Modelagem Matematica de Sistemas Dinamicos - Equacoes de Estado e Espaco de Estados

Modelagem matemática de sistemas dinâmicos equações de estado Apresentação A tarefa de modelagem consiste em descrever com base em leis físicas o comportamento do sistema por meio de equações matemáticas Essa tarefa é fundamental para o projeto de controladores pois a combinação adequada dessas equações possibilita ao engenheiro de controle o entendimento completo do sistema de interesse Mas como fazer um projeto de um sistema de controle adequado às necessidades e que permita que a variável de interesse atenda aos critérios estabelecidos Isso só é possível se você conhecer o comportamento dinâmico de cada uma das partes que compõem o sistema Nesta Unidade de Aprendizagem você vai estudar a modelagem de sistemas dinâmicos vai descobrir como relacionar as funções de transferência e equações no espaço de estados e a representar os sistemas dinâmicos nesse espaço Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Identificar as variáveis presentes na modelagem dos sistemas dinâmicos Relacionar as funções de transferência e equações no espaço de estados Representar os sistemas dinâmicos no espaço de estados Desafio Existem diversas maneiras de representar um sistema dinâmico Por exemplo utilizar a representação em função de transferência ou em espaço de estados Essas duas maneiras são utilizadas de forma habitual mas dependendo do que é pedido e do você queira fazer é preciso passar essa representação de uma forma para outra Veja Considere o diagrama mostrado acima como sendo a representação de um sistema dinâmico em estudos Coloque essa representação em espaço de estados sendo x os estados do sistema u a entrada e y a saída Infográfico Uma ferramenta muito importante na modelagem de sistemas dinâmicos é a correlação entre a função de transferência e as equações no espaço de estados Estudase algumas maneiras de determinar a representação do espaço de estados por meio da função de transferência Mas será possível fazer o caminho inverso Confira Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Conteúdo do livro Com o crescimento da complexidade das tarefas realizadas por sistemas de engenharia com requisitos cada vez mais rigorosos aliado à facilidade de acesso a soluções numéricas avançadas deuse início ao desenvolvimento da teoria de controle moderno como uma nova forma de analisar e projetar sistemas de controle complexos Essa nova abordagem se baseia no conceito de estado Mas o que é afinal o estado de um sistema dinâmico É o menor conjunto de valores de variáveis de modo que se você conhece o valor inicial dessas variáveis junto com o conhecimento dos valores do sinal de entrada pode determinar completamente o comportamento do sistema em qualquer instante Para compreender melhor esse assunto leia o capítulo Modelagem matemática de sistemas dinâmicos equações de estado da obra Teoria de controle e servomecanismo A partir do texto você vai aprender sobre representação de sistemas dinâmicos em espaço de estados assim como a realizar transformação de representação de função de transferência para espaço de estado e vice versa Boa leitura TEORIA DE CONTROLE E SERVOMECANISMO Eduardo Scheffer Saraiva Modelagem matemática de sistemas dinâmicos equações de estado Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Identificar as variáveis presentes na modelagem dos sistemas dinâmicos Relacionar as funções de transferência e equações no espaço de estados Representar os sistemas dinâmicos no espaço de estados Introdução Neste capítulo você estudará a modelagem de sistemas dinâmicos Quando falamos de um sistema de controle adequado às nossas necessidades e que permita que a variável de interesse atenda aos critérios que estabelecemos isso só será possível se tivermos o conhecimento do comportamento dinâmico de cada uma das partes que compõem o sistema A tarefa de modelagem consiste em descrever com base em leis físicas o comportamento do sistema por meio de equações matemáticas Essa tarefa é fundamental para o projeto de controladores pois a combinação adequada dessas equações possibilita ao engenheiro de controle o entendimento completo do sistema de interesse Variáveis de estado Com o crescimento da complexidade das tarefas realizadas por sistemas de engenharia e com requisitos cada vez mais rigorosos junto à facilidade de acesso a soluções numéricas avançadas iniciouse o desenvolvimento da teoria Conteúdo SAGAH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS de controle moderno como uma nova maneira de analisar e projetar sistemas de controle complexos Essa nova abordagem se baseia no conceito de estado O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de valores de va riáveis de modo que se conhecemos o valor inicial dessas variáveis bem como os valores do sinal de entrada podemos determinar completamente o comportamento do sistema em qualquer instante Variáveis de estado de um sistema dinâmico por sua vez são as grandezas cujo conjunto de valores determina o estado do sistema Se n variáveis de estado são necessárias para descrever completamente o comportamento de um dado sistema então essas n variáveis podem ser consideradas as componentes de um vetor de estados Para analisarmos um sistema dinâmico usando variáveis de estados pre cisamos primeiro colocar o sistema na forma de espaço de estados Para isso na modelagem analisaremos três tipos de variáveis variáveis de entrada variáveis de saída e variáveis de estado Sistemas dinâmicos devem apresentar elementos que memorizem os valores de excitação para t ti Utilizando os sinais de saída dos integradores que têm por característica se comportar como dispositivos de memória em sistemas de controle contínuos no tempo podemos considerar tais sinais como as variáveis que definem o estado interno de sistemas dinâmicos Admitamos um sistema que possua múltiplas entradas e múltiplas saídas e que também apresente n integradores Definindo as n variáveis de saída dos integradores como variáveis de estado com valores x1 t x2 t xn t o sistema poderá então ser descrito como Os valores dos sinais de saída y1 t y2 t ym t do sistema são dados por Modelagem matemática de sistemas dinâmicos equações de estado 2 Podemos então definir o sistema como Assumindo que essas equações são lineares e invariantes no tempo po demos reescrevêlas da seguinte maneira Funções de transferência e espaço de estados Uma ferramenta muito importante na modelagem de sistemas dinâmicos é a correlação entre a função de transferência e as equações no espaço de estados apresentada a seguir Esse sistema pode ser representado no espaço de estados pelas seguinte equações Em que x é o vetor de estados u é a entrada e y é a saída 3 Modelagem matemática de sistemas dinâmicos equações de estado Realizando a transformada de Laplace das equações acima obtemos que sXx x0 AXs BUs Ys CXs DUs Admitindo que as condições iniciais são nulas temos que x0 0 sXs AXs BUs sI AXs BUs Multiplicandose a equação do lado esquerdo da igualdade por sI A1 obtemos que Xs sI A1 BUs Substituindo a equação acima na equação da saída obtemos Assim obtemos a função de transferência em função de A B C e D Considere o sistema dado pelas equações no espaço de estados apresentado a seguir Modelagem matemática de sistemas dinâmicos equações de estado 4 Utilizando a fórmula Gs CsI A1B D Como Então Sistemas dinâmicos no espaço de estados Podemos descrever um sistema dinâmico por meio de equações diferenciais ordinárias nas quais o tempo é a variável independente Considerando que se conhece a entrada do sistema e sua dinâmica podemos determinar com pletamente o comportamento futuro do sistema Assim podemos descrever a evolução de um sistema ao longo do tempo definindo 5 Modelagem matemática de sistemas dinâmicos equações de estado Reescrevendo a definição anterior apenas em função dos estados Ou podemos reescrever em forma matricial da seguinte maneira Em que A saída pode ser dada por Ou seja y Cx em que Considere o sistema mecânico apresentado Esse é um sistema de segunda ordem isto é apresenta dois integradores Para colocar na forma de espaço de estados definimos as variáveis de estado como Modelagem matemática de sistemas dinâmicos equações de estado 6 Resultando em A equação de saída é y x1 Reescrevendo em forma de espaço de estados Na forma padrão do espaço de estados temos que Em que 1 Considere a seguinte dinâmica para um sistema massamolaamortecedor Determine a função de transferência que descreve essa dinâmica a 7 Modelagem matemática de sistemas dinâmicos equações de estado b c d e 2 Considerando que e que o seguinte sistema é apresentado Coloque o sistema na forma de espaço de estados a b c d e 3 Considere o seguinte modelo em espaço de estados Obtenha a função de transferência do sistema a b c Modelagem matemática de sistemas dinâmicos equações de estado 8 d e 4 Dada a seguinte função de transferência Obtenha a representação em espaço de estados a b c d e 5 Dada a seguinte função de transferência Obtenha a representação em espaço de estados a b c 9 Modelagem matemática de sistemas dinâmicos equações de estado d e KLUEVER C A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle Rio de Janeiro LTC 2018 OGATA K Engenharia de controle moderno 5 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2011 SOUZA A C Z PINHEIRO C A M Introdução à modelagem análise e simulação de sistemas dinâmicos Rio de Janeiro Interciência 2008 Modelagem matemática de sistemas dinâmicos equações de estado 10 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Dica do professor Para fazer o projeto de um sistema de controle que atenda às necessidades exigidas você precisa ter um bom conhecimento de como o sistema se comporta ao longo do tempo dada uma certa entrada E isso só é possível se você modelar corretamente o sistema Assista à Dica do Professor e saiba como isso é feito Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Exercícios 1 Considere a seguinte dinâmica para um sistema massamolaamortecedor Determine a função de transferência que descreve tal dinâmica sendo ut a entrada e yt a saída A B C D E 2 Considerando que e que o seguinte sistema é apresentado Encontre uma representação no espaço de estados sendo u a entrada e x1 a saída do sistema A B C D E 3 Considere o seguinte modelo em espaço de estados Obtenha a função de transferência do sistema A B C D E Dada a seguinte função de transferência 4 Obtenha a representação em espaço de estados A B C D E 5 Dada a seguinte função de transferência obtenha a representação em espaço de estados A B C x₁ x₂ x₃ 0 1 0 0 0 1 24 23 12x₁ x₂ x₃ 0 0 1 uy 5 4 1x₁ x₂ x₃ D x₁ x₂ x₃ 0 1 0 0 0 1 24 23 12x₁ x₂ x₃ 0 0 1 uy 541x₁ x₂ x₃ E x₁ x₂ x₃ 0 1 0 0 0 1 24 23 12x₁ x₂ x₃ 0 0 1 uy 541x₁ x₂ x₃ Na prática Existem diversas maneiras de se representar um sistema dinâmico e isso vai depender do que você quer fazer ou de que tipo de controle vai aplicar Afinal diferentes tipos de controladores atendem a uma determinada classe de sistemas ou seja quando para aplicar algum controlador específico em um sistema você precisa representálo de forma adequada ao problema Veja a seguir como representar um sistema dinâmico Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Saiba Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Exercício numérico No vídeo a seguir você vai assistir a uma aula com um exercício numérico e reforçar o conteúdo apresentado nesta Unidade de Aprendizagem Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Diagrama de blocos no espaço de estados No vídeo a seguir é descrito pelo professor por meio de um exemplo como representar um sistema contínuo que esteja na forma de diagrama de blocos no espaço de estados Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar