Prova Calculo II - Superficies, Temperatura e Pontos Criticos

Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Ciˆencias Aplicadas LE203 Calculo II Prova 1 06092024 Nome RA Questao Pontos Nota 1 212 2 212 3 212 4 212 Total 10 Questao 1 212 pontos Considere uma superfıcie S representada pela equacao z2 x2y2 Apresente a equacao do plano tangente a superfıcie S no ponto 3 4 5 Questao 2 212 pontos Suponha que a temperatura em oC no ponto x y com a distˆancia medida em metros seja dada por z fx y x5 senxy a Em P 1 0 encontre a direcao na qual f cresce mais rapidamente e a taxa maxima de crescimento neste ponto b Encontre as direc oes em que a derivada direcional de f no ponto P 1 0 tem valor 1 Questao 3 212 pontos Considere o ponto P a b c formado pelos 3 ultimos dıgitos do seu RA Determine o ponto do plano x 2y 2z 20 mais proximo do ponto P a b c atraves dos seguintes metodos a Se F tem um maximo ou mınimo local em x0 y0 e as derivadas parciais de primeira ordem de F existem nesses pontos entao Fxx0 y0 0 e Fyx0 y0 0 b Multiplicadores de Lagrange Questao 4 212 pontos Seja z fx y x3 12xy 8y3 a Encontre os pontos crıticos de f e classifiqueos utilizando o Teste da Segunda Derivada Boa Prova Coordenadas Polares x x0 r cosθ y y0 r senθ z z0 fxx0 y0x x0 fyx0 y0y y0 dz fxx ydx fyx ydy dzdt zx dxdt zy dydt fxx0 y0 z0x x0 fyx0 y0 z0y y0 fzx0 y0 z0z z0 0 DufP fP u u 1 cosθ VW V W D detfxx fxy fyx fyy D 0 e fxx 0 ponto de mínimo local D 0 e fxx 0 ponto de máximo local D 0 ponto de sela D 0 não há informação f λg