Transformada de Laplace - Revisao Metodos Vantagens e Aplicacoes

Revisão sobre transformada de laplace Apresentação A Transformada de Laplace é um método vantajoso para a solução de equações diferenciais A grande vantagem desse método está no fato de poder transformar funções como senos exponenciais integrais e derivadas em equações puramente algébricas de variável complexa Outra vantagem dessa transformada é que resolvendo a equação diferencial é possível obter tanto a resposta transitória quanto a de regime permanente de maneira simultânea Além disso podese usar esse método para análise gráfica de modo a prever o comportamento do sistema sem necessidade de resolver as equações diferenciais que o descrevem Nesta Unidade de Aprendizagem você aprenderá a reconhecer variáveis e funções complexas verá como selecionar as propriedades e teoremas da Transformada de Laplace e como determinar a transformada inversa de Laplace Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Reconhecer variáveis complexas e funções complexas Selecionar as propriedades e teoremas da Transformada de Laplace Determinar a transformada inversa de Laplace Desafio O método de Transformada de Laplace é muito útil para resolver equações diferenciais ordinárias EDO As equações diferenciais assim como as funções comuns senoidais e amortecidas podem ser convertidas em equações algébricas a partir da transformada Como você resolveria a situação Explique sua resposta Infográfico A Transformada de Laplace é uma ferramenta muito poderosa que permite trabalhar com equações que em função do tempo sejam complexas tornandoas muito mais simples no domínio da frequência No Infográfico você poderá observar as principais relações de funções entre os domínios do tempo e da frequência Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Conteúdo do livro A Transformada de Laplace auxilia na solução de equações diferenciais tendo como vantagem o poder de transformar funções como senos exponenciais integrais e derivadas em equações puramenta algébricas de variável complexa No capítulo Revisão sobre Transformada de Laplace do livro Teoria de controle e servomecanismo base teórica desta Unidade de Aprendizagem você poderá compreender melhor a Transformada de Laplace e a transformada inversa de Laplace assim como as implicações que elas causam no ramo da engenharia Boa leitura correção TEORIA DE CONTROLE E SERVOMECANISMO Eduardo Scheffer Saraiva Revisão sobre transformada de Laplace Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Reconhecer variáveis complexas e funções complexas Selecionar as propriedades e os teoremas da transformada de Laplace Determinar a transformada inversa de Laplace Introdução Neste capítulo você vai estudar a transformada de Laplace um método vantajoso para solução de equações diferenciais A grande vantagem desse método está no fato de podermos transformar funções como senos exponenciais integrais e derivadas em equações puramente algébricas da variável complexa s Outra vantagem dessa transformada é a possibilidade de se obter resolvendo a equação diferencial tanto a resposta transitória quanto de regime permanente simultaneamente Além disso é possível usar esse método para análise gráfica de modo a prever o comportamento do sistema sem necessidade de resolver as equações diferenciais que o descrevem Variáveis e funções complexas Uma variável complexa nada mais é do que um número complexo no qual a parte real eou imaginária é uma variável Na transformada de Laplace usaremos a notação s para denominar uma variável complexa como apresentado a seguir sσjω σ é a parte real e ω é a parte imaginária Conteúdo SAGAH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS Uma função complexa dada por Fs que está em função de s possui uma parte real e uma parte imaginária ou seja Fs Fx jFy Fx e Fy são quantidades reais Podemos dizer que uma função complexa Gs é analítica em uma região se todas as derivadas de Gs existem nessa região OGATA 1998 Assim é possível escrever a derivada de uma função analítica como Para um percurso particular s σ sobre o eixo real é definido como Para um percurso particular s jω sobre o eixo imaginário é definido como Se esses dois valores forem iguais Ou se as condições seguintes forem verdadeiras Revisão sobre transformada de Laplace 2 Então a derivada é determinada de maneira única Quando essas condições são satisfeitas dizemos que a função Gs é analítica Chamamos de ordinários os pontos no plano s nos quais a função Gs é analítica e aqueles em que a função Gs não é analítica são chamados de pontos singulares Os pontos singulares em que a derivada de Gs tende ao infinito são chamados de polos Gss pn para n 1 2 3 Se n 1 o polo é chamado de polo simples Se n 2 3 o polo é dito de segunda ordem de terceira ordem e assim sucessivamente Os pontos nos quais a função Gs se anula são chamados de zeros Considere a função complexa Gs apresenta zeros em s 3 s 7 e polos simples em s 0 s 1 s 10 além de um polo duplo em s 3 Observe que Gs se torna nulo em s Se levarmos em conta os pontos no infinito Gs apresenta o mesmo número de polos e zeros Propriedades e teoremas da transformada de Laplace A transformada de Laplace a partir de uma função de variável t tempo gera uma função de variável frequência Isso é vantajoso porque dada uma descrição matemática de um sistema a transformada fornece uma descrição alternativa que muitas vezes diminui a complexidade da análise do comporta mento do sistema Efetivamente a transformada converte equações diferenciais em equações algébricas e converte a convolução em multiplicação Considere 3 Revisão sobre transformada de Laplace ft função no contínuo de variável t tal que ft 0 para t 0 s variável complexa ℒ símbolo operacional indicando que a grandeza que ele antecede deve ser transformada por meio da integral de Laplace Fs transformada de Laplace de ft Assim obtemos a transformada de Laplace dada por OGATA 1998 A transformada de Laplace de uma função ft existe se a integral de Laplace convergir Para isso ocorrer ft terá de ser seccionalmente contínua em todo o intervalo de tempo finito da faixa t 0 quando t ela é de ordem exponencial Função degrau Em que A é uma constante A função degrau é indefinida para t 0 Sua transformada de Laplace é dada por Ao calcularmos essa integral estamos admitindo que a parte real de s seja maior do que zero assim o é nulo Função rampa Revisão sobre transformada de Laplace 4 Em que A é constante A transformada de Laplace dessa função rampa é dada por Função senoidal Em que A e ω são constantes considerando senωt como Assim a transformada de Laplace para uma função senoidal é dada por A transformada de A cos ωt pode ser calculada de maneira semelhante sendo dada por Uma vez que se saiba o método para obter a transformada de Laplace não é necessário deduzir toda vez a transformada de ft Utilizaremos sempre tabelas de transformadas para se obter a transformada de Laplace de uma função ft 5 Revisão sobre transformada de Laplace ft para t 0 Fs 1 t senωt cosωt eatsenωt eatcosωt Quadro 1 Tabela de transformadas de Laplace Transformada inversa de Laplace O processo inverso de obtermos uma função no tempo ft dada uma transfor mada de Laplace Fs é o que chamamos de transformada inversa de Laplace OGATA 1998 sendo dada pela seguinte fórmula Revisão sobre transformada de Laplace 6 Em que c não apenas é a abscissa de convergência mas também um número real constante e escolhido como o valor superior da parte real de todos os pontos singulares de Fs Contudo essa integral de inversão é complicada e um método mais conveniente de se obter a transformada inversa é utilizar tabelas de transformada de Laplace O grande segredo para o uso das tabelas de transformada inversa é adequar a equação ao formato da tabela o que pode ser feito expandindose a Fs em frações parciais e escrevendo Fs em termos de funções simples de s para as quais exista o equivalente na tabela Na análise de sistema de controle Fs a transformada de Laplace de ft ocorre sob a forma Nela As e Bs são polinômios em s Para expandirmos Fs em frações parciais é importante que a maior potência em As seja superior que a maior potência em Bs Expansão em frações parciais quando Fs possui apenas polos simples Em que m n Se Fs tiver apenas polos distintos então será possível expandila em uma soma de frações parciais como mostrado a seguir Em que são constantes Veja no box Exemplo a expansão em frações parciais quando Fs envolve polos múltiplos 7 Revisão sobre transformada de Laplace A expansão em frações parciais desta Fs envolve três termos dados da seguinte maneira Aplicando o mínimo múltiplo comum obtemos que Para determinar o coeficiente A substituímos a variável s 0 Para determinar o coeficiente B substituímos a variável s 10 Para determinar o coeficiente C devido à multiplicidade de polos existentes não basta substituir o valor do polo na equação acima pois resultaria novamente no coeficiente B Sendo assim quando há polos múltiplos de mesmo valor aplicase o seguinte método Em que r representa a quantidade de polos múltiplos iguais i representa o índice do coeficiente e p o valor dos polos múltiplos Assim podese obter que Uma vez que determinamos todos os coeficientes aplicamos a transformada inversa de Laplace por meio da tabela para obtenção da resposta temporal da variável de saída do processo yt Revisão sobre transformada de Laplace 8 1 Dado encontre a transformada de Laplace para esse sistema utilizando frações parciais a b c d e 2 Dado encontre os coeficientes por meio de frações parciais a A 2 B 1 C 5 b A 10 B 5 C 2 c A 1 B 1 C 20 d A 1 B 1 C 10 e A 20 B 1 C 1 3 Dado encontre a transformada inversa de Laplace do sistema utilizando frações parciais a b c d e 4 Dado encontre a transformada inversa de Laplace do sistema utilizando frações parciais a b c d e 9 Revisão sobre transformada de Laplace OGATA K Engenharia de controle moderno 3 ed Rio de Janeiro Prentice Hall do Brasil 1998 Leituras recomendadas DORF R C BISHOP R H Sistemas de controle modernos 12 ed Rio de Janeiro LTC 2013 SPIEGEL M R Transformadas de Laplace resumo da teoria 263 problemas resolvidos 614 problemas propostos São Paulo McGrawHill 1965 Referência 5 Dado encontre a transformada inversa de Laplace do sistema a b c d e Revisão sobre transformada de Laplace 10 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Dica do professor É comum depararse com expressões que precisam ser simplificadas para aplicar a tranformada direta ou inversa de Laplace utilizandose para isso a técnica matemática das frações parciais Para resolver uma expressão algébrica em frações parciais o denominador deve ser fatorado e o numerador deve ser pelo menos um grau abaixo do denominador Caso o numerador seja igual ou maior que o denominador o primeiro deve ser dividido pelo segundo a fim de dar termos que sejam ao menos um grau abaixo do denominador Existem três tipos básicos de frações parciais Nesta Dica do Professor é apresentado um exemplo numérico de como resolver o tipo com fatores lineares repetidos no denominador Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Exercícios 1 Dada encontre a Transformada de Laplace para esse sistema utilizando frações parciais A B C D E 2 Dada a função de transferência encontre os coeficientes por meio de frações parciais A A 1 e B 1 B A 2 e B 1 C A 1 e B 2 D A 1 e B 3 E A 3 e B 4 3 Dada encontre a Transformada Inversa de Laplace do sistema utilizando frações parciais A B C D E 4 Dada encontre a Transformada Inversa de Laplace do sistema utilizando frações parciais A B C D E 5 Dada encontre a Transformada Inversa de Laplace do sistema A 2 Cos3t B Cos3t C 2 Sen3t D 2 Cos9t E Sen9t Na prática O método da Transformada de Laplace vem se consolidando como uma importante ferramenta para a resolução de equações diferenciais em particular aquelas com coeficientes constantes e os correspondentes problemas de valores iniciais Trazendo para uma aplicação real considere que lhe seja solicitado analisar um circuito RL no qual um indutor de H henrys está disposto em série com um resistor de R ohm e com uma fonte de alimentação senoidal cuja forma de onda é descrita pela equação et Vsenat Considere o problema de obter a corrente para qualquer instante de tempo it sabendo que esta é nula no instante inicial Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino Saiba Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Frações parciais polos complexos conjugados Para reforçar a parte de transformada inversa assista a este vídeo em que é explicado de maneira fácil e prática como trabalhar com frações parciais Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Introdução à Transformada de Laplace Para esclarecer qualquer dúvida que possa ter ficado segue um vídeo em que o professor explica as definições e aplicações básicas da transformada Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Inversa de Laplace com frações parciais No vídeo o professor traz a resolução de um exercício numérico da Transformada Inversa de Laplace explicando passo a passo e de uma maneira clara e sucinta Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar