Processos Estocásticos e Cadeias de Markov - Técnicas de Simulação e Otimização

WYF0578 TÉCNICAS DE SIMULAÇÃO E OTIMIZAÇÃO Prof Rafael Campos Franciscomacedoprofessoresfacidedubr Teresina PI 18082022 Aula 02 Introdução aos processos Makovianos Processos estocásticos Um processo estocástico é definido como um conjunto indexado de variáveis aleatórias 𝑿𝒕 em que o índice t percorre dado conjunto T Os processos estocásticos são de interesse por descreverem o comportamento de um sistema operando ao longo de algum período Um processo estocástico normalmente apresenta a seguinte estrutura Esse tipo de processo é conhecido como um processo estocástico em tempo discreto com um espaço de estado finito Exemplo Envolvendo o Clima O tempo na cidade de Campinas SP pode mudar de maneira bastante rápida de um dia para o outro Entretanto as chances de termos tempo seco sem chuvas amanhã são ligeiramente maiores caso esteja seco hoje do que se chover hoje Particularmente a probabilidade de termos tempo seco amanhã é de 08 caso hoje esteja seco porém é de apenas 06 caso amanhã chova Essas probabilidades não mudam caso as informações sobre o tempo antes de hoje também forem levadas em consideração Solução A evolução do tempo dia a dia é um processo estocástico começando em dado dia inicial chamando aquí do dia O tempo é observado em cada dia t para t 0 1 2 3 4 estado do sistema no dia t Estado dia t é seco ou então Estado 1 dia t com chuva Para t 0 1 2 a variável aleatória Xt assume os valores proposto Xt 0 se o dia t estiver seco 1 se no dia t estiver chovendo O processo estocástico Xt X0 X1 X2 fornece uma representação matemática de como o estado do tempo vai caminhando evoluir ao longo do tempo Métodos clássicos de otimização Derivação e Integração A otimização consiste de uma função com uma única variável X X se um mínimo ou então um máximo Derivio d fx d x 0 em X X Ponto crítico é necessário examinar a segunda derivada d² fx d x² 0 um X X ponto mínimo local fX fx para todo x suficientemente próximo de X fx 2x² 3x 1 obsn fx 22x¹ 31 x⁰ 0 fx 4x 31 fx 4x 3 4x 3 dx 4x1111 3x x² 3x c an an1n1 Uma função com diversos máximos e mínimos d fxd x 0 em X X mínimo global máximo local Ponto de inflexão mínimo global de fato a forma similar se fx for uma côncava então podemos estudar que d fxd x 0 em X X Tornase tanto uma condição necessária como suficientemente para X ser máximo global Cadeias de Markov É referente á distribuição conjunta de X0 X1 São necessários para obter resultados analíticos Vai possuir algumas propriedades Variáveis aleatórias Xt Propriedade Markoviana P Xt1 j X0 k0 X1 k1 Xt1 kt1 Xt i P Xt1 j Xt i para t 01 e toda sequência i j k0 k1 kt1 Que as propriedades Markovianas diz que a probabilidade condicional de qualquer EVENTO futuro dado qualquer EVENTO passado e o estado presente Xt i é independente dos eventos passados e depende apenas do estado actual Processo Estocástico Xt t 01 é uma cadeia de Markov são chamados PROBABILIDADES DE TRANSIÇÃO uma etapa se para cada ij PXt1 j Xt i P X1 j X0 i para todo t 12 Probabilidade de Transição estacionária i j e n n 012 P Xtn j Xt i P X1 j X0 i para t 12 Pij P Xt1 j Xt i Pnij P Xtn j Xt i n e t etapas Simplifica a propriedade condicional Pnij P1ij P1ij 0 para todo ij n 012 Pijn 0 para todo i e j n012 e j0 to M Pijn 1 para todo ij n012 Uma maneira conveniente de mostrar todas as probabilidades de transição em n etapas é o formato de Matriz Estado 0 1 M Pn P00n P01n P0Mn P10n P11n P1Mn PM0n PM1n PMMn para n012 O modelo equivalente a matriz de transição em n etapas colunas linhas Os cadeias de Markov a ser consideradas nesta aula possuem as seguintes Propriedades 1 Um número finito de Estados 2 Probabilidades de Transição Estacionárias Também partimos do propósito de que conhecemos a probabilidades p X0 i iniciais para todo i Ex a modelar o clima introduzido na primeira questão substituise de que a evolução diária do tempo em Campina foi formulada como um processo estocástico Xt t012 em que Xt 0 se o dia t estiver seco 1 se o dia t estiver chuvoso pXt10 Xt0 08 pXt10 Xt1 06