Pontos Críticos Máximos e Mínimas

1 Determinar os pontos críticos da função dada e classificandoos fxy 12 x4 2x3 4xy y2 2 Considere um gás submetido a condição PVT 5 Ppressão Vvolume T temperatura Determine a taxa de variação da temperatura dTdt para P5000 Pa e V04 m3 se o volume cresce a uma taxa de 001 m3s e sua pressão cai 80 Pas 1 Determinar os pontos críticos da função dada e classificandoos fxy 34 y2 124 y3 132 y4 x2 2 Um lado do triângulo está aumentando em uma taxa de 3 cms e um segundo lado decrescendo a uma taxa de 2 cms Se a área desse triângulo permanece constante a que taxa varia o ângulo entre os lados quando o primeiro lado tem 20 cm de comprimento o segundo lado tem 30 cm de comprimento e o ângulo é Pi6 Arquivo 2 Questão 1 Determinar os pontos críticos da função dada classificandoos fxy 34 y2 124 y3 132 y4 x2 Solução Os pontos crítico de f são tais que satisfazem o sistema fx 0 fy 0 2x 0 I 18 yy2 y 12 0 II Da equação II temos x 0 e da equação II 18 yy2y12 0 18 yy2y12 0 18 yy3y4 0 y0 y3 e y4 Portanto os pontos críticos de f são P100 P203 e P304 Para classificarmos esses pontos críticos usamos o Teste da Segunda Derivada Para isso vamos primeiro calcular as derivadas parciais de f de segunda ordem e a derivada parcial mista fxx 2 fx2 2 fyy 2 fy2 32 14 y 38 y2 fxy 2 fxy 0 fyx 2 fyx 0 Assimo determinante D da matriz Hessiana é dado por D Dxy fxxxy fyyxy fxyxy2 2 32 14 y 38 y2 3 y2 3 y24 Portanto 1 D00 3 00 é ponto de sela 2 D03 214 0 e fxx03 2 0 f03 é um máximo local 3 D04 7 0 e fxx04 2 0 f04 é um máximo local Questao 2 Um lado do triˆangulo esta aumentando em uma taxa de 3cms e um segundo lado decrescendo a uma taxa de 20cms Se a area desse triˆangulo permanece constante a que taxa varia o ˆangulo entre os lados quando o primeiro tem 20cm de comprimento o segundo lado tem 30cm de comprimento e o ˆangulo e π 6 Solucao Consideremos o triˆangulo esbocado abaixo com altura h e base x Suponhamos que o lado de comprimento x aumenta a uma taxa de 3cms e o lado de comprimento y diminui a uma taxa de 2cms entao dx dt 3 dy dt 2 e a area do triˆangulo e dada por A x h 2 Da trigonometria temos que senθ h y h ysenθ Logo a area pode ser reescrita como Ax y θ xy senθ 2 Calculando as derivadas parciais de A com respeito a x y e θ obtemos A x y senθ 2 A y x senθ 2 A θ xy cosθ 2 Como a area A nao varia temos que dA dt 0 e aplicando a Regra da Cadeia dA dt 0 A x dx dt A y dy dt A θ dθ dt 2 y sentheta 2 dxdt x sentheta 2 dydt xy costheta 2 dthetadt 0 y sentheta dxdt x sentheta dydt xy costheta dthetadt 0 dthetadt y dxdt x dydt sentheta xy costheta dthetadt y dxdt x dydt xy tgtheta Para x 20 y 30 e theta pi6 temos que a taxa de variação do ângulo theta é dthetadt 30 3 2 20 20 30 tgpi6 90 40 600 sqrt3 3 sqrt3 36 Logo a taxa de variação do ângulo theta é de sqrt336 rads Arquivo 1 Questão 1 Determinar os pontos críticos da função dada classificandoos fx y 12 x4 2x3 4xy y2 Solução Os pontos crítico de f são tais que satisfazem o sistema del fdel x 0 del fdel y 0 2x3 3x2 2y 0 I 22x y 0 II De II temos que y 2x e substituindo na equação I obtemos x3 3x2 22x 0 xx2 3x 4 0 xx 1x 4 0 x1 0 x2 1 e x3 4 Segue que y1 0 y2 2 e y3 8 Portanto os pontos críticos de f são P1 0 0 P2 1 2 e P3 4 8 Para classificarmos esses pontos críticos usamos o Teste da Segunda Derivada Para isso vamos primeiro calcular as derivadas parciais de f de segunda ordem e a derivada parcial mista fxx del2 fdel x2 6x2 12x 6xx 2 fyy del2 fdel y2 2 fxy del2 fdel x del y 4 fyx del2del y del x 4 Assim o determinante D da matriz Hessiana é dado por D Dxy fxxxy fyyxy fxyxy2 6xx 2 2 42 12xx 2 16 Portanto 1 D00 16 0 00 é ponto de sela 2 D12 20 0 e fxx12 18 0 f12 é um mínimo local 3 D48 80 0 e fxx48 48 0 f48 é um mínimo local Questão 2 Considere um gás submetido a condição P VT 5 Determine a taxa de variação da temperatura dTdt para P 5000 e V 04 se o volume cresce a uma taxa de 001 e sua pressão cai a 80 Solução Derivando a igualdade P V T 5 P V 5 T com respeito a t em ambos lados obtemos ddt P V ddt 5 T dPdt V P dVdt 5 dTdt dTdt 15 dPdt V P dVdt Como a pressão decresce à uma taxa de 80 Pas temos que dPdt 80 Como o volume cresce à uma taxa de 001 m3s temos que dVdt 001 Assim substituindo esses valores na igualdade em vermelho dTdt 15 80 04 5000 001 15 320 500 15 180 36 Logo a taxa de variação da temperatura é de 36 grauss