Exercícios Resolvidos Álgebra Linear Espaços Vetoriais Polinômios Transformações Lineares Autovalores

1 P2 é o espaço vetorial formado pelos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais com as operações naturais de soma de polinômios e multiplicação por número real Se ux 3 x 3x² e vx 2 x² então podemos afirmar que px 6 2x 2x² pertence a geru v Qual é a combinação linear que permite escrever a partir de u e v 2 No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais o que podemos afirmar sobre o conjunto formado pelos vetores v1 x² 2x 2 v2 2x² 1 e v3 x² 6x 4 3 Considere P2 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais e a transformação linear B P2 R³ tal que Bax² bx c a b 2c 2a b c a 2b 3c O que se pode afirmar sobre a Imagem de B 4 Determinar os valores próprios e os vetores próprios e a matriz que diagonalizável do operador linear R2R2 fx 3x y x y Se sim existem ab R tais que a3 x 3x² b2 x² 6 2x 2x² 3a ax 3ax² 2b bx² 6 2x 2x² 3a 2b ax 3a b 6 2x 2x² 3a 2b 6 a 2 3a b 2 a 2 32 2b 6 32 b 2 6 2b 6 6 b 2 2b 0 b 2 6 b 0 b 4 mas 0 4 logo não tem solução e por isso px não pertence a gerx² 2 Fazendo abc R ax² 2x 2 b2x² 1 cx² 6x 4 0 x²a 2b c x2a 6c 2a b 4c 0 a 2b c 0 2a 6c 0 2a b 4c 0 1 2 1 2 0 6 2 1 4 a b c 0 0 0 mas vejo que a 0 b 0 e c 0 é solução trivial e o sistema tem infinitas soluções pois det 1 2 1 2 0 6 2 1 4 262 121 224 161 24 2 16 6 0 logo v₁ v₂ e v₃ são LD 3 Veja que Bax² bx c a b 2c 2a b c a 2b 3c a1 2 1 b1 1 2 c2 1 3 dor 1 2 1 1 1 2 2 1 3 gera a imagem de B Mas veja que 13 1 2 1 53 1 1 2 2 3 3 logo 2 3 3 é LD e podemos dizer que 1 2 1 1 1 2 gera a imagem de B e como a1 2 1 b1 1 2 0 a b 0 2a b 0 a 2b 0 a b 3a 0 a 0 b 0 então 1 2 1 1 1 2 também é LI Logo é base da imagem de B que vai ter dimensão 2 4 Primeiro calculando os autovalores pelo polinômio característico det3 1 1 1 λ1 0 0 1 0 det3 λ 1 1 1 λ 0 3 λ1 λ 11 0 3 3λ λ λ² 1 0 λ² 4λ 4 0 Δ 4² 414 36 36 0 λ 421 42 2 Logo o autovalor é λ 2 com multiplicidade 2 e o autovetor 3 1 1 1x y 2x 2y 3x y 2x x y 2y x y 0 x y 0 x y autovetor é 1 1 E a diagonal vai ter a forma de jordan igual a 2 1 0 2