Resolução Detalhada de Questões de Regressão Linear e Múltipla com MQO e Teste T

Apenas resolver a letra b da questão 1 Resolver a questão 6 inteira Apenas resolver a letra b da questão 1 Para mostrar que a solução para o termo constante é 𝛼 𝑌 𝛽 𝑋 onde 𝑌 é a média da variável dependente 𝑌 𝑋 é a média da variável independente 𝑋 e 𝛽 é a estimação do coeficiente de inclinação podemos usar o método dos mínimos quadrados ordinais MQO para regressão linear Na regressão linear tentamos encontrar a linha de melhor ajuste que minimiza a soma dos erros ao quadrado entre os valores previstos da variável dependente e os valores reais da variável dependente A equação da reta é dada por 𝑌𝑖 𝛼 𝛽 𝑋𝑖 𝜖𝑖 Onde 𝜖𝑖 é o termo referefente ao erro cometido ao estimar 𝑌𝑖 Usando o método de MQO podemos encontrar os valores de 𝛼 e 𝛽 que minimizam a soma dos erros ao quadrado para isso vamos isolar 𝜖𝑖 da equação de regressão simples elevar ao quadrado e somar os erros ao quadrado da seguinte forma 𝜖𝑖 2 𝑌𝑖 𝛼 𝛽 𝑋𝑖2 𝑛 𝑖1 Agora vamos derivar o erro acima de acordo com os parâmetros 𝛼 e 𝛽 𝜖𝑖 2 𝛼 2 𝑌𝑖 𝛼 𝛽 𝑋𝑖 𝑛 𝑖1 𝜖𝑖 2 𝛽 2𝑋𝑖 𝑌𝑖 𝛼 𝛽 𝑋𝑖 𝑛 𝑖1 Igualando as derivadas a zero para estimar os parâmetros teremos o seguinte sistema de equações 2 𝑌𝑖 𝛼 𝛽 𝑋𝑖 𝑛 𝑖1 0 2𝑋𝑖 𝑌𝑖 𝛼 𝛽 𝑋𝑖 𝑛 𝑖1 0 Resolvendo a primeira equação do sistema temos 𝑖 2 𝑌𝑖 𝛼 𝛽 𝑋𝑖 𝑛 𝑖1 0 𝑌𝑖 𝛼 𝛽 𝑋𝑖 𝑛 𝑖1 0 𝑌𝑖 𝑛 𝑖1 𝑛 𝛼 𝛽 𝑋𝑖 𝑛 𝑖1 0 𝑛 𝛼 𝑌𝑖 𝑛 𝑖1 𝛽 𝑋𝑖 𝑛 𝑖1 𝛼 𝑌𝑖 𝑛 𝑖1 𝛽 𝑋𝑖 𝑛 𝑖1 𝑛 𝛼 𝑌𝑖 𝑛 𝑖1 𝑛 𝛽 𝑋𝑖 𝑛 𝑖1 𝑛 Temos que 𝑌 𝑌𝑖 𝑛 𝑖1 𝑛 𝑒 𝑋 𝑋𝑖 𝑛 𝑖1 𝑛 Logo podemos considerar a estimativa do parâmetro referente a constante que intercepta a reta de regressão como 𝛼 𝑌 𝛽 𝑋 Resolver a questão 6 inteira a Para identificar quais os coeficientes significativos no modelo de regressão linear múltiplo MRLM iremos usar o teste t a onde as hipóteses são 𝐻0 𝛽𝑖 0 𝐻1 𝛽𝑖 0𝑐𝑜𝑚 𝑖 0123 𝑒 4 Esse teste tem como hipótese nula que o parâmetro estimado não é significativo para o modelo logo ao rejeitarse a hipótese nula concluímos que o parâmetro é significativo para o modelo e para isso vamos calcular a estatística t da seguinte formula 𝑇𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝛽𝑖 𝛽𝑖 𝐸𝑃 Que é o parâmetro estimado subtraído do parâmetro real e dividido pelo erro padrão como a hipótese nula sugere que o parâmetro real seja igual a zero nesse caso teremos que para todos os casos o 𝛽𝑖 0 Portanto as estatísticas para os parâmetros serão Variável Coeficientes ErroPadrão Razão t Constante 324009 17674 1833252 Idade 020056 008386 2391605 Idade2 00023147 000098688 234547 Educ 0067472 0025248 267237 Filhos 035119 014753 238046 Considerando um grau de significância de 5 𝛼 005 temos que o T tabelado é de 196 então toda razão t que for maior que 196 ou menor que 196 iremos rejeitar a hipótese nula ou seja aquela variável será significativa para o modelo Assim temos que a constante não foi significativa para o modelo mas as demais variáveis sim isso significa que os pvalores delas são menores que 005 então com 5 de significância temos que as variáveis Idade Indade2 Educ e Filhos são significativas para explicar a variabilidade da variável dependente lnRendimentos Ate aproximadamente 86 anos a idade tem um efeito positivo na variável dependente ou seja conforme aumente a idade esperase que a variável dependente aumentese também a partir dos 86 anos esse efeito passa a ser negativo ou seja se aumentar a idade esperase que a variável dependente diminua A variável Educ tem um efeito positivo na variável dependente nesse caso se o grau de instrução aumenta esperase que a variável dependente também aumente e pôr fim a variável filhos tem uma influência negativa ou seja conforme uma aumenta a outra diminui b 𝑅2 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 𝑆𝑅𝑇 𝑆𝑄𝑇 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 𝑆𝑄𝑇 1 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 𝑆𝑄𝑇 0040995 1 5994582 𝑆𝑄𝑇 5994582 𝑆𝑄𝑇 0959005 𝑆𝑄𝑇 6250835 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 6250835 5994582 256253 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑔 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 𝑝 1 256253 5 1 6406324 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 𝑛 𝑝 5994582 428 5 1417159 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑔 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠 6406324 1417159 4520541 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 2417 Como F calculado é maior que F tabelado então com 5 de significância podemos concluir que o modelo é significativo ou seja o modelo é capaz de explicar a variabilidade da variável dependente Apenas resolver a letra b da questão 1 Para mostrar que a solução para o termo constante é αY β X onde Y é a média da variável dependente Y X é a média da variável independente X e β é a estimação do coeficiente de inclinação podemos usar o método dos mínimos quadrados ordinais MQO para regressão linear Na regressão linear tentamos encontrar a linha de melhor ajuste que minimiza a soma dos erros ao quadrado entre os valores previstos da variável dependente e os valores reais da variável dependente A equação da reta é dada por Y iαβ Xiϵi Onde ϵ i é o termo referefente ao erro cometido ao estimar Y i Usando o método de MQO podemos encontrar os valores de α e β que minimizam a soma dos erros ao quadrado para isso vamos isolar ϵ i da equação de regressão simples elevar ao quadrado e somar os erros ao quadrado da seguinte forma ϵ i 2 i1 n Y iαβ Xi 2 Agora vamos derivar o erro acima de acordo com os parâmetros α e β ϵ i 2 α 2 i1 n Y iαβ Xi ϵ i 2 β 2 Xi i1 n Y iαβ Xi Igualando as derivadas a zero para estimar os parâmetros teremos o seguinte sistema de equações 2 i1 n Y iαβ Xi0 2 Xi i1 n Y iαβ Xi0 Resolvendo a primeira equação do sistema temos i 2 i1 n Y iαβ Xi0 i1 n Y iαβ Xi0 i1 n Y inαβ i1 n Xi0 nα i1 n Y iβ i1 n Xi α i1 n Y iβ i1 n Xi n α i1 n Y i n β i1 n Xi n Temos que Y i1 n Y i n e X i1 n Xi n Logo podemos considerar a estimativa do parâmetro referente a constante que intercepta a reta de regressão como αY β X Resolver a questão 6 inteira a Para identificar quais os coeficientes significativos no modelo de regressão linear múltiplo MRLM iremos usar o teste t a onde as hipóteses são H 0 βi0 H 1 βi0 comi0 123e 4 Esse teste tem como hipótese nula que o parâmetro estimado não é significativo para o modelo logo ao rejeitarse a hipótese nula concluímos que o parâmetro é significativo para o modelo e para isso vamos calcular a estatística t da seguinte formula T calculado βiβi EP Que é o parâmetro estimado subtraído do parâmetro real e dividido pelo erro padrão como a hipótese nula sugere que o parâmetro real seja igual a zero nesse caso teremos que para todos os casos o βi0 Portanto as estatísticas para os parâmetros serão Variável Coeficientes ErroPadrão Razão t Constante 324009 17674 183325 2 Idade 020056 008386 239160 5 Idade2 00023147 000098688 234547 Educ 0067472 0025248 267237 Filhos 035119 014753 238046 Considerando um grau de significância de 5 α005 temos que o T tabelado é de 196 então toda razão t que for maior que 196 ou menor que 196 iremos rejeitar a hipótese nula ou seja aquela variável será significativa para o modelo Assim temos que a constante não foi significativa para o modelo mas as demais variáveis sim isso significa que os pvalores delas são menores que 005 então com 5 de significância temos que as variáveis Idade Indade2 Educ e Filhos são significativas para explicar a variabilidade da variável dependente lnRendimentos Ate aproximadamente 86 anos a idade tem um efeito positivo na variável dependente ou seja conforme aumente a idade esperase que a variável dependente aumentese também a partir dos 86 anos esse efeito passa a ser negativo ou seja se aumentar a idade esperase que a variável dependente diminua A variável Educ tem um efeito positivo na variável dependente nesse caso se o grau de instrução aumenta esperase que a variável dependente também aumente e pôr fim a variável filhos tem uma influência negativa ou seja conforme uma aumenta a outra diminui b R 2 SQReg SRT SQTSQRes SQT 1SQRes SQT 004099515994582 SQT 5994582 SQT 0959005SQT 6250835 SQReg62508355994582256253 QMReg SQReg p1 256253 51 6406324 QMResSQRes np 5994582 4285 1417159 FcalculadoQMReg QMRes 6406324 14171594520541 Ftabelado2417 Como F calculado é maior que F tabelado então com 5 de significância podemos concluir que o modelo é significativo ou seja o modelo é capaz de explicar a variabilidade da variável dependente