Aplicações Lineares Diagonalização de Operadores e Espaços com Produto Interno

1 Considere o operador linear T R³ R³ dado por Txyz 3x7z 3y5z 4z a Determine os autovalores de T b Determine uma base dos respectivos autoespaços c T é diagonalizável Justifique sua resposta 2 Considere o produto interno usual em R³ Determine se possível os valores reais de λ tais que a u λ λ 1 e v λ 1 2 sejam ortogonais b w 4λ λ 0 seja unitário 3 Assinale com a letra V para VERDADEIRO ou a letra F para FALSO nos itens abaixo justificando cada resposta dada Seja V um espaço vetorial real com produto interno a Se u v 0 então u e v são LI b u v u v para quiser u v em V 4 Considere o produto interno usual em R³ Seja W o subespaço de R³ dado por W xyz R³ x 3y 2z 0 a Determine uma base de W b Determine uma base para W o complemento ortogonal de W c Determine se possível for uma base ortogonal para W Lembre que NT e ImT denotam o núcleo e a imagem da aplicação linear T respectivamente 1 Sejam V e W espaços vetoriais reais a Complete a definição Uma função T V W é chamada de aplicação linear se b Mostre que T R² P₁ dada por Tab bt 2a 3b é uma aplicação linear c A função T ℝ² P₁ dada por Tab bt 2a 3 é uma aplicação linear Justifique sua resposta 2 Assinale com a letra V para VERDADEIRO ou à letra F para FALSO nos itens abaixo justificando cada resposta dada a Existe T R² R² linear tal que 10 NT e 10 ImT b V A aplicação linear T R³ R² dada por Txyz 2z x y é sobrejetiva c F A aplicação linear T R² R³ dada por Txy y 2x y 3x é um isomorfismo linear 3 Considere a aplicação linear T ℝ² ℝ² dada por Txy 3y 4x y x a Complete a definição A aplicação linear T R² R² é um isomorfismo linear se b T é um isomorfismo linear Justifique sua resposta c Determine T¹ xy 4 Seja T R² R² a aplicação linear da questão anterior 3ª questão Considere as bases ordenadas α 13 31 e β 10 01 de R² a Determine Tᵦα a matriz associada a T da base α para a base β b Determine T¹ᵦα a matriz associada a T¹ da base α para a base β