Atividade 1

ETAPA 1 SISTEMA LINEAR E MATRIZES Um sistema dinâmico é um modelo matemático que descreve a evolução de um sistema ao longo do tempo Ele é caracterizado por um conjunto de variáveis de estado que mudam em resposta a regras ou equações específicas Sistemas dinâmicos são usados para modelar uma ampla variedade de fenômenos naturais e artificiais desde a mecânica clássica até a economia e a biologia Considere o sistema a seguir E1 x 4y E2 2x 3y a Qual a matriz que representa o sistema formado pelas equações E1 e E2 b Qual o determinante da matriz de a c Qual a matriz inversa da matriz de a ETAPA 2 TRANSFORMAÇÕES LINEARES Uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que mantém a estrutura aditiva e multiplicativa desses espaços Essas transformações são fundamentais em muitas áreas da matemática e física fornecendo uma maneira de modelar e analisar fenômenos lineares de maneira sistemática e estruturada Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear T xy E1 E2 a Qual a transformação de 12 b Qual a transformação de 11 c Qual a transformação de 34 d Qual o Núcleo da TL e sua dimensão e Qual a imagem da TL e sua dimensão ETAPA 3 AUTOVALORES E AUTOVETORES Um autovalor é um número escalar associado a uma matriz ou a uma transformação linear Especificamente se A é uma matriz n x n então um escalar λ é um autovalor de A se existir um vetor não nulo v tal que a aplicação da matriz A sobre o vetor v resulta em um múltiplo escalar desse vetor a Quais os autovalores da Transformação Linear da Etapa 2 b Quais os autovetores da Transformação Linear da Etapa 2 c Sabendo que para ser estável todos os autovalores devem ser negativos o sistema é estável ou instável Etapa 1 Sistema linear e matrizes E₁ x 4y E₂ 2x 3y a 1 4 x 1 A 1 4 2 3 y 0 2 3 b det A 1 3 2 4 det A 11 c A¹ 1det A d b A¹ 111 3 4 c a 2 1 A¹ 311 411 211 111 Etapa 2 Transformações Lineares Txy E₁ E₂ Txy x 4y 2x 3y a T12 1 42 21 32 T12 9 4 b T11 141 21 31 T11 5 1 c T34 3 44 23 34 T34 13 18 d 1x 4y 0 2 2x 3y 0 2x 8y 0 2x 3y 0 11y 0 y 0 1x 2 0 0 x 0 ker T 00 e o imagem da transformação linear R² o Dimensão da imagem 2 Etapa 3 Autovalores e Autovetores a det A λI det 1 λ 4 2 3 λ det A λI 1λ3λ 42 det A λI 3 λ 3λ λ² 8 det A λI λ² 2λ 11 Δ 2² 4 1 11 Δ 4 44 Δ 48 λ 2 48 2 1 λ₁ 2 48 2 1 23 λ₂ 2 48 2 1 23 b λ₁ 1 23 1 1 23 2 2 23 4 x 0 3 1 23 2 23 2 2 3 y 0 2 23 x 4y 0 2x 2 23 y 0 2 23 x 4y 0 x 4y 2 23 x 2y 1 3 Simplificam x 2y 1 3 1 3 1 3 y 1 3 1 v₁ x y 1 3 1 3 y 1 λ2 1 23 1 1 232 x 2 23 2 21 x y 0 0 2 23 x 21 y 0 2x 2 23 y 0 2 23 x 21 y 0 2 23 x 21 y x 21 y 2 23 21 y 1 3 Simplificação x 21 y 1 3 1 3 1 3 y 1 3 1 v2 x y y 1 3 y 1 3 1 v3 1 3 1 v2 1 3 1 c O sistema é instável pois nem todos os autovalores são negativos