disso a empresa analisa a porcentagem das composições k e L que são biodegradáveis A k é 20 biodegradável e a composição L é 28 biodegradável levando em conta a área A produção de materiais de maneira ótima é sempre um foco importante para as empresas que trabalham com produção Portanto determinar quais são esses parâmetros ótimos é fundamental para elas e a matemática mais especificamente o calculo é uma ferramenta imprescindível para esse objeto Retomamos nos textosbases e em suas validações os conceitos de integral definida e do calculo de áreas pela diferença de integrais definidas Esses são conceitos que podem auxiliar na determinação desses parâmetros ótimos para a produção de um materialproduto Sendo assim o objetivo da atividade a seguir é conseguir determinar alguns desses parâmetros utilizando as ferramentas da fornecida pelo calculo integral O aluno deve se imaginar a frente de uma empresa tndo que decidir qual composição do material sera escolhida levando em conta alguns aspectos Deve responder e justificar portnto as seguintes perguntas 1 Qual deve ser a escolha da composição do material se levasse em conta apenas a area de residuos inerenres a produção uma vez que busca reduzir os descartes 2 Qual deve ser a escolha da composição do material se levasse em conta tambem a biodecomposição de sua materiaprima e seu impacto na natureza durante o processo produtivo 1 Para esse exercício vamos calcular a integral da diferença entre fx e kx e fx e Lx após isso veremos o valor que será maior e esse valor é a relação de impacto pois essa será a área de resíduos inerentes a produção ksenx 10 4 f x s en x cos 2x 2 No intervalo de 011 temos Ak f x a b kxf x dx Ak f x 0 11 senx 10 4senx cos 2x 2dx A integral da soma é a soma das integrais dessa forma Ak f x 0 11 sen x 10 dx 0 11 4dx 0 11 senx dx 0 11 cos 2 x dx 0 11 2dx Temos 5 integrais resolvendo uma por uma fica 1 0 11 senx 10 dx 1 10 0 11 senx dx1 10 cos 11cos 0 0 11 senx 10 dx 1 10 cos 111 2 0 11 4dx4 x0 114 11044 3 0 11 senx dxcos 111 1 5 4 3 2 4 0 11 cos 2x dx Por substituiçãoudutemos u2x du2dx dx 2 du Onde os limites de integração ficam u x 2 x Para x0 u 00 u x 2 x Para x11 u 1121122 022é onovolimite deintegração Substituindo temos 0 22 cos u du 2 1 2 0 22 cos udu 1 2 0 22 cos u du1 2 sen u 0 22 0 11 cos 2x dx 1 2 cos u 0 22 0 11 cos 2x dx1 2 sen22sen0 0 11 cos 2x dx 1 2 sen22 5 0 11 2dx2x0 11211022 Calculamos as 5 integrais a soma delas que é a área fica Ak f x 1 10 cos 111 44 Ak f x1 10 cos 11 1 1044cos 1111 2 sen 2222 Ak f x1 10 cos 11 1 1021cos 111 2 sen22 Ak f x211 10 9 10 cos 111 2 sen22 Ak f x 0 11 senx 10 4senx cos 2 x 2dx2110841 Ak f x2110841ua Calculando a área entre Lx e fx temos AL f x a b Lxf xdx 0 11 4 15senx cos 2 x 2dx 0 11 415dx 0 11 senx dx 0 11 cos 2 x 0 11 2dx Trivialmente pois já sabemos o formato das integrais do cálculo anterior as integrais ficam 0 11 415dx 415 110 4565 0 11 sen x dxcos 111 0 11 cos 2x dx1 2 sen22 0 11 2dx22 Então a área é AL f x4565231 2 sen 22 cos11 AL f x22651 2 sen22cos 112265885 AL f x2265885ua Como a área de L é maior que de K então a escolha da composição K é melhor pois tem um impacto de área menor que L 2 A escolha com base na biodecomposição devese observar a porcentagem de impacto que cada elemento causa no caso em relação a área calculada no exercício anterior Assim temos que para k é 20 da área e para L é 28 da área O cálculo fica 20k0202110841422168ua 28 L0282265885634448ua O elemento K causa mais dano em relação a porcentagem de sua área do que do elemento L assim contradizendo o que fizemos no exercício anterior devemos escolher o elemento L por conta do seu menor impacto ou seja sua biodecomposição maior que K