Resumo 1 - Algebra Linear Aplicada

Se parte do conjunto ACV e L\(LD) entao A toda e LD. II) Se um conjunto ACV e LT qualquer parte de A e LT. V) Se todos os valores de um subconjunto propriios de um conjunto finto sao LT, nao significa que o conjunto V, . ——— VI) Se A {V,, U,O, 2, }en} CV, LTS B= {Izo, Vi, Uz}et Cv[LD o indicado ve é Como linha de.rev, e nao _ Base: Um conjunto de { Vz, Vz } é uma BASE se: I) B e LT ,\(\\ pára V . Qualquer vetor genereico de V pode ser em combinação linear dos vetores de B) Bases canonicas R { (1,0) ) Rz {<1,0),(0,1) }, .\){(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0) }(0,0,0,1) } Teorema: Todo conjunto LT de um espaço vetorial V é base do subespaço Teorema: S. be {Vz, }, — espaço estirv V , ~todo todo conjunto com mais de n vetores, eles) Teorema: Duas base quaisquer de um espaco vetorial tem o mesmo imemtos de vetores. f Dimensao: Se V possiu uma base no V vetores, intao V tem dimensão n e anotarse dimVu VIN AIS y Se V nao possib base, dim Vo 0 se tem uma base c infinities descritos, entao a dimensa é intima e então dim V e on considereando o H: —ajo é a origine 0, S=/ { } é a colifar Dim 5= 2, uma plani( 5=3 se o proparie R} A dimensio é dada pelo nd de varianies hneros so umχος ) mesma base do Teorema: alguma wha base so foimer runningorhom) who convetonhb a basis no vo basis the anthons \ V}\(LS é um bavecs * componentes de um detori no componante poorion ot 即? é V\ fiu e - Teorema: A soma S de dois subespaços vetoriais S1 e S2 de V, é um Subespaço vetorial de V. I) Se u1, u2 ∈ S1, então u1 + u2 ∈ S1 Se v1, v2 ∈ S2, então u1, v2 ∈ S2 Por outro lado u1 + u2 ∈ S u1 + v2 ∈ S S ? II) Para qualquer λ ∈ R, Se u1 ∈ S1, então λu1 ∈ S1 Se v2 ∈ S2, então λv1 ∈ S2. Por outro lado λe1 ∈ S Logo λ(u1 + v2) = λu1 + λv2 ∈ S1 + S2 = S * Soma direta -> Sejam os e q de subespaços vetoriais de V. Diz-se que V é a soma direta de S1,S2 se a demonstrar-se por V = S1⊕S2 se V = q + S1 e S 2 n S2 = qf - Teorema S é a soma disjunta de S1 e S2, todo vetor de v Se externo, e do modo únicas o no forma. Θ = u + w exemplos o esto los V, no em S? * Combinação linear: Sejam os vetores a... no... do espaço vetorial V, e escalares a,..., a... vetor. V e q de forma: v = a1v1 + a2v2 + an Combinação Linear dos vetores v3, v..., vn. * Subespaço Geral: i Sejo V um espaço vetorial, C= subconjunto em sub-conjunto A = {v1, v2..., v3, vn} C V (com a ≠ q.) o conjunto de todos os vetores de V que não informação linear a dom notas de A, é um subespaço vetorial de [V. No te: ! o subespaço S diz-se gerado pelas vetores F2 V(U, ...} S é gerado pelo conjunto S, representa a por S(V, v2, v2, p3, o, o S = 5(A) Nós mís, u, ... ‘. ‘, v3, ‘.3, ‘. v, 'form são chamados gerados de Subespaços S enquanto o o o conjunto gerador de S. Observ: o conjunto vazio egera o q/q Obs: AC ? 5(A) Nota: 4. Todo conjunto A C V tem um subespaço no interpretável V, dependendo do cara. F(A) é o V. Neste caso, X só um conjunto gerador de V. * Dependência/Independência Linear: Estern um a pace vetorial e A={7, A2, ..., en} Cv de dormid outra v preciso: A1v1 + A2v2 + Anvn = 0. Se alzar que ela admite pop mém uma solução o1= o2=....=ond íri chamada soleição trivial. * um conjunto ?, olhamoc Isie os vetores V2, V2 a... se L. se que eu equação identityerias apenas a three solutions, necessário do essencial Se existirem soluções ei 2 q), o conjunto é chamado de L’ c ou o vots'o 1,v2,v..., vn não LD Torterma: um conjunto k é LD se um vetor de A combinação linear das outros ou ainda: um conjunto S=(y1, y2,..., ynσ e L Se se- nenhum dadas vetores for combinação linear dos outros Vis aio geométria: No R2 v1 e v2 são colineares (LD) v1 e v2 não colineares (LI) No R3 v1, v2, v3 não coplanares (LD) v1, v2, v3 não coplanares Propriedades da Dependência, Indeperdenia: I) Se u A=(v) C V, e 5=0, então A e U. e, V=0 só é possível se a=0. II) Por def तेज़ OL um conjunto vazio () é O e I. III) Se um conjunto A C V contém o vetor nulo, A c LD. De fato, 5= 0, z=0,a1=0 a n va=0. Ai pode ter qualquer valores, já que eni.