Prova Final Calculo I FATEC - Pontos Criticos e Variação de Funções

FATEC MIGUEL REALE CÁLCULO I prof dr HENRIQUE FURIA SILVA PROVA FINAL 16122023 httpwwwfatecitaqueraedubr Av Miguel Ignácio Curi 360 São Paulo SP 011 20564347 TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DETALHADAMENTE JUSTIFICADAS ESCREVENDO PEQUENOS TEXTOS APRESENTAR OS RESULTADOS NOS VALORES EXATOS SEM APROXIMAÇÕES CÓPIAS DE TEXTOS SERÃO PUNIDAS COM A REPROVAÇÃO NA DISCIPLINA PARA TODOS OS ENVOLVIDOS Uma função definida pelo parâmetro 𝑚 0 foi especificada para o desenho de uma pista de skate 𝑥 ℝ 𝑦 𝐻𝑚𝑥 1 250 𝑚 4 𝑥5 15 𝑥4 100 𝑥3 190 𝑥2 600 𝑥 8 O parâmetro 𝑚 0 é a dezena correspondente à sua idade1 em anos O gráfico fora de escala construído com computador é apresentado abaixo 1 Exemplo se sua idade é igual a 45 anos então 𝑚 4 Se sua idade terminar em 0 adote 𝑚 1 𝑓𝑛𝑥 𝑎0 𝑎1 𝑥 𝑎2 𝑥2 𝑎3 𝑥3 𝑎𝑛1 𝑥𝑛1 𝑎𝑛 𝑥𝑛 𝑝 𝑞 ℚ 𝑝 é um divisor de 𝑎0 que é o termo independente 𝑞 é um divisor de 𝑎𝑛 que é o coeficiente do termo de maior grau 1 Pontos críticos Siga o seguinte roteiro para obter os pontos de máximo e de mínimo locais a Mostre que a derivada da função 𝐻 é a função dada por 𝑥 ℎ𝑚𝑥 20 𝑞 𝑥4 3 𝑥3 15 𝑥2 19 𝑥 30 b Obtenha as raízes da função ℎ𝑚 c Obtenha as coordenadas dos pontos 𝐹 𝐺 𝐻 𝐼 d Explicar quais desses pontos são pontos de máximo e de mínimo locais da função 𝐻𝑚 justifi cando detalhadamente suas afirmações com um pequeno texto e Determinar os trechos em que a função 𝐻 decresce e os trechos em que a função 𝐻𝑚 cresce 𝑓𝑛𝑥 𝑎0 𝑎1 𝑥 𝑎2 𝑥2 𝑎3 𝑥3 𝑎𝑛1 𝑥𝑛1 𝑎𝑛 𝑥𝑛 𝑝 𝑞 ℚ 𝑝 é um divisor de 𝑎0 que é o termo independente 𝑞 é um divisor de 𝑎𝑛 que é o coeficiente do termo de maior grau 2 Variação da função Siga o seguinte roteiro para obter o comportamento local e global da função a Apresentar os limites da função nos extremos do domínio explicando com um pequeno texto as justificativas para os resultados obtidos b Mostre que 𝑥 2 é uma raiz da função 𝐻 c Efetue a divisão de polinômios apresentada abaixo 𝑥4 3 𝑥3 15 𝑥2 19 𝑥 30 𝑥 2 d A partir do resultado obtido no item anterior explique detalhadamente para concluir que 𝐻𝑚𝑥 𝐻𝑚𝑥 1 250 𝑚 𝑥 2 4 𝑥4 23 𝑥3 54 𝑥2 298 𝑥 4 e Utilize o computador para mostrar que o polinômio 4 𝑥4 23 𝑥3 54 𝑥2 298 𝑥 4 não possui raízes racionais f Do item anterior se conclui que o polinômio 𝐻𝑚 possui apenas uma raiz racional 𝑥1 0 g Com isto todas as outras raízes do polinômio 𝐻𝑚 são números irracionais obtidos por meio de uma combinação de radicais 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 ℚ Explique qual seria o procedimento adotado para obter uma estimativa para as outras raízes Hx 12504x5 15x4 100x3 190x2 600x 8 Hx 125020x4 60x3 300x2 380x 600 derivada Hx 2x4 6x3 30x2 38x 6025 H hmx x4 3x3 15x2 19x 30250 20 b hm0 x4 3x3 15x2 19x 30 0 hmx x 5x 2x 1x 3 logo as raízes 5 2 1 3 c F G H I não os pontos que a derivada são iguais a zero vou seja as raízes de Hx abcissas 5 2 1 3 agora basta achar a ordenada d F G são máximos locais pois em u pequeno não há um ponto com valor maior que o deles e H I são pontos de mínimo e x F cresce F x G decresce G x H cresce H x I decresce I x cresce 2 a lim x já que x F decresce lim x já que x I cresce b H2 1250128 240 800 760 1200 8